Bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ năng lượng cao và phương trình chuẩn thế

MỞ ĐẦU Phép gần đúng eikonal được sử dụng để tìm biên độ tán xạ của các hạt trong cơ học lượng tử phi tương đối tính đã được sử dụng từ lâu và biểu diễn eikonal thu được cho biên độ tán

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ VĂN TIẾN

BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã ngành: 60440103

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS TSKH Toán-lý Nguyễn Xuân Hãn

Hà Nội -2013

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 5

CHƯƠNG 1 BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ 8

1.1 Thành lập công thức của bài toán tán xạ 8

1.2 Biểu diễn Eikonal của biên độ tán xạ trong cơ học lượng tử 12

CHƯƠNG 2 BỔ CHÍNH CHO GẦN ĐÚNG EIKONAL 20

2.1 Phương trình chuẩn thế 20

2.2 Phương trình chuẩn thế trong biểu diễn tọa độ 28

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN 34

3.1 Phép gần đúng Born 34

3.2 Vùng năng lượng cao 35

3.3 Thế Yukawa 38

KẾT LUẬN 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

PHỤ LỤC 47

Phụ lục A :Giải phương trình chuẩn thế 47

Phụ lục B: Tính đóng góp của phép lặp ( N+1) cho biên độ tán xạ với góc tán xạ nhỏ 49

Phụ lục C : Tính đóng góp của phép lặp ( N+1) cho biên độ tán xạ với góc tán xạ bất kỳ 52

Phụ lục D: Một số tích phân sử dụng trong chương 3 54

DANH MỤC HÌNH VẼ

Trang Hình 1: Minh hoạ rõ ràng những biến đổi phức tạp sử dụng trong các tính toán trên 11 Hình 2 Biểu diễn tương tác của hai “nucleons” trong trường hợp trao đổi các meson

vô hướng 38 Hình 3 Biểu diễn tương tác của hai “nucleons” trong trường hợp trao đổi hạt vectơ 41 Hình 4 Biểu diễn tương tác của hai “nucleons” trong trường hợp trao đổi hạt tenxơ

42

MỞ ĐẦU

Phép gần đúng eikonal được sử dụng để tìm biên độ tán xạ của các hạt trong cơ học lượng tử phi tương đối tính đã được sử dụng từ lâu và biểu diễn eikonal thu được cho biên độ tán xạ được dùng rất rộng rãi để phân tích số liệu thực nghiệm của vật lý năng lượng cao [3-7]

Sử dụng phép gần đúng này trên cơ sở phương trình chuẩn thế Tavkhelidze trong lý thuyết trường lượng tử, lần đầu tiên người ta đã thu được biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hạt ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ (góc tán xạ nhỏ) Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ này, cũng có thể thu được khi người ta tiến hành lấy tổng các giản đồ Feynman, hay phương pháp tích phân phiếm

Logunov-hàm Trong lý thuyết trường lượng tử, phép gần đúng eikonal thực tế tương ứng với

việc tuyến tính hóa hàm truyền của các hạt tán xạ theo xung lượng của hạt trao đổi [12,13] như sau:

để nghiên cứu các quá trình tán xạ năng lượng cao và được gọi là phép gần đúng quỹ đạo thẳng hay gần đúng eikonal Bức tranh vật lý ở đây như sau: Các hạt năng lượng cao bị tán xạ bằng cách trao đổi liên tiếp và độc lập các lượng tử ảo, đồng thời không có sự liên kết tương thích giữa các quá trình trao đổi riêng biệt với nhau, nên số hạng tương quan k k i j không có mặt trong hàm truyền (0.1)

Các số hạng bổ chính cho biên độ tán xạ eikonal cho biên độ tán xạ hạt ở vùng năng lượng cao, gần đây được giới khoa học quan tâm nghiên cứu, khi tương tác giữa các hạt là tương tác hấp dẫn và các số hạng bổ chính liên quan đến lực hấp dẫn mạnh ở gần lỗ đen, lý thuyết siêu dây hấp dẫn cùng một loạt những hiệu ứng hấp dẫn lượng tử /12-14/ Việc xác định những số hạng bổ chính cho biểu diễn tán xạ eikonal trong lý thuyết hấp dẫn là cần thiết , song nó là vấn đề còn bỏ ngỏ, khi năng lượng của hạt tăng,

các số hạng bổ chính tiếp theo được tính theo lý thuyết nhiễu loạn, lại tăng nhanh hơn

số hạng trước nó

Mục đích của Bản luận văn Thạc sĩ này là tìm bổ chính bậc nhất cho biên độ

tán xạ eikonal của hạt dựa trên cơ sở phương trình chuẩn thế ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ trong lý thuyết trường lượng tử

Nội dung Bản luận văn bao gồm: phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, tài liệu trích dẫn và các phụ lục

Chương I Biểu diễn eikonal của biên độ tán xạ Trong mục 1.1 xuất phát từ

phương trình dừng Schrodinger của hạt ở trường ngoài theo định nghĩa ta tìm công thức eikonal cho biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ Biểu diễn eikonal của biên độ tán xạ cùng với các điều kiện cần thiết cho phép sử dụng gần đúng này được trình bầy ở mục 2

Chương II Biểu diễn eikonal và bổ chính bậc nhất Trong mục 2.1 giới thiệu

cách thu nhận phương trình chuẩn thế cho biên độ tán xạ và cho hàm sóng Trong mục 2.2 xuất phát từ phương trình chuẩn thế trong biểu diễn tọa độ, thực hiện sự khai triển

triển này ta thu được biểu diễn eikonal và số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán

xạ

Chương III Bài toán trên dựa trên phương trình chuẩn thế được giải quyết

bằng phương pháp lặp theo gần đúng của Born (lý thuyết nhiễu loạn theo thế tương tác) Ở mục 3.1 chuẩn thế dưới dạng thế Gauss được sử dụng để minh họa phương pháp tính biên độ tán xạ và bổ chính bậc nhất của nó trong những bậc gần đúng Born

thấp nhất Biểu thức tổng quát cho n+1 lần gần đúng Born và khai triển biên độ tán xạ theo lũy thừa của 1/p, tương tự như phân tích ở chương II, kết quả số hạng chính và số

hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ cũng tìm được ở mục 3.2 Trường thế Yukawa tương ứng với sự trao đổi giữa các hạt các lượng tử với spin khác nhau (trao

đổ hạt vô hướng, hạt véctơ và graviton trong tương tác hấp dẫn ), đã được sử dụng để minh hoa sự phụ thuộc vào năng lượng của các số hạng bổ chính cho biên độ tán xạ eikonal

Cuối cùng là kết luận chung, các tài liệu tham khảo và phụ lục liên quan tới luận văn

Trong luận văn sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử  c 1 và metric Pauli:

CHƯƠNG I BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ

Bài toán tán xạ trong cơ học lượng tử được nghiên cứu trên cơ sở của phương trình Schrodinger Giả sử có hạt tán xạ ở trường ngoài, thì dáng điệu của hàm sóng của hạt bị tán xạ có thể tìm dưới dạng

ikr

e f

r

nhỏ, thì ta có thể tìm được biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ- hay người ta còn gọi

là biểu diễn Glaubert [10], người đầu tiên thu được công thức này trong cơ học lượng

tử

1.1 Thành lập công thức của bài toán tán xạ

Quá trình tán xạ trong cơ học lượng tử được mô tả bởi phương trình

0 /

0 /

ik 1

ik 2

Các nghiệm của phương trình (1.1.3) và (1.1.4) là:

( )r A e i k r B e i k r (1.1.5)

Theo các điều kiện biên thì hàm sóng  ( )r phải bao gồm hai thành phần: thành phần sóng tới là sóng phẳng truyền theo chiều dương của trục z và thành phần còn lại

Hình 1: Minh hoạ rõ ràng những biến đổi phức tạp sử dụng trong các tính toán trên

 

sin cos , sin sin , cos

0,0, ' 'cos ', 'sin ', '

Chú ý rằng r, k' và k là các cực toạ độ cầu và r' là cực toạ độ trụ

đó có thể viết f( , )   f k k( , ') Để ý rằng, mặc dù các thông tin liên quan tới f( , ) 

phương trình (1.1.12) lại đến từ miền mà thế năng ở đó khác không

1.2 Biểu diễn Eikonal của biên độ tán xạ

Trong phần này, chúng ta sẽ chỉ ra sự hợp lý của các phép gần đúng eikonal cho quá trình bao gồm các góc tán xạ nhỏ và xung lượng vào lớn Các điều kiện cần thiết là

, 2

( , )

z

duU b u ik

Với các điều kiện biên là  ( )b   ( ,b z   ) 1 Và

(2)

1 ( , ) ( , ) 2

2 1

2 1

du U b u du U b u ik

hàm e có thể được tính như sau với chú ý các vectơ sử dụng được minh hoạ trong hình

1 ( ', ) 'sin( ) cos( ') '.2sin 2



2

Bây giờ ta viết lại (1.2.17) như sau:

ikb

f d b d e dz U b z e (1.2.19) Chúng ta cần chú ý rằng phép xấp xỉ (1.2.18) cho phép chúng ta đưa ra ngoài tích phân theo z trong (1.2.19) bằng cách thay thế bởi tích phân mới

' ' '

     

     

   

' ' '

' 2 ' ' ' '

1

, 4

k duV b z

ik du

' ' ' ' '

' ' ' '

' ' ' '

ik duV b u ikb c E

ik duV b u ikb c E

2

it

Và tính chất J0 t J0 t Để làm sáng tỏ hơn biểu thức của biên độ tán xạ, chúng ta

là chiều dài tán xạ của hố thế đã được định nghĩa ở phần trên Chúng ta cũng sử dụng

V để biểu hiện giá trị lớn nhất của hàm V r( ) Khi đó biên độ tán xạ trong (1.2.22) được viết lại dạng:

V ika t E

 Nh vậy trong giới hạn V

E <<1 chúng ta có thể viết sin  và phạm vi giới hạn

E Đa vào biếnxka, tacó:

Nội dung vật lý của định lý quang học là sự bảo toàn xác suất trong cơ học lượng tử

Chúng ta có thể làm cho các phép xấp xỉ eikonal an toàn hơn từ việc vi phạm các định

lý quang học hay không? Điều đó là có thể Chúng ta nhận thấy rằng trong phương

Khi đó chúng ta có chính xác biểu thức thoả mãn định lý quang học Như vậy thông

qua biểu thức của biên độ tán xạ trong giới hạn eikonal dẫn tới dưới những điều kiện

CHƯƠNG II

BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIỂU DIỄN EIKONAL

Trong lý thuyết trường lượng tử biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hai hạt ở

vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ có thể thu được bằng ba cách:khác

nhau i/ Lấy tổng các giản đồ Feynman ; ii/ Phương pháp chuẩn thế ; iii/ Phương pháp

tích phân phiếm hàm.Trong chương này sử dụng phép gần đúng eikonal ta tính biên độ

tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ trên cơ sở của phương trình

chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze [4-10]

2.1 Phương trình chuẩn thế

Phương trình chuẩn thế là cơ bản trong trường lượng tử, chính vì vậy ta giới thiệu

cách thu nhận phương trình này Trong hình thức luận không- thời gian 4 chiều

phương trình chuẩn thế được tổng quát hóa từ phương trình schrodinger trên cơ sở

hàm Green hai hạt 2- thời điểm trong lý thuyết trường lượng tử

Hàm sóng của hệ 2 – hạt được xác định như sau:

( , ) 0 ( ( ) ( ))

n x y T a x b y n

    (2.1.1)

đối với hàm Green 4 – thời điểm, mà trong biểu diễn Heisenberg được xác định bằng

công thức sau đây:

G a b, ( , , ', ')x y x y  0 (T a( )x b( )y a( ')x b( ')) 0y (2.1.4)

Trong biểu diễn tương tác

,

0 ( ( ) ( ) ( ') ( ') ) 0 ( , , ', ')

Như vậy ta đã biết muốn tìm các hàm (2.1.3) và (2.1.1) trong lý thuyết trường lượng

tử ta phải sử dụng phương trình cho hàm Green 4 – thời điểm sau:

nhiều loạn Xác định ảnh Fourier của nó có mặt trong phương trình (2.1.6) bằng cách dưới đây:

Thay (2.1.16) và (2.1.13) vào (2.1.12) ta thu được kết quả cuối cùng:

và y có các thời điểm như nhau thì ta thu được hàm sóng cho cùng một thời điểm như sau:

X t x y n( , , )  0 a( , )t x b( , )t y n (2.1.19)

sóng hai thời điểm (2.1.1) có ý nghĩa vật lý

Bây giờ ta cần tìm phương trình cho hàm sóng cùng một thời điểm Muốn vậy,cần dẫn ra khái niệm hàm Green hai thời điểm,một cách tương tự như đã tìm phương trình cho hàm sóng hai thời điểm Hàm Green hai thời điểm trong lý thuyết trường lượng tử được xác định bằng cách sau đây:

, ( , , ; ', ', ') 0 ( ( , ) ( , ) ( ', ') ( ', ')) 0

G t x y t x y  T  t x  t y  t x  t y (2.1.20)

, ( , , ; ', ', ') ( , , ) ( , , )

n

G t x y t x y X t x y X t x y (2.1.23) với (tt')

Như vậy nếu ta thu được phương trình không thuần nhất cho hàm Green 2- thời

Bây giờ ta đi tìm các phương trình cho hàm Green 2- thời điểm Hàm Green 2- thời điểm liên quan đến hàm Green 4 – thời điểm bằng hệ thức sau đây:

, ( , , ; 0 0 , ', ') 0 0 ( 0 0 ) ( 0 0 ) , ( , ; ', ')

G x x y x x y dy dy x y  x y G x y x y (2.1.24)

Xác định ảnh Fouruer của hàm Green 2- thời điểm như sau:

Thay (2.1.41) vào (2.1.40) sau đó rút gọn ta được kết quả:

X p p q  p q  p E  p (2.1.46) Thực vậy, thay (2.1.45) vào (2.1.43) ta được:

1 2

2

1 2

ở đây E- năng lượng , p và k là xung lượng tương đối của hạt ở trong hệ khối

tâm trong trạng thái đầu cuối

( , ; )( )p p m (p k) T p k E

Công thức (2.1.57) là phương trình của hàm sóng trong biểu diễn xung lượng

2.2 Phương trình chuẩn thế trong biểu diễn tọa độ

Xuất phát từ phương trình cho hàm sóng (2.1.57) , trong biểu diễn tọa độ ta có

p i và p2  p2E2m2 Thay vào (2.1.57), ta có phương trình vi phân không

V E r( ; )2ipEv r( ) (2.2.2)

tương ứng với tán xạ của hai hạt cùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ có thể tìm

Giả thiết về độ nhẵn của chuẩn thế (2.2.2) cho phép đưa phương trình vi phân

không định xứ (2.2.1) thành phương trình vi phân định xứ trong giới hạn năng lượng

e và sử dụng khai triển:

vi tích phân không tuyến tính sau:

vào đại lượng sau:

( , )z ( , )z ( ) ( )z

       (2.2.19) sao cho:

Sử dụng nghiệm của phương trình (2.2.21), ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ,

ta thu được biểu thức cho biên độ tán xạ:

p p



    

Khai triển tích phân trong phương trình (2.2.23) theo nghịch đảo lũy thừa của

xung lượng, biên độ tán xạ được xác định bằng biểu thức sau:

v z dz v z dz i

v z dz i

trong đó đại lượng  r v; được xác định bởi hệ thức (2.2.17)

Sau khi giải bài toán tán xạ năng lượng cao, xung lượng truyền nhỏ bằng

phương pháp chuẩn thế trong biểu diễn tọa độ, ta đã thu được số hạng chính như công

thức (2.2.26) Số hạng này trùng với biểu diễn eikonal trong cơ học lượng tử phi tương

đối tính Số hạng bổ chính bậc nhất được cho bởi công thức (2.2.28) Số hạng này

trùng với lời giải bài toán trong biểu diễn xung lượng mà chúng ta sẽ xét ở chương III

CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN

Trong chương II đã xây dựng phương trình chuẩn thế trong biểu tọa độ có dạng [10]:

2 2

dq VV

n

k k

trong đó i và pq i là các thành phần ngang và thành phần dọc của xung lượng

tương đối giữa các hạt ở trong một trạng thái trung gian thứ i nào đó

3.2 Vùng năng lượng cao

Trong gần đúng năng lượng cao các thừa số động hình học trong công thức (3.1.6) có thể biểu diễn dưới dạng:

Khi đó biểu thức cho (n 1)

n

k k

giới hạn sự đóng góp của các số hạng thứ nhất trong khai triển của căn thức Thật vậy:

3

2 2 3

1

1(2 ) 2

i i

Kể thêm các thừa số này trong biểu thức (3.2.8) sẽ dẫn đến sự khai triển của

phép gần đúng Born bậc thứ (n+1) theo chuỗi lũy thừa 1/p Biên độ này có thể biểu

diễn dưới dạng tổng quát:

Lưu ý trong trường hợp này thì Det C = n+1, kết hợp (2.2.7), (2.2.10) và tính toán, ta

thu được công thức sau cho bổ chính bậc nhất:

2

4

1( )

4

z a

Trong trường hợp chuẩn thế thuần ảo, thì các bổ chính có bậc 1/p cho gần đúng

eikonal là thực và có các cực tiểu Liên quan đến vấn đề này cần lưu ý, sự nghiên cứu

hệ thống các số liệu thực nghiệm nhờ biểu diễn eikonal cùng với phép xấp xỉ Born, mà chúng được xác định bởi sự đóng góp của các cực điểm Regge đòi hỏi chúng ta phải

cùng bậc nhỏ như thế so với các đóng góp chính

Từ kết quả nhận được cho ta thấy, lời giải của bài toán tán xạ năng lượng cao,

xung lượng truyền nhỏ trong biểu diễn tọa độ và biểu diễn xung lượng cho ta kết quả

trùng nhau Đó là số hạng chính của biên độ tán xạ, có dạng trùng với biểu diễn

eikonal trong cơ học lượng tử phi tương đối tính Như vậy chúng ta đã tìm được biểu

thức dạng tổng quát của biên độ tán xạ hai hạt vô hướng trong trường thế V r E( ; )

Trong giới hạn năng lượng cao và xung lượng truyền cố định, biểu thức tiệm cận của

biên độ tán xạ có dạng Glauber /11/ với hàm pha eikonal, tương ứng với thế Yukawa

mô tả tương tác giữa hai “nucleons” vô hướng bằng việc trao đổi các lượng tử

3.3 Thế Yukawa

Trong mục này ta xem xét sự trao đổi các hạt với spin khác nhau, để xem xét sự phụ

thuộc của dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất của nó với

với năng lượng của hạt

a)Trao đổi hạt vô hướng

Đối với sự trao đổi các meson vô hướng, ta có chuẩn thế giảm theo năng lượng