Chuyên đề Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.. Biến đổi đưa phương

MỤC LỤC

1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1

B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 2

Dạng 1 Tìm tập xác định của hàm số lượng giác 2

Dạng 2 Tính chẵn lẻ của hàm số 3

Dạng 3 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất 4

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 4

2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 8

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 8

B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 10

Dạng 1 Giải các phương trình lượng giác cơ bản 10

Dạng 2 Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng 11

Dạng 3 Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định 11

Dạng 4 Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a; b) cho trước 11

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 12

3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 15

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 15

B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 16

Dạng 1 Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 16

Dạng 2 Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 17

Dạng 3 Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx 17

Dạng 4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx 18

Dạng 5 Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x · cos x 19

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 20

4 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC 23

A PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 23

Dạng 1 Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai (ba) đối với một hàm số lượng giác 23

Dạng 2 Biến đổi asinx + bcosx 24

Dạng 3 Biến đổi đưa về phương trình tích 24

Dạng 4 Một số bài toán biện luận theo tham số 25

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN 26

5 ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG 28

A Đề số 1 28

B Đề số 2 31

6 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ 34

số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

• Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T =

2π, nghĩa là sin(x + k2π) = sin x, với k ∈ Z

π 2

• Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu

kì T = 2π, nghĩa là cos(x + k2π) = cos x, với

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π, nghĩa

là tan(x + kπ) = tan x, với k ∈ Z

π 2

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π,

π 2

3π 2

B0cos x = 0 ⇔ x = π

2+ kπ

B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

{ DẠNG 1 Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Phương pháp giải. Ta chú ý một số điều kiện sau:

# Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây:

3 − 2 cos x

√cos x − 2

1 + cos x

1 − cos xl)

# Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây:

y= 2 tan x + 3

4

+ 1c)

# Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số sau có tập xác định R

# Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y =pcos2x− (2 + m) cos x + 2m có tập xácđịnh R

{ DẠNG 2 Tính chẵn lẻ của hàm số

Phương pháp giải. Ta thực hiện các bước sau:

1 Tìm tập xác địnhD của hàm số – Tập D phải đối xứng

2 Tính f (−x) (chỗ nào có biến x, ta thay bởi −x) và thu gọn kết quả Khi đó

ab, với mọi a, b ≥ 0

Dấu bằng xảy ra khi a = b

 Sử dụng điều kiện có nghiệm

¬ sin x = f (m) có nghiệm khi −1 ≤ f (m) ≤ 1

­ cos x = f (m) có nghiệm khi −1 ≤ f (m) ≤ 1

® sin x + b cos x = c có nghiệm khi a2+ b2≥ c2

 Sử dụng bảng biến thiên: Lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó, kết luận

# Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

y= 2 sin x + 3

2x3

2 + cos x − 1c)

# Ví dụ 11. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau

y= 2sin2x− 3 sin x + 1

# Ví dụ 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos2x− 2√3 sin x cos x + 1

# Ví dụ 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + 3 cos x + 1

C D = R \ {k2π,k ∈ Z} D D = R \nπ

2+ k2π, k ∈ Z

o

Câu 2 Tìm tập xác định của hàm số y = cot x

Câu 3 Điều kiện xác định của hàm số y = 1 − 3 cos x

3

là

Câu 9 Tìm hàm số lẻ trong các hàm số sau:

Câu 10 Tìm điều kiện xác định của hàm số y = tan x + cot x

Câu 12 Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π B Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì π

C Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π D Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π.Câu 13 Hàm số y = sin 2x có chu kỳ là

2



Câu 15 Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ởbốn phương án A,B,C,D Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

O x

y

2π1

−1

Câu 16 Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn

phương án A, B, C, D Hỏi đó là hàm số nào?

2

O1

Câu 17 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =√

cos x + 2

Câu 18 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y =√

Câu 20 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 − 2 cos23x

Câu 21 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 +√

Câu 25 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x + 4 cos x − 1.

Câu 26 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x + 4 cos x − 1

Câu 27 Gọi T là tập giá trị của hàm số y = 1

§ 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

2 ; ±

√32

B0cos x = 0 ⇔ x = π

2 ; ±

√32

M

Na

 Trường hợp a ∈ [−1; 1] nhưng khác các số ở trên

√3

3 ; ±1; ±

√3

3 ; ±1; ±

√3

 Trường hợp a khác các số ở trên thì

cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ, k ∈ Z

B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

{ DẠNG 1 Giải các phương trình lượng giác cơ bản

{ DẠNG 2 Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng

Phương pháp giải.

• Biến đổi về một trong các cấu trúc sau

sin u = sin v

• Chú ý các công thức biến đổi lượng giác sau:

# Ví dụ 5 (B.2013) Giải phương trình sin 5x + 2 cos2x= 1

{ DẠNG 3 Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định

¬ Giải phương trình, tìm các họ nghiệm x = α + kπ

­ Vì x ∈ (a; b) nên a < α + kπ < b, chuyển vế tìm khoảng "dao động" của k

® Kết hợp với k ∈ Z, ta chọn các giá trị k nguyên nằm trong khoảng vừa tìm được

¯ Với mỗi giá trị k, ta thay vào tìm nghiệm tương ứng

# Ví dụ 10. Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau trên khoảng cho trước

# Ví dụ 12. Giải phương trình tan (x + 30◦) + 1 = 0 với −90◦< x < 360◦

# Ví dụ 13. Tìm x ∈ (−π; π) sao cho sinx−π

3

+ 2 cosx+π

Câu 3 Tìm m để phương trình cos 2x = 1 − m có nghiệm



=

√3

Câu 9 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin 3x =

√3

2 .

2+ 2kπ, k ∈ Zo.Câu 13 Phương trình sin x = 2

3 có số nghiệm thuộc (−π; π)

Câu 14 Cho phương trình sin 2x =

√3

2 Gọi n là số các nghiệm của phương trình trong đoạn [0; 3π]thì giá trị của n là

™

o

Câu 17 Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: cos 2x = m

Câu 20 Tập nghiệm của phương trình cos 2x = −1 là

§ 3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

• Điều kiện có nghiệm a2+ b2≥ c2

L Phương pháp giải: Chia 2 vế phương trình cho√a2+ b2 Khi đó

Chú ý hai công thức sau:

• sin a cos b ± cos a sin b = sin(a ± b)

• cos a cos b ± sin a sin b = cos(a ∓ b)

3 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

L Phương pháp giải

• Đặt ẩn phụ t, chuyển phương trình về ẩn t

• Bấm máy, tìm nghiệm t Sau đó, giải tìm x

• Chú ý với phương trình số ¬ và ­ thì −1 ≤ t ≤ 1

B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

{ DẠNG 1 Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

2 cos

3x −π4

d)

# Ví dụ 3. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 2 sin 2x − 1 = 0 trong đoạn [−2π; 2π]

# Ví dụ 4. Giải phương trình (2 cos x − 1) (sin x + cos x) = sin 2x − sin x

2 sin

Å

x+2π5

ã.b)

c Bài 3 Giải phương trình 2 sin22x + sin 7x − 1 = sin x

c Bài 4 Giải phương trình (cos x − sin x) sin x cos x = cos x cos 2x

c Bài 5 Giải phương trình (2 sin x − cos x)(1 + cos x) = sin2x

{ DẠNG 2 Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

1 + cot2x = 0;

cos x+ 7 = 0.

b)

# Ví dụ 8. Giải các phương trình sau

cos 2x + 3 cot x + sin 4x

2 cos 2x cos x = 1 + cos 2x + cos 3x;

2



− 1d)

c Bài 8 Tìm nghiệm x ∈ (0; 10π) của phương trình

√3cos2x− tan x − 2√3 = sin x1 + tan x tanx

2



{ DẠNG 3 Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

# Ví dụ 10. Tìm các nghiệm x ∈Å 2π

5 ;

6π7

ãcủa phương trình cos 7x −√

√

3 cos x − sin x = 0

3 cos 3x = 2 sin 4xd)

c Bài 10 Giải các phương trình sau

cos(π − 2x) − cos

2x +π2



= 2√2;

sin x + cos x sin 2x +√

3 cos 3x = 2 cos 4x + sin3x
e)

tan x − 3 cot x = 4Äsin x +√

3 cos xäf)

c Bài 12 Giải phương trình 2 sin(x +π

6) + sin x + 2 cos x = 3.

c Bài 13 Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0

c Bài 14 Giải phương trình sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0

{ DẠNG 4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

Phương pháp giải.

L Dạng phương trình

• a sin2x+ b sin x cos x + c cos2x= 0

• Tổng quát: a sin2x+ b sin x cos x + c cos2x= d

L Phương pháp giải

• Trường hợp 1 Xét cos x = 0, khi đó sin x = ±1 Ta thay trực tiếp vào phương trình

 Nếu thỏa mãn, suy ra x = π

2 + kπ là nghiệm và xét tiếp Trường hợp 2

 Nếu không thỏa mãn, ta bỏ qua và xét tiếp Trường hợp 2

• Trường hợp 2 Xét cos x 6= 0, chia 2 vế phương trình cho cos2x ta đưa phương trìnhđang xét về dạng phương trình bậc hai theo tan x

• Tổng hợp nghiệm ở 2 trường hợp

Chú ý công thức

sin xcos x = tan x.

cos2x = tan2x+ 1

®

# Ví dụ 13. Giải các phương trình sau:

2cos2x− 3 sin x cos x + sin2x= 0

4sin2x+ 3√

3 sin 2x − 2cos2x= 4c)

sin2x+√

3 sin x cos x + 2cos2x= 3 +

√22d)

2sin2x− 5 sin x cos x − cos2x= −2

e)

3sin2x+ 8 sin x cos x +Ä8√

3 − 9äcos2x= 0f)

{ DẠNG 5 Phương trình chứa sinx ± cosx và sinx · cosx

Phương pháp giải.

L Dạng phương trình

• a (sin x + cos x) + b sin x cos x + c = 0

• a (sin x − cos x) + b sin x cos x + c = 0

L Phương pháp giải:

• Đặt t = sin x ± cos x

• Tính t2= (sin x ± cos x)2= 1 ± 2 sin x · cos x Từ đây ta tính được sin x · cos x.

• Thay trở lại phương trình, chuyển phương trình về ẩn t Giải tìm t, sau đó tìm x



­

# Ví dụ 14. Giải các phương trình

sin x cos x + 2 (sin x + cos x) = 2



= 1d)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

c Bài 16 Giải các phương trình

sin x − cos x + 7 sin 2x = 1

sin x + cos x + 1

sin x+

1cos x=

103

2sin 2xd)

Câu 6 Điều kiện cần và đủ để phương trình m sin x − 3 cos x = 5 có nghiệm là m ∈ (−∞; a] ∪ [b; +∞)với a, b ∈ Z Tính a + b.

ã

Câu 12 Nghiệm của phương trình 2 sin4x −π

x=7π

24+ k

π2(k ∈ Z)

Câu 13 Phương trình 2 sin x − 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm x ∈ (0; 2π)?

Câu 14 Giải phương trình cos 2x + 5 sin x − 4 = 0

A x = π

2+ k2π.Câu 15 Cho sin x + cos x = 1

1 +√7

3 , k ∈ Z

Câu 18 Số nghiệm của phương trình√

2 cos



x+π3

A 2t2+ t − 3 = 0 B 2t2− t − 1 = 0 C 2t2− t − 3 = 0 D 2t2+ t − 1 = 0.Câu 22 Số nghiệm phương trình sin 3x

cos x + 1 = 0 thuộc đoạn [2π; 4π] là

o,

o

o,ß 2π

3 ;

π

6;

π6

™

A −9 + 4

√2

Câu 30 Số các giá trị thực của tham số m để phương trình (sin x − 1)(2 cos2x−(2m+1) cos x+m) =

0 có đúng 4 nghiệm thực thuộc đoạn [0; 2π] là

—HẾT—

§ 4 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC

A PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

{ DẠNG 1 Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai (ba) đối với một hàm số lượng giác

Phương pháp giải.

# Ví dụ 1. Giải các phương trình sau

cos 2x + 2 cos x = 2 sin2x

2

22x + 6 sin2x− 9 − 3 cos 2xcos x

Çsin x −

√32

ã

− 3 cos

Å

x−15π2

ã

= 1 + 2 sin x có tất cả bao nhiêu

nghiệm thuộc đoạnï π

6;

5π6

ònên x = π

{ DẠNG 2 Biến đổi asinx + bcosx



# Ví dụ 6. (DB1-2008) Tìm nghiệm trên khoảng (0; π) của phương trình

4sin2x

2−√3 cos 2x = 1 + 2cos2

Å

x−3π4ã

# Ví dụ 7. Giải các phương trình sau

2 sin22x + sin 7x − 1 = sin x

2.b)

sin x + sin 2x + 4 sin 3x + sin 4x + sin 5x = 0

# Ví dụ 8. Giải các phương trình sau

(2 sin x − cos x)(1 + cos x) = sin2x

(2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x

Đáp số:

x−3π2

ã = 4 sin

Å 7π

ã

2 sin x− 1

sin 2x = 2 cot 2xb)

(sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0

Đáp số:

• Phân tích nhân tử;

• Kết quả 0 < m <

√3

2 .

# Ví dụ 13. Tìm tập các giá trị thực của tham số m để phương trình m sin2x− 3 sin x cos x − m −

1 = 0 có đúng ba nghiệm thuộc khoảng

Å0;3π2

ã

òlà

c Bài 2 Giải phương trình tan x + cos x − cos2x= sin x1 + tan x tanx

2

.Đáp số: x = k2π

c Bài 3 Giải phương trình tan4x+ 1 = 2 − sin

22x
sin 3xcos4xĐáp số: x = π

c Bài 4 Giải phương trình sin

6 + kπ

c Bài 5 Giải phương trình sin2

x

2−π4

tan2x− cos2x

c Bài 8 3 cos 4x − 8cos6x+ 2cos2x+ 3 = 0.

Đáp số: x = −π

2 + kπ, x = π + k2π

c Bài 11 Giải phương trình cot x = tan x +2 cos 4x

sin 2xĐáp số: x = ±π

Đáp số: x = ±π

16+ k

π2

c Bài 15 Giải phương trình: (1 tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x

Đáp số: x = −π

4 + kπ; x = kπ

c Bài 16 cot x − tan x + 4 sin 2x = 2

sin 2x.Đáp số: x = ±π

c Bài 18 Giải phương trình 2cos2x+ 2√

3 sin x cos x + 1 = 3(sin x +√

i

Đáp số: −10

§ 5 ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG

Câu 5 Tìm hàm số lẻ trong các hàm số sau:

Câu 6 Tập xác định của hàm số y =2 cos 3x − 1

−1

Câu 9 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =√

cos x + 2

Câu 10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x + 4 cos x − 1

Câu 11 Tập nghiệm của phương trình 2 cos 2x + 1 = 0 là

Câu 12 Phương trình sin



x−π3

3 được biểu diễn trênđường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?

Câu 14 Gọi S là tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình 3 cos x − 1 = 0 Tính S

Câu 17 Cho phương trình 2 sin x −√

3 = 0 Tổng các nghiệm thuộc [0; π] của phương trình đã cholà

Câu 23 Số các giá trị thực của tham số m để phương trình (sin x − 1)(2 cos2x−(2m+1) cos x+m) =

0 có đúng 4 nghiệm thực thuộc đoạn [0; 2π] là

Câu 24 Giả sử A, B là các điểm lần lượt nằm trên

các đồ thị hàm số y = sin x và y = cos x sao cho tam

giác OAB nhận điểm G

Çπ

3;

√23

ålàm trọng tâm

y

πO

A

y= cos x

Câu 25 Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = sin x

trên đoạn [0; π], các điểm C, D thuộc trục Ox thỏa mãn

ABCD là hình chữ nhật và CD = 2π

3 Tính độ dài đoạnBC

c Bài 2 Giải phương trình

4 sin x cos x − 3 = 3(sin x + cos x)

Câu 3 Tìm tập xác địnhD của hàm số y = cotx−π

3



C D = R \n−π

6 + kπ, k ∈ Z

™

Câu 4 Chu kì tuần hoàn T của hàm số y = cos x là bao nhiêu?

2.Câu 5 Tìm tập xác địnhD của hàm số y = sin x

1 − cos x.

2+ kπ, k ∈ Z

o

4 là nghiệm của phương trình nào sau đây?

2. D sin 2x = 0.

Câu 11 Tìm tập nghiệm S của phương trình sin 2x = −

√3

2 .

Câu 12 Tìm tập nghiệm S của phương trình sin x cosx−π

4 + kπ, k ∈ Z

™

Câu 13 Tìm tập nghiệm S của phương trình cos 2x =√

Câu 20 Tìm số nghiệm thuộc khoảng (−π; π) của phương trình sin x + sin 2x = 0

Câu 23 Giải phương trình tan x + 2 cot x − 3 = 0.

c Bài 2 Tính tổng các nghiệm x ∈0; 100 của phương trình

cos3x− cos2x+ 1cos2x = cos 2x + tan2x

—HẾT—