Về nghiệm của một số lớp phương trình vi - tích phân tự tham chiếu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Thanh Lan VỀ NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN TỰ THAM CHIẾU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016... ĐẠ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Thanh Lan

VỀ NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN

TỰ THAM CHIẾU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Thanh Lan

VỀ NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN

TỰ THAM CHIẾU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 62 46 01 12

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

1 Hướng dẫn chính: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn

2 Hướng dẫn phụ: GS.TSKH Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2016

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của GS.TSKH Phạm Kỳ Anh và PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn.Các kết quả trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công

bố trong bất kỳ công trình nào khác

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Thị Thanh Lan

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, tôi kính gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đếnGS.TSKH Phạm Kỳ Anh và PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Các Thầy hướngdẫn tôi rất tận tình, luôn động viên, chỉ bảo, cho tôi những lời khuyên vô cùng

bổ ích và những góp ý vô cùng quý báu, cũng như hỗ trợ kinh phí trong suốtquá trình tôi học nghiên cứu sinh

Tôi cũng kính gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến PGS.TSKH VũHoàng Linh và Ban Chủ Nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học đã tạo mọi điềukiện làm việc tốt nhất trong suốt quá trình học của tôi

Tôi kính gửi lời cảm ơn đến PGS.TSKH Vũ Hoàng Linh, PGS.TS NguyễnHữu Điển, TS Nguyễn Trung Hiếu và các Thầy, Cô trong Bộ môn Toán họcTính Toán đã cho tôi nhiều góp ý quý báu để luận án của tôi được tốt hơn.Tôi kính gửi lời cảm ơn chân thành đến GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu đãluôn động viên tôi trong suốt quá trình tôi học tập ở đây Thầy cũng là người

đã tài trợ kinh phí trong thời gian đầu tôi ra Hà Nội học tập

Tôi kính gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau đại học của Trường Đại học Khoahọc Tự nhiên thuộc Đại học Quốc Gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi trongsuốt quá trình tôi học tập tại đây

Tôi kính gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Trường Đại học SàiGòn đã hỗ trợ về mặt kinh phí và tạo điều kiện về thời gian cho tôi đi họcnghiên cứu sinh

Tôi kính gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Phạm Hoàng Quân và Ban Chủnhiệm Khoa Toán ứng dụng Trường Đại học Sài Gòn đã tạo điều kiện thuậnlợi cho tôi trong việc hoàn thành chương trình học

Tôi cũng chân thành cảm ơn TS Vũ Tiến Dũng (Bộ môn Tin học), TS

Vũ Nhật Huy (Bộ môn Giải tích), NCS Đặng Văn Hiếu, NCS Phạm Thị Thảo

đã hỗ trợ và cho tôi những góp ý quý báu để luận án của tôi được tốt hơn.Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến Mẹ và chồng, những người luôn hỗ trợ, chia sẻ công việc gia đình vàkhông ngừng động viên tôi, cho tôi yên tâm học hành trong suốt quãng thờigian làm nghiên cứu sinh ở Hà Nội Và tôi kính xin dành tặng thành quả này

đến người Cha kính yêu đã khuất của tôi Một người mà dù khó khăn đến đâucũng luôn mỉm cười, chia sẻ, khích lệ và tạo điều kiện hết sức có thể cho tôiđược học hành đến nơi đến chốn trong suốt quãng đời của mình.

Mặc dù có nhiều cố gắng, nhưng do kiến thức của bản thân còn nhiều hạnchế nên luận án khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sựchỉ bảo của Quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn khi đọc luận

án này Tôi xin chân thành cảm ơn

NCS Nguyễn Thị Thanh Lan

k f k∞ k f k∞= supx∈[a,b]| f (x)|, với f là hàm bị chặn trên [a, b].

k f k0 k f k0= maxx∈[a,b]| f (x)|, với f : [a, b] → R là hàm liên tục C([−1, 1], [−1, 1]) Không gian các hàm liên tục f : [−1, 1] → [−1, 1].

C ([−1, 1], R) Không gian các hàm liên tục f : [−1, 1] → R.

Lip (R, R) Không gian các hàm thực liên tục Lipschitz trên R.

l.s.c Nửa liên tục dưới.

max{T0, T1} Giá trị lớn nhất trong hai giá trị T0, T1.

Mục lục

Trang

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt 4

Mở đầu 7

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 20

1.1 Một số không gian hàm 20

1.2 Điểm bất động của ánh xạ phi tuyến 21

1.3 Phương trình vi phân tự tham chiếu 23

Chương 2 Phương trình vi phân cấp một tự tham chiếu 25

2.1 Hệ phương trình vi phân cấp một tự tham chiếu 25

2.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương 26

2.1.2 Sự tồn tại nghiệm toàn cục 32

2.2 Hệ phương trình vi phân cấp một tự tham chiếu có trọng 37

2.2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương 38

2.2.2 Sự tồn tại nghiệm toàn cục 45

2.2.3 Các ví dụ minh họa 50

2.3 Bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân tự tham chiếu 54

2.3.1 Thiết lập sự tồn tại nghiệm bằng Định lý Schauder 55

2.3.2 Sử dụng dãy lặp để chứng minh sự tồn tại nghiệm 57

2.4 Kết luận 60

Chương 3 Phương trình vi phân cấp hai tự tham chiếu 61

3.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương 61

3.2 Ví dụ minh họa 72

3.3 Kết luận 74

Kết luận 75

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 76

Tài liệu tham khảo 77

Mở đầu

Lý thuyết phương trình vi-tích phân có ứng dụng rộng rãi trong nhiềungành khoa học như Vật lí, Cơ học, Sinh học, và đã được các nhà toán họcnghiên cứu bằng các công cụ thích hợp Tuy nhiên, trong thực tế ứng dụng,

có những loại phương trình vi-tích phân phi tuyến mà hàm phải tìm lại là biếncủa chính nó, được gọi là các phương trình vi-tích phân tự tham chiếu Luận

án tập trung khảo sát các lớp phương trình vi-tích phân như thế

Các phương trình vi-tích phân tự tham chiếu có cấu trúc đặc biệt, có độphi tuyến cao, nên sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm cũng như cácphương pháp tìm nghiệm gần đúng của chúng không suy ra được từ nhữngkết quả đã biết trong lý thuyết phương trình vi phân thường Một trong các

mô hình thú vị, thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học, là các phương trìnhvi-tích phân ứng dụng trong di truyền học thuộc dạng tự tham chiếu Mô hìnhnày được Miranda và Pascali [14] mô tả dưới dạng phương trình toán tử nhưsau: ChoX ,Y là các không gian hàm, và giả sửA : X → Y, B : X → Y là các toán

tử Xét phương trình

(Au)(x,t) = u (Bu)(x,t),t
, (0.1)

trong đó u = u(x,t) là hàm cần tìm thỏa mãn điều kiện đầu tại t = 0, (x,t) ∈

R × [0, +∞), AvàBlà các toán tử từ không gian hàmX vào không gian hàmY.

Mối quan hệ giữa X vàY phụ thuộc vào việc A, B là toán tử vi phân hay tíchphân Bu được xem như toán tử di truyền, được biểu diễn dưới dạng vi phânhoặc tích phân, chẳng hạn như

(Bu)(x,t) =

Z t 0 u(x, s)ds,

và(0.1) được xem là một mô hình của di truyền học.

Mô hình(0.1)đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Công trình quantrọng đầu tiên về phương trình vi-tích phân tự tham chiếu được Volterra [26]công bố vào năm1962.

KhiAlà toán tử vi phân vàBlà toán tử đồng nhất, sử dụng định lý điểm bấtđộng Banach, ở [7], tác giả đã nhận được sự tồn tại và tính duy nhất nghiệmcủa phương trình

vớix(t0) = x0, trong đó(t0, x0)là một cặp số thực cho trước bất kỳ

Tiếp theo đó, có rất nhiều kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này Cụ thể nhưsau

Trong [18], các tác giả đã nghiên cứu phương trình tổng quát hơn (0.2) códạng

x0(z) = x(az + bx(z)), (0.3)

trong đóa 6= 1vàb 6= 0là các số phức, vàx : C → Clà hàm biến phức cần tìm

Ở đây, các tác giả sử dụng phương pháp chuỗi hội tụ để chứng minh sự tồntại duy nhất nghiệm của bài toán(0.3)

Trong trường hợpa = 0vàb = 1,phương trình(0.3)trở thành phương trình

(0.2) và sự tồn tại nghiệm dưới dạng giải tích cũng được chứng minh bằngđịnh lí điểm bất động Banach

(H2) |β | = 1,với β không là căn bậc hai của đơn vị và

Định lý 0.1 (xem [18]) Giả sử số phức β thỏa mãn giả thiết (H1) hoặc (H2) Khi đó,

phương trình (0.3) có nghiệm dưới dạng giải tích x(z) được biểu diễn bởi (0.6) trong

một lân cận nào đó của (β −a)(1−a), trong đó y(z) là một nghiệm giải tích của phương trình (0.5) Hơn nữa, khi (H1) thỏa mãn, tồn tại hằng số dương M sao cho

|x(z)| ≤ 1

|b|

β − a

1 − a

+ 12M

! +

a b

... class="page_container" data-page="20">

Ngoài ra, phương trình vi- tích phân có trễ phụ thuộc vào nghiệm, phươngtrình tích phân dạng tự chập (autoconvolution) gần gũi với phương trìnhvi -tích phân tự tham chiếu.

Trong... với phương trình vi phân phi tuyến, giải gần bằngnhiều phương pháp khác phương pháp sai phân, phương pháp biếnphân, phương pháp trùng khớp, vv . Nhưng phương trình vi phân tự thamchiếu... biên haiđiểm cho phương trình vi phân tự tham chiếu lần khảo sát trongbản luận án Trong q trình nghiên cứu, chúng tơi sử dụng sốcơng cụ giải tích hàm lý thuyết phương trình vi phân phương pháplặp,