Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm – điện phi tuyến trong dây lượng tử với hố thế hình chữ nhật cao vô hạn

Những cấu trúc thấp chiều như các hố lượng tử quantum wells, các siêu mạng superlattices, các dây lượng tử quantum wires và các chấm lượng tử quantum dots … đã được tạo nên nhờ sự phát t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS NGUYỄN QUANG BÁU

Hà Nội - Năm 2013

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành tới GS.TS Nguyễn Quang Báu, thầy đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện giúp đỡ

em hoàn thành luận văn này

Thứ đến, em xin trân trọng cảm ơn thầy Nguyễn Văn Nghĩa, hiện đang giảng dạy tại trường Đại học Thuỷ Lợi, người đã giúp đỡ em rất nhiều trong những buổi đầu làm luận văn

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Vật lý, bộ môn Vật lý

lý thuyết trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, các thầy cô

đã giúp đỡ và chỉ bảo cho em trong suốt thời gian học tập tại Trường

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành luận văn

Luận văn được hoàn thành dưới sự tài trợ của đề tài nghiên cứu khoa học NAFOSTED (103.01 – 2011.18) và QGTD.12.01

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn nhiều thiếu sót Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn

Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, 12 – 2013 Học viên: Trần Thị Duyên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 DÂY LƯỢNG TỬ VÀ HIỆU ỨNG ÂM – ĐIỆN TRONG HỐ LƯỢNG TỬ 4

1.1 Dây lượng tử 4

1.1.1 Khái niệm dây lượng tử 4

1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn 4

1.2 Tính toán dòng âm - điện trong hố lượng tử 5

CHƯƠNG 2 BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA DÒNG ÂM - ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN 8

2.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử với thế hình chữ nhật cao vô hạn 8

2.2 Tính toán dòng âm - điện trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn 17

CHƯƠNG 3 TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO DÂY LƯỢNG TỬ GaAs/GaAsAl 34

3.1.Sự phụ thuộc của dòng âm - điện vào tần số sóng âm 34

3.2 Sự phụ thuộc của dòng âm – điện vào nhiệt độ và số sóng 35

Thảo luận kết quả 36

KẾT LUẬN 39

DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 PHỤ LỤC

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 3.1: Đồ thị sự phụ thuộc của dòng âm - điện vào tần số sóng

Hình 3.2 Đồ thị sự phụ thuộc của dòng âm - điện vào nhiệt độ và

Hình 3.3 Đồ thị sự phụ thuộc của dòng âm - điện vào tần số sóng

Hình 3.4 Đồ thị sự phụ thuộc của dòng âm - điện vào nhiệt độ và

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong hai thập niên vừa qua, tiến bộ của vật lý chất rắn cả lý thuyết và thực nghiệm được đặc trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các khối tinh thể [1-6] sang các màng mỏng và các cấu trúc thấp chiều [7-25] Những cấu trúc thấp chiều như các hố lượng tử (quantum wells), các siêu mạng (superlattices), các dây lượng tử (quantum wires) và các chấm lượng tử (quantum dots) … đã được tạo nên nhờ sự phát triển của công nghệ vật liệu mới với những phương pháp như kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (MOCDV), epytaxi chùm phân tử (MBE)… Trong các cấu trúc nano như vậy, chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hướng tọa độ với một vùng có kích thước đặc trưng vào cỡ bậc của bước sóng De Broglie, các tính chất vật lý của điện tử thay đổi đáng kể, xuất hiện một số tính chất mới khác, gọi là hiệu ứng kích thước Ở đây, các quy luật của cơ học lượng tử bắt đầu có hiệu lực, khi đó đặc trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là phổ năng lượng bị biến đổi Phổ năng lượng bị gián đoạn dọc theo hướng tọa độ giới hạn Do các tính chất quang, điện của hệ thấp chiều biến đổi, đã mở ra khả năng ứng dụng của các linh kiện điện tử, ra đời nhiều công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong lĩnh vực khoa học, kỹ thuật Ví dụ như: các đi-ốt huỳnh quang điện, pin mặt trời, các loại vi mạch… Trong các cấu trúc thấp chiều đó, cấu trúc dây lượng tử thu hút được rất nhiều sự quan tâm của các nhà vật lý lý thuyết và thực nghiệm Khi nghiên cứu các tính chất vật lý các nhà khoa học chú ý nhiều đến sự ảnh hưởng của sóng âm đến các tính chất của vật liệu, hay còn gọi là sự tương tác của sóng âm với các cấu trúc thấp chiều nói chung và dây lượng tử nói riêng

Hiệu ứng âm - điện là sự xuất hiện của một trường điện một chiều dọc theo chiều truyền một sóng âm lan truyền trong một môi trường chứa điện tích linh động Giả sử

có một mẫu bán dẫn đặt trong một điện trường E và có sóng âm truyền qua khối bán dẫn đó Khi đó, điện tử dẫn được truyền xung lượng sóng âm và kết quả là xuất hiện

j khi mạch điện kín và một hiệu điện thế nếu mạch điện hở

Vậy, hiệu ứng âm - điện là sự truyền xung lượng sóng âm cho điện tử dẫn mà kết quả là có thể tạo ra dòng âm - điện nếu mạch điện kín hoặc tạo ra một điện trường không đổi nếu mạch điện hở

Nghiên cứu về hiệu ứng âm - điện trong bán dẫn khối đã khá hoàn thiện [11, 13,19, 21] Trong hệ hai chiều các hiệu ứng âm - điện - từ đã được nghiên cứu [6, 24] Ngoài ra người ta cũng đo đạc hiệu ứng âm - điện bằng phương pháp thực nghiệm, ví dụ như: đo đạc trong dây lượng tử [20], trong ống nano cacbon [21], trong

hố lượng tử [22] Mặc dù vậy, dòng âm - điện trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn lại chưa được nghiên cứu lý thuyết Vì vậy, bài khóa luận này chúng tôi sẽ đi tính toán dòng âm - điện trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn bằng phương pháp phương trình động lượng tử

2 Phương pháp nghiên cứu

Để giải những bài toán thuộc loại này, ta có thể áp dụng nhiều phương pháp lý thuyết khác nhau như lý thuyết nhiễu loạn, lý thuyết hàm Green, phương pháp tích phân phiến hàm, phương trình động lượng tử… Mỗi phương pháp đều có những ưu nhược điểm của nó, nên việc sử dụng phương pháp nào tốt hơn chỉ có thể được đánh giá tùy vào từng bài toán cụ thể Để tính toán hiệu ứng âm điện trong dây lượng tử từ góc độ lượng tử ta sử dụng phương trình động lượng tử Đây là phương pháp được sử dụng nhiều trong nghiên cứu bán dẫn khối, trong siêu mạng, trong bán dẫn thấp chiều rất có hiệu quả

3 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận được chia làm 3 chương:

Chương 1: Dây lượng tử và hiệu ứng âm - điện trong hố lượng tử

Chương 2: Biểu thức giải tích của dòng âm – điện phi tuyến trong dây lượng tử Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl

Các kết quả chính của khóa luận được chứa đựng trong chương 2 và chương 3 Chúng tôi đã thu được biểu thức giải tích của dòng âm - điện trong dây lượng tử hình

chữ nhật với hố thế cao vô hạn Việc khảo sát số cũng đƣợc thực hiện và cho thấy sự phụ thuộc phi tuyến của dòng âm - điện vào nhiệt độ của hệ T, số sóng q và tần số

dòng âm – điện trong hố lƣợng tử Các kết quả mới thu đƣợc trong luận án đóng góp vào báo cáo Khoa học ở Hội nghị Khoa học Vật lý chất rắn và Khoa học Vật liệu, 10/2013, tại Thái Nguyên

CHƯƠNG 1 DÂY LƯỢNG TỬ VÀ HIỆU ỨNG ÂM – ĐIỆN TRONG

HỐ LƯỢNG TỬ

1.1 Dây lượng tử

1.1.1 Khái niệm dây lượng tử

Dây lượng tử ( quantum wires) là cấu trúc vật liệu thấp chiều Trong đó, chuyển động của điện tử bị giới hạn theo hai chiều ( kích thước cỡ 100 nm ), chỉ có một chiều được chuyển động tự do ( trong một số bài toán chiều này thường được gọi là

vô hạn); vì thế hệ điện tử còn được gọi là khí điện tử chuẩn một chiều Trên thực tế chúng ta đã chế tạo được khá nhiều dây lượng tử có các tính chất khá tốt Dây lượng

tử có thể được chế tạo nhờ phương pháp eptaxy MBE, hoặc kết tủa hóa hữu cơ kim loại MOCVD Một cách chế tạo khác là sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng trường, bằng cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai chiều

1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn

Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây lượng tử hình chữ nhật cũng hay được đề cập đến trong các công trình mang tính lý thuyết Để tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện tử trong dây lượng tử có thể tìm được kết quả nhờ việc giải phương trình Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều

2 2

ba trục được giả thiết lần lượt là a, b, L; L >> a, b Ta luôn giả thiết z là chiều không

bị lượng tử hóa ( điện tử có thể chuyển động tự do theo chiều này), điện tử bị giam

giữ trong hai chiều còn lại( x và y trong hệ tọa độ Descarte); khối lượng hiệu dụng của

Và phổ năng lượng của điện tử:

1.2 Tính toán dòng âm điện trong hố lượng tử [20]

Hố lượng tử là một cấu trúc bán dẫn thuộc hệ điện tử chuẩn hai chiều, được cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ bằng nhau, có cấu trúc tinh thể tương đối giống nhau Tuy nhiên, do các chất bán dẫn khác nhau có độ rộng vùng cấm khác nhau nên tại các lớp tiếp xúc sẽ xuất hiện độ lệch ở vùng hóa trị và vùng dẫn Sự khác biệt giữa các cực tiểu vùng dẫn và cực đại vùng hóa trị của hai chất bán dẫn đó đã tạo ra một giếng thế năng đối với các điện tử, làm cho chúng không thể xuyên qua mặt phân cách để đi đến các lớp bán dẫn bên cạnh (tức là không có hiệu ứng đường ngầm) Do vậy, trong cấu trúc hố lượng tử, các hạt tải điện bị định

xứ mạnh, chúng bị cách li lẫn nhau trong các giếng thế năng hai chiều Đặc điểm chung của các hệ điện tử trong cấu trúc hố lượng tử là chuyển động của điện tử theo một hướng nào đó (thường chọn là hướng z) bị giới hạn rất mạnh, phổ năng lượng của điện tử theo trục z khi đó bị lượng tử hoá, chỉ còn thành phần xung lượng của

điện tử theo hướng x và y biến đổi liên tục

Hiệu ứng âm - điện là sự xuất hiện của một trường điện một chiều dọc theo chiều truyền một sóng âm lan truyền trong một môi trường chứa điện tích linh động Giả sử

có một mẫu bán dẫn đặt trong một điện trường E và có sóng âm truyền qua khối bán dẫn đó Khi đó, điện tử dẫn được truyền xung lượng sóng âm và kết quả là xuất hiện

j khi mạch điện kín và một hiệu điện thế nếu mạch điện hở

Vậy, hiệu ứng âm - điện là sự truyền xung lượng sóng âm cho điện tử dẫn mà kết

quả là có thể tạo ra dòng âm - điện nếu mạch điện kín hoặc tạo ra một điện trường

không đổi nếu mạch điện hở

Để tính toán được mật độ dòng âm điện trong hố lượng tử trước hết chúng ta thiết

lập phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong hố lượng tử Phương

trình động cho trung bình thống kê của toán tử số hạt trong hố lượng tử :

' '

,

', ,

Giải phương trình động lượng tử (1.2) với Hamiltonian (1.3)-(1.5), ta tìm được mật

độ dòng âm – điện trong hố lượng tử [20]:

trình (1.8) là biểu thức giải tích mật độ dòng âm điện trong hố lƣợng tử phục hồi Từ biểu thức mật độ dòng âm điện ta có thể thấy rằng mật độ dòng âm điện phụ thuộc không tuyến tính vào tần số sóng âm ngoài, nhiệt độ của hệ, độ rộng của hố lƣợng tử

và các chỉ số năng lƣợng đặc trƣng cho hố lƣợng tử

CHƯƠNG 2 BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA DÒNG ÂM - ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI THẾ CAO VÔ HẠN

2.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử với thế hình chữ nhật cao vô hạn

*) Ta có phương trình Hamilton điện tử trong dây lượng tử khi có mặt sóng

', ' ,N',N' ',N', ' ' ,N' , ' ',n' ,N',N' ,

sin ( ) sin ( ) exp( z ) exp( ) exp( z )

Số hạng 1:

' '

, , , , ', ', ', ', ' ', ', '

', ', , , , , ', ', ' ', ', ' ', ', ' ', ', ' , , , ,

( ) exp( )

Thay (2.3), (2.4), (2.5), (2.6) vào biểu thức (2.2) Ta thu đƣợc:



,N, ',N' ',N', , ,N, , ,N, , ',N', ,',N',



* ,N, , ',N', , ',N', , ,N,

,n',n,N' ',N', q, ,N, , ,N, , ',N', q, , ',N,N',q ,

, 1

z

k q

r r  khikrz qr) (2.10)

',N', ' '',N'', ,N '',N'',

',N', ,N ,p ,

( )( )

z z

1

'',N'', '' ,N'' 1 '',N'', ',N', ' ',N',n",N",q ,

(q )

z z

1 1

',N', ,N '',N'', ',N', ' , , , ', ', ,

',N',k ,N, ',N', '

Biểu thức (2.15) là phương trình động lượng tử trong dây lượng tử khi có mặt

sóng siêu âm Giải phương trình này ta thu được biểu thức của hàm phân bố điện tử,

từ đó tính toán dòng âm điện trong dây lượng tử

2.2 Tính toán dòng âm điện trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế

p V

m q

m q

',N',n,N

2

q z

,N, ',N',

1( )

2 2

2

q

s

q C

,N, ',N',

(2.34)

F B

Sử dụng công thức chuyển tích phân:  

 

2 2

1q

', ', , 2

q z

2

1 3 3

q z

0

2

p p

p

p

p x

', ', , 2

1

2

n N n N z

q z

n N n N z

h

h

2 ',N',n,N

q z

q z

',N',n,N 2

2

n z

q z

n z

1 3

',N',n,N

n z

q z

2

k

c C

Sử dụng công thức chuyển tổng thành tích phân:

2 2

2 2

l B

q k z

n N n N z

z

k m

e k

q k z

n N n N z

l B

', ', , 21

2

n N n N z

q k z

n N n N z

2 2 2

2

1 3

1 3

n N n N z

q k z

h

h r

0

2

p p

p

p

p x

8 2

32

h

h

r r

', ', , 22

2

n N n N z

q k z

n N n N z

r

h

h

',N',n,N 1

',N',n,N 1

2 4 2

2 2

2 3 2

2 2

2 4 2

2 2

h

và

',N',n,N 1

',N',n,N 1

h

Biểu thức (2.47) là biểu thức dòng âm - điện của dây lƣợng tử hình chữ nhật với

hố thế cao vô hạn Từ biểu thức ta thấy sự phụ thuộc của dòng âm - điện vào nhiệt độ

CHƯƠNG 3 TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO DÂY LƯỢNG TỬ GaAs/GaAsAl

Khảo sát sự phụ thuộc của dòng âm - điện vào số sóng, nhiệt độ, chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn Các thông số được sử dụng trong quá

trình tính toán này như sau:

3.1 Sự phụ thuộc của dòng âm - điện tần số sóng âm

Khảo sát sự phụ thuộc của dòng âm điện vào tần số sóng âm khi thay đổi chiều

m-1, nhiệt độ của hệ T= 100K, thu được kết quả sau:

x 1011-1

Hình 3.1: Sự phụ thuộc của dòng âm điện vào tần số sóng âm trong dây lượng tử

Sự phụ thuộc của dòng âm – điện jac vào tần số sóng âm ωq khi chiều dài dây lượng tử thay đổi được mô tả theo đồ thị hình 3.1 là một hàm phi tuyến Đồ thị xuất hiện một đỉnh cực đại, tương ứng với dòng âm – điện đạt giá trị cực đại khi tần số

nhau thì ta thu được các đường biểu diễn dòng âm - điện khác nhau, và đỉnh cực đại của dòng âm – điện dịch chuyển một khoảng nhỏ về phía tần số sóng âm có giá trị nhỏ hơn, đồng thời độ rộng của vùng cực đại tăng lên Điều này chứng tỏ, ứng với mỗi dây có kích thước khác nhau thì sự ảnh hưởng của sóng âm tới dòng âm – điện trong dây lượng tử hình chữ nhật là khác nhau Đồng thời, độ rộng vùng cực đại của dòng âm – điện cũng phụ thuộc vào chiều dài và vật liệu chế tạo nên dây lượng tử

3.2 Sự phụ thuộc của dòng âm điện vào nhiệt độ và số sóng

10 15

Hình 3.2 Sự phụ thuộc của dòng âm- điện vào nhiệt độ và số sóng trong dây lượng tử

Qua đồ thị hình 3.4, ta có thể thấy dòng âm – điện phụ thuộc phi tuyến đồng thời nhiệt độ và số sóng Dòng âm – điện có giá trị lớn và giảm rất nhanh theo chiều tăng nhiệt độ và số sóng ở những khoảng nhiệt độ và số sóng thấp Ở những khoảng nhiệt độ và số sóng cao, dòng âm – điện có giá trị nhỏ và gần như không đổi

Thảo luận các kết quả thu đƣợc

Nhìn vào kết quả tính số và vẽ đồ thị dòng âm điện trong dây lƣợng tử hình

chữ nhật với thế cao vô hạn, ta có một số nhận xét sau:

Theo chiều tăng của tần số sóng âm, giá trị dòng âm – điện đạt cực đại tại một giá trị

khác biệt với kết quả thu đƣợc trong hố lƣợng tử (đồ thị 3.3)

x 1011-1

Hình 3.1: Sự phụ thuộc của dòng âm - điện vào tần số sóng âm trong dây lượng tử

x 10110

Hình 3.3: Sự phụ thuộc của dòng âm - điện vào tần số sóng âm trong hố lượng tử