Một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không gian:  Luận án TS. Toán học: 62 46 01 02

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNDƯƠNG VIỆT THÔNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015...

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

DƯƠNG VIỆT THÔNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ

KHÔNG GIÃN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

DƯƠNG VIỆT THÔNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ

KHÔNG GIÃN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 62460102

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 GS TS Nguyễn Bường

2 GS TSKH Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quảcủa luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ côngtrình nào khác

NCS Dương Việt Thông

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của các thầy giáo,

GS TS Nguyễn Bường và GS TSKH Phạm Kỳ Anh Tác giả xin bày tỏ lòngkính trọng và biết ơn sâu sắc đến các Thầy Các Thầy đã truyền thụ kiến thức,từng bước định hướng nghiên cứu, giúp tác giả tiếp cận vấn đề một cách tựnhiên để từ đó có thể chủ động, tự tin trong suốt quá trình học tập và nghiêncứu Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần củathầy Nguyễn Bường và thầy Phạm Kỳ Anh đã giúp cho tác giả có ý thức tráchnhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận án của mình

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến PGS TSKH Đỗ Hồng Tân vìnhững chỉ dẫn tận tình và những ý kiến đóng góp quý báu của Thầy dành chotác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Tác giả xin chân thành cám ơn TS Nguyễn Thị Thanh Hà, TS Lê AnhDũng, TS Nguyễn Văn Khiêm và TS Nguyễn Thế Vinh đã động viên và gópnhiều ý kiến quý báu trong suốt thời gian tác giả tham gia Seminar "Một sốvấn đề trong lý thuyết KKM và lý thuyết điểm bất động" do Bộ môn Giảitích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tổ chức

Tác giả xin chân thành cảm ơn các phản biện độc lập về những nhận xétquý báu, nhờ đó mà bản thảo lần này đã có những cải thiện đáng kể

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo Bộ môn Giảitích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo Sau đại học cùng toàn thể

các thầy giáo, cô giáo, cán bộ và nhân viên của Khoa Toán - Cơ - Tin học,Trường ĐHKHTN đã tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian tácgiả hoàn thành luận án của mình.

Tác giả xin được bày tỏ sự biết ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Kinh

tế Quốc dân, các Thầy Cô trong Bộ môn Toán cơ bản, Khoa Toán Kinh tế

đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập,nghiên cứu cũng như giảng dạy trong Nhà trường

Xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến toàn thể bạn bè và người thân, nhữngngười đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu

và hoàn thành luận án này

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

Mục lục

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 4

Một số ký hiệu và chữ viết tắt 6

MỞ ĐẦU 7

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 17

1.1 Giới thiệu về hình học không gian Banach 17

1.2 Ánh xạ không giãn 21

1.3 Tốc độ hội tụ của một số phương pháp lặp 27

1.4 Kết luận 37

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN 38

2.1 Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ không giãn 38

2.2 Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ giả co chặt 47

2.3 Kết luận 54

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT 56

3.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ không giãn 56 3.2 Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz 67 3.3 Phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn có sai số 74

3.4 Kết luận 82

KẾT LUẬN CHUNG 84

1 Kết quả đạt được 84

2 Kiến nghị một số hướng nghiên cứu tiếp theo 84DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUANĐẾN LUẬN ÁN 86TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

Aλ = 1

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động do L E J Brouwer khởi xướng năm 1912 đếnnay đã được hơn 100 năm tuổi Đó là một chương quan trọng của Giải tíchphi tuyến, sâu sắc về lý thuyết, phong phú trong ứng dụng, gắn liền với têntuổi của các nhà Toán học lớn như: E Picard, L E J Brouwer, S Banach, J.Schauder, S Kakutani, A N Tikhonov, Ky Fan, F E Browder,

Trong sáu thập kỷ qua, nghiên cứu điểm bất động của lớp ánh xạ khônggiãn là một trong những chủ đề được quan tâm rộng rãi của giải tích phi tuyến.Điều này kết nối giữa lý thuyết hình học của không gian Banach cùng với sựliên quan của lý thuyết toán tử đơn điệu và toán tử tăng trưởng Như ta đãbiết nếu ký hiệu X∗ là không gian đối ngẫu của không gian Banach X, toán

Một trong những sự kiện liên quan giữa toán tử đơn điệu và toán tử tăngtrưởng là chúng trùng nhau trong không gian Hilbert Các tính chất của toán

tử đơn điệu và toán tử tăng trưởng là rất quan trọng trong các lĩnh vực nhưgiải tích số, phương trình đạo hàm riêng, giải tích lồi Điều đặc biệt là dưới viphân của một hàm lồi là toán tử đơn điệu Nhắc lại rằng, trong không gianBanach X cho hàm f : X → (−∞, +∞], dưới vi phân của f là toán tử đa trị

H Brezis, M G Crandall và A Pazy đưa ra khái niệm giải thức của toán tửđơn điệu trong không gian Banach trong [17] Họ đã thiết lập các tính chất cơbản của giải thức và đặc biệt điểm bất động của giải thức liên quan đến khôngđiểm của toán tử đơn điệu Trong không gian Banach X cho A : X → 2X làtoán tử đơn điệu cực đại Khi đó giải thức Jλ của toán tử A là ánh xạ đơn trị

và được xác định theo công thức Jλ = (I + λA)−1,∀λ > 0 Chúng ta biết rằng

A−10 = F (Jλ) Hơn nữa, Jλ là ánh xạ không giãn Suy ra vấn đề tìm khôngđiểm của toán tử đơn điệu cực đại A tương đương với vấn đề tìm điểm bấtđộng của ánh xạ không giãn Jλ

Giữa lớp ánh xạ không giãn và toán tử tăng trưởng là lớp ánh xạ giả co.Ánh xạ T : X → X trong không gian Banach X được gọi là ánh xạ giả co nếu

∀x, y ∈ X tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho

hT x − T y, j(x − y)i ≤ kx − yk2

Chúng ta biết rằng T là ánh xạ giả co khi và chỉ khi I − T là ánh xạ tăngtrưởng Điều này nghĩa là việc giải một phương trình toán tử tăng trưởng cóthể xem xét như là một vấn đề tìm điểm bất động của toán tử giả co.

Trong lý thuyết điểm bất động, ngay sau vấn đề tồn tại điểm bất động, làvấn đề xây dựng thuật toán để tìm điểm bất động đó Điều này đặc biệt quantrọng trong ứng dụng Thuật toán đơn giản nhất là phép lặp Picard xác địnhbởi

xn+1 = T xn, n∈ N0.Phép lặp này có ưu điểm lớn là rất đơn giản và hữu hiệu cho các ánh xạ loại

co Phép lặp Picard nói chung không hội tụ khi T là ánh xạ không giãn Đểkhắc phục điều này M A Krasnoselskij vào năm 1955 [55] đã đề xuất mộtphép lặp mới

xn+1 = 1

2(xn+ T xn), n∈ N (1)Phép lặp Krasnoselskij đặc biệt hữu hiệu cho không gian Banach lồi đều.Vào năm 1953, W R Mann [59] đề xuất một phép lặp tổng quát hơn phéplặp của Krasnoselskij

xn+1 = (1− αn)xn+ αnT xn, {αn} ⊂ [0, 1] (2)Phép lặp Mann hữu hiệu cho một lớp ánh xạ rộng hơn ánh xạ không giãn,chẳng hạn lớp ánh xạ tựa không giãn

Năm 1967, B Halpern [43] đề xuất một phép lặp mới cho lớp ánh xạ khônggiãn như sau

xn+1 = αnu+ (1− αn)T xn, n ≥ 0, αn ∈ [0, 1]

Năm 1974 [48], S Ishikawa đã đề xuất một phép lặp mới tổng quát hơnphép lặp Mann

xn+1 = (1− αn)xn+ αnT[(1− βn)xn+ βnT xn], n∈ N, (3)

trong đó {αn}, {βn} ⊂ [0, 1].

Đó là năm loại phép lặp được sử dụng phổ biến nhất để tính xấp xỉ điểmbất động của lớp ánh xạ không giãn và các lớp ánh xạ khác

Đối với các phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động của ánh xạ nói trên, ít

có công trình nào đề cập đến tốc độ hội tụ của chúng Tuy nhiên, cũng đã cómột số tác giả đề cập đến tốc độ hội tụ của một số phương pháp lặp cho cácloại ánh xạ khác nhau Chẳng hạn như năm 2008, Zhiqun Xue [100] đã so sánhtốc độ hội tụ giữa dãy lặp Picard và dãy lặp Mann, dãy lặp Krasnoselskij vàdãy lặp Ishikawa cho lớp toán tử Zamfirescu [111] Năm 2007, O Popescu [72]cũng so sánh tốc độ hội tụ giữa dãy lặp Picard và dãy lặp Mann cho lớp ánh

xạ tựa co Tuy nhiên tốc độ hội tụ của dãy lặp Mann và dãy lặp Ishikawa thìđến nay vẫn chưa có câu trả lời cho bất kỳ lớp ánh xạ nào và vấn đề này cũngđược chúng tôi nghiên cứu và được đề cập đến vấn đề này trong phần 1.3.2.Một trong những lý do bài toán tìm xấp xỉ điểm bất động của ánh xạkhông giãn được quan tâm gần đây chính là ứng dụng của nó Bên cạnh vấn

đề tìm không điểm của toán tử đơn điệu [51, 74, 87, 84, ], người ta còn ápdụng phép lặp điểm bất động để tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân,điểm cực tiểu của hàm lồi và nhiều vấn đề khác [10, 27, 37, 64, 70, 69, 97, ].Thật vậy, trong không gian Hilbert H cho toán tử đơn điệu A xác định trêntập con lồi đóng C Bài toán bất đẳng thức biến phân là tìm x ∈ C sao cho

hAx, y − xi ≥ 0 ∀y ∈ C

Tập tất cả các nghiệm của bất đẳng thức biến phân ký hiệu là V IP (A, C)

Ta có thể chứng minh rằng tìm x ∈ V IP(C, A) khi A là toán tử α- đơn điệumạnh ngược tương đương với x là điểm bất động của ánh xạ không giãn

T = PC(I − λA)với 0 < λ ≤ 2α, I là ánh xạ đồng nhất, PC là phép chiếu lên tập C Như vậyxấp xỉ nghiệm của V IP (A, C) được đưa về xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ

Cho đến nay có rất nhiều kết quả nghiên cứu về các phương pháp tìm điểmbất động chung cho một họ ánh xạ không giãn và điểm bất động chung chocác họ ánh xạ khác như họ ánh xạ giả co, họ ánh xạ giả co chặt Một trongcác phương pháp này là cải tiến các phương pháp lặp cổ điển nổi tiếng nhưphép lặp Mann, phép lặp Halpern, phép lặp Ishikawa Như đã biết phép lặpMann thì nói chung chỉ hội tụ yếu [33, 34, 60, ] Để khắc phục điều này thìnăm 2003, K Nakajo và W Takahashi [63] đã cải tiến phương pháp lặp Manntrong không gian Hilbert như sau:

rất quan tâm [61, 87, 65, 81, 88, ] Phương pháp lặp trên có tên gọi là phươngpháp lặp CQ [107] hay phương pháp lặp lai ghép [92] Ở Việt Nam, có một

số các nhà toán học đang nghiên cứu về phương pháp lặp này như: Phạm KỳAnh [9, 8, 11], Phạm Ngọc Anh, Trần Quốc Bình, Nguyễn Bường [21, 24, 23,22], Lê Anh Dũng, Nguyễn Thị Thanh Hà, Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị ThuThủy, Nguyễn Thị Thu Vân, Nguyễn Thế Vinh, để tìm điểm bất động chungcho họ các lớp ánh xạ và ứng dụng của nó

Một trong những phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động chung cho một

họ các ánh xạ không giãn gần đây cũng được quan tâm là phương pháp lặp

ẩn Phương pháp này được F E Browder đề xuất năm 1967 [18] cho một ánh

xạ không giãn trong không gian Hilbert như sau:

hội tụ yếu đến tập điểm bất động chung của họ hữu hạn ánh xạ không giãn

Ti, i= 1, , N

Năm 2003, T Suzuki [90] áp dụng thuật toán của Browder để tìm điểmbất động chung cho một nửa nhóm ánh xạ không giãn {T(t) : t ≥ 0)} trongkhông gian Hilbert

xn = αnu+ (1− αn)T (tn)xn.Năm 2004, M O Osilike [66] đã sử dụng thuật toán (4) để tìm điểm bấtđộng chung cho họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt Ti, i = 1, , N Cũng với ýtưởng đó, năm 2006, R Chen, Y Song, H Zhou [32] đã sử dụng thuật toán

(4) để tìm điểm bất động chung cho họ hữu hạn ánh xạ giả co liên tục Năm

2008, H Zhou [114] cũng sử dụng thuật toán (4) để tìm điểm bất động chungcho họ hữu hạn ánh xạ giả co Lipschitz

Năm 2010, S S Zhang [112, 113] đã nghiên cứu dãy lặp ẩn

x0 ∈ C, xn = αnxn−1+ (1− αn)T (tn)xn, (5)

để tìm điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz {T(t) : t ≥

0} và nửa nhóm ánh xạ giả co chặt {T (t) : t ≥ 0} Với những ý tưởng đó chúngtôi cũng tiến hành nghiên cứu phương pháp lặp ẩn (5) cho nửa nhóm ánh xạkhông giãn {T(t) : t ≥ 0} và nửa nhóm ánh xạ giả co chặt {T(t) : t ≥ 0}.Chúng tôi đã đưa ra những điều kiện khác của dãy {tn} và {αn} cho dãy lặp(5) hội tụ

Gần đây, một phương pháp cũng được nhiều người nghiên cứu đó là phươngpháp xấp xỉ gắn kết (viscosity methods) Phương pháp này được A Moudafi

đề xuất vào năm 2000 [62] trong không gian Hilbert như sau:

1 + ǫnT xn+

ǫn

1 + ǫnf(xn), n∈ N, ǫn ∈ (0, 1), (6)và

về phương pháp xấp xỉ gắn kết để tìm điểm bất động Đặc biệt, năm 2007 R.Chen và H He [29] đã nghiên cứu phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn và phươngpháp xấp xỉ gắn kết hiện như sau:

xn = αnf(xn) + (1− αn)T (tn)xn, n∈ N, (8)và

xn+1 = αnf(xn) + (1− αn)T (tn)xn, n∈ N, (9)

trong đó {T(t) : t ≥ 0} là nửa nhóm ánh xạ không giãn R Chen và H He đãchứng minh phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn (8) và phương pháp xấp xỉ gắnkết hiện (9) hội tụ mạnh đến điểm bất động chung q của nửa nhóm ánh xạkhông giãn {T(t) : t ≥ 0}, trong đó q là nghiệm duy nhất của bất đẳng thứcbiến phân

h(f − I)q, j(x − q)i ≤ 0 ∀x ∈ \

t≥0

F(T (t))

Tiếp đó năm 2008, Y Song và S Xu [85] cũng chứng minh một kết quả tương

tự như của R Chen và H He cho nửa nhóm ánh xạ không giãn {T(t) : t ≥ 0}tiệm cận chính quy đều Với những ý tưởng trên chúng tôi cũng tiến hànhnghiên cứu phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn (8) và phương pháp xấp xỉ gắn kếthiện (9) cho nửa nhóm ánh xạ không giãn {T(t) : t ≥ 0} và nửa nhóm ánh xạgiả co Lipschitz {T(t) : t ≥ 0} Chúng tôi đưa ra một cách tiếp cận mới chocác dãy lặp (8) và (9) hội tụ

Năm 2008, Y Hao [44] đã nghiên cứu dãy lặp ẩn có sai số như sau:

x0 ∈ K, xn = αnxn−1+ βnTnxn+ γnun ∀n ≥ 1, (10)Hao đã chứng minh dãy lặp ẩn trên hội tụ yếu đến điểm bất động chung củamột họ hữu hạn ánh xạ giả co Lipschitz trong không gian Banach lồi đều Năm

2010, X Qin và S Y Cho [73] phát triển dãy lặp ẩn (10) cho nửa nhóm giả

co Lipschitz {T(t) : t ≥ 0} như sau:

số như sau:

Trong đó {T(t) : t ≥ 0} là nửa nhóm ánh xạ không giãn hoặc nửa nhóm ánh

xạ giả co Lipschitz

Có thể nói rằng, luận án này đề xuất một hướng tiếp cận mới cho bài toántìm điểm bất động chung của một họ các ánh xạ không giãn trong không gianBanach và Hilbert Cụ thể luận án đã giải quyết được các vấn đề như sau:

1 So sánh được tốc độ hội tụ của một số phương pháp lặp cho lớp ánh xạZamfirescu

2 Nghiên cứu phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ không giãn vànửa nhóm ánh xạ giả co chặt

3 Nghiên cứu phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn và phương pháp xấp xỉ gắnkết hiện cho nửa nhóm ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz

4 Nghiên cứu phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn có sai số cho nửa nhóm ánh

xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz

Nội dung luận án được trình bày trong ba chương

Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị, giới thiệu sơ lược về một sốvấn đề liên quan đến cấu trúc hình học của không gian Banach, các lớp ánh

xạ và một số phương pháp lặp Cuối Chương 1 chúng tôi so sánh tốc độ hội

tụ của một số phương pháp lặp cho lớp ánh xạ Zamfirescu Các kết quả củachương này dựa trên nội dung của công trình [3]

Chương 2 trình bày các định lý về sự hội tụ của phương pháp lặp ẩn chonửa nhóm ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ giả co chặt Các kết quảcủa chương này dựa vào nội dung của các công trình [1, 2, 5]

Chương 3 trình bày các định lý về sự hội tụ của phương pháp xấp xỉ gắnkết ẩn và phương pháp xấp xỉ gắn kết hiện cho nửa nhóm ánh xạ không giãn vànửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz Cuối chương 3 chúng tôi trình bày phươngpháp xấp xỉ gắn kết ẩn có sai số cho nửa nhóm ánh xạ không giãn và nửanhóm ánh xạ giả co Lipschitz Các kết quả của chương này dựa trên nội dungcủa các công trình [4, 5, 6]

Một phần kết quả của luận án và các kết quả liên quan đã được báo cáotại Hội nghị Toán học toàn quốc, Nha Trang 2013.

Ngoài ra, các kết quả của luận án được báo cáo tại xêmina "Lý thuyết điểmbất động và hình học của không gian Banach" của khoa Toán - Tin, Trường

ĐH Sư phạm Hà nội

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Một số kiến thức cơ bản về hình học không gian Banach được chúng tôigiới thiệu trong chương này và chúng tôi cũng giới thiệu một số phương pháplặp tìm điểm bất động cho các lớp ánh xạ khác nhau, cuối Chương 1 chúng tôi

so sánh tốc độ hội tụ của một số phương pháp lặp cho lớp ánh xạ Zamfirescu

1.1 Giới thiệu về hình học không gian Banach

1.1.1 Tính lồi của không gian Banach

Đầu tiên chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất trong khônggian Banach mà chủ yếu được chúng tôi tham khảo trong [5, 91]

Định nghĩa 1.1 Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu với mọi

n→∞kxn− ynk = 0

Định lý 1.1 Cho X là không gian Banach thì các điều kiện sau tương đương:1) X là không gian lồi đều;

2) với mọi ǫ với 0 < ǫ ≤ 2 thì tồn tại δ = δ(ǫ) > 0 sao cho

x+ y

với mọi x, y ∈ X với kxk = kyk = 1 và kx − yk ≥ ǫ

Giả sử X là không gian Banach thì hàm số δ : [0, 2] → [0, 1] được xác địnhnhư sau

δ(ǫ) = inf



1− kx + yk2 : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ǫ



được gọi là môđun lồi của X

Dễ thấy rằng δ là hàm không giảm, nghĩa là nếu ǫ1 ≤ ǫ2 thì δ(ǫ1)≤ δ(ǫ2)

Định lý 1.2 Cho X là không gian Banach Khi đó X là lồi đều nếu và chỉnếu δ(ǫ) > 0 với mọi ǫ > 0

Định lý 1.3 Giả sử X là không gian Banach lồi đều Khi đó với mọi r và ǫvới r ≥ ǫ > 0 các bất đẳng thức kxk ≤ r, kyk ≤ r và kx − yk ≥ ǫ > 0 suy ra

Bổ đề 1.1 Cho X là không gian Banach lồi đều và δ là môđun lồi của X.Giả sử 0 < ǫ < r ≤ R Khi đó δǫ

R



>0 vàkλx + (1 − λ)yk ≤ r1− 2λ(1 − λ)δRǫ 

với mọi x, y ∈ X với kxk ≤ r, kyk ≤ r, kx − yk ≥ ǫ và λ ∈ [0, 1]

Định nghĩa 1.2 Không gian Banach X được gọi là thỏa mãn điều kiện Opialnếu mọi dãy {xn} trong X hội tụ yếu đến x thì

lim inf

n→∞ kxn− xk < lim infn→∞ kxn− yk với mọi y ∈ X, y 6= x

Định lý 1.4 Mọi không gian lồi đều là không gian phản xạ

1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu

Cho X là không gian Banach và X∗ là không gian đối ngẫu Với mỗi x ∈ X,

ta đặt

J(x) ={f ∈ X∗ : hx, fi = kxk2 = kfk2}Ánh xạ đa trị J : X → 2X ∗ được gọi là ánh xạ đối ngẫu của X

Định lý 1.5 Cho X là không gian Banach và J là ánh xạ đối ngẫu của X.Khi đó

1) với mỗi x ∈ E, J(x) là tập lồi đóng khác rỗng bị chặn của X∗;

2) Giả sử x, x1, x2, ∈ X Khi đó xn⇀x nếu và chỉ nếu lim

n→∞fn(x) = f (x)với mọi f ∈ X∗

Định nghĩa 1.4 Giả sử J là đơn trị Ánh xạ đối ngẫu J được gọi là liên tụcyếu theo dãy nếu với mỗi dãy {xn} ⊂ X, xn ⇀ x thì J(xn)w⇀ J(x).∗

Định nghĩa 1.5 Không gian Banach X được gọi là có ánh xạ đối ngẫu liêntục yếu theo dãy nếu J là đơn trị và J là liên tục yếu theo dãy

Bổ đề 1.2 ([41], Định lý 1) Nếu không gian Banach thực X có ánh xạ đốingẫu J liên tục yếu theo dãy thì X thỏa mãn điều kiện Opial

Bổ đề 1.3 Giả sử X là không gian Banach thực, J là ánh xạ đối ngẫu Khi

đó với mọi x, y ∈ X ta có

kx + yk2 ≤ kxk2+ 2hy, j(x + y)ivới mọi j(x + y) ∈ J(x + y)

1.1.3 Tính khả vi của chuẩn

Chúng tôi trình bày tính khả vi của chuẩn của không gian Banach Cho X

là không gian Banach và đặt S(X) = {x ∈ X : kxk = 1}

• Không gian Banach X được gọi là trơn nếu giới hạn

• Không gian Banach X được gọi là có chuẩn khả vi Fréchet nếu với mỗi

x∈ S(X) giới hạn (1.1) là đều với mọi y ∈ S(X)

• Chuẩn của X được gọi là khả vi Fréchet đều (hay X còn được gọi là trơnđều) nếu giới hạn (1.1) là đều với mọi (x, y) ∈ S(X) × S(X)

Định lý 1.6 X là không gian Banach trơn thì ánh xạ đối ngẫu J của X làđơn trị

Bổ đề 1.4 Giả sử X là không gian Banach và J là ánh xạ đối ngẫu của X.Nếu J là đơn trị thì J liên tục từ không gian Banach X với tôpô chuẩn và X∗

với tôpô * yếu

Định lý 1.7 Cho X là không gian Banach và J là ánh xạ đối ngẫu của X.Nếu J là đơn trị, thì X là trơn

Định lý 1.8 Giả sử X∗ là không gian Banach lồi đều và J là ánh xạ đốingẫu của X Khi đó J là đơn trị và liên tục đều trên mọi tập con bị chặn của

X, nghĩa là cho B là tập con bị chặn của X và ǫ > 0, thì tồn tại δ > 0 saocho

kJ(x) − J(y)k < ǫ ∀x, y ∈ B và kx − yk < δ

Định lý 1.9 Cho X là không gian Banach với chuẩn khả vi Fréchet Khi đóánh xạ đối ngẫu J : X → X∗ liên tục theo tôpô chuẩn trên X và tôpô chuẩntrên X∗

Định lý 1.10 Cho X là không gian Banach lồi đều với chuẩn khả vi Gâteauxđều Khi đó ánh xạ đối ngẫu J : X → X∗ là liên tục đều trên mỗi tập con bịchặn của không gian X với tôpô chuẩn và không gian X∗ với tôpô * yếu.Định lý 1.11 Cho X là không gian Banach Khi đó, X có chuẩn khả viFréchet đều khi và chỉ khi X∗ lồi đều.

1.2 Ánh xạ không giãn

1.2.1 Ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.6 Cho C là một tập con khác rỗng của không gian định chuẩn

X và T : C → X là một ánh xạ T được gọi là không giãn nếu

kT x − T yk ≤ kx − yk ∀x, y ∈ C

Nhắc lại rằng dãy {xn} ⊂ C được gọi là một dãy xấp xỉ điểm bất động của

T nếu lim

n→∞kxn− T xnk = 0

Định nghĩa 1.7 Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Banach X

và T : C → X là một ánh xạ Khi đó T được gọi là nửa đóng tại v ∈ X nếuvới mọi dãy {xn} ∈ C thỏa mãn xn ⇀ u∈ C và T xn ⇀ v thì T u = v

Định lý 1.12 Nếu X là không gian Banach thỏa mãn điều kiện Opial, C làtập con khác rỗng compắc yếu của X và T : C → X là ánh xạ không giãn thì

I− T là nửa đóng

Hệ quả 1.1 Nếu X là không gian Banach phản xạ thỏa mãn điều kiện Opial,

C là tập con lồi đóng khác rỗng của X và T : C → X là ánh xạ không giãnthì I − T là nửa đóng

Định lý 1.13 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gianBanach lồi đều X và T : C → X là ánh xạ không giãn thì I − T là nửa đóng.Định lý 1.14 Cho X là không gian Banach phản xạ thỏa mãn điều kiệnOpial, C là một tập con lồi đóng bị chặn khác rỗng của X và T : C → C làánh xạ không giãn Khi đó T có điểm bất động trong C

Định lý 1.15 (F E Browder và D Gohde, 1965) Cho C là tập con lồi đóng

bị chặn khác rỗng của không gian Banach lồi đều X Khi đó mọi ánh xạ khônggiãn T : C → C đều có điểm bất động

Định nghĩa 1.8 Họ ánh xạ {T(t) : t ≥ 0} được gọi là nửa nhóm ánh xạkhông giãn từ tập con khác rỗng C của không gian Banach X vào chính nónếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

(1) với mỗi t ≥ 0, T(t) là ánh xạ không giãn trên C;

Định nghĩa 1.9

• Ánh xạ T với miền xác định là D(T ) và miền giá trị là R(T ) được gọi là giả

co nếu với mọi x, y ∈ D(T) tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho

hT x − T y, j(x − y)i ≤ kx − yk2 (1.2)Điều kiện (1.2) tương đương với

Nhận xét 1.1 Mọi ánh xạ giả co chặt là ánh xạ Lipschitz với hằng số chitz bằng 1 + λ

Lips-λ Trong không gian Hilbert, ánh xạ giả co chặt được định nghĩa như sau: Ánh

xạ T được gọi là giả co chặt trong không gian Hilbert nếu tồn tại k ∈ [0, 1)sao cho

kT x − T yk2 ≤ kx − yk2+ kk(I − T )x − (I − T )yk2 ∀x, y ∈ D(T )

Khi đó ánh xạ giả co chặt là ánh xạ Lipschitz với hằng số Lipschitz là

1 + k

1− k

Có một mối liên hệ giữa các lớp ánh xạ như sau:

1 Lớp ánh xạ co ⊂ lớp ánh xạ không giãn ⊂ lớp ánh xạ giả co

2 Lớp ánh xạ co ⊂ lớp ánh xạ giả co mạnh ⊂ lớp ánh xạ giả co

6 Ánh xạ giả co nói chung là không liên tục

Định lý 1.16 (K Deimling, [39]) Nếu C là một tập con lồi đóng khác rỗngcủa không gian Banach X và T : C → C là ánh xạ liên tục, giả co mạnh thì

T có duy nhất điểm bất động trong C

Định nghĩa 1.10 (S S Zhang, [113]) Họ các ánh xạ một tham số {T(t) :

t ≥ 0} từ C vào chính nó được gọi là nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz nếucác điều kiện sau được thỏa mãn:

(1) T (0)x = x với mỗi x ∈ C;

(2) T (t + s)x = T (t)T (s)x với mọi t, s ∈ R+ và x ∈ C;

(3) với mỗi x ∈ C, ánh xạ T(.)x từ R+ vào C là liên tục;

(4) với mọi x, y ∈ C, tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho

hT (t)x − T (t)y, j(x − y)i ≤ kx − yk2 với mỗi t > 0; (1.5)

(5) tồn tại hàm bị chặn L : (0, ∞) → [0, ∞) sao cho, với mọi x, y ∈ C

Định nghĩa 1.11 (S S Zhang, [113]) Họ các ánh xạ một tham số {T(t) :

t ≥ 0} từ C vào chính nó được gọi là nửa nhóm ánh xạ giả co mạnh trên Cnếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(1) T (0)x = x với mỗi x ∈ C;

(2) T (t + s)x = T (t)T (s)x với mọi t, s ∈ R+ và x ∈ C;

(3) với mỗi x ∈ E, ánh xạ T(.)x từ R+ vào C là liên tục;

(4) tồn tại hàm bị chặn k : [0, ∞) → (0, 1) với sup

t≥0

k(t) < 1 sao cho với mọi

x, y ∈ C tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho

hT (t)x − T (t)y, j(x − y)i ≤ k(t)kx − yk2với mỗi t > 0

Định nghĩa 1.12 (S S Zhang, [113]) Họ các ánh xạ một tham số {T(t) :

t≥ 0} từ C vào chính nó được gọi là nửa nhóm ánh xạ giả co chặt trên C nếucác điều kiện sau đây được thỏa mãn:

hT (t)x − T (t)y, j(x − y)i ≤ kx − yk2− λ(t)k[I − T (t)]x − [I − T (t)]yk2với mỗi t > 0

Trong luận án này, chúng tôi luôn giả sử

1.2.3 Toán tử tăng trưởng

Định nghĩa 1.13 Cho X, Y là hai không gian Banach, ánh xạ A : X → 2Y

được gọi là một toán tử Nếu X = Y , thì toán tử A : X → 2X được gọi là toán

tử của X

Cho toán tử A : X → 2Y, đặt

D(A) ={x ∈ X : Ax 6= ∅} gọi là miền xác định của A,

R(A) = ∪

x∈XAx là miền giá trị của A,

G(A) = {[x, y] ∈ X × Y : x ∈ D(A), y ∈ Ax} là đồ thị của A

Toán tử A : X → 2Y là ánh xạ đa trị, nếu với mỗi x ∈ X, Ax ⊂ Y Nếu Ax

là tập một điểm với mọi x, thì A được gọi là ánh xạ đơn trị

Định nghĩa 1.14 Toán tử A : X → 2X là tăng trưởng nếu với mọi (x1, y1), (x2, y2)∈G(A), tồn tại j ∈ J(x1− x2) sao cho hy1− y2, ji ≥ 0, với J là ánh xạ đối ngẫu

của X

Bổ đề 1.5 (W Takahashi, [91]) Cho X là không gian Banach Giả sử x, y ∈

X, khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:

(1) kxk ≤ kx + λyk với λ ≥ 0;

(2) tồn tại f ∈ J(x) sao cho hy, fi ≥ 0

Định lý 1.17 (W Takahashi, [91]) Cho X là không gian Banach và A : X →

2X là một ánh xạ Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:

Định lý 1.18 (W Takahashi, [91]) Cho A : X → 2X là toán tử tăng trưởng

và λ > 0 Khi đó ta có các tính chất sau:

(1) Jλ là đơn trị;

(2) kJλx− Jλyk ≤ kx − yk với mọi x, y ∈ R(I + λA);

(3) Aλ là tăng trưởng và

kAλx− Aλyk ≤ λ2kx − yk với mọi x, y ∈ R(I + λA)

Định lý 1.19 (W Takahashi, [91]) Cho C là một tập con lồi đóng của khônggian Banach X và T : C → C là ánh xạ không giãn Khi đó ta có các tính chấtsau:

(1) Nếu A = I − T thì A là tăng trưởng;

(2) C = D(A) ⊂ ∩

r>0R(I + rA)

Bổ đề 1.6 Cho X là không gian Banach và T : D(T ) ⊂ X → X là một ánh

xạ Khi đó T là giả co khi và chỉ khi I − T là toán tử tăng trưởng

Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Banach X và T : C → C

là ánh xạ giả co, thì A := I − T là tăng trưởng Kí hiệu g = (2I − T)−1, thì

g : R(2I − T ) → C là ánh xạ không giãn, đơn trị và F (g) = F (T )

Bổ đề 1.7 (H Zhou, [114]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng củakhông gian Banach X và T : C → C là ánh xạ liên tục, giả co Kí hiệu

g = (2I − T )−1 Khi đó

(1) g là ánh xạ không giãn trên C;

(2) nếu lim

n→∞kxn− T xnk = 0 thì limn→∞kxn− gxnk = 0

Sau đây chúng tôi trình bày nguyên lý nửa đóng cho ánh xạ giả co

Định lý 1.20 (H Zhou, [114]) Cho X là không gian Banach thực phản xạ

mà thỏa mãn điều kiện Opial Giả sử C là một tập con lồi đóng khác rỗng của

X và T : C → C là ánh xạ liên tục, giả co Khi đó I − T là nửa đóng

Định lý 1.21 (H Zhou, [114]) Cho X là không gian Banach lồi đều, C làtập con lồi đóng khác rỗng của X và T : C → C là ánh xạ liên tục, giả co Khi

đó I − T là nửa đóng

1.3 Tốc độ hội tụ của một số phương pháp lặp

1.3.1 Một số phương pháp lặp

Như ta đã biết vấn đề xấp xỉ tìm điểm bất động cho các lớp ánh xạ làrất quan trọng trong ứng dụng Ở đây chúng tôi xin giới thiệu một số phươngpháp lặp để tìm xấp xỉ điểm bất động của một ánh xạ

Thuật toán đơn giản nhất là phép lặp Picard xác định bởi

a) Tồn tại duy nhất điểm bất động v ∈ X

b) Với bất kỳ x0 ∈ X, phép lặp Picard xác định bởi

xn+1 = T xn, n = 0, 1, 2, (1.8)hội tụ tới v

Phép lặp Picard không áp dụng được cho ánh xạ không giãn Để khắc phụcđiều này M A Krasnoselskij vào năm 1955 [55] đã đề xuất một phép lặp mới

xn+1 = 1

2(xn+ T xn), n∈ N (1.9)Phép lặp Krasnoselskij đặc biệt hữu hiệu cho không gian Banach lồi đều.Định lý 1.23 Cho C là tập khác rỗng lồi đóng bị chặn của không gian Banachlồi đều X và T là một ánh xạ không giãn từ C vào một tập con compắc của

C Giả sử x1 ∈ C là một điểm tùy ý Khi đó dãy {xn} xác định bởi (1.9) hội

tụ mạnh tới điểm bất động của T trong C

Vào năm 1953, W R Mann [59] đề xuất một phép lặp tổng quát hơn phéplặp của Krasnoselskij

xn+1 = (1− αn)xn+ αnT xn, {αn} ⊂ [0, 1] (1.10)

Phép lặp Mann hữu hiệu cho một lớp ánh xạ rộng hơn ánh xạ không giãn,chẳng hạn lớp ánh xạ tựa không giãn:

αn =∞ Khi đó {xn} hội tụ yếu tới điểm bất động của T

Phép lặp Mann không áp dụng được cho lớp ánh xạ giả co trong khônggian Hilbert:

||T x − T y||2 ≤ ||x − y||2+||(I − T )x − (I − T )y||2 ∀x, y

Năm 1974, S Ishikawa [48] đã đề xuất một phép lặp mới tổng quát hơn phéplặp Mann

xn+1 = (1− αn)xn+ αnT[(1− βn)xn+ βnT xn], n∈ N, (1.11)trong đó {αn}, {βn} ⊂ [0, 1]

Định lý 1.25 Cho C là một tập con khác rỗng lồi của một không gian Hilbert

H và T : C → C là ánh xạ Lipschitz giả co với F (T ) 6= ∅ Giả sử {xn} là dãylặp Ishikawa được định nghĩa bởi (1.11), với

và x1 ∈ C Khi đó {xn} hội tụ mạnh tới điểm bất động của T

1.3.2 So sánh tốc độ hội tụ của một số phương pháp lặp

Trong nhiều thập kỉ đã qua, rất nhiều bài báo đã công bố về vấn đề xấp

xỉ điểm bất động cho các lớp ánh xạ, bằng cách sử dụng các phương pháp lặpPicard [14], Krasnoselskij [18, 52, 55], Mann [42, 59] và Ishikawa [48] Tronglớp ánh xạ Zamfirescu, dãy lặp Picard, Mann, dãy lặp Ishikawa [16], dãy lặp

hai bước [109] có thể được sử dụng để xấp xỉ điểm bất động [15] Trong trườnghợp này điều rất quan trọng là so sánh tốc độ hội tụ của các dãy lặp trên.Trong mục này chúng tôi sẽ so sánh tốc độ hội tụ của các dãy lặp trên.

Cho X là không gian Banach thực, C là tập con lồi đóng của X, và T :

C → C là một ánh xạ Cho các điểm p0, v0, u0, x0 trong C Dãy {pn}∞

n=0 ⊂ Cxác định bởi

được gọi là dãy lặp Picard

Cho {an} là các dãy số thực trong [0, 1] Dãy {vn}∞

n=0 ⊂ C được xác địnhbởi

xn+1 = (1− an)yn+ anT yn, n≥ 0,với {an}, {bn} ⊂ [0, 1]

Năm 1972, T Zamfirescu [111] đã đưa ra định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.15 Cho X là không gian mêtric Ánh xạ T : X → X thỏamãn điều kiện Zamfirescu nếu và chỉ nếu tồn tại các số a, b, c với 0 < a <

(b) d(T x, T y) ≤ b[d(Tx, x) + d(Ty, y)];

(c) d(T x, T y) ≤ c[d(x, Ty) + d(y, Tx)]

Trong luận án này, ánh xạ thỏa mãn điều kiện Zamfirescu chúng tôi gọi làánh xạ Zamfirescu Hiển nhiên, chúng ta thấy rằng mỗi ánh xạ Zamfirescu Tthỏa mãn bất đẳng thức

d(T x, T y) ≤ δd(x, y) + 2δd(x, T x) (1.16)với mọi x, y ∈ X, δ = maxa, b

Định lý 1.26 ([111]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T : X → X

là ánh xạ Zamfirescu Khi đó, T có duy nhất điểm bất động q và dãy lặp Picard(1.12) với p0 ∈ X hội tụ mạnh tới q

Gần đây, V Berinde [15, 16] đã mở rộng định lý trên như sau:

Định lý 1.27 ([16]) Cho X là không gian Banach, C là tập con lồi đóng của

thì các điều khẳng định sau là tương đương:

i) dãy lặp Picard xác định bởi (1.12) hội tụ mạnh tới x∗;

ii) dãy lặp Mann xác định bởi (1.13) hội tụ mạnh tới x∗;

iii) dãy lặp Ishikawa xác định bởi (1.14) hội tụ mạnh tới x∗

Gần đây, Isa Yildirim, Murat Ozdemir và Hukmi Kiziltunc [109] đã chứngminh định lý hội tụ mạnh cho dãy lặp hai bước đối với lớp ánh xạ Zamfirescunhư sau:

Định lý 1.30 ([109]) Cho X là không gian Banach, C là một tập con lồiđóng của X và T : C → C là ánh xạ Zamfirescu Giả sử {xn}∞

n=0 là dãy lặphai bước được xác định bởi (1.15), với {an} và {bn} ∈ (0, 1) thỏa mãn

n=0 hội tụ mạnh tới điểm bất động của T

Trong [109] cũng chỉ ra sự tương đương giữa các dãy lặp như sau:

Định lý 1.31 ([109]) Cho X là không gian định chuẩn, C là một tập conkhác rỗng, lồi đóng của X và T : C → C là ánh xạ Zamfirescu Nếu p0 = v0 =

u0 = x0 và an ≥ α > 0 ∀n ∈ N, thì các khẳng định sau là tương đương:i) dãy lặp Picard hội tụ mạnh tới x∗;

ii) dãy lặp Mann hội tụ mạnh tới x∗;

iii) dãy lặp Ishikawa hội tụ mạnh tới x∗;

iv) dãy lặp hai bước hội tụ mạnh tới x∗

Để so sánh tốc độ hội tụ của các phương pháp lặp, Berinde đã đưa ra địnhnghĩa tốc độ của hội tụ của dãy

an− a

bn− b

= 0

Dưới đây chúng tôi sẽ chỉ ra rằng dãy lặp Picard hội tụ nhanh hơn dãy lặphai bước và dãy lặp hai bước hội tụ nhanh hơn dãy lặp Mann và Ishikawa cholớp ánh xạ Zamfirescu

Trong các định lý dưới đây chúng tôi giả sử δ là hằng số trong (1.16).

Định lý 1.32 Cho X là không gian Banach thực, C là tập con khác rỗng,lồi đóng của X và T : C → C là ánh xạ Zamfirescu Giả sử {pn}∞

n=0 được xácđịnh bởi (1.12) với p0 ∈ C và {xn}∞

n=0 được xác định bởi (1.15) với x0 ∈ C và{an}, {bn} ⊂



0, 1

1 + δ

thỏa mãn

Chứng minh Bởi Định lý 1.26, T có điểm bất động duy nhất, kí hiệu là

q Hơn nữa, dãy lặp Picard {pn}∞

n=0 xác định bởi (1.12) hội tụ tới q với mọi

p0 ∈ D và

||pn+1− q|| = ||T pn− q||

Lấy x = q và y = pn trong (1.16), ta được

||pn+1− q|| ≤ δ||pn− q|| ≤ δn+1||p0− q||, n ≥ 0 (1.17)Bởi dãy lặp hai bước trong (1.15) và (1.16),

Bây giờ, chúng tôi sẽ đưa ra ví dụ thỏa mãn các giả thiết của Định lý 1.32.

Dễ thấy T là ánh xạ Zamfirescu với điểm bất động duy nhất x∗ = 0 và

T, an, bn thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.32

Định lý 1.33 Cho X là không gian Banach thực, C là tập con lồi đóng của

||xn+1− q|| ≤ (1 − an)||yn− q|| + an||T yn− q||

≤ (1 − an)||yn− q|| + anδ||yn− q||

= [1− (1 − δ)an]||yn− q|| (1.20)Mặt khác, ta lại có

n=0 xác định bởi (1.15) với x0 ∈ C và{an} ⊂

"

1 + 1 + m2
δ

#với m > 0 nào đó thỏa mãn

Chứng minh Bởi Định lý 1.28 thì {un} hội tụ mạnh tới điểm bất động của

T, kí hiệu bởi q Bây giờ sử dụng dãy lặp Ishikawa (1.14) và (1.16), chúng tacó

||un+1− q|| ≥ (1 − an)||xn− q|| − an||T yn− q||

≥ (1 − an)||xn− q|| − anδ||yn− q|| (1.25)Hơn nữa

Nhận xét 1.3 Định lý 1.32 đã đưa ra sự so sánh tốc độ hội tụ của dãy lặpPicard và dãy lặp hai bước cho lớp ánh xạ Zamfirescu, trong khi Định lý 1.33

và Định lý 1.34 thu được kết quả tương tự cho dãy lặp Mann, Ishikawa và dãylặp hai bước Tuy nhiên chúng tôi chưa so sánh được tốc độ hội tụ của dãy lặpMann và Ishikawa cho lớp ánh xạ Zamfirescu ([72], [75])

1.4 Kết luận

Trong chương này chúng tôi đã trình bày một số khái niệm và kết quả cơbản về hình học của không gian Banach và một số thuật toán để tìm điểm bấtđộng của ánh xạ Tất cả các kết quả này được trích dẫn chủ yếu trong các tàiliệu tham khảo [5, 91] Phần cuối chương chúng tôi đưa ra một số kết quả sosánh tốc độ hội tụ của một số thuật toán, kết quả này được trình bày trongbài báo [3]

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN

2.1 Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ không giãn

Trong mục này chúng tôi sử dụng phương pháp lặp ẩn để chứng minh cáckết quả về định lý hội tụ mạnh và định lý hội tụ yếu đến điểm bất động chungcủa nửa nhóm ánh xạ không giãn Phương pháp xấp xỉ ẩn được F E Browder

đề xuất (1967, [18]) cho lớp ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

Định lý 2.1 (F E Browder, [18]) Cho C là một tập con lồi đóng của khônggian Hilbert H và T : C → C là ánh xạ không giãn, {αn} là một dãy trong(0, 1) hội tụ tới 0 Cố định u ∈ C và xác định dãy xn bởi

xn = αnu+ (1− αn)T xn, n ∈ N

Khi đó {xn} hội tụ mạnh tới một điểm x ∈ F (T ) gần u nhất

Năm 2003, cũng với ý tưởng trên T Suzuki nghiên cứu phương pháp xấp

xỉ ẩn

xn = αnu+ (1− αn)T (tn)xncho nửa nhóm nhóm ánh xạ không giãn {T(t) : t ≥ 0} trong không gianHilbert

Định lý 2.2 (T Suzuki, [90]) Giả sử C là một tập con lồi đóng của khônggian Hilbert H, {T (t) : t ≥ 0} là nửa nhóm ánh xạ không giãn từ C vào C saocho T

xn = αnu+ (1− αn)T (tn)xnvới n ∈ N Khi đó {xn} hội tụ mạnh đến x ∈ T

F(T (t)) gần u nhất

đề xuất (1967, [18]) cho lớp ánh xạ không giãn không gian Hilbert

Định... data-page="39">

1.4 Kết luận< /h3>

Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết cơbản hình học khơng gian Banach số thuật tốn để tìm điểm bất? ?ộng ánh xạ Tất kết trích dẫn chủ yếu... data-page="40">

Chương PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN

2.1 Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn

Trong mục sử dụng phương pháp lặp ẩn để chứng minh cáckết định