Hiệu ứng nụ cười trong toán tài chính : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 15

Với nhiều lý do khác nhau, giá củacác hợp đồng quyền chọn tính bởi công thức Black - Scholes không phù hợp với thực tế.Bằng thực nghiệm ng-ời ta thấy độ biến động σ không phải là một hằn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

LÊ VIỆT PHƯƠNG

HIỆU ỨNG NỤ CƯỜI TRONG TOÁN TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

LÊ VIỆT PHƯƠNG

HIỆU ỨNG NỤ CƯỜI TRONG TOÁN TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 604615

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS TRẦN HÙNG THAO

Hà Nội – Năm 2011

Mục lục

1.1 Kiến thức cơ bản về thị tr-ờng tài chính 4

1.1.1 Các thị tr-ờng tài chính 4

1.1.2 Cổ phiếu chứng khoán và các phái sinh 4

1.2 Thị tr-ờng và toán học 7

1.2.1 Giá đ-ợc xem nh- các quá trình ngẫu nhiên 7

1.2.2 Thông tin thị tr-ờng và biểu diễn toán học 7

1.2.3 Cơ hội có chênh lệch thị giá và nguyên lý AAO 10

1.2.4 Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị tr-ờng đầy đủ 11

1.3 Mô hình Black - Scholes 11

1.3.1 Giới thiệu mô hình và kết quả 11

1.3.2 Cơ sở dẫn đến mô hình Black - Scholes 13

1.3.3 Xác định các tham số của chuyển động Brown hình học 14

1.3.4 Công thức Black - Scholes về giá của hợp đồng quyền chọn mua 16

Ch-ơng 2 Hiệu ứng nụ c-ời 20 2.1 Mô hình Dupire (1994) 20

2.1.1 Mô hình 20

2.1.2 Công thức Dupire 21

2.1.3 Hiệu ứng nụ c-ời của độ biến động đối với các quyền chọn mua Châu Âu 22 2.1.4 Các vấn đề gặp phải khi thực hành và h-ớng giải quyết 25

2.2 Một số h-ớng tiếp cận chính đã đ-ợc nghiên cứu 26

Ch-ơng 3 Định giá với nụ c-ời trong mô hình thị tr-ờng LIBOR ký kết tr-ớc 28 3.1 Bài toán nụ c-ời trong mô hình thị tr-ờng LIBOR ký kết tr-ớc 28

3.2 Hai mô hình thay thế cổ điển 31

3.2.1 Tr-ờng hợp thay thế loga chuẩn 31

3.2.2 Mô hình co dãn hằng số của ph-ơng sai 33

3.3 Lớp mô hình tổng quát 36

3.3.1 Tr-ờng hợp cụ thể: Hỗn hợp các chuyển động Brown hình học 39 3.3.2 Mở rộng mô hình hỗn hợp chuyển động Brown hình học cho phép độ

lệch độ biến động tiềm ẩn 41 3.3.3 Mô hình tổng quát kiểu Dupire 45 3.4 Ví dụ áp dụng vào dữ liệu thị tr-ờng 49

1.1 Mô hình thị tr-ờng LIBOR 52 1.1.1 Mô hình 52 1.1.2 Hai độ đo th-ờng dùng 55

Lời mở đầu

Toán học tài chính ra đời từ rất sớm nh- là một đòi hỏi tự nhiên của xã hội Nhữngmô hình toán học dùng để nghiên cứu các thị tr-ờng tài chính ra đời nhằm mục đíchgiảm thiểu rủi ro tài chính, và đ-ợc các nhà đầu t-, các chuyên gia tài chính dùng đểphòng hộ và bảo hiểm Việc ra đời các thị tr-ờng Quyền chọn đòi hỏi phải xây dựngcác mô hình để định giá các hợp đồng quyền chọn đó Hai trong những ng-ời đầu tiênthành công trong việc xây dựng mô hình để định giá quyền chọn với thời gian liên tục

là hai nhà Toán học ng-ời Mỹ là Fisher Black và Myron Scholes từ năm 1973 Trongmô hình đó, tài sản cơ sở đ-ợc giả thiết có giá tuân theo chuyển động Brown hình học

và cho bởi: dS t

S t

= àdt + σdWt trong đó S là giá trị tài sản, à là dịch chuyển hằng số, σ

là độ biến động hằng số và W là chuyển động Brown tiêu chuẩn Với mô hình Black Sholes ng-ời ta có thể định giá chứng khoán và định giá các hợp đồng quyền chọn có kể

-đến các yếu tố ngẫu nhiên tác động lên thị tr-ờng Với nhiều lý do khác nhau, giá củacác hợp đồng quyền chọn tính bởi công thức Black - Scholes không phù hợp với thực tế.Bằng thực nghiệm ng-ời ta thấy độ biến động σ không phải là một hằng số mà là mộthàm của cả thời gian và giá thực thi hợp đồng quyền chọn, hơn nữa đó là một hàm lồi,

đồ thị có chiều lồi quay xuống d-ới có hình dáng của một nụ c-ời, vì thế sự kiện nàygọi là "Hiệu ứng nụ c-ời" Rất nhiều nhà nghiên cứu đã cố gắng đặt bài toán phù hợptốt, chính xác đến mức có thể, với dữ liệu về quyền chọn Một số h-ớng tiếp cận chínhnh-: Đầu tiên là h-ớng tiếp cận dựa trên giả thiết về mô hình hiển thay thế đối với quátrình giá tài sản, và ngay lập tức dẫn đến hiệu ứng nụ c-ời hay độ lệch độ biến động.Một ví dụ là quá trình co dãn hằng số của ph-ơng sai (CEV) của Cox (1975) và Cox &Ross (1976) H-ớng tiếp cận thứ hai dựa trên giả thiết về tính không đếm đ-ợc của cácgiá trao đổi hiện hành Cách này đ-ợc nghiên cứu bởi Breeden và Litzenberger (1978),sau đó là Dupire(1994,1997), Derman và Kani(1994,1998) Họ đã đ-a ra đ-ợc biểu thứchiển cho độ biến động Black - Scholes nh- là một hàm của giá thực thi và kỳ hạn H-ớngtiềp cận này có hạn chế cơ bản là ng-ời làm phải nội suy trơn các giá quyền chọn giữacác giá thực thi liên tiếp để có thể lấy vi phân cấp hai theo giá thực thi H-ớng tếp cậnthứ ba, đ-ợc nghiên cứu bởi Rubinstein(1994), Jackwerth và Rubinstein(1996), Britten

- Jones và Neubeger(2000) gồm việc tìm các xác suất không rủi ro trong một mô hìnhtam thức/nhị thức của giá tài sản, và dẫn đến sự phù hợp tốt nhất của giá quyền chọntheo tiêu chuẩn trơn (mịn) nào đó Ngoài ra còn có h-ớng tiếp cận thị tr-ờng không

đầy đủ Nó bao gồm các mô hình độ biến động ngẫu nhiên, nh- mô hình của Hull vàWhite (1987), Heston (1993) và Tompkins(2000a,2000b), và mô hình khuếch tán nhảy,nh- mô hình của Merton(1976) hay Prigent, Renault và Scaillet (2001) H-ớng tiếp cận

cuối cùng dựa trên cái gọi là mô hình thị tr-ờng đối với độ biến động tiềm ẩn Các ví

dụ đầu tiên là trong Schonbucher (1999), và Ledoit và Santa Clara (1998)

Với đề tài "Hiệu ừng Nụ c-ời trong toán tài chính" trong luận văn này, sau khi tìmhiểu các mô hình của Black - Scholes, Dupire, Cox & Ross, Heston, Rubinstein, tôithấy việc đ-a ra một mô hình tổng quát hơn là cần thiết, tuy nhiên bài toán định giácho các hợp đồng quyền chọn là một bài toán mở có nhiều h-ớng giải quyết và việc giảiquyết vấn đề này một cách triệt để có thể còn ch-a thực hiện đ-ợc trong thời gian ngắn.Nói chung, bài toán tìm phân phối không rủi ro để định giá nhất quán cho tất cả cácquyền chọn gi-ờng nh- có nhiều điểm không xác định Một lời giải có thể đ-ợc đ-a ranếu có giả thiết về sự phụ thuộc phân phối không rủi ro có tham số cụ thể với một sốtham số, chẳng hạn phụ thuộc thời gian, và khi đó ta sử dụng các tham số này cho phùhợp với độ biến động Bằng cách áp dụng cách t-ợng tự nh- của Dupire(1994,1997), ta

đặt bài toán này và tìm lớp mô hình đầu tiên dẫn tới phân phối không rủi ro có tham số

đủ linh hoạt cho mục đích thực hành Khi đó sẽ tạo ra các quá trình liên kết giữa h-ớngtiếp cận phân phối không rủi ro có tham số và h-ớng tiếp cận mô hình thay thế, và dẫn

đến mô hình hiển với các mật độ không rủi ro có tham số linh hoạt Với các điều kiệnth-ờng gặp trong thực tế thì mô hình LIBOR ký kết tr-ớc (FLM) là sự lựa chọn thuậntiện nhất trong rất nhiều tình huống Trong luận văn này tôi cố gắng định nghĩa các vấn

đề liên quan đến mô hình FLM để thay thế cho mô hình loga chuẩn cổ điển, và cũngtruy lại các cấu trúc độ biến động nh- đã quan sát trên thị tr-ờng

Luận văn gồm ba ch-ơng với những nội dung chính sau đây:

• Ch-ơng 1 Trình bày sơ l-ợc về các thị tr-ờng tài chính và một số khái niệm tàichính có liên quan Mô hình Black - Scholes và công thức Black - Scholes định giá quyềnchọn với thời gian liên tục

• Ch-ơng 2 Nhắc đến khái niệm "Hiệu ứng Nụ c-ời" Mô hình Dupire cùng vớicách xây dựng công thức Dupire làm cơ sở tham khảo khi xây dựng mô hình thay thếtrong ch-ơng 3

• Ch-ơng 3 Xây dựng một lớp khuếch tán để lập mô hình lãi suất LIBOR ký kếttr-ớc d-ới các độ đo chính tắc của chúng, dựa trên giả thiết về một sự phụ thuộc hàmtrơn tại thời điểm đáo hạn giữa lãi suất ký kết tr-ớc và một chuyển động Brown kết hợp

Đồng thời xây dựng trong lớp này một mô hình có thể phù hợp một cách gần nh- chínhxác với các độ biến động thị tr-ờng cho ở đầu vào

• Phần phụ lục Trình bày tóm tắt một số yếu tố về mô hình thị tr-ờng LIBOR

Lời cảm ơn

Bản luận văn này đ-ợc hoàn thành d-ới sự h-ớng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS

TS Trần Hùng Thao (Viện Toán học - Viện khoa học và công nghệ Việt Nam) Thầy đãdành nhiều thời gian h-ớng dẫn tận tình cũng nh- giải đáp các thắc mắc của tôi trongsuốt quá trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ng-ời thầy củamình Tôi cũng xin cảm ơn nhóm seminar về "Toán tài chính" tại Viện Toán học đã giúptôi bổ sung, củng cố các kiến thức về thị tr-ờng tài chính cũng nh- tìm hiểu về các môhình toán học trong tài chính

Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Tr-ờng Đại học Khoahọc Tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng nh- các thầy cô đã tham gia giảng dạykhoá cao học 2007 - 2009, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốtquá trình tôi học tại tr-ờng

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi ng-ời đã quan tâm, tạo điều kiện, độngviên cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình

Hà Nội, ngày 15 tháng 12 năm 2011

Học viên: Lê Việt Ph-ơng(1)

(1) E-mail: Vietphuong2088@gmail.com

Ch-ơng 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong ch-ơng này chúng ta sẽ nhắc qua về các thị tr-ờng tài chính và một số kháiniệm tài chính có liên quan Mô hình Black - Scholes và công thức Black - Scholes địnhgiá quyền chọn với thời gian liên tục

1.1 Kiến thức cơ bản về thị tr-ờng tài chính

1.1.1 Các thị tr-ờng tài chính

Từ lâu ta đã nghe nói tới các trung tâm giao dịch chứng khoán nh- NewYork, London,Tokyo và gần đây là các trung tâm giao dịch chứng khoán ở các thành phố lớn của ViệtNam nh- Hà Nội, Thành phố Hồ Chí Minh Các bài báo về hoạt động buôn bán tại cácthị tr-ờng này th-ờng xuyên xuất hiện trên trang nhất của các tờ nhật báo và trên bảntin thời sự và các bản tin tài chính của các quốc gia có nền kinh tế thị tr-ờng Còn rấtnhiều thị tr-ờng tài chính khác nữa, mỗi thị tr-ờng đều có những đặc tr-ng xác định bởimột loại hàng hoá tài chính đ-ợc mang ra trao đổi Các thị tr-ờng tài chính quan trọngnhất là các thị tr-ờng cổ phiếu, các thị tr-ờng trái phiếu, các thị tr-ờng tiền tệ, các thịtr-ờng hợp đồng giao sau và hợp đồng quyền chọn

Hàng hoá trao đổi tại các thị tr-ờng này đ-ợc phân thành hai loại chính là tài sản cơ

sở và tài sản phái sinh

- Tài sản cơ sở gồm: Cổ phiếu, trái phiếu hay một đơn vị tiền tệ Tài sản cơ sởcòn đ-ợc gọi là tài sản nguyên khởi hay tài sản nền tảng

- Tài sản phái sinh bao gồm các tài sản phụ thuộc, tức là các hàng hoá mà giá trịcủa nó rút ra đ-ợc từ giá trị của các tài sản cơ sở Tài sản phái sinh hay phái sinh tàichính còn đ-ợc gọi là tài sản phụ thuộc Các quyền chọn, các hợp đồng kỳ hạn làcác phái sinh tài chính điển hình

1.1.2 Cổ phiếu chứng khoán và các phái sinh

Một công ty có thể huy động vốn bằng cách bán các cổ phần của họ cho các nhà đầut- Ng-ời sở hữu các cổ phần này có thể nhận đ-ợc cổ tức hoặc không tuỳ thuộc vào

công ty đó làm ăn có lãi không và có quyết định chia lãi cho các cổ động hay không.Ngoài ra họ có toàn quyền bán hoặc chuyển nh-ợng cho ng-ời khác.

Giá của cổ phiếu phản ánh cách nhìn và dự đoán của nhà đầu t- về các chi trả cổtức, về khoản tiền kiếm đ-ợc trong t-ơng lai và nguồn vốn mà công ty đó sẽ kiểm soát.Nh- vậy trong phần lớn thời gian thì giá của một cổ phiếu đ-ợc phán định bởi ng-ời nàomuốn trả giá cho nó vào một ngày định tr-ớc

Cho tr-ớc một chứng khoán, tức là một loại cổ phiếu hoặc trái phiếu Khi đó, mộtphái sinh chứng khoán là một hợp đồng đặc biệt mà giá trị của nó tại một ngày nào đótrong t-ơng lai phụ thuộc hoàn toàn vào giá trị t-ơng lai của chứng khoán đó Cá nhânnào hoặc hãng nào xây dựng nên hợp đồng đó và mang bán nó đi gọi là ng-ời viết Cánhân nào hoặc hãng nào mua hợp đồng đó thì đ-ợc gọi là ng-ời giữ Chứng khoán màhợp đồng đó căn cứ vào để lập nên đ-ợc gọi là một tài sản nền tảng

(b) Đến thời điểm đáo hạn T đó, bên B phải trả cho bên A một khoản tiền F (0, T )

định tr-ớc từ lúc ký kết

(c) Không có bất kì một chi phí giao dịch nào tr-ớc thời điểm T

(d) Đến thời điểm T hai bên bắt buộc phải thực thi các quy -ớc đó, theo một số

điều khoản cụ thể

b) Hợp đồng giao sau

Hợp đồng giao sau giữa hai đối tác A và B cũng giống với hợp đồng ký kết tr-ớc ởcác quy -ớc (a), (c), (d) và khác với hợp đồng ký kết tr-ớc ở quy -ớc (b), nó đ-ợc thaybằng quy -ớc (b’)

(b’) Đến thời điểm đáo hạn T, bên B phải trả cho bên A một khoản tiền là F (t, T ),khoản tiền này hoàn toàn xác định bởi giá cả thị tr-ờng tại thời điểm t nào đó (t < T ).Ngoài ra các sản phẩm ghi nợ trong hợp đồng phải là tài sản đ-ợc niêm yết trong thịtr-ờng chính thức

Một điểm phân biệt giữa hai loại hợp đồng ký kết tr-ớc và giao sau là: ở hợp đồng

ký kết tr-ớc, hai bên đối tác thoả thuận rằng sẽ ràng buộc trực tiếp với nhau thông qua

các điều khoản của hợp đồng Còn đối với hợp đồng giao sau thì hai bên mua và bán chỉquan hệ gián tiếp với nhau trên thị tr-ờng chính thức thông qua một tổ chức trung giangọi là "Quỹ đền bù" trong hợp đồng giao sau ng-ời giữ hợp đồng có thể là ng-ời bánhay ng-ời mua Việc chuyển tiền qua lại giữa ng-ời giữ hợp đông và quỹ đền bù đ-ợctiến hành hàng ngày và đ-ợc gọi là "Lệnh gọi đền bù" Việc giao dịch trong hợp độngnày đ-ợc thực hiện theo hình thức hét to và ra hiệu.

1.1.2.2 Các hợp đồng quyền chọn

a) Hợp đồng quyền chọn mua

Là loại hợp đồng cho phép ng-ời giữ hợp đồng có một cơ hội mua một cổ phần chứngkhoán trong t-ơng lai với một giá đảm bảo tr-ớc Các điều kiện của hợp đồng này là:

(a) Đến ngày đáo hạn, ng-ời giữ hợp đồng có thể trả cho ng-ời viết hợp đồng một

số tiền bằng giá thực thi của hợp đồng

(b) Nếu ng-ời viết hợp đồng nhận đ-ợc số tiền giá thực thi do ng-ời giữ trả thìng-ời viết phải giao một cổ phần chứng khoán cho ng-ời giữ vào ngày đáo hạn

Nh- vậy ng-ời giữ hợp đồng này có một quyền chọn đầu t- Nếu đến ngày đáo hạngiá cổ phiếu thấp hơn giá thực thi thì ng-ời đó có quyền không thực thi Còn nếu giá cổphiếu cao hơn giá thực thi thì ng-ời giữ sẽ trả chi phí thực thi và có đ-ợc một cổ phần

b) Hợp đồng quyền chọn bán

Là loại hợp đồng cho phép ng-ời giữ hợp đồng có một cơ hội đ-ợc phép bán một

cổ phần chứng khoán trong t-ơng lai với một giá đảm bảo tr-ớc, ngay cả khi ng-ời takhông sở hữu bất kỳ một cổ phiếu nào cả Các điều kiện của hợp đồng này là:

(a) Đến ngày đáo hạn, ng-ời giữ hợp đồng có thể đ-a cho ng-ời viết một cổ phầnchứng khoán hoặc t-ơng đ-ơng một số tiền theo giá thị tr-ờng lúc ấy của một cổ phầnchứng khoán

(b) Nếu ng-ời viết hợp đồng nhận đ-ợc cổ phần chứng khoán hoặc số tiền t-ơng

đ-ơng do ng-ời giữ hợp đồng giao cho thì anh ta phải trả chi phí thực thi cho ng-ời giữhợp đồng vào ngày đáo hạn của hợp đồng

Cũng nh- với các hợp đồng quyền chọn mua, ở hợp đồng quyền chọn bán ng-ời giữ

hợp đồng có quyền chọn đầu t- Và nếu hợp đồng chỉ cho phép ng-ời giữ sử dụng nóvào ngày đáo hạn thì gọi là quyền chọn bán kiểu Châu Âu Còn nếu có thể thực thi hợp

đồng này vào bất kỳ thời điểm nào tr-ớc ngày đáo hạn thì ta có quyền chọn bán kiểu

Mỹ Một quyền chọn bán kiểu Mỹ có thể kiếm đ-ợc nhiều tiền hơn một quyền chọn bánkiều Châu Âu

1.2 Thị tr-ờng và toán học

1.2.1 Giá đ-ợc xem nh- các quá trình ngẫu nhiên

Xét một tài sản tài chính S mà giá của nó tại một thời điểm t đ-ợc ký hiệu là S (t).Giả sử t0 là thời điểm hiện tại thì ta chỉ biết đ-ợc giá thực thi S (t0) nhờ quan sát trên thịtr-ờng và nói chung ta không biết tr-ớc đ-ợc giá S (t) với t > t0 Giá S (t) biến đổi mộtcách phụ thuộc vào nhiều yếu tố ngẫu nhiên nh- các biến động giá các sản phẩm khác,các xu h-ớng tăng tr-ởng hoặc suy thoái của các nền kinh tế trên thế giới, các diễn biến

về nhu cầu tiêu dùng trong và ngoài n-ớc, tiềm lực sản xuất, các diễn biến chính trị, cácchính sách của nhà n-ớc, các diễn biến tâm lý nhà đầu t- Ta gom các yếu tố ngẫunhiên đó của tất cả các sản phẩm tài chính S trên thị tr-ờng vào một tập hợp cơ bản kíhiệu là Ω mà mỗi phần tử ω của nó biểu thị một yếu tố ngẫu nhiên nào đó Mỗi sự kiệnxảy ra trong thị tr-ờng là một tập hợp nào đó gồm một số các yếu tố ngẫu nhiên Để

đo l-ờng một cách định l-ợng khả năng xảy ra các sự kiện đó ng-ời ta dùng một loạith-ớc đo là một độ đo xác suất P Độ đo đó chỉ đo đ-ợc các sự kiện thuộc về một lớp

F nào đó các sự kiện (F sẽ đ-ợc xác định nh- một σ − đại số), mỗi sự kiện A thuộc vềlớp này đ-ợc gọi là một biến cố ngẫu nhiên và giá trị đo l-ờng khả năng xảy ra sự kiện

A đó chính là xác xuất P (A)

Vậy ta có một không gian xác suất (Ω, F , P ) mà mỗi tài sản tài chính S (t) là một quátrình ngẫu nhiên xác định trên đó: Với mỗi t, S (t) còn phụ thuộc vào các yếu tố ngẫunhiên ω : S = S (t,ω)

1.2.2 Thông tin thị tr-ờng và biểu diễn toán học

1.2.2.1 σ - tr-ờng và luồng thông tin thị tr-ờng

Ta nhắc lại định nghĩa σ - tr-ờng

Định nghĩa 1.2.1. Một σ − đại số G (hay còn gọi là σ − tr-ờng G ) xác định trên tập Ω là một họ các tập con của Ω thoả mãn các tính chất:

(a) G đóng đối với phép hợp đếm đ-ợc.

(b) G đóng đối với phép lấy phần bù.

P (A) Nh-ng giá sản phẩm thì thay đổi ngẫu nhiên theo thời gian t và các thông tin vềthị tr-ờng (chính sách, nhu cầu tiêu dùng ) cũng tích luỹ càng ngày càng nhiều thêm

Ta giả sử mọi thông tin về thị tr-ờng ấy tại thời điểm t đ-ợc ghi nhận trong một tr-ờngthông tin Ft là một họ con của F Nh- vậy Ft ghi nhận mọi biến cố xảy ra trong thịtr-ờng tại mọi thời điểm s ≤ t

Về mặt toán học, họ thông tin cơ bản F và các họ con Ft đ-ợc xác định nh- những

σ - đại số trên tập Ω các yếu tố ngẫu nhiên cơ bản

Định nghĩa 1.2.3. Luồng thông tin thị tr-ờng Ft , t ≥ 0 là một họ các σ - đại số con của

σ - đại số F (Ft⊂ F ) và thoả mãn các điều kiện sau đây:

(i) Là một họ tăng, tức là Fs ⊂ Ft với s ≤ t

(ii) Liên tục phải, tức là T

>0Ft+ = Ft

(iii) Mọi tập P - bỏ qua đ-ợc A thuộc F đều đ-ợc chứa trongF0 (do đó A ⊆ F t , ∀t)

Điều kiện (i)phản ánh đúng thông tin thị tr-ờng: Mỗi ngày trôi qua ta có thêm thôngtin diễn biến của thị tr-ờng

Các điều kiện (ii) và (iii) có tính chất kỹ thuật để phục vụ tính toán

Trong toán học, luồng thông tin F(t) định nghĩa nh- trên đ-ợc gọi là một bộ lọc.Tuỳ bối cảnh của bài toán, có thể chọn ra nhiều bộ lọc khác nhau

1.2.2.2 Không gian xác suất đ-ợc lọc

Định nghĩa 1.2.4. Cho một không gian xác suất (Ω, F , P ) gồm tất cả các yếu tố ngẫu nhiên trong một thị tr-ờng tài chính, và cho Ft , t ≥ 0 là một luồng thông tin trên thị tr-ờng đó Khi đó bộ (Ω, F , Ft , P ) đ-ợc gọi là một không gian xác suất đ-ợc lọc của thị tr-ờng đó.

Nếu tài sản tài chính S có giá là một quá trình ngẫu nhiên S t = S (t,ω) xác định trênkhông gian xác suất đ-ợc lọc đó thì S t là một biến ngẫu nhiên đo đ-ợc đối với Ft Tínhchất đó đ-ợc gọi là tính thích nghi của quá trình giá tài sản S đối với luồng thông tin

thị tr-ờng Ft Điều đó có nghĩa là mọi sự kiện liên quan đến giá cả của tài sảnS tại thời

điểm t đều đ-ợc chứa đựng trong σ − tr-ờng thông tin F t

1.2.2.3 Lịch sử diễn biến của giá tài sản

Định nghĩa 1.2.5. Cho S là một tài sản tài chính nào đó xét trong một không gian xác suất (Ω, F , P ) của thị tr-ờng Ta chọn bộ lọc (Ft) ở đây chính là σ − tr-ờng sinh ra bởi mọi giá trị quá khứ S s , s ≤ t của tài sản S và kí hiệu là (FS

1.2.2.4 Luồng thông tin tổng hợp của thị tr-ờng

Định nghĩa 1.2.6. Giả sử một thị tr-ờng M gồm có các tài sản cơ bản là S1, S2, , S K Mỗi tài sản S k (k = 1, 2, , K) ứng với một lịch sử diễn biến là FSk

t Khi đó luồng thông tin tổng hợp của thị tr-ờng M, ký hiệu là FtM đ-ợc định nghĩa bởi

Trong đó, với mỗi t , FtM là lịch sử diễn biến của thị tr-ờng M cho tới thời điểm t

1.2.2.5 Giả thuyết thị tr-ờng hiệu quả

Định nghĩa 1.2.7. Giả thuyết thị tr-ờng hiệu quả là một giả thuyết gồm hai điều kiện sau:

(i) Mọi thông tin về tài chính đều đ-ợc phản ánh đầy đủ trong giá của các sản phẩm tài chính.

(ii) Mọi nhà đầu t- đều có cơ hội nh- nhau để tiếp cận thông tin về thị tr-ờng Nói cách khác, không có ai có cơ hội v-ợt trội nắm bắt đ-ợc thông tin về thị tr-ờng (giá cả, chính sách ) hơn những ng-ời khác.

Hai điều kiện đó đ-ợc gọi là hai nguyên lý của giả thuyết về thị tr-ờng hiệu quả Giảthuyết này đ-ợc nhà kinh tế học Mỹ là Eugene Fama đ-a ra năm 1965

Ba dạng thị tr-ờng hiệu quả:

- Dạng yếu: Khi thông tin về thị tr-ờng chỉ là các thông tin quá khứ

- Dạng trung bình: Khi thông tin về thị tr-ờng là mọi thông tin công khai

- Dạng mạnh: Gồm mọi thông tin có thể, ngoài ra, các diễn biến t-ơng lai về giásản phẩm tài chính chỉ phụ thuộc vào thông tin quá khứ thông qua giá hiện tại của chúng.Nói cách khác, khi giá các tài sản tài chính có tính chất Markov

1.2.2.6 Một số khái niệm cơ bản trong toán tài chính

a) Ph-ơng án đầu

t-Một ph-ơng án đầu t- là tổ hợp của một số hữu hạn các chứng khoán với các trọng

số nào đấy

Giả sử có n chứng khoán với giá trị tại thời điểmt là S1(t), , Sn(t) Một ph-ơng án

đầu t- là một cách chọn ra α1(t) chứng khoán S1 , , α n(t) chứng khoán S n tại mỗithời điểm t để đầu t- Vậy giá trị V α (t) của ph-ơng án ấy tại thời điểm t là:

Rõ ràng V α (t) là một quá trình ngẫu nhiên

Các α i(t) là các hàm số tất định của t Nếu α i(t) > 0 thì gọi là ph-ơng án bán đốivới chứng khoán S i, còn nếu α i(t) < 0 thì gọi là ph-ơng án mua đối với chứng khoán S i.Ph-ơng án đầu t- còn đ-ợc gọi là danh mục đầu t- hoặc chiến l-ợc đầu t- và đ-ợc

ký hiệu là (α, S)

b) Cân đối lại và tự tài trợ

- Tại một thời điểm t, ph-ơng án đầu t- có thể đ-ợc cân đối lại, tức là điều chỉnhlại việc mua và bán các chứng khoán S i(1 ≤ i ≤ n) Điều đó cũng có nghĩa là thay đổicác trọng số của chúng từ α1(t), , αn(t) sang β1(t), , βn(t)

- Nếu sau khi cân đối lại mà giá trị của ph-ơng án đầu t- không thay đổi thì tagọi sự cân đối lại đó là sự cân đối tự tài trợ

1.2.3 Cơ hội có chênh lệch thị giá và nguyên lý AAO

Xét một mô hình thị tr-ờng M gồm các chứng khoán S và một họ các ph-ơng án

đầu t- tự tài trợ Φ

Định nghĩa 1.2.8. Một ph-ơng án đầu t- tự tài trợ φ ∈ Φ đ-ợc gọi là một cơ hội có độ chênh thị giá nếu quá trình giá V t(φ) của ph-ơng án đầu t- thoả mãn các điều kiện:

Giả thiết "Không có độ chênh thị giá" gọi là nguyên lý AAO

1.2.4 Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị tr-ờng đầy đủ

Định nghĩa 1.2.10 Chiến l-ợc đáp ứng

Chiến l-ợc đáp ứng đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn X t tại thời điểm đáo hạn T là một ph-ơng án đầu t- tự tài trợ φ sao cho V t(φ) = Xt Tức là sao cho giá trị lúc đáo hạn của ph-ơng án đầu t- ấy bằng đúng với giá trị đáo hạn X t đã định tr-ớc

và đã ghi trong hợp đồng.

Quá trình giá V t(φ) của ph-ơng án ấy đ-ợc gọi là quá trình đáp ứng Ký hiệu ΦX làlớp tất cả các ph-ơng án đầu t- φ đáp ứng cho phái sinh X

Định nghĩa 1.2.11 Phái sinh đạt đ-ợc trong thị tr-ờng M

Một tài sản phái sinh X đ-ợc gọi là đạt đ-ợc trong thị tr-ờng M nếu có ít nhất một ph-ơng án đáp ứng cho nó.

Định nghĩa 1.2.12 Thị tr-ờng đầy đủ

Một thị tr-ờng Mđ-ợc gọi là đầy đủ nếu mọi tài sản phái sinh X đều đạt đ-ợc trong

M.

1.3 Mô hình Black - Scholes

1.3.1 Giới thiệu mô hình và kết quả

Năm 1973, trong một tạp chí về kinh tế chính trị, hai nhà Kinh tế kiêm Toán học Mỹ

là Fisher Black và Myron Scholes đã công bố một bài báo quan trọng về định giá quyềnchọn Từ đó ra đời mô hình Black - Scholes để định giá tài sản không rủi ro trong mộtthị tr-ờng với thời gian liên tục Ngay lập tức, mô hình đó cùng với công thức Black -Scholes nổi tiếng rút ra từ mô hình đó đã có một tác động có tính chất cách mạng đến các

thị tr-ờng chứng khoán tại Mỹ lúc đó Ng-ời ta thấy rõ sự đơn giản mà rất hiệu quả củamô hình này để định giá chứng khoán và định giá hợp đồng quyền chọn có kể đến cácyếu tố ngẫu nhiên tác động lên thị tr-ờng Năm 1996, Scholes đã đ-ợc nhận giải th-ởngNobel về kinh tế (Lúc đó Black đã mất) nhờ các công trình về tài chính với sự cộng táccủa R.C.Merton, một chuyên gia lão luyện về tài chính tại viện công nghệ Massachusetts.

Gọi S = S t là giá cổ phiếu tại thời điểm t, vì giá cổ phiếu chịu nhiều tác động ngẫunhiên của thị tr-ờng, nên ta coi S t là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục

S t = S (t,ω)

Mô hình Black - Scholes đ-ợc mô tả bởi ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tínhnh- sau:

dS = àSdt + σSdB

trong đó à và σ là những hằng số, còn B là một chuyển động Brown

Giá cổ phiếu tại thời điểm t bất kỳ đ-ợc xác định bởi công thức:

S t

tỷ lệ thuận với độ dài thời gian dt với một hệ số tỷ lệ à nào đó:

dS t

S t ' àdt

Ngoài ra còn phải kể đến tác động của các yếu tố ngẫu nhiên trong thị tr-ờng lên tỷ

lệ đó nữa Các yếu tố ngẫu nhiên ấy tạo nên một loại "nhiễu" ngẫu nhiên Nhiễu ngẫunhiên phổ biến nhất chính là nhiễu có phân bố xác suất chuẩn, đ-ợc gọi là nhiễu trắngGauss hay tiếng ồn trắng Gauss, thể hiện qua vi phân ngẫu nhiên dB t của một chuyển

động Brown B t với một hệ số tỷ lệ σ nào đó Do đó ta đặt:

dS t

S t

= àdt + σdBt (3.1)

à, σ là các hằng số

à còn gọi là độ dịch chuyển giá

σ gọi là độ biến động giá, σ càng lớn thì tác động ngẫu nhiên càng lớn

1.3.2.1 Quá trình chuyển động Brown hình học

Quá trình S (t) này đ-ợc gọi là một chuyển động Brown hình học.

1.3.3 Xác định các tham số của chuyển động Brown hình học

Bằng quan sát, ta có thể -ớc l-ợng đ-ợc các tham số à và σ của chuyển động Brownhình học, điều đó có nghĩa là ta -ớc l-ợng đ-ợc giá S t của cổ phiếu

Giả sử ta ghi nhận đ-ợc một số số liệu về giá một cổ phiếu trong một khoảng thờigian [0, T ], cụ thể: Chia khoảng [0, T ] thành n khoảng nhỏ đều nhau có độ dài là ∆t,

∆t = ti − ti−1 , (i = 1, n) sau đó ta thu thập các giá chứng khoán tại thời điểm cuối t i

của các khoảng nhỏ[ti−1 , t i] Ta đ-ợcnquan sátS1, , S n Ta thực hiện theo các b-ớc sau:

B-ớc 1: Tạo ra một dãy số liệu: u i = ln(Si) − ln(Si−1), (i = 1, n)

Với B ti− Bti−1 là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố chuẩn N (0,∆t)

B-ớc 2: Tính kỳ vọng và ph-ơng sai của biến ngẫu nhiên U nhận các giá trị rời rạc

U1, , U n theo hai cách:

C¸ch 1: Dùa vµo d·y sè liÖu thùc tÕ:

C¸ch 2: Dùa vµo biÓu thøc (3.3)

Do đó giá cổ phiếu vào bất kỳ một ngày t nào sẽ đ-ợc -ớc l-ợng bởi:

1.3.4 Công thức Black - Scholes về giá của hợp đồng quyền chọn mua

Trong mục (2.1.1.1) đã giới thiệu công thức Black - Scholes để định giá V của mộthợp đồng quyền chọn

S T là giá chứng khoán tại thời điểm đáo hạn T

X là giá thực thi hợp đồng tại thời điểm đáo hạn T

S0

X

 +

Đó là công thức Black - Scholes để định giá V của một quyền chọn mua kiểu Châu

Âu trên cơ sở giá cổ phiếu S t tuân theo mô hình Black - Scholes

Chú ý: Nếu ta lấy thời điểm ban đầu là t thì giá chứng khoán ban đầu sẽ là S t cònkhoảng thời gian từ lúc đầu đến lúc đáo hạn sẽ là T − t do đó công thức Black - Scholeskhi đó sẽ viết là:

Ch-ơng 2

Hiệu ứng nụ c-ời

Giả sử rằng giá cổ phiếu S t tuân theo mô hình Black-Scholes sau đây:

dS t = àSt dt + σS t dB t , S0 = 1

Gọi V t là giá của quyền chọn mua kiểu Châu Âu với khoản thu nhập là:

f T = max(ST − X, 0)

trong đó X là giá thực thi vào ngày đáo hạn T

Khi đó V T đ-ợc xác định thông qua độ biến động không đổi σ, thời gian đáo hạn T

và giá thực thi X nhờ công thức Black - Scholes Tuy nhiên, giả thiết σ không đổi làkhông phù hợp với thực tế Quả vậy, ta có thể quan sát giá thị tr-ờng hiện tại của quyềnchọn đó với T và X cho tr-ớc, giả sử ta ghi nhận đ-ợc giá đó là Ve(T ,X ) còn V (σ,T ,X ) là giácủa quyền chọn tính bởi công thức Black - Scholes

(1) Giá trị của ˘ σ (T,X) biến đổi theo T khi X cố định.

(2) Giá trị của ˘ σ (T,X) cũng biến đổi theo X khi T cố định, và ˘ σ (T,X) là một hàm lồi của X.

Vì ˘(T,X) là một hàm lồi, đồ thị quay chiều lồi xuống d-ới, có hình dáng của một nục-ời; Sự kiện này do đó đ-ợc gọi là hiệu ứng nụ c-ời

2.1 Mô hình Dupire (1994)

2.1.1 Mô hình

Ta xét một thị tr-ờng M đầy đủ, không có độ chênh thị giá, với các tài sản cơ bản

là cổ phiếu S và tài sản vốn R, trong đó vốn R này có thể cho vay hoặc đi vay với một

lãi xuất không đổi r Tồn tại một độ biến động σ (S,t) là một hàm trơn của S và t và mộtchuyển động Brown sao cho S thoả mãn ph-ơng trình:

(c) Với xác suất trung tính Q, mọi tài sản phái sinh V bất kì viết trên chứng khoán

S là lời giải của ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên

dV

V = rdt + σV (S,t) d e B t (1.4)

2.1.2 Công thức Dupire

Ta cần tìm hàm số σ (S,t) - tức là độ biến động sao cho với mọi thời điểm đáo hạn T

và với mọi giá trị thực thi X ta đều có

Đạo hàm hai lần theo X cả hai vế của (1.8) ta đ-ợc

2.1.3.1 Tr-ờng hợp quyền chọn mua nhị phân hay số hoá

Giả sử có một quyền chọn mua Châu Âu xây dựng trên một cổ phiếu S có giá thựcthi là X và có thời điểm đáo hạn T Ta đã biết thu hoạch của quyền chọn đó vào lúc đáohạn là:

Kết hợp với (1.14) ta đ-ợc

V T = lim

∆X →0

π T 2∆X

Khi có tác dụng của nụ c-ời, tức là có độ biến động tiềm ẩn σ = σ (T ,X ) biến đổi phụthuộc vào (T, X) thì hàm C (T ,X ) sẽ trở thành C (σ(T,X),T ,X ) và hiệu π T sẽ trở thành:

Từ (1.15) và (1.14) ta có hệ thức giữa các thu hoạch khi có xét đến hiệu ứng nụ c-ời

và khi không xét đến hiệu ứng nụ c-ời của quyền chọn mua nhị phân:

e

V T = VT − ν (T ,X )

∂σ

∂X (T, X) (1.16)

Gọi Q T là giá của quyền chọn đó lúc đáo hạn.

V T(1) ứng với giá thực thi K1, độ biến động σ (T ,X1)

V T(2) ứng với giá thực thi K2, độ biến động σ (T ,X2)

Với X2 = X1+ ∆X, ta đ-ợc giá d e Q T (X1 ) nh- sau:

Chú ý: Các công thức (1.16) và (1.17) là tính cho các giá trị tại thời điểm đáo hạn

T Sau khi hiện tại hoá về thời điểm hiện tại t ∈ [0, T ]thì ta vẫn có các công thức đó với

V T thay bằng V τ và Q T thay bằng Q τ, trong đó τ = T − t

2.1.3.2 Tr-ờng hợp tổng quát của một quyền chọn mua Châu Âu

Giả sử thu hoạch của quyền chọn mua Châu Âu là f (ST) Khi đó, nếu ta kí hiệuPet là

giá của quyền chọn đó (có xét đến hiệu ứng nụ c-ời) thì ta sẽ có:

2.1.4 Các vấn đề gặp phải khi thực hành và h-ớng giải quyết.

Ta thấy ở mô hình Black - Scholes, giá trị (không rủi ro) của quyền chọn kiểu châu

Âu chỉ phụ thuộc vào phân phối xác suất kỳ vọng của tài sản cơ sở tại thời điểm đáohạn của quyền chọn Với các giả thiết của mô hình Black-Scholes, tài sản sẽ có phânphối loga chuẩn tại thời điểm bất kỳ trong t-ơng lai Trong khi đó, nụ c-ời độ biến động

sẽ cung cấp các thông tin cho biết sự khác nhau giữa phân phối xác suất kỳ vọng vớiphân phối loga chuẩn Tuy nó không chứa đủ thông tin để xác định duy nhất quá trình

mà phân phối không loga chuẩn này nảy sinh, nh-ng nếu giả thiết các độ biến động địaph-ơng tức thời là các hàm tất định thuần túy của giá trị tài sản và thời gian thì hàm này

có thể xác định duy nhất từ nụ c-ời độ biến động

Tuy nhiên, có rất nhiều khó khăn phải đối mặt khi thực hiện mô hình với độ biến

động địa ph-ơng cho bởi công thức Dupire Vấn đề đầu tiên là chúng ta đã giả thiết tấtcả các giá quyền chọn (tức là tất cả các độ biến động tiềm ẩn) đã sẵn có (giá thực thibất kỳ, kì hạn bất kỳ) Trên thực tế chỉ có một vài giá thực thi và kỳ hạn đ-ợc niêm yết

Điều này buộc chúng ta phải trải qua quá trình gian khổ khi nội suy các độ biến độngtiềm ẩn trong kỳ hạn và giá thực thi Hơn nữa, ta không thể chọn ph-ơng pháp nội suybất kỳ (chẳng hạn ph-ơng pháp chia khoảng hằng số) do những ràng buộc chính tắc củaph-ơng pháp, vì ta phải vi phân nó để thu đ-ợc độ biến động địa ph-ơng

Với các ph-ơng pháp nội suy trơn cũng không phải là không có vấn đề Chẳng hạnnội suy bằng hàm Spline sẽ dẫn đến mặt độ biến động tiềm ẩn có độ chênh thị giá (mặc

dù đầu vào ban đầu không có độ chênh thị giá) do giao động rất nhỏ mà chúng tạo ratrong một số tr-ờng hợp Điều này chắc chắn sẽ khiến độ biến động địa ph-ơng khôngthể tính toán và làm cho toàn bộ mô hình bị nổ

Mặc dù vậy, với những yêu cầu thấp hơn (chẳng hạn có một sự phù hợp tốt nhất chứkhông phải là phù hợp chính xác với các điểm độ biến động tiềm ẩn thị tr-ờng đầu vào)thì mô hình này làm việc rất hiệu quả

* H-ớng giải quyết:

Để giải quyết vấn đề trên ta có thể dùng ph-ơng pháp giải tích số Giá quyền chọnChâu Âu sẽ đ-ợc tính và so sánh với giá thị tr-ờng, kết hợp với một thuật toán tối thiểuhoá sẽ cho phép chúng ta điều chỉnhσ (S,t) cho phù hợp với thị tr-ờng Tuy nhiên ph-ơngpháp này sẽ rất chậm vì phải định giá cho mỗi quyền chọn thành phần Một công cụ hỗtrợ tốt cho h-ớng này là ph-ơng pháp ph-ơng trình đạo hàm riêng (PDE)

Một h-ớng tiếp cận khác là không quan tâm đến công thức Dupire mà trực tiếp chỉ radạng phiếm hàm của độ biến động địa ph-ơng Theo cách này chúng ta sẽ điều khiển tốthơn các giả thiết của mô hình Chẳng hạn có thể sử dụng một hàm song tuyến tính từngkhúc đơn giản để nội suy tại mỗi giai đoạn thời gian (đối với nội suy theo thời gian)

2.2 Một số h-ớng tiếp cận chính đã đ-ợc nghiên cứu

Rất nhiều nhà nghiên cứu đã cố gắng đặt bài toán phù hợp tốt, chính xác đến mức cóthể, với dữ liệu về quyền chọn, chúng ta sẽ tổng kết ngắn gọn lại những h-ớng tiếp cậnchính Tuy mỗi cách làm đều đ-ợc phát triển trong những tình huống cụ thể áp dụngcho tài sản cơ sở nói chung, và cho lãi suất ký kết tr-ớc nói riêng

H-ớng tiếp cận đầu tiên ta đã nhắc đến ở trên dựa trên giả thiết về tính không đếm

đ-ợc của các giá trao đổi hiện hành Cách này đ-ợc nghiên cứu bởi Breeden và berger (1978), sau đó là Dupire(1994,1997), Derman và Kani(1994,1998) Họ đã đ-a ra

Litzen-đ-ợc biểu thức hiển cho độ biến động Black - Scholes nh- là một hàm của giá thực thi

và kỳ hạn H-ớng tiềp cận này có hạn chế cơ bản là chúng ta phải nội suy trơn các giáquyền chọn giữa các giá thực thi liên tiếp để có thể lấy vi phân cấp hai theo giá thực thi.H-ớng tiếp cận thứ hai dựa trên giả thiết về mô hình hiển thay thế đối với quá trìnhgiá tài sản, và ngay lập tức dẫn đến hiệu ứng nụ c-ời hay độ lệch độ biến động Nóichung cách này không đủ linh hoạt để áp dụng tốt cho toàn bộ mặt độ biến động Một

ví dụ là quá trình co dãn hằng số của ph-ơng sai (CEV) đ-ợc phân tích bởi Cox (1975)

và Cox & Ross (1976), với các áp dụng liên quan vào mô hình FLM đã đ-ợc xem xétbởi Andersen và Andreasen(2000) Lớp tổng quát các quá trình nh- vậy đ-ợc Carr trìnhbày (1999)

H-ớng tếp cận thứ ba, đ-ợc nghiên cứu bởi Rubinstein(1994), Jackwerth và stein(1996), Britten - Jones và Neubeger(2000), gồm việc tìm các xác suất không rủi rotrong một mô hình tam thức/nhị thức của giá tài sản, và dẫn đến sự phù hợp tốt nhất củagiá quyền chọn theo tiêu chuẩn trơn (mịn) nào đó

Rubin-Ngoài ra ta còn có h-ớng tiếp cận thị tr-ờng không đầy đủ Nó bao gồm các môhình độ biến động ngẫu nhiên, nh- mô hình của Hull và White (1987), Heston (1993) vàTompkins(2000a,2000b), và mô hình khuếch tán nhảy, nh- mô hình của Merton(1976)hay Prigent, Renault và Scaillet (2001) Khi xét đến mô hình FLM chúng ta phải nhắc

đến những đóng góp gần đây của Balland,P và Hughston L.P (2000), những ng-ời đã mởrộng lớp các phân phối của lãi suất LIBOR và Rebonato(2001) là ng-ời đã xét đến độbiến động ngẫu nhiên

H-ớng tiếp cận cuối cùng dựa trên cái gọi là mô hình thị tr-ờng đối với độ biến

động tiềm ẩn Các ví dụ đầu tiên là trong Schonbucher (1999), và Ledoit và Santa Clara(1998) ứng dụng hiện nay vào tr-ờng hợp FLM là theo Brace(2001)

Nói chung, bài toán tìm phân phối không rủi ro để định giá nhất quán cho tất cả cácquyền chọn gi-ờng nh- có nhiều điểm không xác định Một lời giải có thể đ-ợc đ-a ranếu có giả thiết về sự phụ thuộc phân phối không rủi ro có tham số cụ thể với một sốtham số, chẳng hạn phụ thuộc thời gian, và khi đó ta sử dụng các tham số này cho phù

hợp với độ biến động Bằng cách áp dụng cách t-ợng tự nh- của Dupire(1994,1997), ta

đặt bài toán này và tìm lớp mô hình đầu tiên dẫn tới phân phối không rủi ro có tham số

đủ linh hoạt cho mục đích thực hành Khi đó sẽ tạo ra các quá trình liên kết giữa h-ớngtiếp cận phân phối không rủi ro có tham số và h-ớng tiếp cận mô hình thay thế, và dẫn

đến mô hình hiển với các mật độ không rủi ro có tham số linh hoạt

Khó khăn chính mà các mô hình trong lớp này phải đối diện là việc đ-a ra một phânphối (độ đo t-ơng ứng) để có đ-ợc công thức giải tích cho các hợp đồng quyền chọnmua Tuy nhiên, việc vận dụng mô hình cho phù hợp với dữ liệu thị tr-ờng là tự nhiên

và nh- vậy việc tính toán sẽ thuận lợi nhiều