Mở đầuvề hình học không gian. Quan hệ song song_10

e Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.. d Nếu ba đường thẳng chắn trên hai cát tuyến những đoạn t

Mở đầu về hình học không gian Quan hệ song

song

Sau khi học xong mục này, học sinh cần biết :

1 Một mặt phẳng được xác định nếu biết một trong các điều kiện sau đây :

(a) Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

(b) Mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó

(c) Mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau

(d) Mặt phẳng đi qua hai đường thẳng song song

(e) Mặt phẳng đi qua một đường thẳng và song song với một đường thẳng chéo với đường thẳng ấy

(f) Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng không chứa đường thẳng ấy

(g) Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau

2 Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song :

(a) Hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung

(b) Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và lần lưựơt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với

ít nhất một trong hai đường thẳng ấy

(c) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

(d) Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì giao tuyến song song với a.

(e) Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó

(f) Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau

(g) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b không song song với l thì hai hình chiếu a′,b′của a và b theo phương l lên mặt phẳng (P) song song hoặc trùng nhau.

(h) Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì hình chiếu a′của a trên (P) song song với a.

3 Dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng :

(a) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không có điểm chung thì chúng song song với nhau

(b) Nếu a ∥ b, a 1 (P), b ⊂ (P) thì a ∥ (P).

(c) Nếu a ⊂ (P), (P) ∥ (Q) thì a ∥ (Q).

(d) Nếu ba đường thẳng chắn trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì ba đoạn thanửg đó cùng song song với một mặt phẳng (mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai trong ba đường thẳng trên)

(e) a ∥ b, a ∥ (P), b 1 (P), ⇒ b ∥ (P).

(f) a ∥ (P), (P) ∥ (Q), a 1 (Q) ⇒ a ∥ (Q).

4 Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song :

(a) Hai mặt phẳng không có điểm chung thì song song với nhau

(b) Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với một mặt phẳng khác thì ahi mặt phẳng đó sóng song

(c) Nếu hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng lần lượt song song với hai đường thẳng của mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song

(d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau

10.1 Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) ; xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) ; chứng minh ba điểm

thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy ; tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ; chứng minh bốn điểm đồng phẳng

Vấn đề 1 :Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng



Giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng Vì vậy ta cần xác định được hai giao điểm của hai mặt phẳng đó Muốn xác định giao điểm của hai mặt phẳng ta chọn hai đường thẳng a ⊂ (P) và b ⊂ (Q) sao cho a ∩ b = {M} Khi đó M là một giao điểm

của hai mặt phẳng đó

Bài 10.1 : Trong mặt phẳng (α) cho tứ giác ABCD có các cạnh đối AB và CD không song song với nhau Gọi S là một điểm không

thuộc mặt phẳng (α)

1 Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (S AC) và (S BD).

2 Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (S AB) và (S CD).

Vấn đề 2 :Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P)



1 Phương pháp chung là cần tìm đường thẳng ∆ ⊂ (P) và ∆ cắt a, giao điểm đó chính là giao điểm của a và (P).

2 Cách tìm đường thẳng ∆: Chọn mặt phẳng (Q) sao cho a ⊂ (Q), (Q) ∩ (P) = ∆ ⇒ ∆ ∩ a = a ∩ (P) Thường ta chọn mặt phẳng (Q) sao cho dễ xác định giao tuyến với mặt phẳng (P).

Bài 10.2 : Cho tam giác ABC và một điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC) Trên các đoạn thẳng OA, OB, OC ta lần lượt lấy các điểm

A′,B′,C′không trùng với đầu mút các đoạn thẳng đó Gọi M là một điểm thuộc mặt phẳng (ABC) và nằm trong tam giác ABC Tìm

điểm chung (giao điểm) của :

1 Đường thẳng B′C′với mặt phẳng (OAM) 2 Đường thẳng OM với mặt phẳng (A′B′C′)

Vấn đề 3 :Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy



Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh A, B, C cùng nằm trên hai mặt phẳng phân biệt (P), (Q) Khi đó A, B, C

thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó, nên chúng thẳng hàng

Còn nếu muốn chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy, ta xác định giao điểm của hai trong ba đường thẳng rồi chứng minh giao

điểm đó thuộc đường thẳng còn lại Hoặc có thể dùng định lí giao tuyến của ba mặt phẳng

Bài 10.3 : Cho tam giác ABC và một điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC) Gọi A′,B′,C′lần lượt là các điểm lấy trên OA, OB, OC và không trùng với đầu mút các đoạn thẳng đó Chứng minh rằng các cặp đường thẳng A′B′và AB, B′C′và BC, C′A′và CA cắt nhau lần lượt tại D, E, F thì ba điểm D, E, F thẳng hàng.

Bài 10.4 : Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại

H Chứng minh rằng CD, IG, HF đồng quy.

Vấn đề 4 :Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng



Muốn tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) ta tìm các đoạn giao tuyến của (α) giao với các mặt (bên và đáy) của hình chóp

Chú ý : Mặt phẳng (α) cắt mỗi mặt bên tại không quá hai điểm trong của các cạnh của mặt bên đó.

Bài 10.5 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Điểm C′nằm trên cạnh S C Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ABC′)

Bài 10.6 : Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

1 Điểm D thuộc những mặt phẳng nào ?

2 Chứng minh AC và BD chéo nhau.

3 Gọi Bx là đường thẳng đi qua B và song song với AD và M ∈ AD Gọi J là trung điểm đoạn BM Nếu điểm M di động trên đường thẳng AD, điểm B di động trên đường thẳng Bx, chứng minh rằng khi đó đường thẳng CJ luôn luôn nằm trong mặt phẳng

cố định

Bài 10.7 : Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau Trên a ta lấy hai điểm phân biệt A, B và trên b lấy hai điểm phân biệt C, D.

1 Chứng minh rằng AC và BD chéo nhau.

2 Gọi M là một điểm trên đoạn AC, N là điểm trên đoạn BD Khi đó đường thẳng MN có thể song song với AB hoặc CD được

không ?

3 Gọi O là điểm trên đoạn MN Chứng minh rằng AO cắt CN và BO cắt DM.

Bài 10.8 : Cho mặt phẳng (α) xác định bởi đường thẳng a và điểm A không thuộc a Gọi a′là đường thẳng đi qua A và song song với

a Lấy một điểm M trên a và một điểm B nằm ngoài mặt phẳng (α).

1 Chứng minh rằng điểm M thuộc mặt phẳng (α).

2 Tìm điểm chung của các cặp mặt phẳng (ABM) và (α), (ABM) và (a′,B) , (ABM) và (a, B).

3 Tìm điểm chung của ba mặt phẳng (α), (a′,B), (ABM)

4 Gọi I, K lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng AB và MB Chứng minh rằng IK song song với mặt phẳng (α).

Bài 10.9 : Gọi (α) là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O và c là một đường thẳng cắt (α) tại I khác O.

1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (O, c).

2 Gọi M là một điểm nằm trên c và không trùng với I Tìm giao tuyến m của hai mặt phẳng (M, a) và (M, b) Chứng minh rằng khi M di động trên đường thẳng c, giao tuyến m này luôn nằm trong một mặt phẳng cố đinh.

Bài 10.10 : Cho tứ diện ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC Gọi K là một điểm lấy trên cạnh BD sao cho

BK = 3KD.

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNK) với mặt phẳng (BCD).

2 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNK) với mặt phẳng (ACD).

Bài 10.11 : Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song Tìm giao tuyến của các cặp mặt

phẳng sau:

1 (S AC) và (S BD) ; 2 (S AB) và (S CD) ; 3 (S AD) và (S BC).

Bài 10.12 : Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn

BC, CD, S O Xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (MNP).

Bài 10.13 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh S B, S D Lấy một

điểm P trên cạnh S C sao cho S P = 3PC Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt (S AC), (S AB), (S AD) và (ABCD) của

hình chóp

Bài 10.14 : Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt lấy trên các cạnh AC, BC sao cho MN không song song với AB Gọi O là một điểm

thuộc miền trong tam giác ABD Tìm giao điểm của AB và AD với mặt phẳng (OMN).

Bài 10.15 : Cho hình chóp S.ABCD Gọi M là một điểm trên cạnh S C.

1 Tìm giao điểm của AM với mặt phẳng (S BD).

2 Lấy một điểm N trên cạnh BC Tìm giao điểm của S D và mặt phẳng (AMN).

Bài 10.16 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm của S C.

1 Tìm giao điểm I của đường thẳng AM với mặt phẳng (S BD) Chứng minh rằng IA = 2IM.

2 Tìm giao điểm P của đường thẳng S D với mặt phẳng (ABM).

3 Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (S BD).

Bài 10.17 : Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là hai điểm lần lượt lấy trên AC, AD Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Tìm giao điểm của:

3KC Một mặt phẳng (α)

quay quanh IK cắt S B tại M và S D tại N Gọi O là giao điểm của AC và BD.

1 Chứng minh rằng ba đường thẳng IK, MN, S O đồng quy.

2 Gọi {E} = AD ∩ BC và {F} = IN ∩ MK Chứng minh rằng ba điểm S, E, F thẳng hàng.

3 Gọi {P} = IN ∩ AD và {Q} = MK ∩ BC Chứng minh rằng khi (α) thay đổi đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố đinh.

Bài 10.19 : Cho hình chóp S.ABCD Gọi I là một điểm trên cạnh AD và K là một điểm trên cạnh S B.

1 Tìm giao điểm E, F của IK và DK với mặt phẳng (S AC).

2 Gọi {O} = AD ∩ BC, {M} = SC ∩ OK Chứng minh rằng bốn điểm A, E, F, M thẳng hàng.

Bài 10.20 : Cho tứ diện ABCD Trên đoạn CA, CB, BD cho lần lượt các điểm M, N, P sao cho MN không song song với AB , NP

không song song với CD Gọi (α) là mặt phẳng xác định bởi ba điểm M, N, P nói trên Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) và tứ diện

ABCD

Bài 10.21 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N, E là ba điểm lần lượt lấy trên AD, CD, S O Tìm thiết

diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (MNP).

Bài 10.22 : Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác S BC lấy một điểm M và trong tam giác S CD lấy một điểm N.

1 Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (S AC).

2 Tìm giao điểm của cạnh S C với mặt phẳng (AMN).

3 Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN).

Bài 10.23 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm của cạnh S C.

1 Tìm giao điểm I của đường thẳng AM với mặt phẳng (S BD) Chứng minh rằng IA = 2IM.

2 Tìm giao điểm F của đường thẳng S D với mặt phẳng (ABM) Chứng minh rằng F là trung điểm của cạnh S D và tứ giác ABMF

là một hình thang

3 Gọi N là điểm tuỳ ý trên cạnh BC Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN).

Bài 10.24 : Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N là các điểm lần lượt trên các đoạn BC và S D.

1 Tìm giao điểm I của đường thẳng BN với mặt phẳng (S AC) và giao điểm K của đường thẳng MN với mặt phẳng (S AC).

2 Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN).

Bài 10.25 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là các điểm trên các đoạn S B và AD Đường thẳng

BN cắt CD tại I.

1 Chứng minh rằng ba điểm M, I và trọng tâm G của tam giác S AD thẳng hàng.

2 Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (CGM) Chứng minh rằng trung điểm của đoạn S A thuộc thiết diện nay.

3 Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AGM).

Bài 10.26 : Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác có các cặp cạnh đối không song song Gọi M là một điểm tùy ý nằm trên

cạnh S C (M không trùng với C và S ), mặt phẳng (ABM) cắt S D tại N.

1 Gọi I là giao điểm của BM và AN Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cạnh S C thì I di động trên một đoạn thẳng cố

định Hãy xác định đoạn thẳng đó

2 Gọi J là giao điểm của AM và BN Chứng minh rằng khi M di động trên cạnh S C thì J di động trên một đoạn thẳng cố định.

Bài 10.27 : Cho tứ diện ABCD Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD Cho M và N nằm trên các cạnh BC và AD sao cho

BM

MC = AN

ND = 3 Chứng minh rằng M, N, I, J luôn đồng phẳng.

10.2 Hai đường thẳng song song

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (dùng quan hệ song song) ; chứng minh hai đường thẳng song song ; chứng minh hai đường thẳng chéo nhau

Vấn đề 1 :Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (dùng quan hệ song song)



Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) có điểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d′thì giao tuyến củ (α) và (β) là

đường thẳng ∆ đi qua S và song song với d và d′

Bài 10.28 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây.

1 (S AC) và (S BD) ; 2 (S AB) và (S CD) ; 3 (S AD) và (S BC).

Bài 10.29 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và

G là trọng tâm tam giác S AB.

1 Tìm giao tuyến của (S AB) và (IJG).

2 Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG) Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là

hình bình hành

Vấn đề 2 :Chứng minh hai đường thẳng song song



1 Dùng định nghĩa ( Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng, rồi áp dụng các phương pháp chứng minh thông thường, thường áp dụng định lí Talet)

2 Dùng phản chứng

3 Dùng định lí giao tuyến của ba mặt phẳng

4 Dùng tính chất : Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó, hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

5 Dùng tính chất bắc cầu

Bài 10.30 : Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ABD Chứng minh rằng IJ ∥ CD.

Bài 10.31 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với hai cạnh đáy AB và CD (AB > CD) Gọi M, N lần lượt là trung

điểm S A, S B.

1 Chứng minh MN ∥ CD ;

2 Gọi P là giao điểm của S C và mặt phẳng (ADN), I là giao điểm AN và DP Chứng minh rằng S I ∥ AB Tứ giác S ABI là hình

gì

Vấn đề 3 :Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau



Chúng ta thường dùng phương pháp phản chứng

Bài 10.32 : Cho d1,d2 là hai đường thẳng chéo nhau Trên d1, lấy hai điểm phân biệt A, B và trên d2 lấy hai điểm phân biệt C, D Chứng minh rằng AC và BD chéo nhau.

Bài 10.33 : Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (α) Gọi Bx, Cy là hai nửa đường thẳng song song và nằm về cùng một phía đối

với mặt phẳng (α) M, N là hai điểm lần lượt di động trên Bx, Cy sao cho CN = 2BM.

1 Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định I khi M, N di động.

2 E thuộc đoạn AM và EM = 1

3EA , IE cắt AN tại F Gọi Q là giao điểm của BE và CF Chứng minh rằng AQ song song với Bx

và (QMN) chứa một đường thẳng cố định khi M, N thay đổi.

Bài 10.34 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm nằm trên BC, S C, S D, AD sao cho

MN ∥ BS , NP ∥ CD, MQ ∥ CD

1 Chứng minh rằng PQ ∥ S A.

2 Gọi K là giao điểm của MN và PQ, chứng minh rằng S K ∥ AD.

3 Qua Q dựng các đường thẳng Qx ∥ S C và Qy ∥ S B Tìm giao điểm của Qx với (S AB) và của Qy với (S CD).

Bài 10.35 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, các cạnh đáy AD = a, BC = b I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác

S AD, S BC

1 Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt phẳng (S BC) và đoạn giao tuyến của (BCI) với mặt phẳng (S AD).

2 Tính độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (S AB) và (S CD).

Bài 10.36 : Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC Gọi K là một điểm trên cạnh BD với

K B = 2KD.

1 Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK) Chứng minh thiết diện là hình thang cân.

2 Tính diện tích thiết diện theo a.

thẳng qua D và song song với S C.

1 Tìm giao điểm I của Dx và mặt phẳng (S AB) Chứng minh AI ∥ S B.

2 Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AIC) Tính diện tích thiết diện.

10.3 Đường thẳng và mặt phẳng song song

Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ; tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, dựng thiết diện song song với một đường thẳng

; dựng một mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng khác, xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng ;

dựng mặt phẳng qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau a và b

Vấn đề 1 :Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng



1 Dùng định nghĩa (thường là phản chứng)

2 Dùng tiêu chuẩn : Nếu một đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (α) và song song với một đường thẳng a nào đó nằm trên (α) thì đường thẳng d song song với mặt phẳng (α).

Chú ý : Nếu a không có sẵn ta thường chọn một mặt phẳng (β) chứa d và lấy a là giao tuyến của (α) và (β).

bình hành ABCD và ABEF; G1,G2lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABE Chứng minh rằng :

1 OO′song song với mặt phẳng (ADF) và (BCE) ; 2 G1G2song song với mặt phẳng (CEF).

Vấn đề 2 :Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Dựng thiết diện song song với một đường thẳng



Ta có thể dùng định lí sau : Cho đường thẳng d ∥ (α) Nếu d ⊂ (β) và (α) ∩ (β) = d′thì d′∥d

Bài 10.39 : Cho hình chóp S.ABCD M, N là hai điểm trên AB, CD và (α) là mặt phẳng qua MN và song song với S A.

1 Tìm các giao tuyến của (α) với (S AB) và (S AC).

2 Xác định thiết diện của hình chóp với (α) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.

Bài 10.40 : Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′, đáy là tam giác đều cạnh a Các mặt bên ABB′A′,ACC′A′là các hình vuông Gọi I, J là tâm các mặt bên nói trên và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

1 Chứng minh rằng IJ ∥ (ABC).

2 Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (OIJ) Chứng minh rằng thiết diện là hình thang cân và tính diện tích thiết diện.

Bài 10.41 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N lần lượt là trung điểm S A và CD.

1 Chứng minh rằng (OMN) ∥ (S BC) ;

2 Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và S AB Gọi I là trung điểm S E, J là một điểm trên (ABCD)

và cách đều AB và CD Chứng minh rằng IJ ∥ (S AB).

3 Giả sử hai tam giác S AD, ABC đều cân tại A Chứng minh rằng EF ∥ (S AD).

Vấn đề 3 :Dựng một mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng khác

Xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng



Cho a, b chéo nhau Ta sẽ dựng mặt phẳng (P) chứa a và b ∥ (P) như sau :

Cách 1 : Xét một đường thẳng c cắt a và c ∥ b Khi đó (P) là mặt phẳng chứa a và c.

Cách 2 : Xét một mặt phẳng (Q) chứa b, (R) chứa a Ta có (R) ∩ (P) = a, (Q) ∩ (R) = c và giả sử c ∩ a = {M} thì (P) ∩ (Q) là đường

thẳng d qua M và song song với b.

Vậy (P) là mặt phẳng chứa a và d.

Bài 10.42 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là một điểm nằm giữa hai điểm S và C ; (α) là mặt phẳng chứa

AM và song song với BD.

1 Hãy xác định các giao điểm E, F của mặt phẳng (α) lần lượt với các cạnh S B, S D.

2 Gọi I là giao điểm của ME và CB, J là giao điểm của MF và CD Chứng minh rằng ba điểm I, A, J thẳng hàng.

Bài 10.43 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Hãy xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua

trung điểm M của AB, song song với các đường thẳng BD và S A.

Bài 10.44 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD.

1 Chứng minh MN song song với (S BC) và (S AD) ;

2 Gọi P là trung điểm S A Chứng minh S B và S C đều song song với mặt phẳng (MNP).

3 Gọi G1,G2lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và S BC Chứng minh G1G2song song với mặt phẳng (S AB).

Bài 10.45 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang với các cạnh đáy AB, CD Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD, BC và G là trọng

tâm tam giác S AB.

1 Tìm giao tuyến của cặp mặt phẳng (S AB) và (IJG) ;

2 Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (IJG) Tìm điều kiện của AB, CD để thiết diện là hình bình hành.

Bài 10.46 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác S AB và S AD, M là trung

điểm CD Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (IJM).

Bài 10.47 : Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N là hai điểm trên AB, CD; (α) là mặt phẳng qua M và song song với S A.

1 Tìm giao tuyến của (α) với các mặt phẳng (S AB) và (S AC).

2 Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α);

3 Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.

Bài 10.48 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ Gọi H là trung điểm A′B′

1 Chứng minh CB′song song với mặt phẳng (AHC′);

2 Tìm giao điểm của AC′với (BCH);

3 Mặt phẳng (α) qua trung điểm của CC′, song song với AH và CB′ Xác định thiết diện và tỉ số mà các đỉnh của thiết diện chia các cạnh tương ứng của lăng trụ

10.4 Hai mặt phẳng song song

Chứng minh hai mặt phẳng song song ; tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước

Vấn đề 1 :Chứng minh hai mặt phẳng song song



1 Dùng định nghĩa (thường là phản chứng)

2 Chứng minh chúng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba

3 Dùng tiêu chuẩn : Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với một mặt phẳng (β) cho trước thì hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau.

Bài 10.49 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của S A, S D.

1 Chứng minh rằng (OMN) song song với (S BC).

2 Gọi P là trung điểm của AB, Q trên đoạn ON sao cho OQ = 3ON Chứng minh rằng PQ ∥ (S BC).

Vấn đề 2 :Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước



Chúng ta thường dùng định lí : Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song thì mọi mặt phẳng (γ) đã cắt (α) đều phải cắt (β) và các giao tuyến của chúng song.

Bài 10.50 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b, tam giác S BD đều Một mặt phẳng (α) di

động song song với mặt phẳng (S BD) và đi qua điểm I trên đoạn AC khác A và C.

1 Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α)

2 Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI.

Bài 10.51 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N lần lượt là trung điểm S A, S D.

1 Chứng minh (OMN) ∥ (S BC) ;

2 Gọi P, Q là trung điểm AB và ON Chứng minh PQ ∥ (S BC).

Bài 10.52 : Cho tứ diện ABCD, gọi G1,G2,G3lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB.

1 Chứng minh rằng (G1G2G3) ∥ (BCD)

2 Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2G3) Tính diện tích thiết diện, biết diện tích tam giác là s.

3 M là điểm di động trong tứ diện sao cho G1M luôn song song với mặt phẳng (ACD) Tìm tập hợp những điểm M.

WWW.VNMATH.COM