Phương trình vi phân đạo hàm riêng nguyễn mạnh hùng

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaav

MÖC LÖC

CH×ÌNG I Ph¥n lo¤i ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng

§1 Mët sèb ito¡n vªtl½ d¨n ¸n ph÷ìng tr¼nh¤o

haivîihai bi¸nsè ëc lªptrong l¥ncªn cõa mët iºm 36

§5 Sü phö thuëc li¶ntöc cõa nghi»m v o c¡c dú ki»n

CH×ÌNG II Ph÷ìng tr¼nh Laplace

§2 C¡c t½nh ch§t cìb£n cõa h m i·u háa 54

§3 T½nh duy nh§t nghi»mv süphö thuëc li¶ntöc cõa

nghi»mb ito¡n bi¶n v oc¡c h m ¢ cho 60

§4 B i to¡n Dirichlettrong h¼nh c¦u Cæng thùc Poisson 68

§6 Gi£ib i to¡n Dirichlet trong h¼nh trán Ph÷ìngph¡p

§1 B i to¡n Cauchy ành l½ duynh§t nghi»m 91

§2 Cæng thùc cho nghi»mcõa b i to¡n Cauchy èi vîi

§3 Nghi¶n cùu cæng thùc cho nghi»mcõa b i to¡n Cauchy 101

§4 B i to¡n hén hñp èivîi ph÷ìngtr¼nh truy·n sâng 104

§5 T½nh duy nh§t nghi»mcõa b ito¡n hén hñp 105

§6 Sü phö thuëc li¶ntöc cõa nghi»m v o c¡c i·u

§7 Sü tçn t¤inghi»mcõa b ito¡n hén hñp Ph÷ìng ph¡p

§3 Thi¸t lªpc¡c b i to¡n bi¶n v b ito¡n Cauchy 128

§4 Nguy¶n l½ cüc tràtrong c¡c mi·n bà ch°n v khæng bà ch°n 130

§5 ×îcl÷ñng ti¶n nghi»mcõa c¡c nghi»mc¡c b i

§6 Gi£ib i to¡n bi¶n ban ¦u thù nh§t trong h¼nh

§2 B i to¡n Cauchy èivîi h» èixùng 165

§3 Nghi»m suy rëng cõa b ito¡n Cauchy 182

§4 Chùng minh ành l½Ko alepskaia v· sütçn t¤i

LÍI NÂI †U

Gi¡o tr¼nh l½ thuy¸t v b i tªp Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤o h m

ri¶ng ÷ñc vi¸t düa tr¶n c¡c b i gi£ng v· ph÷ìng tr¼nh ¤o h m

ri¶ng cõa t¡c gi£ trong m÷íi n«m trð l¤i ¥y t¤i khoa To¡n -Tin,

tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi º phò hñp vîi ch÷ìng tr¼nh

gi£ng d¤y mæn Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng cho n«m thù bakhoa

To¡n-Tin cõa Tr÷íng, chóng tæi chia gi¡o tr¼nh l m bèn ch÷ìng,

câph¦n phö löcv h÷îngd¨n gi£ib itªp

Ch÷ìng I tr¼nh b y mët sè b i to¡n vªt l½ v c¡c kh¡i ni»m

cìb£n cõa ph÷ìngtr¼nh ¤o h mri¶ng Ph÷ìngtr¼nh Laplace¤i

di»nchoph÷ìngtr¼nhlo¤ielliptic÷ñc÷av och÷ìngII,trongâ

t¡c gi£tr¼nh b yc¡c t½nhch§t cìb£n cõa h m i·uháa v nghi¶n

cùu b ito¡n Dirichlet trong mi·n bàch°n Ch÷ìng I I v IV tr¼nh

b y c¡c v§n · cì b£n li¶n quan ¸n ph÷ìng tr¼nh truy·n sâng v

ph÷ìngtr¼nhtruy·n nhi»t,âl c¡cph÷ìngtr¼nhìngi£n¤idi»n

cho hai lîp ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng: ph÷ìng tr¼nh hyperbolic

v ph÷ìng tr¼nh parabolic Cuèi méi ch÷ìng ·u câ ph¦n b i tªp

nh¬m kh­c s¥u l½ thuy¸t Ph¦n phö löc phöc vö cho sinh vi¶n lîp

ch§t l÷ñng cao khoa To¡n-Tin cõa Tr÷íng Do v y, chóng tæi bê

sungph¥n lo¤iph÷ìngtr¼nh¤o h m ri¶ngtrongl½ thuy¸tph÷ìng

tr¼nh¤oh m ri¶nghi»n¤i Ti¸ptheob ito¡nCauchy èivîih»

hyperbolic èi xùng c§p mët ÷ñc ÷a v o v cuèi còng l  chùng

minh sü tçn t¤i nghi»mgi£i t½ch cõa ành l½Ko alepskaiam  t½nh

duy nh§t cõa nghi»m ¢ ÷ñc chùng minh trong ch÷ìng I Cuèi

s¡ch l  ph¦n h÷îng d¨n gi£i b i tªp cõa bèn ch÷ìng ¦u nh¬m

gióp sinh vi¶ntü kiºmtra k¾ n«nggi£ib i tªp cõa m¼nh

Gi¡otr¼nhnh¬mphöc vöch y¸uchosinh vi¶nkhoaTo¡n-Tin,

tr÷íng¤ihåcS÷ph¤mH Nëi.Tuynhi¶n,gi¡otr¼nhn ycôngcâ

thºl mt ili»uthamkh£ochosinh vi¶nc¡cng nhTo¡n,To¡n-Tin

ùng döng, Cæng ngh» Thæng tin, K¾thuªt i»n tû, K¾ thuªt i»n

v c¡cng nhk¾thuªtkh¡ctrongc¡c tr÷íng¤ihåc.Ngo ira,gi¡o

tr¼nh cán câ thº gióp ½ch cho c¡c åc gi£ muèn t¼m hiºu v· mæn

håcPh÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng

Cuèi còng, t¡c gi£ xinch¥n th nh c¡m ìnc¡c þ ki¸nâng gâp

cõa c¡c nh  to¡n håc, °c bi»t l  c¡c th nh vi¶n cõa bëmæn Gi£i

t½ch,khoaTo¡n-Tin,tr÷íng¤ihåcS÷ph¤mH Nëiº cuèns¡ch

÷ñc ho n thi»nhìn T¡c gi£công mongti¸p töc nhªn ÷ñcc¡c þ

ki¸nâng gâp chocuèn s¡ch

TC GIƒ

CC K HI›U V€ ÀNH NGHžA CHUNG

Ta ÷a v o c¡c k½ hi»u v ành ngh¾a ÷ñc dòng trong cuèn

mi·n v k½ hi»u l  Ω. Mi·n Ω ÷ñc gåi l  mi·n bà ch°n n¸u måi

iºm x ∈ Ω·u thäa m¢n i·u ki»n |x| 6 M,ð â M l  mët h¬ng

sè n o â Bi¶n cõa mi·n Ω ÷ñck½ hi»u l  ∂Ω, cán bao âng cõa

Ω l  Ω Nh÷ v y ∂Ω = Ω\Ω. K½ hi»u Br(y) l  h¼nh c¦u mð trong

α j l  c¡c sè nguy¶n khæng ¥m.

Gi£sûAl mëttªphñpthuëcR n Mëth mf (x)÷ñcx¡cànht¤imåiiºmx ∈ A÷ñcgåil thuëclîpC k (A)n¸uf (x)câc¡c¤o

h mri¶ngli¶ntöc ¸nc§p kt¤it§tc£c¡c iºmtrongcõaAv c¡c

¤oh mn yth¡ctriºnli¶ntöc÷ñcrato nbëA,k ≥ 1.N¸uf (x)

li¶ntöc t¤it§t c£c¡c iºm cõa tªp hñp A, th¼ vi¸t f (x) ∈ C 0 (A).

K½ hi»u C ∞ (A) l  lîp c¡c h m f (x) ∈ C m (A), ∀m ≥ 0. º ph¥nbi»t c¡c bi¸n, ta k½ hi»u R n+1

x,t l  khæng gian Euclide n + 1 chi·u,mët iºm thuëc nâ ÷ñc k½ hi»u l  (x, t) = (x 1 , , x n , t). Gi£ sû

A ⊂ R n+1 x,t Tanâih mf (x, t) ∈ C k,m (A),k ≥ 1, m ≥ 1,n¸uf (x, t)

câ c¡c ¤o h m li¶n töc theo x ¸n c§p k, theo t ¸n c§p m t¤imåi iºm trong cõa tªp A v c¡c ¤o h m n y câ thº th¡c triºn

÷ñc li¶n töc ra to n bë tªp A. Mi·n Ω ⊂ R n

÷ñc gåi l  thuëc

lîpA k , k ≥ 1, n¸u èi vîi mët iºm b§t k¼ x 0 ∈ ∂Ωtçn t¤imët sènguy¶n `, 1 6 ` 6 n, v mët l¥n cªn U(x 0 , ρ), ρ = const > 0 saocho∂Ω ∩ U(x 0 , ρ) n¬mtr¶n si¶u m°t

x ` = f ` (x 1 , , x `−1 , x `+1 , , x n ),

th¶mv oâf ` ∈ C k (G ` ),ðâG ` l mi·nbi¸n thi¶nc¡cèisècõa

h m f ` Khi â Ω÷ñc gåichung l  mi·n vîi bi¶n trìn

Mi·nΩ÷ñcgåil  trìn tøng khócn¸u nâcâthº x§px¿ bði c¡cmi·ntrìn Ta ÷a v o ànhngh¾a ch½nh x¡ckh¡i ni»mn y Tanâi

r¬ng, mi·n Ω thuëc lîp Bk, k ≥ 1, n¸u tçn t¤i mët d¢y c¡c mi·n

khim → ∞,ðâdsl ph¦ntûdi»nt½chm°t∂Ω m èivîic¡cmi·ncõa lîpA k , k ≥ 1, công nh÷ èivîic¡c mi·n cõa lîpB k , k ≥ 1, ta

n ytanhªn÷ñccængthùct½chph¥ntøngph¦n:N¸uu(x) ∈ C 1 (Ω)

.

Tronggi¡otr¼nhn ytanghi¶ncùuc¡cb i to¡n bi¶nv b i to¡n

Cauchyèivîi c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai

Mëtc¡chtêngqu¡t,ph÷ìngtr¼nhli¶nh»c¡ch m©nu 1 , , u N ,

c¡c bi¸n v c¡c ¤o h m ri¶ng cõa chóng ÷ñc gåil  ph÷ìng tr¼nh

¤o h m ri¶ng

Mëtph÷ìngtr¼nh¤o h mri¶ngchùa½tnh§tmët¤oh m c§p

m v khæng chùa c¡c ¤o h m c§p cao hìn m ÷ñc gåi l  ph÷ìngtr¼nh c§pm C§pcõa h»c¡c ph÷ìngtr¼nh¤o h mri¶ngl c§plîn

nh§t trongc¡c c§p cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh trongh»

Ph÷ìngtr¼nh¤oh mri¶ng÷ñcgåil tuy¸nt½nh,n¸unâtuy¸n

t½nh èivîi t§tc£ c¡c h m ©nv c¡c ¤o h m cõa chóng Ph÷ìng

tr¼nh ¤o h m ri¶ng ÷ñc gåi l  tüa tuy¸n t½nh, n¸u nâ tuy¸n t½nh

èivîit§t c£ c¡c ¤o h m bªc cao nh§t cõa c¡c h m ©n

Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng l  mët h m sao cho

khithay v oh m©n, ph÷ìngtr¼nhn y bi¸n th nhçngnh§t thùc

theoc¡c bi¸nsèëclªp Nghi»mcõa h» ÷ñcànhngh¾at÷ìngtü

§1 Mët sè b i to¡n vªt l½ d¨n ¸nph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng

L½thuy¸tph÷ìngtr¼nh ¤o h m ri¶ngmang hain²t °c thòcì

b£n Thù nh§t l mèili¶nh» trüc ti¸p vîi c¡c b ito¡n vªtl½ Qu¡

tr¼nhnghi¶ncùu c¡cph÷ìngtr¼nh¤oh mri¶ngth÷íngg°ptrong

vªtl½ d¨ntîi h¼nhth nh mët ng nhmîicõa gi£it½chv ogiúa th¸

k XVIII: Ph÷ìngtr¼nhvªtl½ to¡n.°tn·n mângchong nhkhoa

håcn y ph£i kº ¸n c¡c nh  to¡nhåc J.D' Alembert (1717-1783),

L.Euler (1707-1783),D.Bernoulli (1700-1782),J.Lagrange

(1736-1813), P Laplace (1749-1827), S Poisson (1781-1840), J Fourier

(1768-1830) C¡c þ t÷ðng v ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu cõa hå khi

xem x²t c¡c b i to¡n cö thº cõa vªt l½ to¡n câ £nh h÷ðng r§t lîn

¸n sü ph¡t triºn l½thuy¸t têng qu¡t ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng

v ocuèi th¸ k XIX

N²t °c thò thù haicõa l½ thuy¸t ph÷ìngtr¼nh ¤o h m ri¶ng

l mèiquan h» mªt thi¸t cõa nâvîic¡c ng nhto¡n håc kh¡c nh÷

gi£i t½ch h m v l½ thuy¸t h m, tæ pæ, ¤i sè, gi£i t½ch phùc Mët

m°t, l½ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng sû döng c¡c kh¡i ni»m

cì b£n, c¡c t÷ t÷ðng v ph÷ìng ph¡p cõa c¡c l¾nh vüc to¡n håc

n y; m°t kh¡c nâ £nh h÷ðng l¤i ¸n c¡c v§n · v h÷îng nghi¶n

cùucõa chóng V on«m1747,J D'Alembert ÷araph÷ìngtr¼nh

dao ëng cõa d¥y v nhªn ÷ñc cæng thùc biºu di¹n nghi»m têng

qu¡t cõa nâ Sau â L Euler cho mët cæng thùc nghi»m cõa b i

to¡n Cauchy (1789-1857) èi vîi ph÷ìng tr¼nh dao ëng cõa d¥y

(cæng thùc D'Alembert), cán D Bernoulli chùng minh r¬ng mët

nghi»mb§t k¼ cõa ph÷ìng tr¼nh dao ëng cõa d¥y biºu di¹n ÷ñc

b¬ng chuéi l÷ñng gi¡c Cuëc tranh luªn v· b£n ch§t nghi»m cõa

ph÷ìng tr¼nh dao ëng cõa d¥y gúa ba nh  to¡n håc câ þ ngh¾a

quan trångtrongvi»c ph¡ttriºn ng nhvªtl½ to¡n,gi£it½chv °c

bi»t l  l½ thuy¸t c¡c chuéi l÷ñng gi¡c Ti¸p theo v on«m 1822 khi

x²t b i to¡n truy·n nhi»t J Fourier ¢ nghi¶n cùu c¡c v§n · v·

khai triºn mët h m th nh chuéi l÷ñng gi¡c v sau â L Dirichlet

(1805-1859) l¦n ¦u ti¶n ch¿ ra i·u ki»n õ º mët h m câ thº

khaitriºn÷ñc th nhchuéil÷ñng gi¡c i·uât¤o i·u ki»nh¼nh

th nhl½ thuy¸t tªp hñp v l½ thuy¸t h m hi»n ¤i

Vi»c nghi¶n cùu c¡c ph÷ìng tr¼nh vªt l½ to¡n l m n£y sinh ra

nhi·uph÷ìngph¡p,ch¯ngh¤n ph÷ìngph¡pFourier,ph÷ìngph¡p

Riesz, ph÷ìngph¡p Galerkin T½nhhúu hi»u cõa vi»c¡p döng c¡c

ph÷ìng ph¡p n y v o c¡c v§n · vªt l½ ái häi lªp luªn to¡n håc

ch°t ch³ Tø âh¼nh th nh c¡c l½ thuy¸t to¡n håcmîi, c¡c h÷îng

nghi¶n cùu mîi: l½ thuy¸t t½ch ph¥n Fourier, l½ thuy¸t khai triºn

th nhc¡c h m ri¶ng

ºnhªn÷ñcc¡cph÷ìngtr¼nhtøc¡chi»nt÷ñngvªtl½c¦nph£i

bä quac¡c y¸u tèthù y¸u cõa hi»n t÷ñng, tùc l  ph÷ìngtr¼nh ch¿

mæ t£ c¡c quy luªt vªt l½ cì b£n (ành luªt b£o to n n«ng l÷ñng,

ëngl÷ñng,khèi l÷ñng,v.v ).B¬ngc¡châcâthº nhªn÷ñc c¡c

ph÷ìngtr¼nh mæ t£c¡c hi»n t÷ñng vªt l½trong i»n ëng lüchåc,

thõyëng håc,l½ thuy¸t  n hçiv c¡c l¾nh vüc kh¡c Vi»cnghi¶n

cùu c¡chi»n t÷ñngvªtl½nhí c¡c mæh¼nh to¡n håcchoph²p nhªn

bi¸t khæng ch¿ m°t ành l÷ñng m  c£b£n ch§t c¡c hi»n t÷ñng vªt

l½.º l mv½ dö, tax²t mët sèb i to¡n cö thº sau

1 Ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t Gi£ sû nhi»t ë cõa vªt thº Ω

t¤iiºm x = (x 1 , x 2 , x 3 ) v t¤ithíi iºm t ÷ñc x¡c ành bði h m

u(x, t) ∈ C 2,1 (Ω × [0, T ]). Ta coi Ω l  vªt thº ¯ng h÷îng, tùc l nhi»t truy·n theo ph÷ìng n o công nh÷ nhau

Gi£sûΩ 1 l mi·n contòy þcõa Ωvîibi¶n ∂Ω 1 trìn.Tax²tsüthay êinhi»t trongΩ 1 sau mët kho£ng thíi gian tøt 1 ¸n t 2

Theoànhluªt Newton,saukho£ngthíi giantøt 1 ¸nt 2 l÷ñng

nhi»t truy·n qua m°t ∂Ω 1 b¬ng:

Z t 2

t 1

dt Z

Trong vªt thº câ thº tü sinh ra nhi»t (ch¯ng h¤n do t¡c ëng

cõa dáng i»n hay ph£n ùng ho¡ håc) Khi â l÷ñng nhi»t sinh ra

trong vªtthº Ω 1 sau kho£ng thíi gian tø t 1 ¸n t 2 l :

Z t 2

t 1

dt Z

Ω 1

ðâ f (x, t) l mªt ë nguçnnhi»t t¤i iºm xv thíi iºm t.M°tkh¡c süthay êil÷ñngnhi»t b¶n trongΩ 1 saukho£ng thíigiantøt 1 ¸n t 2 câthº ÷ñcx¡cành quasüthayêinhi»t ë.Süthay êil÷ñng nhi»t n y b¬ng:

ành luªt b£o to n n«ng l÷ñngta nhªn ÷ñc¯ng thùc:

∂Ω 1

k(x) ∂u

∂ν ds+ +

Z t 2

t 1

dt Z

Z t 2

t 1

dt Z

Ω 1

Bði v¼ Ω 1 l mi·n con tòy þ cõa Ω v kho£ng thíi gian (t 1 , t 2 ) tòy

þ, c¡c h m d÷îi d§u t½ch ph¥n l  li¶ntöc, n¶n tø(1.5) suy ra

vîi måit ∈ [0, T ]v måix ∈ Ω.

Ph÷ìng tr¼nh (1.6) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t L¦n

¦uti¶n ph÷ìngtr¼nhn y÷ñcFourier thi¸tlªpv on«m1822vîi

f (x, t) ≡ 0v c(x), ρ(x), k(x) l  c¡c h¬ng sè Sau ânâ trð th nh

èit÷ñng nghi¶ncùu cõa nhi·unh  to¡nhåctrong th¸ k XIX

Trongthüc ti¹n,ch¸ ënhi»tðtr¶n bi¶ncõavªtthº £nhh÷ðng

¸n sü ph¥n bè nhi»t b¶n trong cõa nâ Ngo i ra, nhi»t ë b¶n

trongvªtthº t¤ithíi iºmban ¦u t = 0v nhi»t ëtr¶nbi¶n vªtthº t¤i thíi iºm b§t k¼ t ≥ 0 x¡c ành mët c¡ch ìn trà nhi»t ëvªtthº khit > 0

B ito¡nt¼mnghi»mcõaph÷ìngtr¼nh(1.6)thäam¢ni·uki»n

ban ¦u

v i·u ki»nbi¶n d¤ng

gåil b i to¡n bi¶n ban ¦u thù nh§t èivîiph÷ìng tr¼nh (1.6)

N¸ubi¸t÷ñcl÷ñngnhi»t truy·nquamët ph¦nb§t k¼cõa bi¶n

vªt thº sau mët kho£ng thíi gian tø t1 ¸n t2, th¼ theo ành luªt

ìn trà t¤i méi iºm cõa bi¶n v t¤i mët thíi iºm b§t k¼ Tø â

n£ysinhrab ito¡nbi¶nban¦u thùhaièivîiph÷ìngtr¼nh(1.6),

tùcl b ito¡nt¼m nghi»mu(x, t)cõa ph÷ìngtr¼nh(1.6) thäam¢n

i·u ki»nban ¦u (1.7)v i·u ki»n bi¶n d¤ng

∂u

∂ν

2 Ph÷ìng tr¼nh Laplace Trongv½ dötr¶n,n¸u nhi»tëcõavªt

thº ên ành, tùc l  khæng phö thuëc v o thíi gian, th¼ h m u(x)

choph¥n bè døng cõa nhi»t ëv thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh:

Ph÷ìng tr¼nh (1.9) l¦n ¦u ti¶n ÷ñc S Poisson ÷a ra v o

n«m 1813 v ÷ñc gåil  ph÷ìng tr¼nh Poisson Trong tr÷íng hñp

f (x) ≡ 0 ph÷ìng tr¼nh (1.9) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh Laplace.Ph÷ìng tr¼nh n y ÷ñc th§y trong c¡c cæng tr¼nh cõa L Euler v

J Lagrange, nh÷ng l¦n ¦u ti¶n nâ ÷ñc nghi¶n cùu mët c¡ch h»

thèngtrong c¡c cæng tr¼nh cõa P Laplacev on«m 1782 v 1787

B ito¡n t¼mph¥nbèdøngcõa nhi»tëb¶n trongvªtthº theo

nhi»t ë ¢ cho tr¶n bi¶n ÷ñc gåi l  b i to¡n Dirichlet theo t¶n

nh  to¡n håc L Dirichlet, æng l ng÷íi ¦u ti¶n chùng minh ÷ñc

süduy nh§t nghi»mcõa b i to¡n n y

3 Ph÷ìngtr¼nh truy·n sâng.Câ nhi·uqu¡tr¼nhdaoëng÷ñc

= ∂

2 u

∂t 2 , a = const > 0 (1.10)

Ph÷ìng tr¼nh n y ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh truy·n sâng Tr÷íng

hñp n = 1 ph÷ìngtr¼nh (1.10)mæ t£dao ëng cõa d¥y

Gi£ thi¸t và tr½ ban ¦u cõa sñi d¥y tròng vîi tröc Ox v nâdao ëngtrong m°t th¯ngùng nhí mët t¡c ëng n o â º ìn

gi£n ta coi méi iºm cõa d¥y dàch chuyºn th¯ng gâc vîi tröc Ox

v trong còng mët m°t ph¯ng (x, u). Tung ë u cho ë l»ch cõad¥y khäi và tr½ c¥n b¬ng Nh÷ v y u l  h m cõa hai bi¸n x v t.Gi£ thi¸t th¶m r¬ng d¥y thu¦n nh§t v câ ë d y nh÷ nhau, hìn

núad¥ykhænggi¢nnh÷ngkhængc÷ïngl¤isüuènv sau thíiiºm

ban¦u khængcângo¤ilücn o t¡cëngv od¥ynúa.Khi âh m

÷ñc cè ành ð hai ¦u mót th¼ vi»c x¡c ành h¼nh d¡ng cõa d¥y

t¤imët thíi iºm b§t k¼ d¨n ¸n b ito¡n t¼m nghi»mcõa ph÷ìng

tr¼nh(1.11) thäa m¢n c¡c i·u ki»n bi¶n

u(0, t) = 0, u(`, t) = 0,

v c¡c i·u ki»nban ¦u

u| t=0 = u 0 (x), ∂u

∂t |t=0 = u1(x).

Ph÷ìng tr¼nh (1.11) l  mët trong c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤o h m

ri¶ng ¦u ti¶n ÷ñc nghi¶n cùu chi ti¸t v o th¸ k XVIII Nhi·u

quyluªtvªtl½v cìhåckh¡ccông÷a¸n c¡cph÷ìngtr¼nht÷ìng

tü vîi (1.11) Ch¯ng h¤n quy luªt dao ëng cõa m ng ÷ñc biºu

di¹nbðiph÷ìngtr¼nh(1.10)vîin = 2,ho°cquy luªtdao ëngnhäcõa ch§t kh½ l½ t÷ðng ÷ñc mæt£ nhí (1.10)vîi n = 3

§2 B i to¡n Cauchy Kh¡i ni»m v· °c tr÷ng

ành l½ Kovalepskaia

1 B ito¡n Cauchy ànhl½ Kovalepskaia

Gi£sûΩl mi·n n o âtrongkhæng gian R n

B i to¡n t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.13) thäa m¢n c¡c

i·uki»nban ¦uu(t 0 ) = u 0 , u 0 (t 0 ) = u 1 ,l b ito¡n Cauchy trongph÷ìngtr¼nh vi ph¥n th÷íng

Trong l½ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng, ành l½ Cauchy

kh¯ng ành r¬ng ph÷ìngtr¼nh (1.13) cânghi»m gi£it½chduy nh§t

trongmët l¥ncªn n o âcõa iºmt 0 ,thäa m¢n c¡c i·uki»n ban

¦un¸uc¡ch»sèv sèh¤ngtüdocõaph÷ìngtr¼nhn yl c¡ch m

gi£it½chtrongkho£ng (a, b), t 0 ∈ (a, b).Mëtc¡chtünhi¶n,vi»cmðrëngb ito¡nCauchy tøph÷ìngtr¼nhviph¥nth÷íngsangph÷ìng

tr¼nh¤o h m ri¶ng ÷ñc ti¸n h nh nh÷ sau

Ta t¡ch mët bi¸n trong c¡c bi¸n (x 1 , , x n ), ch¯ng h¤n x n

v °t t = x n Trong vªt l½, t giú vai trá thíi gian, cán x 0 = (x 1 , , x n−1 ) l  c¡c to¤ ë khæng gian Gi£ sû tr¶n m°t ph¯ng

t=t 0 = u 1 (x 0 ) (1.14)

B ito¡nt¼m nghi»mcõa ph÷ìngtr¼nh(1.12)trongmëtl¥ncªn

n o âcõa x 0 = (x 0

1 , , x 0

n−1 , t 0 )vîi c¡c i·u ki»n ban ¦u (1.14)

÷ñc gåil  b i to¡n Cauchy

Nh÷v y b ito¡nCauchy (1.12), (1.14)l sü suyrëng tünhi¶n

cõab ito¡nCauchytrongph÷ìngtr¼nhviph¥nth÷íng.V§n·°t

ral vîigi£thi¸tn oth¼ b ito¡nCauchy(1.12),(1.14)cânghi»m

V o n«m 1874, S V Ko alepskaia (1850-1891) chùng minh ÷ñc

ành l½ tçn t¤i duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n Cauchy trong lîp

c¡ch mgi£it½chv nâ÷ñcmangt¶nl ànhl½Ko alepskaia.Nh÷

v y,ànhl½Cauchy¢÷ñcS.V.Ko alepskaiamðrëngchoph÷ìng

tr¼nh¤o h m ri¶ng

Gi£sû ph÷ìngtr¼nh (1.12) vi¸t÷ñc d÷îi d¤ng

0 Khi âb i to¡nCauchy(1.15),(1.14) câ nghi»m gi£i t½ch trong mët l¥n cªn n o â cõa iºm x 0

v  l  nghi»m duy nh§t trong lîp c¡c h m gi£i t½ch

Chùng minh Tr÷îc ti¶n ta chùng minh t½nh duy nh§t Ta s³

chùng minh r¬ng n¸u nghi»m gi£i t½ch u(x) cõa b i to¡n Cauchy(1.15),(1.14)tçn t¤i,th¼ c¡c h» sètrong khaitriºn th nhchuéiluÿ

thøa cõa nâ ÷ñc x¡c ành duy nh§t Gi£ sû u(x) ÷ñc khai triºn

th nhchuéiluÿ thøa hëitö tuy»tèi:

Trong lẵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng, nh lẵ Cauchy

khng nh rơng phữỡngtrẳnh (1.13)... sốhÔngtỹdocừaphữỡngtrẳnhnylcĂchm

giÊitẵchtrongkhoÊng (a, b), t (a, b).MởtcĂchtỹnhiản ,vi? ??cmrởngbitoĂnCauchy tứphữỡngtrẳnhviphƠnthữớngsangphữỡng

trẳnhÔo hm riảng ữủc tián hnh nhữ sau

Ta... thớiim

banƯu khổngcõngoÔilỹcno tĂcởngvodƠynỳa.Khi õhm

ữủc cố nh hai Ưu mút thẳ vi? ??c xĂc nh hẳnh dĂng cừa dƠy

tÔimởt thới im bĐt kẳ dăn án bitoĂn tẳm nghiằmcừa phữỡng