Chuyên đề môn Toán lớp 9 - Chuyên đề 1 Nhân, chia căn thức bậc hai

Vài dạng khác của bất đẳng thức Cô-si:  Dạng có chứa dấu căn:... Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính:x2... DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức... Chứng min

1 Với A1, A2, …, An ≥ 0 thì: A A A1 2 n  A A A1 2 n

2 Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: a b  a  b (dấu “=” xảy ra  a = 0 hoặc b = 0)

3 Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: a b  a  b (dấu “=” xảy ra  a = b hoặc b = 0)





(dấu “=” xảy ra  a = b)

Vài dạng khác của bất đẳng thức Cô-si:

 Dạng có chứa dấu căn:

2(a b)

ab2

6 BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki (đối với hai bộ số)

 Mỗi bộ có hai số (a1 ; a2) và (b1 ; b2)

Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính:

x2

Bài tập 25: Cho a > 0, hãy so sánh a 1  a 3 với 2 a 2

x

.a) Rút gọn A;

b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên

Bài tập 28: Cho biểu thức: A =

Bài tập 35: Giải phương trình: x 3 4 x 1    x 8 6 x 1 5   

Bài tập 36: Giải phương trình: x2 5x 6  x 1  x 2  x2 2x 3

DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức.

Bài tập 37: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x 5  13 x

Bài tập 38: a) Tìm GTLN của biểu thức A = x 1  x 8 ;

Bài tập 44: Cho a, b, x, y > 0 Chứng minh rằng ax  by  (a b)(x y) 

Bài tập 45: Cho a, b, c là các số thực không âm

Chứng minh: a b c   ab  ac bc

Bài tập 46: Chứng minh bất đẳng thức: n a  n a 2 n  với 0 < |a| ≤ n.

Áp dụng (không dùng máy tính hoặc bảng số): chứng minh rằng: 101 99 0,1

Bài tập 47: Cho A, B Chứng minh rằng số 99999 + 11111 3 không thể biểu diễn dưới

dạng (A B 3) 2

Bài tập 48: Cho A = a a  ab và B = b b  ab với a > 0, b > 0

Chứng minh rằng nếu và đều là các số hữu tỉ thì A + B và A.B cũng là các số hữu tỉ

Bài tập 49: Chứng minh các hằng đẳng thức sau với b ≥ 0, a ≥ b :

Bài tập 55: Cho A = x 3  5 x Chứng minh rằng A ≤ 4.

Bài tập 58: Tìm các số dương x, y, z sao cho x + y + z = 3 và x4 + y4 + z4 = 3xyz

Bài tập 59: Cho x 2 y 10  Chứng minh rằng x + y ≥ 20

Bài tập 60: Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 Chứng minh

c) 2A = 24 6 15 ( 15 3)   2;

15 3A

c) Biến đổi tương tự câu a) Đáp số: 4 6

a) Q = 3 5 3 5.( 3 5  3 5 ) 32 ( 5) ( 32  5  3 5 ) = 2.( 3 5  3 5 ) 2 2.( 3 5  3 5 )

b) ĐK:

1a

2

 B =

2

a 5.1 2a2a 1





TH1: Nếu

1a

2

 thì 1 – 2a > 0, ta có B = a2 5.TH1: Nếu

1a

2

 thì 1 – 2a < 0, ta có B = a2 5

1

1 x 1 x , nÕu x 02

Cả hai trường hợp đều có cùng một kết quả

  

Bài tập 29:

a) Đặt x = 2 3 Ta có x2  7 4 3 x2  7 4(x 2) x2 4x 1 Phương trình x2  4x 1 0  nhận 2 3 là một nghiệm

Bài tập 31: Giải phương trình:

a) Điều kiện xác định của phương trình là:

1x2



    không thỏa mãn điều kiện x ≥ 1,5.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài tập 32: Giải phương trình:

a) Điều kiện xác định của phương trình là

1x3

Biến đổi phương trình về dạng:

3x 1 (3x 1)   2

x 09x(x 1) 0

b) Điều kiện xác định của phương trình là:

5

x3

  , thỏa mãn điều kiện xác định

Phương trình đã cho có nghiệm x = 2, x = 3

c) Điều kiện xác định của phương trình là:

7

x5

11



.d) Điều kiện xác định của phương trình là:

7

x5

Khi đó phương tình đưa về dạng:

11



, nhưng không thỏa mãn điều kiện

7x5

Bài tập 36: (x 2)(x 3)   x 1  x 2  (x 1)(x 3) 

ĐKXĐ: x ≥ 3

Suy ra max A = 3 (khi và chỉ khi x = 8).

b) Áp dụng bất đẳng thức a  b  a b (với a, b ≥ 0) (Xem lại phần Bổ sung 2.)

B = x 3  5 x  x 3 5 x    2 (dấu “=” xảy ra  x = 3 hoặc x = 5)

Suy ra min B = 2 (khi và chỉ khi x = 3 hoặc x = 5)

Bài tập 39:

b) Không Giả sử tồn tại các số hữu tỉ dương a và b mà a  b  2

Bình phương hai vế được a b 2 ab   2  2 ab  2 (a b) 

Lại bình phương hai vế ta có:

4ab 2 (a b)    2 2(a b)  2 2(a b) 2 (a b)     4ab

Vế phải là số hữu tỉ, vế trái là số vô tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẫn

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai bộ ba số (1; 1; 1) và