PHÁT TRIỂN MỘT SỐ NĂNG LỰC TOÁN HỌC CỐT LÕI CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

CHUYÊN ĐỀ CỤM THÁNG 10 PHÁT TRIỂN MỘT SỐ NĂNG LỰC TOÁN HỌC CỐT LÕI CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Người báo cáo: Dương Thị Thanh Huyền Ngày soạn: 26/9/2019 Ng

CHUYÊN ĐỀ CỤM THÁNG 10 PHÁT TRIỂN MỘT SỐ NĂNG LỰC TOÁN HỌC CỐT LÕI

CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Người báo cáo: Dương Thị Thanh Huyền

Ngày soạn: 26/9/2019

Ngày báo cáo: 3/10/2019

Ngày hoàn thiện báo cáo sau khi thảo luận chuyên đề: 7/10/2019

PHẦN MỞ ĐẦU

Chương trình môn Toán trung học cơ sở mới chú trọng vào việc hình thành và phát triển năng lực toán học Chương trình đã xác định một số năng lực cốt lõi cần hình thành cho học sinh , đó là: Năng lực tư duy và lập luận toán học; Năng lực giải quyết vấn đề toán học; Năng lực mô hình hoá toán học; Năng lực giao tiếp toán học và Năng lực sử dụng công cụ và phương tiện học toán Về mặt nội dung, chương trình chú trọng vào những kiến thức cốt lõi đồng thời quan tâm đến phát triển khả năng giải quyết vấn

đề có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và các môn học khác tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tế

Với định hướng của chương trình mới như vậy đối với bộ môn toán hệ thống bài tập nhằm phát triển năng lực trở nên cần thiết Trong phần này chúng tôi đưa ra hệ thống bài tập trong chủ đề “tam giác đồng dạng” nhằm góp phần tạo cơ hội để HS thực hiện các thao tác cụ thể, thông qua việc thực hiện các thao tác như vậy sẽ góp phần hình thành và phát triển năng lực tương ứng Cần lưu ý rằng, với mỗi bài tập có thể có nhiều cách giải, HS có thể thực hiện nhiều thao tác khác nhau, do đó có thể góp phần phát triển các năng lực khác nhau Vì vậy, việc đặt các bài tập trong hệ thống có tính tương đối và chúng tôi chọn cách đặt như vậy bởi, thường khi gặp bài tập đó, thì đa số HS thực hiện theo lời giải như vậy Tuy nhiên, nếu HS không theo lời giải đó, thì GV có thể

gợi ý, hướng dẫn để HS có được lời giải như vậy Từ đó, sẽ góp phần phát triển năng lực theo mong muốn

PHẦN NỘI DUNG

1 Các thuật ngữ mô tả biểu hiện của năng lực môn toán

1 Năng lực tư duy và

lập luận toán học

- Thực hiện được các thao tác tư duy, đặc biệt biết quan sát, giải thích được sự tương đồng và khác biệt trong nhiều tình huống và thể hiện được kết quả của việc quan sát

- Thực hiện được việc lập luận hợp lí khi giải quyết vấn đề

- Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn

đề Chứng minh được mệnh đề toán học không quá phức tạp

2 Năng lực mô hình

hóa toán học

- Sử dụng được các mô hình toán học (gồm công thức toán học, sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ, phương trình, hình biểu diễn, ) để mô tả tình huống xuất hiện trong một số bài toán thực tiễn không quá phức tạp

- Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình

được thiết lập

- Thể hiện được lời giải toán học vào ngữ cảnh thực tiễn

và làm quen với việc kiểm chứng tính đúng đắn của lời giải

3 Năng lực giải quyết

vấn đề toán học

- Phát hiện được vấn đề cần giải quyết

- Xác định được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề

- Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương

thích để giải quyết vấn đề.

-Giải thích được giải pháp đã thực hiện

4 Năng lực giao tiếp

toán học

- Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép (tóm tắt) được các thông tin toán học cơ bản, trọng tâm trong văn bản (ở dạng văn bản nói hoặc viết) Từ đó phân tích, lựa chọn trích xuất được các thông tin toán học cần thiết từ văn bản (ở dạng văn bản nói hoặc viết)

- Thực hiện được việc trình bày, diễn đạt, nêu câu hỏi, thảo luận, tranh luận các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác (ở mức tương đối đầy đủ, chính xác)

- Sử dụng được ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường để biểu đạt các nội dung toán học cũng như thể hiện chứng cứ, cách thức và kết quả lập luận

- Thể hiện được sự tự tin khi trình bày, diễn đạt, thảo luận, tranh luận, giải thích các nội dung toán học trong một số tình huống không quá phức tạp

5 Năng lực sử dụng

công cụ, phương tiện

học toán

-Nhận biết được tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản các công cụ, phương tiện học toán (mô hình hình học phẳng và không gian, thước đo góc, thước cuộn, tranh ảnh, biểu đồ, )

- Trình bày được cách sử dụng công cụ, phương tiện học toán để thực hiện nhiệm vụ học tập hoặc để diễn tả những lập luận, chứng minh toán học

-Sử dụng được máy tính cầm tay, một số phần mềm tin

học và phương tiện công nghệ hỗ trợ học tập

- Chỉ ra được các ưu điểm, hạn chế của những công cụ, phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lí

2 Hệ thống bài tập:

*B i t p nh m phát tri n n ng l c t duy v l p lu n toán h c ài tập nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học ập nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học ằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học ển năng lực tư duy và lập luận toán học ăng lực tư duy và lập luận toán học ực tư duy và lập luận toán học ư duy và lập luận toán học ài tập nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học ập nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học ập nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học ọc Tên bài tập Hướng dẫn HS thực hiện được các thao tác

Bài 1: Tam giác ABC có đồng

dạng với tam giác MPQ không? Vì

sao?

+ Quan sát : Hai tam giác ABC và MPQ về số

đo các cạnh

+ Nhận ra :

AB 4 1

MP 8 2

AC 6 1

MQ 12 2

BC 8 1

QP 16 2



 

















+ kết quả : AB AC BC 1

MP MQ QP 2

+Lập luận hợp lí khi giải quyết vấn đề.

Vì: AB AC BC 1

MP MQ QP 2

- Trả lời được: Hai tam giác ABC và MPQ

đồng dạng

Bài 2: Tam giác ABC có đồng

dạng với tam giác DEF không? Vì sao?

+ Quan sát: Số đo các góc của hai tam giác

ABC và DEF.

+ Nhận ra được:  A D 60 ;0 B E  500

+Kết quả :Hai tam giác ABC và DEF có:

 

 

0

0

60 50

A D

B E

  





 



+Lập luận hợp lý khi giải quyết vấn đề.

Vì: A D 60 ;     0 B E 50   0

- Trả lời được: Hai tam giác ABC và DEF

đồng dạng.

Bài 3: Tam giác ABC có đồng

dạng với tam giác DEF không? Vì sao?

+ Quan sát: Hai tam giác ABC và DEF.

+ Nhận ra: B E  500nhưng A 600 không bằng F 700

.+ Tính được:  D 1800  500  700 600 + A D 60 ;0 B E   500.

+ Kết quả :

Hai tam giác ABC và DEF có:

 

 

0

0

60 50

A D

B E

  





 



-Lập luận hợp lý khi giải quyết vấn đề.

Vì: A D (60 );0 B E( 50 )   0

- HS trả lời được: Hai tam giác ABC và DEF

đồng dạng

Bài 4: Cho hai tam giác ABC, A’B’C’,

có AB = 4cm, AC = 6cm, BC = 8cm,

góc B = 600, A’B’ = 6cm, B’C’ =

12cm, góc B’ = 600 Tính x ?

+ Quan sát: Hai tam giác ABC và A’B’C’

+ Nhận ra:

 

AB 4 2

A 'B' 6 3

BC 8 2 B'C' 12 3

B B' 60



 











  





+ Kết quả : Hai tam giác ABC và A’B’C’ có

A 'B' B'C' 3

B B' 60







  



- Lập luận hợp lý khi giải quyết vấn đề.

Vì:

k

A 'B' B'C' 3

B B' 60







  



- Từ đó kết luận: Hai tam giác ABC và A’B’C’

đồng dạng tỉ số k 2

3

 nên AC 2

A 'C' 3

6 2

x 3

 

6.3

2

- Trả lời : Vây x = 9 cm

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông

tại A, đường cao AH

a) Chứng minh  ABC đồng dạng

HBA.



b) Chứng minh AB 2  BC.BH.

a) Chứng minh  ABC đồng dạng  HBA

- Quan sát:  ABC và  HBA.

- Nhận ra:BAC BHA( 90 ),     0 chung B.

-Lập luận hợp lý khi giải quyết vấn đề.

+ Xét  ABC và  HBA

Ta có:  

0

BAC AHB( 90

g

) Bchun







- Trả lời được: ABC đồng dạng  HBA

b) Chứng minh AB 2  BC.BH

- Quan sát: AB 2  BC.BH

-Nhận ra:

+AB 2  BC.BH viết được thành AB BH.

BCAB : + Phải chứng minh hai tam giác ABC và HBA đồng dạng

-Lập luận hợp lý khi giải quyết vấn đề.

Vì: ABC  HBA.(theo câu a) Suy ra: AB BC

HBAB

2

AB BC.BH

- Trả lời được: AB 2  BC.BH.

*Bài tập nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học

Tên bài tập HS thực hiện được các thao tác

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại

A, đường cao AH Chứng minh

2

AH  BH.CH.

– Phát hiện.+ AH là đường cao của tam giác

ABC, phát hiện AHB và CHA là hai tam giác vuông, có : ACH = BAH (cùng phụ gócABC) +AH 2  BH.CH thì có thể viết lại AH BH.

CH AH

+chứng minh  ABH  CAH

– Cách thức, thực hiện: chứng minh  ABH

  CAH suy ra tỉ số đồng dạng AH BH

CH AH, trả lời được AH 2  BH.CH

– Sử dụng được các kiến thức, kỹ

năng toán học tương thích để giải quyết vấn đề.

Xét:  ABH và  CAH

AHB CHA( 90 )  

ACH = BAH(cùng phụ gócABC)

ABH

Suy ra: AH BH

CH AH

2

AH BH.CH

- Giải thích được giải pháp đã thực hiện.

Suy ra: AH BH

CH AH

2

AH BH.CH

Bài 2: Bóng của cột cờ trên mặt đất dài 36,9

m Cùng thời điểm đó một cọc tre vuông góc

- Phát hiện

+ Bóng cột cờ dài 36,9 m tương ứng trên hình

với mặt đất cao 2m có bóng dài 1,62m Tính

chiều cao của cột cờ

vẽ là đoạn thẳng AC, cột tre cao 2m tương ứng trên hình vẽ là đoạn thẳng HI, bóng của cọc tre dài 1,62m tương ứng trên hình vẽ là IK

+Cọc tre vuông góc với mặt đất phát hiện tam giác IHK vuông tại I Phát hiện cột cờ cũng phải vuông góc với mặt đất dẫn đến tam giác ABC vuông tại A

+Hai tia nắng BC và HK song song với nhau, đoạn thẳng AC song song với KI Từ đó phát hiện ra hai góc C, K bằng nhau

+Từ đó phát hiện được hai tam giác vuông ABC và IHK đồng dạng Vậy để tính chiều cao cột cờ (AB) dùng tỉ lệ đồng dạng

- Cách thức thực hiện.

+ Chứng minh hai tam giác ABC và IHK đồng dạng, lập tỉ số các cạnh tương ứng Tính chiều cao cột cờ

- Dùng kiến thức kỹ năng toán học tương thích để giải quyết vấn đề toán học.

Xét ABC và  IHK

Ta có:



 

0

A I 90

C K

  











Suy ra :  ABC   IHK.

Suy ra: AB AC

IH IK

AB 36,9

2 1,62

1,62

- Giải thích được giải pháp đã thực hiện

Vậy cột cờ cao 45,6m

Bài 3: Một chiếc đò đưa hàng qua

sông (ở vị trí A) với vận tốc 4,5 km/ giờ, do

nước chảy nên con đò chạy lệch hướng so

với phương vuông góc với bờ sông mất 12

phút mới đến bờ bên kia (điểm C) Ông Toàn

đứng ở vị trí E cách bờ sông 40m, cách A

50m, E nằm trên đường thẳng AC Ông ước

lượng chiều rộng khúc sông Theo em khúc

sông rộng bao nhiêu?

- Phát hiện

+Biết vận tốc 4,5 km/giờ và thời gian con đò

đi 12 phút suy ra tính được quãng đường AC Ông Toàn đứng ở vị trí E cách (A) 50m biết được AE=50m, cách bờ sông 40m biết được DA=40m Tính chiều rộng khúc sông là tính AB

+Hai tam giác vuông ABC và ADE có hai góc đối đỉnh BAC và DAE

+Muốn tính khoảng cách hai bờ sông phải chứng minh hai tam giác ABC và ADE đồng dạng

- Cách thức, giải pháp +Chứng minh hai tam

giác ABC và ADE đồng dạng, lập tỉ số tỉ lệ đồng dạng tính chiều rộng khúc sông AB

- Sử dụng được các kiến thức, kỹ năng toán học tương thích để giải quyết vấn đề.

12 phút= 0,2 giờ

Quãng đường đò đi

AC 0, 2.4,5 0,9km 900m   

Xét ABC và EDC có  

0

B D 90 BAC DAE d đ

  







 ABC

 đồng dạng  ADE

Suy ra AB AC

AD AE

900 AB

50 40

900.40

50

- Giải thích được giải pháp đã thực hiện.

Vậy khúc sông rộng 720m

Bài 4: Kim tử tháp là niềm tự hào của

người dân AI CẬP Để tính được chiều cao

gần đúng của Kim tử tháp , người ta làm

như sau : đầu tiên cắm một cây cọc cao 1m

vuông góc với mặt đất và đo được bóng cọc

trên mặt đất là 1,5m và khi đó chiều dài

bóng Kim tự tháp trên mặt đất là 208,2 m

Hỏi Kim tử tháp cao bao nhiêu mét? (xem

hình vẽ)

- Phát hiện + Biết được bóng kim tự

tháp 208,2 (m), chiều cao cọc 1(m), bóng cọc 1,5(m) Tính chiều cao kim tự tháp

+ Quan sát hình vẽ nhận thấy hai tam giác ABC và DEF là hai tam giác vuông đồng dạng

+ Từ đó phát hiện để giải bài toán phải chứng minh hai tam giác ABC và DEF đồng dạng

-Cách thức thực hiện

Chứng minh hai tam giác ABC và DEF đồng dạng, lập tỉ số đồng dạng, tìm chiều cao kim tự tháp

-Dùng được các kiến thức, kỹ năng toán học tương thích để giải quyết vấn đề toán học

Xét hai tam giác ABC và DEF

A D( 90 )   ;C F    (hai góc cùng tạo bởi tia nắng và mặt đất)

Suy ra: Hai tam giác ABC và DEF đồng dạng

AB AC

DE DF

AB 208, 2

AB 138,8(m)

1 1,5

- Giải thích được giải pháp thực hiện.

Vậy chiều cao kim tự tháp được tính theo công thức: 138,8 m

* Bài tập nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học

thao tác Bài 1 : Thủy muốn đo chiều cao của

cây dừa bằng cách sử dụng cái bóng của cây

Cô ấy đã đo bóng của cây dừa và biết được

cái bóng cây dài 6m Cô ấy đã đo bóng của

mình và thấy nó dài 2,4m

Nếu Thủy cao 160cm, hỏi chiều cao

của cây dừa là bao nhiêu?

B

D

O

2,4m 1,6m

6m

– Sử dụng được các đoạn thẳng

để mô tả tình huống xuất hiện trong bài toán.

+ Gọi OB là chiều cao của cây dừa, CD là chiều cao của Thủy, OA là chiều dài bóng cây dừa, AC chiều dài bóng của Thủy

+ Bóng cây dài 6m được biểu diễn bởi OA = 6m Bóng của Thủy dài 2,4m được biểu diễn bởi AC = 2,4m Chiều cao của Thủy là 160cm được biểu diễn DC=160cm Chiều cao cây là OB

- Thiết lập được mô hình toán học:

Cho hai tam giác vuông ABO, ACD như hình vẽ có OA = 6m, AC = 2,4m, DC=160cm Tính OB?

- Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập.

Xét hai tam giác ACD và AOB

Ta có: 

  0

A chung

C O 90





 



Suy ra: ACD AOB

Suy ra: AC CD

AOOB

2, 4 1,6

6 OB

- Thể hiện được lời giải toán học vào

ngữ cảnh thực tiễn và làm quen với việc kiểm chứng tính đúng đắn của lời giải

Vậy cây dừa cao 4m

Bài 2: Bạn Huy đo độ sâu của mực

nước giếng vào mùa khô Mắt của Huy cách

mặt đất là 160cm, và Hưng tiến cho đến khi

nhìn thấy nước trong giếng Bạn ấy đã đo

được khoảng cách từ miệng của giếng đến

chỗ anh ấy đứng là 0,5m Bạn ấy đã đo đường

kính của giếng và tìm được được kính là 2m

Bạn ấy có thể tính khoảng cách từ mặt

đất đến mực nước như thế nào?

H 2m

0,5m A

M C

- Sử dụng được đoạn thẳng để mô tả tình huống xuất hiện trong bài toán

+Gọi CB là khoảng cách từ mặt đất đến mực nước, CM là chiều cao từ đất đến mắt của Huy, AC khoảng cách từ miệng của giếng đến chỗ Huy đứng, KH đường kính giếng

+Chiều cao từ đất đến mắt Huy là 1,6m được biểu diễn bằng CM =1,6m Khoảng cách từ miệng giếng đến chỗ đứng là 0,5m được biểu diễn bằng AC=0,5m Đường kính giếng là 2m được biểu diễn bằng KH = 2m

-Thiết lập được mô hình toán học:

Cho tam giác MAC vuông tại C, tam giác MKB vuông tại B, biết CM=1,6m, AC = 0,5m, BK = 2,5m Tính CB?

-Giải quyết được những vấn đề

toán học trong mô hình được thiết lập.

H 2m

0,5m A

M C

Bài 3: Em hãy đề xuất một cách tính

khoảng cách giữa hai bờ sông mà không phải

qua bờ sông bên kia

Xét hai tam giác MKB và MCA

Ta có:  

0

KBM MCA 90 CAM BKM(KB / /AC)









Suy ra: Hai tam giác MKB và

MAC đồng dạng Suy ra: MB KB

CM AC

MB 2,5 1,6 0,5

0,5

-Thể hiện được lời giải toán học vào ngữ cảnh thực tiễn và làm quen với việc kiểm chứng tính đúng đắn của lời giải.

Vậy khoảng cách từ mặt đất đến mực nước là: 8 – 1,6 = 6,4m

-HS sử dụng điểm, đoạn thẳng để mô tả tình huống xuất hiện trong một số bài toán thực tiễn

- Chọn một điểm A cố định ở mép

bờ sông bên kia (chẳng hạn như cái cây) Đặt 2 điểm B và B’ thẳng hàng với A, điểm B sát mép bờ sông còn lại và AB chính là khoảng cách cần đo

- Trên 2 đường thẳng vuông góc với AB’ tại B và B’ lấy C và C’ thẳng hàng với A

- Đo độ dài các đoạn thẳng BB’ =

h (m), BC = a (m), B’C’ = a’ (m).

- Thiết lập mô hình toán học: Cho

hai tam giác ABC và AB’C’ như hình

vẽ Biết BB’ = h (m), BC = a (m), B’C’

= a’ (m) Tính AB theo a, a’, h?

Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập.

Ta có:  AB'C' ABC

Suy ra: AB' B'C'

AB  BC

x h a '



ha x

a ' a



-Thể hiện được lời giải toán học vào ngữ cảnh thực tiễn và làm quen với việc kiểm chứng tính đúng đắn của lời giải.

* Bài tập nhằm phát triển năng lực giao tiếp toán học

Tên bài tập Hướng dẫn HS thực hiện được các thao tác

Bài 1: Cho tam giác ABC có độ dài

các cạnh là AB = 18cm, AC =

20cm, BC = 24cm Tính độ dài các

cạnh của tam giác MNP đồng dạng

với tam giác ABC, biết cạnh bé

nhất của tam giác MNP bằng cạnh

- Nghe hiểu, đọc hiểu vấn đề cần giải quyết.

- Hiểu được cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = 18cm, AC = 20cm, BC = 24 cm

- Hiểu được hai tam giác đồng dạng ABC và MNP có “cạnh bé nhất của tam giác MNP bằng cạnh lớn nhất của tam giác ABC” nghĩa là MN = BC