Hình thức luận Hamilton cho một số mô hình hấp dẫn có khối lượng

Năm 1972 Vainshtein [27] lập luận rằng sự gián đoạn này là do việc xử lí các bậc tự do hấp dẫn trong quy trình tuyến tính hóa và ông đề xuất các mở rộng phi tuyến - các số hạng bậc cao t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

———————

Nguyễn Như Quỳnh

HÌNH THỨC LUẬN HAMILTON CHO MỘT SỐ MÔ

HÌNH HẤP DẪN CÓ KHỐI LƯỢNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2018

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

———————

Nguyễn Như Quỳnh

HÌNH THỨC LUẬN HAMILTON CHO MỘT SỐ MÔ

HÌNH HẤP DẪN CÓ KHỐI LƯỢNG

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán

Mã số: 8440130.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN QUANG HƯNG

Hà Nội - 2018

Lời cảm ơn

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS

Nguyễn Quang Hưng đã tận tình hướng dẫn tôi học tập, nghiên cứu, chia sẻ

những kinh nghiệm quý báu trong suốt thời gian tôi học tập và hoàn thành luận

văn này

Tôi chân thành cảm ơn thầy TS Đỗ Quốc Tuấn đã giúp đỡ chỉ bảo

ân cần, tận tình cho tôi Cảm ơn các Thầy/Cô và các bạn đã giúp tôi trang bị

những kiến thức chuyên môn quan trọng, chỉ bảo tôi những điều cần thiết cho

một người nghiên cứu Những điều mà tôi học được từ các thầy cô và các bạn

sẽ là hành trang vô cùng quan trọng trên con đường học tập và nghiên cứu sau

này

Luận văn này được tài trợ một phần bởi Quỹ Phát triển khoa học và

công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) trong đề tài mã số: 103.01-2017.12 Tôi chân

thành cảm ơn Quỹ Phát triển khoa học và công nghệ Quốc gia đã hỗ trợ một

phần cho luận văn

Xin cảm ơn quí thầy, cô trong hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ đã nhận

xét, đóng góp về nội dung, hình thức trong luận văn của tôi

Chân thành cảm ơn các anh, chị và bạn bè ở lớp Cao học Vật lí lí thuyết

và vật lí toán khoá QH.2016.T.CH, trường đại học Khoa học Tự nhiên đã cùng

tôi trao đổi những kiến thức đã học và các vấn đề khác trong cuộc sống

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn ủng hộ

động viên để tôi hoàn thành luận văn này

Mục lục

Danh sách thuật ngữ viết tắt

Chương 1: Hình thức luận Hamiltonian của lý thuyết hấp dẫn

1.1 Biến đổi Legendre 5

1.2 Hình thức luận Hamiltonian qua cách phát biểu ADM 6

1.2.1 Các biến trong cách phát biểu ADM 6

1.2.2 Mật độ Lagrangian 8

1.2.3 Hình thức luận Hamiltonian của lý thuyết hấp dẫn Einstein 10 Chương 2: Hình thức luận Hamiltonian của mô hình Fierz - Pauli15 2.1 Mô hình Fierz - Pauli trong hình thức luận Lagrangian 15

2.2 Mô hình Fierz - Pauli trong hình thức luận Hamiltonian 16

2.2.1 Động lượng không gian liên hợp 16

2.2.2 Vận tốc ˙h ij 23

2.2.3 Hình thức luận Hamiltonian của mô hình Fierz - Pauli 25

3.1 Mô hình dRGT trong hình thức luận Lagrangian 31

3.2 Mô hình dRGT 1+1 chiều trong hình thức luận Hamiltonian 33

3.2.1 Hấp dẫn có khối lượng 1+1 chiều trong bức tranh Stuckelberg 33

3.2.2 Hình thức luận Hamiltonian của mô hình dRGT 1+1 chiều 35

3.3 Hình thức luận Hamiltonian cho trường vô hướng liên kết với

trường hấp dẫn có khối lượng trong mô hình 2 chiều 51

Danh sách thuật ngữ viết tắt

Da: phép lấy đạo hàm hiệp biến

gij: metric trong không gian 3 chiều

gµν: metric trong không thời gian 4 chiều

µ, ν: Các chỉ số chỉ các thành phần không thời gian

ηµν = diag (−1, +1, +1, +1): metric Minkowski

µ

=: Khai triển µ thành các thành phần thời gian và không gian

↓

=: Hạ chỉ số

Mở đầu

Lý do chọn đề tài

Trong một thế kỷ phát triển, lý thuyết tương đối tổng quát (GR), bằng khả

năng tiên đoán các hiện tượng mới, và sự phù hợp hoàn hảo giữa các kết quả lý

thuyết với các kết quả thực nghiệm, đã chứng tỏ GR là lý thuyết hấp dẫn tốt

nhất cho đến thời điểm hiện nay Tuy nhiên, các nghiên cứu trong những năm

gần đây [4] đã chỉ ra sự tồn tại của vật chất tối, năng lượng tối Sự hiện diện

của vật chất tối, năng lượng tối, hay sự tăng tốc giãn nở của vũ trụ ở giai đoạn

muộn, vấn đề hằng số vũ trụ, vấn đề phân cấp (hierarchy problem), và nhiều

vấn đề hóc búa khác trên ranh giới giữa hai lĩnh vực là Vật lý hấp dẫn và Vật

lý hạt cơ bản, đòi hỏi có những bước phát triển mới trong lý thuyết Lý thuyết

hấp dẫn của Einstein tuy rất uy lực, nhưng chưa đủ để giải thích được các vấn

đề trên Vì vậy yêu cầu đặt ra là cần có những phát triển mới trong lý thuyết

để phù hợp với các kết quả thực nghiệm Một trong các hướng phát triển đó là

sự ra đời “lý thuyết hấp dẫn có khối lượng” (Massive Gravity) [21, 22, 23, 2, 19]

trong đó giả định hạt truyền tương tác hấp dẫn (graviton) có khối lượng khác

không Nghiên cứu về hấp dẫn có khối lượng và các hạt graviton có khối lượng

ẩn chứa nhiều thách thức lớn với các nhà vật lý lý thuyết vì các vấn đề bắt đầu

khi chúng ta muốn đưa một số hạng liên quan đến khối lượng vào thuyết tương

đối tổng quát Bất biến Poincare bị phá vỡ bởi số hạng khối lượng của graviton

Lý thuyết hấp dẫn có khối lượng đầu tiên, đã được Fierz và Pauli [9] đề nghị

năm 1939, là lý thuyết tuyến tính Tuy nhiên vào năm 1970, van Dam và Veltman

[6] và một cách độc lập Zukharov [29] đã chỉ ra rằng lý thuyết Fierz-Pauli, trong

giới hạn khi khối lượng của graviton tiến tới không là không liên tục, và không

quay về được thuyết tương đối rộng Lý thuyết Fierz-Pauli xây dựng tốt về lý

thuyết, nhưng bị loại trừ bởi thực nghiệm Năm 1972 Vainshtein [27] lập luận

rằng sự gián đoạn này là do việc xử lí các bậc tự do hấp dẫn trong quy trình

tuyến tính hóa và ông đề xuất các mở rộng phi tuyến - các số hạng bậc cao

trong không thời gian, khiến khối lượng của graviton tiến về không, theo đó cho

phép tương thích với thuyết tương đối rộng Nhưng trong cùng năm đó, Deser

và Boulware [3] đã phát hiện rằng sự thêm vào của các số hạng phi tuyến sẽ làm

nảy sinh sự tồn tại của các mode "ma" có động năng âm khiến cho Hamiltonian

không bị chặn, và dẫn đến lí thuyết hấp dẫn có khối lượng trở nên thiếu ổn định

Tuy nhiên, năm 2010 ba nhà vật lí de Rham, Gabadadze và Tolley [21, 22] đã

đưa ra đề xuất mang tính đột phá về hấp dẫn phi tuyến có khối lượng không

chứa mode "ma" bằng cách đưa vào bậc tự do gauge mới được gọi là các trường

Stuckelberg

Mặt khác, ưu điểm của hình thức luận Hamiltonian so với hình thức luận

Lagrangian khi nghiên cứu lý thuyết hấp dẫn có khối lượng là: phần không gian

và phần thời gian của tensor metric được phân tách riêng thành các biến ADM

[1, 10] trong hình thức luận Hamiltonian, trong khi hình thức luận Lagrangian

thì phần không gian và phần thời gian là trộn lẫn với nhau và không được phân

tách riêng Do đó, sử dụng hình thức luận Hamiltonian có thể xác định được sự

tiến hóa của vũ trụ theo thời gian nhờ các phương trình tiến hóa Vì những lý

do trên, trong luận văn này tôi nghiên cứu đến " Hình thức luận Hamilton cho

một số mô hình hấp dẫn có khối lượng"

Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng biến đổi Legendre và cách phát biểu ADM để xây dựng hình thức

luận Hamiltonian cho mô hình hấp dẫn có khối lượng Fierz - Pauli và dRGT

1 + 1 chiều

Nội dung nghiên cứu

Với mục tiêu đã đề ra, luận văn nghiên cứu và xây dựng hình thức luận

Hamiltonian cho mô hình hấp dẫn có khối lượng Fierz - Pauli và mô hình dRGT

1 + 1 chiều

Cấu trúc

Luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và các tài liệu tham khảo, nội dung

của luận văn gồm 3 chương Nội dung của các chương như sau:

Chương 1: Hình thức luận Hamiltonian của lý thuyết hấp dẫn Einstein.

Chương 2: Hình thức luận Hamiltonian của mô hình Fierz - Pauli

Chương 3: Hình thức luận Hamiltonian của mô hình dRGT

Kết luận chung

Kết luận của luận văn được trình bày ở chương 2 và chương 3 Luận văn

đưa ra được hình thức luận Hamiltonian của mô hình hấp dẫn có khối lượng

Fierz - Pauli và dRGT 1+1 chiều Đồng thời, luận văn cũng xây dựng hình thức

luận Hamiltonian cho trường vô hướng liên kết với trường hấp dẫn có khối lượng

trong mô hình 2 chiều

Chương 1

Hình thức luận Hamiltonian của lý

thuyết hấp dẫn Einstein

1.1 Biến đổi Legendre

Biến đổi Legendre thường được sử dụng trong cơ học cổ điển để chuyển từ

hình thức luận Lagrangian sang hình thức luận Hamiltonian Chuyển đổi cụ thể

H = pab˙hab− L hab, ˙hab
, (1.2)trong đó hab là metric không gian

Động lượng pab được xác định như sau:

pab = ∂L

Trong lí thuyết hấp dẫn có khối lượng, biến đổi Legendre có dạng:

H = πij˙hij − L, (1.4)trong đó πij là động lượng liên hợp tương ứng với hij được xác định như sau:

πij = ∂L

∂ ˙h ij

1.2 Hình thức luận Hamiltonian qua cách phát biểu ADM

Hình thức luận Hamilton là một ý tưởng rất tổng quát được áp dụng cho

nhiều lĩnh vực Vật lí khác nhau Cách tiếp cận Hamilton được áp dụng cho lý

thuyết hấp dẫn Einstein chúng ta thu được công thức ADM

(Arnowitt-Deser-Misner) [1] của lý thuyết hấp dẫn Einstein

1.2.1 Các biến trong cách phát biểu ADM

Giả sử na là một trường vector pháp tuyến đơn vị của siêu mặt Σt và ta làmột trường vector trên đa tạp không thời gian hab là metric không gian trênmỗi mặt Σt Metric không gian liên hệ với metric không thời gian bởi công thứcsau [24]:

Vector khoảng là αna, ta có mối quan hệ sau:

αna+ βa = ta ⇒ na = t

a − βa

Hàm khoảng và vector dịch chuyển mô tả cách các tọa độ dịch chuyển theo thời

gian từ siêu mặt này đến siêu mặt khác

Từ định nghĩa của metric không gian, chúng ta có thể viết gab như sau:

gab = hab− nanb= hab− α−2(ta− βa) tb− βb

Điều này cho thấy rằng chọn hab, α, βa như là các biến trường là tương đươngvới việc sử dụng gab

Về mặt bản chất, công thức ADM cho thuyết tương đối tổng quát (xem chi

tiết trong [10, 20]) là phân tích metricgµν thành các biến ADM của nó, bao gồm:một hàm khoảng α, một ma trận γ ij đối xứng có kích thước là (d − 1) × (d − 1)

và một vector dịch chuyển β với (d − 1) thành phần (d là số chiều không thờigian), trong đó hàm khoảng α và vector dịch chuyển β đóng vai trò là các nhân

tử Lagrange để thực hiện các ràng buộc Hamiltonian Metricgµν được phân tích

trong đó γij là ma trận nghịch đảo của γij

Như vậy, công thức ADM đã tách metric thành các thành phần thời gian và

thành phần không gian Trong không thời gian 4chiều d = 4thì đó là phân tách

(3 + 1)

1 Mật độ Lagrangian phụ thuộc vào định thức g của ma trận gab Nếu muốnthay thế nó bằng các số hạng mô tả siêu mặt Σt chúng ta cần sử dụng mốiquan hệ sau đây:

3 Từ phương trình Gauss - Codacci, liên quan đến độ cong không gian

(3) R với độ cong không thời gian R, ta có mối quan hệ ràng buộc sau đây[24]:

Ở đây Kab là một biến trung gian vì L sẽ có dạng đơn giản hơn nếu đượcbiểu diễn theo Kab Nó thay mặt cho ˙hab trong L vì R phụ thuộc vào ˙hab chỉthông qua Kab.

4 Từ công thức của tensor Ricci Rab, ta có:

Từ đẳng thức Rab = Rcacb suy ra:

Rab nanb = Rcacb nbna = − (∇ a ∇ c − ∇ c ∇ a ) ncna

= −na(∇a∇c− ∇c∇a) nc

= −na∇a∇cnc+ na∇c∇anc, (1.16)trong đó

∇a(na∇cnc) = (∇ana) (∇cnc) + na∇a∇cnc

⇒ −na∇a∇cnc = (∇ana) (∇cnc) − ∇a(na∇cnc)

∇ c (na∇ a nc) = (∇ c na) (∇ a nc) + na∇ c ∇ a nc

⇒ na∇c∇anc = ∇c(na∇anc) − (∇cna) (∇anc) (1.17)Thay công thức (1.17) vào công thức (1.16) ta được:

Rab na nb = (∇ana) (∇cnc) − ∇a(na∇cnc) − (∇cna) (∇anc) + ∇c(na∇anc)

= K2− KacKac− ∇a(na∇cnc) + ∇c(na∇anc)

= K2− KacKac− sh1 + sh2. (1.18)

Vì mật độ Lagrangian không xác định duy nhất, chúng ta có thể thêm vào nó

một đại lượng dạng ∇ c (na∇ a nc) hay ∇ a (na∇ c nc) Do đó, ta có thể bỏ qua sh1

và sh2 trong biểu thức của Rabnanb Như vậy

Rabnanb = K2− KacKac. (1.19)Thay các công thức (1.13), (1.14), (1.15) và (1.19) vào (1.12), ta thu được biểu

thức của mật độ Lagrangian L theo các biến của siêu mặt:

1.2.3 Hình thức luận Hamiltonian của lý thuyết hấp dẫn Einstein

Dùng biến đổi Legendre trong công thức (1.2) để thu được mật độ

Hamilto-nian H từ mật độ Lagrangian L

Trong đó, đối với lý thuyết hấp dẫn Einstein chúng ta đã chọn metric không

gian hab tương ứng với các tọa độ q i, các động lượng pab tương ứng với p i Do đó

ta có:

H = pab˙hab− L hab, ˙hab
. (1.22)Tính các động lượng pab như sau:

Trong bước này ta đã đổi chỉ số KabKab → KijKij để tránh nhầm lẫn khi lấyđạo hàm theo ˙hab.

2α

∂ ˙hij

∂h.ab =

1 2αδaiδbj (1.27)Và

ij δaiδbj+ 1

2αh

ia Kijhbj

= 12αK

ab

+ 12αK

ij ∂ ˙hij

∂h.ab

= 12αh

trong đó nb là một trường trực giao với mặt Σt

Để liên hệ Kab với metric, chúng ta dùng tính chất của đạo hàm Lie và thuđược biểu thức của mật độ Hamiltonian như sau [24]:

trong đó p là vết của pab.

˙hab là đạo hàm Lie của hab theo t

Da là phép lấy đạo hàm hiệp biến

Để xác định được Hamiltonian H, ngoài việc xác định mật độ Hamiltonian

H chúng ta còn cần các phương trình ràng buộc và phương trình tiến hóa.Các phương trình ràng buộc thu được bằng cách lấy đạo hàm của H theo α

và β Ta thu được hai phương trình ràng buộc như sau:



Để thu được các phương trình tiến hóa, chúng ta cần khai triển các phương trình

Hamiltonian theo cách tương tự với trường hợp cổ điển và thu được các phương



+αh

ab

2 √ h



Hai phương trình ràng buộc (1.36), (1.37) cùng với hai phương trình tiến hóa

(1.38), (1.39) tạo thành phát biểu Hamiltonian có ràng buộc của lý thuyết hấp

dẫn Einstein trong chân không Với các điều kiện ban đầu thỏa mãn các phương

trình ràng buộc, vũ trụ tại bất kì điểm nào trong không thời gian có thể được

xác định bằng cách dùng các phương trình tiến hóa

Chương 2

Hình thức luận Hamiltonian của

mô hình Fierz - Pauli

2.1 Mô hình Fierz - Pauli trong hình thức luận Lagrangian

Năm 1939, Fierz và Pauli là những người đầu tiên xây dựng lí thuyết cho

hạt có khối lượng có spin bằng 2 (graviton có khối lượng) Trong tích phân tác

dụng mà họ đã xây dựng, trường spin bằng 2 nhận khối lượng từ một số hạng

khối lượng đơn giản được thêm vào tích phân tác dụng của lý thuyết hấp dẫn

Einstein Khi đó, mật độ Lagrangian được viết như sau [12]:

hệ số (16πG)−1 trong công thức của mật độ Lagrangian Einstein - Hilbert, cònchương 1 và chương 3 thì không có hệ số này.

Đối với các nhiễu loạn nhỏ h µν của metric g µν xung quanh không thời gianMinkowski, mật độ Lagrangian Einstein - Hilbert có thể được khai triển theo

Số hạng khối lượng 14m2 hµνhµν − h 2
đã phá vỡ đối xứng gauge của thuyếttương đối rộng tuyến tính và do đó làm thay đổi số lượng các bậc tự do

Các phương trình trường suy ra từ tích phân tác dụng Fierz - Pauli là:

h µν + ∂ µ ∂ ν h − 2∂ ρ ∂(µhρν)+ η µν (∂ρ∂σh ρσ −h) = m2(h µν − hη µν ) , (2.4)trong đó ≡ ∂µ∂µ

2.2 Mô hình Fierz - Pauli trong hình thức luận Hamiltonian

2.2.1 Động lượng không gian liên hợp

Tích phân tác dụng mô tả một hạt có khối lượng và có spin bằng 2 (graviton

có khối lượng) trong không gian phẳng được gọi là tích phân tác dụng Fierz

-Pauli, có dạng như sau [13]:

Tiếp theo chúng ta xác định động lượng không gian liên hợp tương ứng với tích

Hạ chỉ số (xem chi tiết trong [5]):

Vì hµν là một tensor đối xứng nên: h0k = hk0

h = ηµνhµν= ηµ 0ν h0ν + ηiνhiν= ην 00 h00+ η0mh0m+ ηi0hi0+ ηijhij

Vì ηµν = diag (−1, +1, +1, +1) nên η0m = 0, ηi0 = 0

⇒ h = η00h00+ ηijhij = −h00+ ηijhij. (2.19)Mặt khác:

hkk ≡ ηijhij = δijhij = δmnhmn⇒ h = −h00+ hkk (2.20)

∂µhµν∂νh = ∂µ 0h0ν∂νh + ∂khkν∂νh

ν

= ∂0h00∂ 0 h + ∂ 0 h0k∂kh + ∂khk0∂ 0 h + ∂khkj∂ j h. (2.21)

Thay công thức (2.19) vào ta được:

∂λh ∂λh = ∂ 0 −h 00 + ηijh ij
∂0(−h 00 + ηmnh mn )

+∂k −h00+ ηijhij
∂k(−h00+ ηmnhmn)

= −∂0h00+ ∂0ηijhij
−∂0h00+ ∂0ηmnhmn
+ −∂kh00+ ∂kηijhij
−∂kh00+ ∂kηmnhmn

= ∂0h00∂0h00− ∂0h00∂0ηmnhmn− ∂0ηijhij∂0h00+∂0ηijhij∂0ηmnhmn+ ∂kh00∂kh00− ∂kh00∂kηmnhmn

−∂kηijh ij ∂kh 00 + ∂kηijh ij ∂kηmnh mn (2.27)

Hạ chỉ số:

∂0h00 = η0s∂sh00= −∂0h00 ; ∂0ηmn= ∂0ηmn= η0s∂sηmn = −∂0ηmn;

∂kh 00 = ηki∂ i h 00 = ∂kh 00 ; ∂kηmn = ∂kη mn = ηki∂ i η mn = ∂kη mn (2.28)

πij = ˙hij − ˙hkkδij − 2∂(ihj)0+ 2∂kh0kδij. (2.37)

2.2.2 Vận tốc ˙hij

Bây giờ, chúng ta cần xác định vận tốc ˙hij như sau:

π ij = ˙h ij − ˙hkkδ ij − ∂ i h 0j − ∂ j h 0i + 2∂kh0kδ ij (2.38)

Lấy vết của phương trình (2.38) ta được:

2.2.3 Hình thức luận Hamiltonian của mô hình Fierz - Pauli

2 h

2 kk

2m

1 Trường hợp m = 0:

Mật độ Lagrangian L có dạng:

L = π ij ˙h ij − H + 2h 0i (∂ j π ij ) + h 00 ∇ ~2h ii − ∂ i ∂ j h ij

= πij˙hij−H − 2h0i(∂jπij) − h00 ∇~2hii− ∂i∂jhij
. (2.50)Đặt: H∗= H − 2h0i(∂jπij) − h00 ∇~2 hii − ∂i∂jhij

Các ràng buộc được xác định như sau:

Các ràng buộc được chia thành 4 loại (xem chi tiết trong [7, 8]): ràng buộc

bậc một (primary constraints), ràng buộc bậc hai (secondary constraints),

ràng buộc lớp thứ nhất (first class constraints) và ràng buộc lớp thứ hai

(second class constraints) Trong đó, cả ràng buộc lớp thứ nhất và lớp thứ

hai đều có thể là ràng buộc bậc một hoặc bậc hai

Phân biệt ràng buộc lớp thứ nhất và lớp thứ hai như sau [7, 28]: Hạng của

ma trận gồm các móc Poisson giữa các ràng buộc là số lượng các ràng buộc

lớp thứ hai, các hàng tương ứng của ma trận đó là các ràng buộc lớp thứ

hai Các ràng buộc còn lại là ràng buộc lớp thứ nhất

Ở đây C1 và C2 là hai ràng buộc bậc một Khi đó, các thành phần thời gian

h00 và h0i được hiểu là các nhân tử Lagrange

Mặt khác, ta thấy:{C 1 , H} = 0 ; {C 2 , H} = 0, nên không sinh thêm các ràng

buộc bậc hai.

Móc Poisson của C1 và C2 là:

{C 1 , C 2 } = ∇~2h ii − ∂ i ∂ j h ij , ∂lπkl = {∂ j ∂ j h ii − ∂ i ∂ j h ij , ∂lπkl}

⇒ {C1, C2} = {∂j∂jhii, ∂lπkl} − {∂i∂jhij, ∂lπkl} = 0. (2.52)

Do đó, ma trận gồm 4móc Poisson giữa C1 vàC2 có hạng là0 Vì vậy, không

có ràng buộc lớp thứ hai, C1 và C2 đều là các ràng buộc lớp thứ nhất

Vìhij và πij là các ma trận đối xứng nênhij có 6 thành phần độc lập vàπij

cũng có 6 thành phần độc lập trong không thời gian 4 chiều Vì vậy, khônggian pha là 12 chiều Bằng cách trừ đi 4 ràng buộc, thì không gian pha ởmỗi điểm là 8 chiều chia cho nhóm Lie 4 chiều thu được không gian pharút gọn 4 chiều Bốn biến độc lập còn lại này tương ứng với2 phân cực củagraviton không khối lượng và 2 động lượng liên hợp tương ứng

2 Trường hợp m 6= 0: Mật độ Lagrangian L có dạng:

L = πij˙hij − H + 2h0i(∂jπij) + m2h20i+ h00 ∇~2hii− ∂i∂jhij − m2hii

= π ij ˙h ij −H − 2h 0i (∂ j π ij ) − m2h20i− h 00 ∇ ~2h ii − ∂ i ∂ j h ij − m2h ii
.

(2.53)

Thành phần thời gianh0ikhông còn là nhân tử Lagrange mà là các biến phụ

vì h0i có dạng bậc hai, thành phần thời gian h00 vẫn là nhân tử Lagrange.Phương trình chuyển động của h0i có dạng [13]:

h 0i = − 1