BÀI 2. TẬP HỢP, CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Tập hợp và các cách biểu diễn Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.. Các cách xác định tập hợp Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp C

Trang 1

BÀI 2 TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

MỤC TIÊU

Kiến thức:

- Hiểu được khái niệm tập hợp, tập con

- Nắm được khái niệm hai tập hợp bằng nhau

- Hiểu được các phép toán giao các tập hợp, hợp các tập hợp, phần bù trên tập hợp

Kĩ năng:

- Cho tập hợp bằng hai cách

- Thực hiện các phép toản giao hai tập hợp, hợp hai tập hợp, hiệu hai tập hợp, phân bù của một tập Con

- Dùng biểu đồ Ven để biểu diễn các phép toán trên tập hợp

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Tập hợp và các cách biểu diễn Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa

Các cách xác định tập hợp

Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp

Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp

Ví dụ: Tập các ước nguyên dương của 6

1;2;3;6 

A {n ∣6 }.n

Tập rỗng Tập rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào Kí hiệu 

1 0

A x ∣ x   x

Tập A các nghiệm của phương trình

2

1 0

x   x là tập rỗng

Mối quan hệ giữa các tập hợp

1 Tập hợp con

Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì A được gọi là tập hợp con của tập hợp

B

Kí hiệu: AB hoặc BA

2 Hai tập hợp bằng nhau

Khi AB và BA thì A và B là hai tập hợp bằng nhau

Kí hiệu: A  B

3 2 0

A x ∣ x  x  và

2

3 2

0 4

x



 ∣  là hai tập hợp bằng nhau

Câu hỏi: “Hai tập hợp có cùng số phần tử có bằng nhau không?"

Các tập con thường gặp của

Khoảng

( ; )a b  {x ∣ a x b}

Đoạn

Trang 2

[ ; ] {a b  x ∣a x b}

Nửa khoảng

[ ; )a b {x ∣ a x b}

( , ] {a b  x ∣a x b}

a;   {x ∣ax}

(; ] {b  x ∣ xb}

a;   {x ∣ax}

(; )b {x ∣ xb}

Các phép toán trên tập hợp

1 Giao của hai tập hợp

{ và }

A B x x∣ A xB

x A

x A B

x B





2 Hợp của hai tập hợp

{

A B x x∣ A hoặc xB}

x A

x A B

x B





Trang 3

3 Hiệu và phần bù của hai tập hợp

A B x x∣ A xB

\ x A

x A B

x B





Khi BA thì A B gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu \ C B A

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Tập hợp và xác định tập hợp

Bài toán 1 Xác định tập hợp

- Phương pháp giải

• Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa

Ví dụ: Tập hợp A các số tự nhiên bé hơn 5 có thể được viết bằng 2 cách dưới đây

• Các cách xác định tập hợp

+) Liệt kê các phần tử:

Liệt kê các phần tử theo quy tắc

• Viết các phần tử của tập hợp giữa hai dấu {};

• Các phần tử cách nhau bởi dấu , hoặc ;

• Mỗi phần tử chỉ được viết một lần

Chú ý:

+) Liệt kê các phần tử:

{0;1, 2;3; 4}

+) Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của

Chú ý:

+} Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp

A x ∣ x

• Tập rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào, ký hiệu 

- Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho các tập hợp

a)   2  2  

7 6 4 0

A x ∣ x  x x   ;

b) B{xN∣2x8} ;

c) C{2x1∣ x và   2 x 4};

d)   2  3  

10 21 0

D x ∣ x  x x x 

Hãy viết lại các tập hợp A B C, , dưới dạng liệt kê các phần tử

Trang 4

Hướng dẫn giải

a) Ta có    2

2

1

7 6 0

6

4 0

x

x x

2

x x





  

Vậy A   { 6; 2; 1; 2}

b) Ta có {0;1, 2;3; 4}

x



Vậy B{0;1; 2;3; 4}

c) Ta có : { 2; 1; 0;1; 2;3; 4}

x

x x





   

  

Suy ra C  { 3; 1;1;3;5; 7;9}

d) Ta có    2

3

3 7

10 21 0

0 0

1

x x

x

x x

x



Mà x là các số tự nhiên nên D0;1;3;7 

Ví dụ 2 Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng

a) A0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

b) B{0; 5; 10; 15; 20)

c) C1; 3; 9; 27; 81

d) D  4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4   

e) E1; 3; 5; 7; 9

f) F0; 1; 4; 9; 16; 25

Hướng dẫn giải

a) A{x ∣ x6}

b) B {x ∣ x: 5,x20}

c) C3n∣ n4,n 

d) D {x ||x∣4}

e) E{x ∣ x là số lẻ nhỏ hơn 10

f)  2

F  n ∣ n là số tự nhiên nhỏ hơn 6

Bài toán 2 Xác định các tập hợp con thường gặp của tập số thực

- Phương pháp giải

Một số tập con của tập hợp số thực

Trang 5

- Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho các tập hợp sau Hãy viết lại tập hợp dưới kí hiệu khoáng, nửa khoảng, đoạn

a) A{xR x∣ 4} b) B{x ∣ x 8}

c) C{x ∣ x 3} d) D{x ∣ x1}

e) E{x ∣1 x 8} f) F {x ∣  2 x 3}

Hướng dẫn giải

a) ; 4 b) ( ; 8] c) ( 3; )

d) [1;) e) (1;8] f) [ 2;3)

Ví dụ 2 Viết lại các tập hợp sau dưới dạng khoảng nửa khoảng, đoạn (nếu có thể):

a) A{0;1; 2;3; 4;5} b) B{x ||x∣3}

c) C   { 3; 2; 1,1} d) D   { 3; 2; 1; 0;1}

Hướng dẫn giải

Các ý a c d, , không viết được dưới dạng khoảng, nửa khoảng, đoạn

b) Ta có | | 3x        3 x 3 B [ 3;3]

Chú ý: A C D, , là các tập số tự nhiên liên tiếp (khác với định nghĩa khoảng, nửa khoảng, đoạn)

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1 Cho tập hợp X   ( 2; 1;0;1; ;2 3} Tập hợp X được xác định bằng cách nêu tính chất đặc trưng

các phần tử của nó là

A {x ∣   2 x 3} B {x ∣  2 x 3}

C {x ∣  2 x 3} D {x ∣    2 x 1 6}

Trang 6

Câu 2 Cho tập hợp 1 1 1; ; ; 1 ;

2 6 12 20

  Tập hợp X được xác định bằng cách nếu tính chất đặc trưng

các phần tử của nó là

( 1)

n n

*

1

; ( 1)

n n

( 1)

n n

* 2

1

; ( 1)

n n

Câu 3 Cho tập hợp 9; 3; , 1 1; ;

3 9

X   t  

  Tập hợp X được xác định bằng cách nêu tính chất đặc

trưng các phần tử của nó là

3

n

1

3

n

3

n

1

3

n

Câu 4 Sử dụng các kí hiệu khoáng, đoạn để viết tập hợp A{x ∣ x9} ta được

A A ( ;9) B A ( ;9] C A[9;) D A(9;)

Câu 5 Cho tập hợp A{x ∣2x 1 0}

A A ( ; 0) B A ( ;0] C A  ( ; 1] D ; 1

2

Câu 6 Cho các tập hợp B{x ||x∣10} Hãy viết lại các tập hợp B dưới kí hiệu khoáng, nửa

khoảng, đoạn

A B ( 10;10] B B [ 10;10) C B [ 10;10] D B [ ;10]

Câu 7 Cho tập hợp A{x ∣ x là ước chung của 36 và 120} Các phần tử của tập A là

A A{1; 2;3; 4; 6;12} B A{1; 2;3; 4;6;8;12}

C A{2;3; 4;6;8;10;12} D A{1; 2;3; 4;6;9;12;18;36}

Câu 8 Các phần tử của tập hợp  2 

2 5 3 0

A xR∣ x  x  là

2

A   

3 1;

2

A   

Câu 9 Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?

4 0

2 3 0

B x ∣ x  x 

5 0

12 0

D x ∣ x  x 

Câu 10 Trong các tập hợp sau, tập hợp nào khác rỗng?

1 0

A x ∣ x   x B  2 

2 0

B x ∣ x  

3 1 0

3 0

D x ∣ x x  

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Trang 7

Câu 1 Chọn A

Nhận thấy X là tập các số nguyên liên tiếp bắt đầu bằng số 2 và kết thúc bằng số 3 nên ta có

Câu 2 Chọn B

Ta có: 2 1.2;6 2.3;123.4; 204.5

( 1)

n n



Câu 3 Chọn C

Ta có

9 9 ; 3 9 ;1 9 ; 9 ; 9 ;

                

3

n

X x x   n 

3

n

X x x   n 

Câu 4 Chọn B

( ;9]

A 

Câu 7 Chọn A

Ta có Ư 36 {1; 2;3; 4;6;9;12;18) và Ư  120  1; 2;3; 4;5;6;8;10;12;15; 20; 24;30; 40;60

Vậy tập hợp các ước chung của 36 và 120 là A1; 2;3; 4;6;12 

Câu 9 Chọn B

Đáp án A Ta có 2 2

4 0

2

x x

x





      nên A  2; 2 

Đáp án B Ta có 2

2 3 0

x  x  là vô nghiệm vìx22x  3 (x 1)2   2 0; x Do đó B 

Đáp án C Ta có 2 5

5

x x

x

 

   

 

 Do đó C  5; 5  Đáp án D Ta có 2 4

3

x

x x

x

 



Câu 10 Chọn D

Đáp án A Ta có 2

1 0

x   x là phương trình vô nghiệm vì

2

2 4

x   x x        x A

 

 

Đáp án B Ta có 2

x     x    B

2

x

x

  

                  

2

0

3 0

x

x





Dạng 2 Quan hệ giữa các tập hợp

Bài toán 1 Tập hợp con

- Phương pháp giải

1 Để chứng minh AB

Lấy bất kì, x A sau đó chứng minh xB

2 Xác định số tập con của một tập hợp A có n phần tử

Trang 8

Tập hợp có n phần tử có 2 n

tập hợp con

Ví dụ 1: Cho A1; 3; 5 Tập hợp A có tất cả bao nhiêu tập con? Liệt kê các tập con của tập A

Hướng dẫn giải

Tập hợp A có 3 phần tử, do đó có tất cả 3

2 8 tập hợp con

Các tập con của A bao gồm

            1 , 3 , 5 , 1; 3 , 1;5 , 3;5 , 1; 3; 5 ,  

Ví dụ 2: Cho hai tập hợp A{2n1,n }; B{4k3,k } Chứng tỏ BA

Hướng dẫn giải

Giả sử xB x, 4k3,k Khi đó ta có thể viết x2(2k 1) 1

Đặt n2k1 thì n và ta có x2n1, suy ra xA

Như vậy x B  x A hay BA

- Ví dụ mẫu

Ví dụ Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con?

A  1;5 B  9 C  0;9 D 0;1;5 

Hướng dẫn giải

Chọn B

 1; 5 có hai phần tử nên có 22  4 (tập con)

 9 có một phần tử nên có 1

2  2 (tập Con) là  9 và 

 0; 9 có hai phần tử nên có 22  4 (tập con)

0; 1; 5 có ba phần tử nên có  3

2 8 (tập con)

Bài toán 2 Tập hợp bằng nhau

- Phương pháp giải

Để chứng minh A B ta đi chứng minh AB và BA hoặc x x,   A x B

Ví dụ 3 Cho các tập hợp ,

3

A k k 

2

, 3

B   k k 

  Chứng minh rằng AB

Hướng dẫn giải

+) Chứng minh AB:

Ta có     x A k0 sao cho 0

3

x  k 

, suy ra  0   0 

2

x    k       k  

Vì k0 nên k0 1

Suy ra xB Do đó AB  1

+) Chứng minh BA:

0

3

x   k

, suy ra  0   0 

2

x     k     k  

Vì k0   k0 1 Suy ra xA

Trang 9

Vậy BA  2

Từ  1 và  2 suy ra A B

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1 Cho A1, 2,3  Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A   A B 1A C {1; 2} A D 2A

Câu 2 Cho tập hợp A{1; 2;3; 4;5} Tập hợp A có tất cả bao nhiêu tập con có đúng 3 phần tử?

A 32 B 15 C 25 D 10

Câu 3 Cho tập hợp A{a b c d, , , ). Tập A có mấy tập con?

Câu 4 Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con?

A  x y ; B  x C  0; x D 0; ; .x y 

Câu 5 Cách viết nào sau đây là đúng?

A a[ , ]a b B { }a [ ; ]a b C { } [ ; ]a  a b D a( ; ]a b

Câu 6 Cho tập hợp A[ ;m m2] và B [ 1; 2] Điều kiện của m để AB là

A m 1 hoặc m0 B   1 m 0

C 1 m 2 D m 1 hoặc m2

Câu 7 Cho A(2;),B( ;m ) Điều kiện cần và đủ của m sao cho B là tập con của A là

Câu 8 Cho hai tập hợp A[1;3] và B[ ;m m1] Tìm tất cả giá trị của tham số m để BA

A m1 B 1 m 2 C 1 m 2 D m2

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Chọn D

Vì 2 không phải là một tập hợp nên đáp án D là sai Sửa lại: 2A

Câu 2 Chọn D

Các tập con có 3 phần tử của A là

1; 2;3 ; 1; 2; 4 ; 1; 2;5 ; 1;3; 4 ; 1; 4;5 ; 1;3;5 ; 2;3; 4 ; 2;3;5 ; 2; 4;5 ; 3; 4;5                   

Câu 5 Chọn B

Câu 6 Chọn B

Để A B thì 1 1 1 0

m



Câu 7 Chọn D

Để BA thì m2

Câu 8 Chọn C

Để BA thì 1 1 1 2

m



Dạng 3 Xác định tập hợp và các phép toán trên tập số thực

Bài toán 1 Phép toán với tập hợp ở dạng liệt kê, tính chất đặc trưng

- Phương pháp giải

{

A B x x∣ A hoặc xB}

Trang 10

A B x x∣ A xB

A B x x∣ A xB

Ví dụ 1: Cho tập hợp A1; 2;3;5 và B2;3;5;7;9 Xác định các tập hợp AB A; B A B B A; \ ; \

Có tồn tại các tập hợp C B C A hay không? A , B

Hướng dẫn giải

{1, 2;3;5; 7;9}

{2;3;5}

\ {1}

A B

\ {7;9}

Không tồn tại tập hợp C B vì B không là tập hợp con của A A

Không tồn tại tập hợp C A vì A không là tập hợp con của B B

- Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hai tập hợp   2  3  

10 21 0 ,

A x ∣ x  x x x  B{x ∣ 3 2x 1 5} Xác định tập hợp X  A B A; B A B; \

Hướng dẫn giải

Giải phương trình    2

3

10 21 0

0

x x



3 7 0 1

x x x x





 







 







 





Mà x nên A  1;0;1;3;7

Giải bất phương trình 3 2  x     1 5 2 x 2 Mà x nên B  1;0;1

Khi đó X    A B { 1;0;1;3;7};A  B { 1;0;1} và \A B{3;7}

Ví dụ 2 Cho tập A ( 1;1;5 };8 , B: “Gồm các ước số nguyên dương của 16”

a) Viết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử

Viết tập B dưới dạng liệt kê các phần tử

b) Xác định các tập hợp AB A, B A B, \

Hướng dẫn giải

a) Ta có A{x ∣(x1)(x1)(x5)(x 8) 0};B{1; 2; 4;8;16}

b) Ta có A B {1,8},A  B { 1;1; 2; 4;5;8;16},A B\  { 1;5}

Ví dụ 3 Cho A{x x∣  ;x là ước của 12},B{x x∣  ;x là ước của16 

Hãy tìm

a) AB; b) AB; c) A B \

Hướng dẫn giải

Ta có A1; 2;3; 4;6;12 và B1; 2; 4;8;16

a) A B {1;2;4)

b) A B 1; 2;3; 4;6;8;12;16

c) A B\ {3;6;12}

Bài toán 2 Phép toán với các tập hợp dạng nứa khoảng, khoảng, đoạn

- Phương pháp giải

Cách tìm AB A, B A B, \

Trang 11

Ví dụ: Cho các tập hợp A{x ∣   3 x 2}, B{x ∣0 x 7} Xác định

a) AB

b) AB

c) A B \

Hướng dẫn giải

 3; 2 , (0;7]

A  B

Để tìm A B ta làm như sau :

• Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A B, lên trục số

• Tô đậm các tập A B, trên trục số

• Phần tô đậm chính là hợp của hai tập hợp A B

a) Ta có

Vậy A  B [ 3; 7]

Để tìm AB ta làm như sau :

• Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số

• Biểu diễn các tập A, B trên trục số (phần nào không thuộc các tập đó thì gạch bỏ)

• Phần tô đậm gạch bỏ chính là hợp của hai tập hợp A B,

b) Ta có

Vậy A B (0; 2]

Để tìm \A B ta làm như sau

• Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số

• Biểu diễn tập A trên trục số (gạch bỏ phần không thuộc tập A ), gạch bỏ phần thuộc tập B trên trục số

• Phần không bị gạch bỏ chính là \A B

c) Ta có

Vậy A B\   3;0 

- Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Xác định mỗi tập hợp số sau

a) (;3)  ( 2; ); b) ( 1;5] (3; 7);

c) ( 2;3) \ [0;5); c) ( 2; 2] [1;3);

Hướng dẫn giải

a) (;3)    ( 2; ) ( 2;3)

b) ( 1;5] (3; 7) ( 1; 7)

c) ( 2;3) \ [0;5)  ( 2;0)

d) ( 2; 2] [1;3)[1; 2]

Trang 12

Ví dụ 2 Cho các tập hợp:

A x ∣ x B x ∣  x C  x ∣  x

a) Hãy viết lại các tập hợp A B C, , dưới kí hiệu khoáng, nửa khoảng, đoạn

b) Tim AB A, B A B, \

c) Tìm (BC) \ (AC)

Hướng dẫn giải

a) Ta có A ( ;3); B(1;5]; C  2; 4

b) Tìm AB

Biểu diễn trên trục số:

Suy ra A  B ( ;5]

Tim AB

Biểu diễn trên trục số:

Suy ra A B (1;3)

Tim A B \

Biểu diễn trên trục số:

Suy ra A B\  ( ;1]

c) Bằng cách biểu diễn trên trục số, ta có

[ 2;3) và [ 2;5]

A  C B  C

Suy ra (BC) \ (AC)[3;5]

Ví dụ 3 Tìm phần bù của các tập hợp sau trong

a) A [ 12;10)

b) B   ( ; 2) (2;)

c) C[3;) \{5}

d) D{x ∣   4 x 2 5}

Hướng dẫn giải

a) Ta có A  12;10  Vậy C A  ( ; 12)[10;)

b) Ta có B      ; 2 2  Vậy C B [ 2;2]

c) Ta có C[3;) \{5} Vậy C C R   ( ;3) {5}

d)        4 x 2 5 6 x 3

Suy ra D  6;3  Vậy C D   ( ;6] (3; )

Bài toán 3 Tập hợp xác định bởi tham số

- Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Xác định điều kiện của a, b để

a) A  B với A a 1;a2 và Bb b; 4

Trang 13

b) E(CD) với C [ 1, 4];D \ ( 3;3) và E a b;

Chú ý:

Để hình dung cách làm có thể vẽ trên trục số như sau:

Để A B   thì tập B sẽ nằm trong phần bị gạch chéo

Hướng dẫn giải

a) A  B với Aa1;a2 và Bb b; 4

A B

b) E(CD) với C  1; 4 ; D \3;3 và E a b;

Ta có C      D ( ; 3] [ 1; )

3

b

a b

  



 



Chú ý:

Điều kiện a b để E là một đoạn

Ví dụ 2 Tìm m sao cho

a) A B biết A  ;3 và B[ ,m )

b) CD là một khoảng (tùy theo m xác định khoảng đó), biết Cm m; 2 và D  3;1

Hướng dẫn giải

a) Ta có A   B m 3

b) CD là một khoảng (tùy theo m xác định khoảng đó) khi và chỉ khi

1

2 3

m

m m



   

Ví dụ 3 Cho A  4;5 và B2m1m3, tìm m sao cho

a) AB

b) BA

c) A  B

d) AB là một khoảng

Hướng dẫn giải

a)

3

2 1 4

2

3 5

2

m

m

        

 



b)

3

2 2

2

m

m

      

 



c)