Bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ năng lượng cao và phương trình chuẩn thế

MỞ ĐẦU Phép gần đúng eikonal được sử dụng để tìm biên độ tán xạ của các hạt trong cơ học lượng tử phi tương đối tính đã được sử dụng từ lâu và biểu diễn eikonal thu được cho biên độ tán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

CAO THỊ VÂN ANH

BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội -2011

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

CAO THỊ VÂN ANH

BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã ngành: 604401

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS TSKH Toán-lý Nguyễn Xuân Hãn

Hà Nội -2011

MỞ ĐẦU Error! Bookmark not defined CHƯƠNG 1

BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬError! Bookmark not defined

1.1 Thành lập công thức của bài toán tán xạ Error! Bookmark not defined 1.2 Biểu diễn Eikonal của biên độ tán xạ trong cơ học lượng tử Error! Bookmark not

KẾT LUẬN Error! Bookmark not defined TÀI LIỆU THAM KHẢO Error! Bookmark not defined PHỤ LỤC Error! Bookmark not defined

Phụ lục A :Giải phương trình chuẩn thế Error! Bookmark not defined

Phụ lục B: Tính đóng góp của phép lặp ( N+1) cho biên độ tán xạ với góc tán xạ nhỏ Error!

Bookmark not defined

Phụ lục C : Tính đóng góp của phép lặp ( N+1) cho biên độ tán xạ với góc tán xạ bất kỳ

Error! Bookmark not defined Phụ lục D: Một số tích phân sử dụng trong chương 3 Error! Bookmark not defined

MỞ ĐẦU

Phép gần đúng eikonal được sử dụng để tìm biên độ tán xạ của các hạt trong cơ học lượng tử phi tương đối tính đã được sử dụng từ lâu và biểu diễn eikonal thu được cho biên độ tán xạ được dùng rất rộng rãi để phân tích số liệu thực nghiệm của vật lý năng lượng cao [3-6]

Sử dụng phép gần đúng này trên cơ sở phương trình chuẩn thế Tavkhelidze trong lý thuyết trường lượng tử, lần đầu tiên người ta đã thu được biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hạt ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ (góc tán xạ nhỏ) Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ nay, cũng có thể thu được khi người ta tiến hành lấy tổng các giản đồ Feynman, hay phương pháp tích phân phiếm

Logunov-hàm Trong lý thuyết trường lượng tử, phép gần đúng eikonal thực tế tương ứng với

việc tuyến tính hóa hàm truyền của các hạt tán xạ theo xung lượng của hạt trao đổi [11,12] như sau:

trong đó p là xung lượng của hạt tán xạ, k i– là xung lượng của các hạt được trao đổi

và trong công thức (0.1) ta bỏ qua số hạng k k i j 0 Phép gần đúng này được sử dụng

để nghiên cứu các quá trình tán xạ năng lượng cao và được gọi là phép gần đúng quỹ

đạo thẳng hay gần đúng eikonal Bức tranh vật lý ở đây như sau: Các hạt năng lượng cao bị tán xạ bằng cách trao đổi liên tiếp và độc lập các lượng tử ảo, đồng thời không có sự liên kết tương thích giữa các quá trình trao đổi riêng biệt với nhau, nên số hạng tương quan k k i j không có mặt trong hàm truyền (0.1)

Các số hạng bổ chính cho biên độ tán xạ eikonal cho biên độ tán xạ hạt ở vùng năng lượng cao, gần đây được giới khoa học quan tâm nghiên cứu, khi tương tác giữa các hạt là tương tác hấp dẫn và các số hạng bổ chính liên quan đến lực hấp dẫn mạnh ở gần lỗ đen, lý thuyết siêu dây hấp dẫn cùng một loạt những hiệu ứng hấp dẫn lượng tử /11-13/ Việc xác định những số hạng bổ chính cho biểu diễn tán xạ eikonal trong lý

thuyết hấp dẫn là cần thiết , song nó là vấn đề còn bỏ ngỏ, khi năng lượng của hạt tăng, các số hạng bổ chính tiếp theo được tính theo lý thuyết nhiễu loạn, lại tăng nhanh hơn

số hạng trước nó

Mục đích của Ban luận văn Thạc sĩ này là tìm bổ chính bậc nhất cho biên độ

tán xạ eikonal của hạt dựa trên cơ sở phương trình chuẩn thế ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ trong lý thuyết trường lượng tử

Nội dung Bản luận văn bao gồm: phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, tài liệu trích dẫn và bốn phụ lục

Chương 1.Biểu diễn eikonal của biên độ tán xạ trong cơ học lượng tử Trong

mục 1.1 xuất phát từ phương trình dừng Schrodinger của hạt ở trường ngoài theo định nghĩa ta tìm công thức eikonal cho biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ Biểu diễn eikonal của biên độ tán xạ cùng với các điều kiện cần thiết cho phép sử dụng gần đúng này được trình bầy ở mục 2

Chương 2.Biểu diễn eikonal và bổ chính bậc nhất Trong mục 2.1 giới thiệu

phương trình chuẩn thế cho biên độ tán xạ, và cho hàm sóng Trong mục 2.2 xuất phát

từ phương trình chuẩn thế trong biểu diễn tọa độ, thực hiện sự khai triển hàm sóng và

phương trình này theo xung lượng của hạt p p Sử dụng phép khai triển này ta thu

được biểu diễn eikonal và số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ

Chương 3 Bài toán trên dựa trên phương trình chuẩn thế được giải quyết bằng

phương pháp lặp theo gần đúng của Born (lý thuyết nhiễu loạn theo thế tương tác) Ở mục 2.1 chuẩn thế dưới dạng thế Gauss được sử dụng để minh họa phương pháp tính biên độ tán xạ và bổ chính bậc nhất của nó trong những bậc gần đúng Born thấp nhất

Biểu thức tổng quát cho n+1 lần gần đúng Born và khai triển biên độ tán xạ theo lũy thừa của 1/p, tương tự như phân tích ở chương II, kết quả số hạng chính và số hạng bổ

chính bậc nhất cho biên độ tán xạ cũng tìm được ở mục 2.2 Trường thế Yukawa tương ứng với sự trao đổi giữa các hạt các lượng tử với spin khác nhau, đã được sử dụng để minh hoa sự phụ thuộc vào năng lượng của các số hạng bổ chính cho biên độ tán xạ eikonal Cuối cùng là kết luận chung, các tài liệu tham khảo và phụ lục liên quan tới luận văn

Trong luận văn sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử  c 1 và metric Pauli:

x x  x x x y x z x ictit x;

á ( , )

ikr

t n xa toi

e f

1.1 Thành lập công thức của bài toán tán xạ

Quá trình tán xạ trong cơ học lượng tử được mô tả bởi phương trình

2 2

1 2

is os

/ 0

0 /

0 /

ik 1

ik 2

G r r được xác định từ điều kiện biên của hàm

 ( )r Phương trình tích phân (1.1.2) được gọi là phương trình Lippman-Schwinger Các nghiệm của phương trình (1.1.3) và (1.1.4) là:

Theo các điều kiện biên thì hàm sóng  ( )r phải bao gồm hai thành phần: thành phần sóng tới là sóng phẳng truyền theo chiều dương của trục z và thành phần còn lại

là sóng cầu tán xạ Vì thế B0= B = 0 và (1.1.7) viết lại dưới dạng:

sin cos , sin sin , cos

0,0,' 'cos ', 'sin ', '

Hình 1: Minh hoạ rõ ràng những biến đổi phức tạp sử dụng trong các tính toán trên

đó có thể viết f( , )   f k k( , ')  Để ý rằng, mặc dù các thông tin liên quan tới f( , ) 

được chứa đựng trong miền tiệm cận của  ( )r nhng các đóng góp tới f( , )  trong phương trình (1.1.12) lại đến từ miền mà thế năng ở đó khác không

1.2 Biểu diễn Eikonal của biên độ tán xạ trong cơ học lượng tử

Trong phần này, chúng ta sẽ chỉ ra sự hợp lý của các phép gần đúng eikonal cho quá trình bao gồm các góc tán xạ nhỏ và xung lượng vào lớn Các điều kiện cần thiết là

2

, 2

( , )

z

duU b u ik

(2)

1 ( , ) ( , ) 2

2 1

2 1

z z

z z

z z

du U b u ik e

du U b u du U b u ik

1 ( ', ) 'sin( ) cos( ') '.2sin 2

Xét ở gần đúng bậc nhất theo  ta nhận được biểu thức sau

ikb

Chúng ta cần chú ý rằng phép xấp xỉ (1.2.18) cho phép chúng ta đa ra ngoài tích phân

theo z trong (1.2.19) bằng cách thay thế bởi tích phân mới



duU b u ( ', )

        

   

' ' ' '

' ' '

1 2 2

1 2

, 4

' 2 ' ' ' '

' ' ' ' '

ik duV b z

ik d

' ' ' '

' ' ' '

ik duV b u

2

it

Và tính chất J0 t J0 t Để làm sáng tỏ hơn biểu thức của biên độ tán xạ, chúng ta

đa vào các biến không thứ nguyên u và t với định nghĩa rằng zau và bat , ở đây a

là chiều dài tán xạ của hố thế đã được định nghĩa ở phần trên Chúng ta cũng sử dụng

V để biểu hiện giá trị lớn nhất của hàm V r( ) Khi đó biên độ tán xạ trong (1.2.22) được viết lại dạng:

1

V ika t E

E là một đánh giá tốt cho giới hạn trên của góc tán xạ

 Nh vậy trong giới hạn V

E <<1 chúng ta có thể viết sin  và phạm vi giới hạn góc của tích phân theo  từ 0 tới V

E Đa vào biếnxka, tacó:



Một lần nữa chúng ta thu được biểu thức của biên độ tán xạ (1.2.24) và của tiết diện tán xạ toàn phần (1.2.26) Chúng ta sẽ kiểm tra xem các định lý quang học có thoả mãn trong giới hạn eikonal hay không Đối với các hố thế không quá phức tạp, định lý quang học có thể viết được dạng:

E thì giới hạn eikonal không thoả mãn các định lý quang học Nội dung vật lý của định lý quang học là sự bảo toàn xác suất trong cơ học lượng tử Chúng ta có thể làm cho các phép xấp xỉ eikonal an toàn hơn từ việc vi phạm các định

lý quang học hay không? Điều đó là có thể Chúng ta nhận thấy rằng trong phương

trình (1.2.27) nếu chúng ta lấy giới hạn ka V  

E , chúng ta cũng cần đặt điều kiện bổ sung ka V  1

E để cho nó thoả mãn các định lý quang học Như vậy, phép xấp xỉ eikonal hợp lệ dưới những điều kiện:

CHƯƠNG 2

BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA

BIÊN ĐỘ TÁN XẠ

Trong lý thuyết trường lượng tử biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hai

hạt ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ có thể thu được bằng ba

cách:khác nhau i/ Lấy tổng các giản đồ Feynman ; ii/ Phương pháp chuẩn thế ;

iii/ Phương pháp tích phân phiếm hàm.Trong chương này sử dụng phép gần

đúng eikonal ta tính biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán

xạ trên cơ sở của phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze /4-10/

2.1 Phương trình chuẩn thế

Ta xét trường hợp đơn giản tán xạ hai hạt vô hướng bằng nhau về khối lượng

phương trình chuẩn thế có dạng

2 2

ở đây E- năng lượng , p và k là xung lượng tương đối của hạt ở trong hệ khối tâm

trong trạng thái đầu cuối

Sự liên hệ giữa biên độ T và hàm sóng n( )p được xác định bằng công thức :

2.2 Phương trình chuẩn thế trong biểu diễn tọa độ

Xuất phát từ phương trình cho hàm sóng (2.1.5) , trong biểu diễn tọa độ ta có p  i

và p2  p2E2m2 Thay vào (2.1.5), ta có phương trình vi phân không định xứ:

p( )r e F r ipz p( ) (2.2.3) Hàm F r p( ) thỏa mãn điều kiện biên:

e và sử dụng khai triển:

Đặt:

2 2

Thay các công thức (1.2.3) và (1.2.4) vào (2.2.9) ta có hàm  thỏa mãn phương trình

vi tích phân không tuyến tính sau:

tích phân trong công thức (2.2.8) phân kỳ tuyến tính khi z  Để thuận tiện ta đưa

vào đại lượng sau:

Sử dụng nghiệm của phương trình (2.2.21), ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ,

ta thu được biểu thức cho biên độ tán xạ:

p p



     Khai triển tích phân trong phương trình (2.2.23) theo nghịch đảo lũy thừa của

xung lượng, biên độ tán xạ được xác định bằng biểu thức sau:

v z dz v z dz i

v z dz i

Sau khi giải bài toán tán xạ năng lượng cao, xung lượng truyền nhỏ bằng phương pháp chuẩn thế trong biểu diễn tọa độ, ta đã thu được số hạng chính như công thức (2.2.6) Số hạng này trùng với biểu diễn eikonal trong cơ học lượng tử phi tương đối tính Số hạng bổ chính bậc nhất được cho bởi công thức (2.2.28) Số hạng này trùng với lời giải bài toán trong biểu diễn xung lượng mà chúng ta sẽ xét ở chương 3

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN

Trong chương 1I đã xây dựng phương trình chuẩn thế trong biểu diễn xung lượng có dạng /10/:

2 2

0

V p q E V p q E dq

n

k k

trong đó i và pq i là các thành phần ngang và thành phần dọc của xung lượng

tương đối giữa các hạt ở trong một trạng thái trung gian thứ i nào đó.

3.2 Vùng năng lượng cao

Trong gần đúng năng lượng cao các thừa số động hình học trong công thức (3.1.6) có thể biểu diễn dưới dạng:

2

21

k k

 trong các biểu thức thành phần đầu tiên, đứng trước dấu ngoặc vuông, và

giới hạn sự đóng góp của các số hạng thứ nhất trong khai triển của căn thức Thật vậy:

2 3

2 2 3

1

1(2 ) 2

i i

Kể thêm các thừa số này trong biểu thức (3.2.8) sẽ dẫn đến sự khai triển của

phép gần đúng Born bậc thứ (n+1) theo chuỗi lũy thừa 1/p Biên độ này có thể biểu

diễn dưới dạng tổng quát:

1

n n

Lưu ý trong trường hợp này thì Det C = n+1, kết hợp (2.2.7), (2.2.10) và tính toán, ta

thu được công thức sau cho bổ chính bậc nhất:

2

41( )

4

z a

Trong trường hợp chuẩn thế thuần ảo, thì các bổ chính có bậc 1/p cho gần đúng

eikonal là thực và có các cực tiểu Liên quan đến vấn đề này cần lưu ý, sự nghiên cứu

hệ thống các số liệu thực nghiệm nhờ biểu diễn eikonal cùng với phép xấp xỉ Born, mà chúng được xác định bởi sự đóng góp của các cực điểm Regge đòi hỏi chúng ta phải

kể thêm số hạng Born cùng với sự trao đổi các số lượng tử khác không khi t0 có cùng bậc nhỏ như thế so với các đóng góp chính

Từ kết quả nhận được cho ta thấy, lời giải của bài toán tán xạ năng lượng cao,

xung lượng truyền nhỏ trong biểu diễn tọa độ và biểu diễn xung lượng cho ta kết quả

trùng nhau Đó là số hạng chính của biên độ tán xạ, có dạng trùng với biểu diễn

eikonal trong cơ học lượng tử phi tương đối tính Như vậy chúng ta đã tìm được biểu

thức dạng tổng quát của biên độ tán xạ hai hạt vô hướng trong trường thế V r E( ; )

Trong giới hạn năng lượng cao và xung lượng truyền cố định, biểu thức tiệm cận của

biên độ tán xạ có dạng Glauber /10/ với hàm pha eikonal, tương ứng với thế Yukawa

mô tả tương tác giữa hai “nucleons” vô hướng bằng việc trao đổi các lượng tử

3.3 Thế Yukawa

Trong mục này ta xem xét sự trao đổi các hạt với spin khác nhau, để xem xét sự phụ

thuộc của dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất của nó với

với năng lượng của hạt

a)Trao đổi hạt vô hướng

Đối với sự trao đổi các meson vô hướng, ta có chuẩn thế giảm theo năng lượng

như sau:

2( ; )

Từ các công thức (2.2.25) và (3.1.1) số hạng chính của biên độ tán xạ là:

2 2

1( ),2

Một cách tương tự, thay (3.1.1) vào (2.2.28), số hạng bổ chính bậc nhất của biên độ tán xạ sẽ là:

có số hạng bổ chính giảm rất nhanh theo năng lượng

Số hạng bổ chính được tính trong khuôn khổ phương pháp chuẩn thế có cơ sở chặt chẽ hơn so với các số hạng bổ chính được tính bằng các phương pháp tích phân phiếm hàm và phương pháp giản đồ Feyman Cụ thể là ở vùng năng lượng nói trên việc tính từng giản đồ Feynman, sau đó tính tổng các đóng góp của các giản đồ Feynman là không dễ dàng,

b) Trao đổi hạt vectơ

Hạt vô hướng tương tác với trường vectơ có Lagrangian tương tác

2

L  g iA g A A  , thì chuẩn thế Yukawa không phụ thuộc vào năng

lượng và có biểu thức như sau:

c) Trao đổi hạt tenxơ

Trong trường hợp hạt vô hướng tương tác với trường tensor, có Lagrangian

tương tác thì chuẩn thế Yukawa tăng theo năng lượng

trường hợp này, pha eikonal là hoàn toàn thực và ảnh hưởng của tán xạ không đàn

tính coi như không đáng kể trong phép gần đúng này in 0

Trong trường hợp trao đổi graviton, tương ứng với chuẩn thế phụ thuộc năng lượng (3.3.10) thì Froissart bị vi phạm (tiết diện tán xạ toàn phần tăng khi năng lượng tăng) Kết quả tương tự cũng thu được với chuỗi eikonal trao đổi Regge graviton

KẾT LUẬN

Tavkhelidze cho bài toán tán xạ, đồng thời tính số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ năng lượng cao, các kết quả thu được trong Luận văn bao gồm:

1/ Giải phương trình chuẩn thế Logunov - Tavkhelidze cho bài toán tán xạ ta thu được số hạng chính-biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất của nó ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ

2/ Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận cho biên độ tán xạ ở năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ qua thế Yukawa,tương ứng với sự trao đổi các hạt vô hướng ,thì số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ của nó nhỏ hơn số hạng chính –biểu diễn tán xạ eikonal,xấp xỉ bằng 1 s

3/ Khi tương tác giữa hai nucleon qua việc trao đổi các hạt với spin khác nhau, meson vô hướng (spin bằng không), meson vector (spin bằng 1) và graviton (spin bằng 2) - hạt tenxơ ta thu được các công thức, trùng với kết quả được tính toán bằng một phương pháp khác, phương pháp tích phân phiếm hàm với sự cải biến của lý thuyết nhiễu loạn Tùy thuộc vào spin khác nhau tiết diện tán xạ toàn phần tot giảm, không đổi và tăng theo sự tăng của năng lượng

Các kết quả lý thuyết nhận được dựa trên cơ sở phương trình chuẩn thế và thế Gauss có thể sử dụng để phân tích các số liệu từ thực nghiệm về tán xạ các hadron Phương pháp nghiên cứu trong luận án Thạc sỹ này có thể được sử dụng để nghiên cứu tiếp theo cho các bài toán tán xạ phức tạp hơn trong trường hấp dẫn lượng tử Các vấn đề này dành cho việc nghiên cứu sắp tới