Dẫn nhảy bước biến đổi trong các hệ điện tử định xứ mạnh : Luận án TS. 1 02 01

M Ở Đ Ầ U 1 Lý do chọn đề tài: Dẫn nhảy hopping conduction là cơ chế dẫn chủ đạo ở nhiệt độ thấp trong các hệ mất trật tự với các trạng thái electron định xứ mạnh.. - Nghiên cứu thống k

M Ụ C LỤC

Trang MỤC L Ụ C Ì

D A N H M Ụ C CÁC BẢNG 4

D A N H M Ụ C CÁC HÌNH V Ẽ , Đ ồ THỊ 5

M Ớ ĐẦU 8 Chương Ì T Ổ N G Q U A N 14

L I Mất trật tự và định xứ 14

1.2 Dẫn điện trong các hệ electron định xứ mạnh: dẫn nhảy 18

1.3 Lưới trớ ngẫu nhiên Miller - Abrahams 22

1.4 Đô dẫn điện của các hệ rất không đổng nhất trong gần đúng lý thuyết

thấm 7g 1.4.1 Bài toán mạng 28

1.4.2 Bài toán nút ngẫu nhiên 30

1.4.3 Độ dẫn điện của môi trường rất không đổng nhất 32

1.5 Dẫn nhảy bước nhảy biến đối: Định luật Mott 34

Chương 2 Ả N H HƯỞNG C Ủ A TƯƠNG TÁC E L E C T R O N

-E L -E C T R O N LÊN M Ậ T ĐỘ T R Ạ N G THÁI VÀ s ự P H Ụ

THUÔC N H I Ệ T Đ ộ C Ủ A ĐỘ DẪN NHẢY BƯỚC BIẾN Đ ổ i 39

2.1 Mật độ trạng thái định xứ lân cận mức Fermi 39

2.1.1 Khảo sát đinh tính 39

2.1.2 Phương trình tự hoa hơp: Khe Coulomb 42

2.1.3 Mô phỏng khe Coulomb trên máy tính điện tử 44

2.3 Sự phụ thuộc nhiệt độ của dẫn nháy bước biến đổi 52

2.3.1 Định luật Efros-Shklovskii 52

2.3.2 Quan sát thực nghiệm 53

2.4 Chuyển Mott - Efros-Shklovskii 54

2.4 Ì Quan sát thực nghiệm 54

2.4.2 Biểu thức tổng quát cho sự phụ thuộc nhiệt độ của V R H 55

2.5 Dẫn nhảy bước biến đối trong vật liệu vô định hình 57

2.5.1 Mô hình mật độ trạng thái cho vật liệu vô định hình 57

2.5.2 Tính độ dẫn nhảy V R H cho vật liệu vô định hình 58

2.5.3 Thảo luận kết qua 59

Chương 3 CÁC KIỆU ỨNG TƯƠNG TÁC COULOMB TRONG

SUẤT NHIỆT ĐIỆN ĐỘNG ỏ MIỀN DẪiN NHẢY BƯỚC

BIẾN ĐỔI 62

3.1 Suất nhiệt điện động V R H trong gần đúna lý thuyết thấm 62

3.2 Biếu thức giải tích tons quát 65

3.2.1 Hệ hai chiều (2D) 65

3.2.2 Hệ ba chiều (3D) 68

3.2.3 Thảo luận 71

3.3 Suất nhiệt điện động V R H cho vật liệu vò định hình 74

3.3.1 Biếu thức suất nhiệt điện động V R H cho vật liệu vò định hình 74

4.3 Kết quả số và thảo luận 89

Chương 5 DẪN NHẢY BƯỚC BIẾN Đ ổ i TRONG HỆ THẤP CHIỂU 9 4

5.1 Đặt vấn đề 94

5.2 Mô hình và phương pháp tính 96

5.3 Trường hợp nhiệt độ vô hạn: bài toán r-thấm 99

5.3.1 Tính toán và kết qua số 100

5.3.2 Thảo luận 107

5.4 V R H trong hệ một chiều hữu hạn i n

5.5 V R H trong hệ hai chiều bất đẳng hướng: "chuyển đổi chiều ?" 116

D A N H M Ụ C CÁ C C H Ữ V l Ế T T Ắ T

H C (Hopping Conduction): dẫn nháy

V R H (Variable Range Hopping): (dẫn nhảy) bước nhay biến đ ổ i DOS (Density of States): mật độ trạng thái

ES: Efros-Shklovskii

SCE (Self-Consistent Equation): phương trình tự hoa hợp

de (directed current): dòng điện một chiều

ác (alternative current): dòng điện xoay chiều

ID, 2D, 3D (one-, two-, three-Dimensional): (hệ) một, hai, ba chiều Q1D (Quasi-one- Dimensional): hệ chuẩn một chiều

L P (Longitudinal Percolation): thấm dọc

TP (Transverse Percolation): thấm ngang

L R (Longitudinal Resistance): điện trơ doc

T R (Transverse Resistance): điện trớ ngang

MTĐT: máv tính điện tử

D A N H M Ụ C CÁC B Ả N G

B à n g L I : Giá trị ngưỡng thấm của một số mạng cơ bản

B â n g 5.1: Bán kính thám trong hệ vô hạn với nồng độ tap khác nhau

D A N H M Ụ C CÁC HÌNH V Ẽ , Đ ồ T H Ị

H ì n h L I : Mô hình Mon Miền các trạng thái định xứ được gạch chéo, các

ngưỡng linh độn% E m và E m A ) Kim loại (b) Điện môi 16

H ì n h 1.2: Trạng thái truyền qua (a) và trạng thái định xứ(b) 16

H ì n h 1.3: Sự phụ thuộc của diện trở suất vào nhiệt độ của bán dẩn pha tạp

nhẹ 18

H ì n h 1.4: Sự phụ thuộc của điện trở suất vào nghịch đảo của nhiệt độ đối với

Ge loại p theo số liệu thực nghiệm của Fritzsche và Cuevas [32] 20

H ì n h 1.5: Các trạng thái định xứ lân cận mức Fermi (a) và mật độ trạng thủi

(b) 21

H ì n h 1.6: Lưới trở ngẫu nhiên Miller - Abrahams 27

H ì n h 1.7: Sự phụ thuộc của độ dẫn điện vào giá trị cực đại của sô mũ rj 32

H ì n h 1.8: Dải các trạng thái có năng lượng cách mức Fermi một lượng nhỏ

hơn e 0 Bên phải vè mật độ trạng thái g(s), vùng các trạng thái bị chiếm

dược gạch chéo 35

H ì n h 2.1: Các mức năng lượng trong dải năng lượng gần mức Fermi 40

H ì n h 2.2: Kết quả mô phỏng mật độ trạng thái trong miên khe Coulomb cho

trường hợp d=3iK = 0,5 và N = 1600 (đườìĩg liền nét) [24]; đường đìa nét là

kết quả của Baranovskii et ai [12] cho mạng 14x14x14 Năng lượng tính

trong đơn vị (e 2 N* /K), còn mật độ trạng thái trong đơn vị ị ĩde 2 N ) 45

H ì n h 2.3: Khe Coulomb trong mẫu tinh thế Si:B quan sái được trực tiếp nhờ

kỹ thuật đỡ chui ngầm [47] 47

H ì n h 2.4: Sự phụ thuộc năng lượng của mật độ trạng thái: dường liên nét là

lời giải số của phương trình tự hoa hợp; đường nét đứt là gần đúng bậc không

(2.16); các chấm là khe Coulomb 3D (2.5), các điểm tròn là kết quả mô

phỏng [77] 48

Hình 2.5: (a) - Sơ đồ cấu trúc của mẫu sư dụng trong thí nghiệm [124]

(b) - Điện tích ảnh ì' của ỉ do hưởng ứng diện trên cổng kim loại 49

Hình 2.6: Lời giải số phương trình tự hoa hợp (đường liền nét) vù kết qua mô

phỏng (x) mật độ trạng thải G(E) với thế chắn (2.18) Đường nét đứt tương

{eng với gân đúng bậc không (2.23) 52

Hình 2.7: Kết quả giải số phương trình (2.39) cho một số giá trị điển hình

của tham SỐS, lương ứng các hệ vô định hình phổ biến 60

Hình 3.1: Sự phụ thuộc của suất nhiệt diện độiĩíị VRH vào nhiệt độ vẽ cùng

với các giới hạn (3.21) - (3.24) 73

Hình 3.2: Sự phụ thuộc suất nhiệt điện động VRH vào nhiệt độ ở vật liệu vô

định hĩnh vẽcùnq các giới hạn (3.35), (3.36) Hình vẽ lồng mô tá chuyển Mon

- ES trong độ dẩn Nhiệt độ được tính trong dơn vị E 0 ik B 79

hệ hai chiêu (ả = 2) và ba chiêu (ả = 3) Tần số V - lo1 3 Hz Tần số điện

trường ngoài từ 10'V/z đến ì0 9 Hz Tham sô Ả" = le 2 /\KcE tỊ ) = 60 cho cả hệ

hai chiêu và ba chiều Đường liền nét vẽ theo các biểu thức (4.28) và (4.29)

Đường các gạch đứt theo công thức Austin-Motí (4.27) Đường gạch-chấm

theo các biểu thức (4.23) và (4.24) của ES 90

Hình 4.2: Sự phụ thuộc vảo nhiệt độ của độ dẫn điện ác Đường liên nét vẽ

theo (4.34) đường nét đứt - theo công thức Austin-Man (4.30), các điểm (ký

hiệu bảng hình vuông) là số liệu thực nghiệm đo trên mầu a-Si [35] 92

Hình 5.1: Mô hình: các dây dan song song liên kết yếu với nhau qua các tâm

tạp phân bố ngẫu nhiên trong khoảng không gian giữa các dây 97

trường hợp /7 = 0.1 và các giá trị s = 0.05; 0.1; 0.2; 0.3; 0.4 {từ trên

xuống) 102

Hình 5.3: Hiệu ứng kích thước hữu hạn của các bán kính thấm: đụi lượng

được ve phụ thuộc vào c { V ụ m đối với trường hợp p = OA vá các

"lú trị s khác nhau: s = 0.01; 0.05: 0.1; 0.2; 0.3 và OA (nì trên xuống) [03

Hình 5.4: Sự phụ thuộc của \ŨM {Ỉ) (L) (•) và lnJt {L) (L) (A) vào lũi cho

trường họp p = 0 Ì và các giá trị s = 0.05; 0.1; 0.2; 0.3 và OA (từ trên

xuống) Hệ số góc của các đường thắng chính là chiều fractal D 105

Hình 5.5: Ví dụ về đám thấm tới hạn cho các mẫu với L = 400 và p = ọ Ì

(a) và (c) LP với s = 0.1 và 0.3; (b) vả (á) TP với s = 0.1 và 0.3 tương ứng 1 0 6

Hình 5.6: Sự phụ thuộc vào kích thước của mật độ tới hạn SC(L) cho hệ hữu

hạn ứng vói một số giá trị của p (từ trên xuống): 0.05, 0.1,02 109

Hình 5.7: Dày hữu hạn một chiều: < 7}c >=< ỉn(p/pQ) > phụ thuộc ĩ'112 với

một số giá trị (L, Ẹ): (64000, 20); (16000, 20); (4000, 20); (Ỉ000, 20); và

Hình 5.8: Dây hữu hạn một chiều: < TJC >=< lũ(p/p0) > dược về theo

[ l n ( 2 L / £ ) ]w 2 ở nhiệt độ ì = 0.002 , thuộc miền t~ Các điểm mô phóng với

các mẩu có L = 1000, 2000, 4000, 8000, 16000, 32000 và 64000 với ặ = 20

(kí hiệu bởi •) và £ = 5 0 (kí hiệu bói A) ^

Hình 5.9: Sự phụ thuộc vảo lrư của đại lượng In < /7" > (kí hiệu bởi • vù X) và

Ịn< 77^ > (kí hiệu bới 0 và A) cho mẩu L = 100 nhưng với mật độ tạp s khác

nhau: s = OA (hỉnh 5.9a), s = 0.4 {hình 5.9b) 118

Hình 5.10: Kết quả cho mẫu L = 1000, ã = lo, với nồng độ tạp s khác nhau:

À- = 0.1, 0.2, 0.3 và 0.4 (từ trên xuống) 119

Hình 5.11: Tỷ sô TJc /ĩJc phụ thuộc vào Ư cho các mẫu có ả = 10 và với s

khác nhau, s = 0.1; 0.2; 0.3; 0.4 (từtrên xuống)

M Ở Đ Ầ U

1) Lý do chọn đề tài:

Dẫn nhảy (hopping conduction) là cơ chế dẫn chủ đạo ở nhiệt độ thấp trong các

hệ mất trật tự với các trạng thái electron định xứ mạnh về mặt lý thuyết trong giai đoạn đáu nghiên cứu dẫn nhảy người ta chua chú ý đến tương tác electron - electron giữa các trạng thái định xứ Nhưng thực nghiệm đã khẳng định rằng tương tác electron - electron dẫn tới nhiều hiệu ứng vật lý quan trọng, nhát là ở nhiệt độ thấp

V a i trò của tương tác electron - electron là vấn đề hav nhất và cũng là khó nhất trong lý thuyết các hệ mát trật tự Dẫn nhảy xảy ra ớ rất nhiều loại vật liệu khác nhau như: bán dẫn pha tạp, vô định hình, granular metal, các oxyt kim loại Đặc biệt là, gán đảv người ta đã quan sát tháy dẫn nhảy trong; các cấu trúc thấp chiều như: polymers dẫn sợi silic xốp, oris nanổ cacbon (carbon nanotubes), hệ các chấm lương tử, sợi D N A là những vật liệu rất quan trọng Irons công nghệ đương đại và tươníỉ lai Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài này

2) M ụ c đích, đỏi tượng và phàm vi nghiên cứu

Nghiên cứu ảnh hướng của tương tác electron - electron và vi cấu trúc của hệ kích thước nhỏ lên các tính chất động, ớ chế độ dẫn nhảy bước biến đ ổ i (Variable-Range Hopping - V R H ) của hệ electron định xứ mạnh là mục tiêu chính của Luận

án

Luân án tập trung khảo cứu những vàn đề sau:

• Ánh hưởng của tương tác electron - electron lên mật độ trạng thái

• Ảnh hưởng của tương tác electron - electron lên sự phụ thuộc nhiệt độ của độ dẫn điện V R H và suất nhiệt điện động V R H ớ các hệ mát trật tự

• Đ ộ dẫn điện phụ thuộc tần số và nhiệt độ trong chế độ hồi phục

• Các đặc trưng của thấm trons hệ hai chiều bất đắng hướn2

• Dẩn nhảy trong hệ một chiều hữu hạn và hệ hai chiều bất đẳng hướnsỉ mạnh

3) Phương pháp nghiên cứu của de tài

Đ ể giải quyết bài toán đặt ra, ngoai các phương pháp truyền thống của lý thuyết chất rủn, chúng tôi sử dụng hai phương pháp đặc thù:

(ỉ) Phương pháp lý thuyết thấm: đây là phương pháp tin cậy được sử dụng hiệu quả trong nghiên cứu các tính chất động của các hệ có cấu trúc ngẫu nhiên (2) Phương pháp mô phòng trẽn máy tính điện tứ Nói chung, việc nghiên cứu định lượng tính chất điện tử của các hệ mát trật tự mạnh vượt ra ngoài khả năng của các phương pháp giải tích hiện có, và đã từ lâu mô phỏng trực tiếp

hệ trẽn máy tính điện tử đã trở thành một phương pháp khòm* thể thiếu Bans phương pháp Monte - Carlo chúng tôi có thế tính mật độ trạng thái, độ dẫn

V R H trong dải rộng các giá trị tham số khác nhau và do đó, một mặt có thể kiểm định các biểu thức giải tích trons các trường hợp giới hạn, mặt khác có thế so sánh trực tiếp với thực nghiệm

Ngoài ra, phương pháp giải tích số được áp dụng trong các trường hợp cần thiết như khi giải các phương trình tư hoa hợp hay khi so sánh với một số liệu thúc nghiệm cụ thế

4) Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Góp phần hoàn thiên lý thuyết về vai trò tương tác electron - electron trong các hiện tượnii động ở các hệ mất trật tự với các trạng thái electron định xứ manh

- Đề xuất một mô hình mới đế nghiên cứu các- đặc trưng thám và độ dẫn V R H trong sự phụ thuộc vào các tham số khác nhau ở hệ hai chiều và một chiều

- Kết quả nghiên cứu có thế so sánh trực tiếp với thực nghiệm và gợi mờ các nghiên cứu lý thuyết tiếp theo

5) Những đóng góp mói của luận án

Đề tài nghiên cứu của luận án thuộc hướng "Lý thuyết các hệ mất trật tự" Các nghiên cứu theo hướng này của luận án đà cho nhũng đóng 2Óp mới:

- Nhún được mật độ trạng thái của hệ 2D với thế chắn gây bới cổng kim loại

- Nhàn được các biểu thức giải tích tổng quát của cá độ dẫn điện và suất nhiệt điện

đ ộ n " V R H cho vật liệu vô định hình, phù hợp với thực nghiệm

- Thu được biếu thức tống quát của suất nhiệt điện độnsỉ V R H mỏ tả sự chuyến liên tục từ d á n s điệu Mott đến dáng điệu ES khi nhiệt độ giảm

- Nhận dược biểu thúc tống quát cho độ dan điện V R H phụ thuỏc tần số và nhiệt

độ trong dải rộng các giá trị cứa các tham số này

- Đề xuất một mô hình mới cho hiện tượng thấm trong hệ hai chiều (2D) bất đắng hướng mạnh và tính các đặc trưng thấm cơ bản trong mô hình này

- Nghiên cứu thống kê sự phụ thuộc của độ dẫn nhảy V R H vào chiều dài và nhiệt

độ trong các hệ một chiều ( Ỉ D ) hữu hạn Đề xuất biểu thức cho giới hạn quan sát

sự phụ thuộc nhiệt độ theo dáng điệu M o n

- Nghiên cứu thống kê độ dẫn V R H của hệ 2D bất đắng hướng mạnh trong dai rộng các giá trị của nhiệt độ, nồng độ tạp, mức độ bất đảng hướng và kích thước của hệ Đề xuất khả năng chuyển dáng điệu phụ thuộc nhiệt dô của đô dẫn từ dáng điệu I D sang dáng điệu 2D khi tảng nồng độ tạp trong các hệ hữu hạn

6) Cấu trúc luận án

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án gồm 5 chương và phần phụ lục

Trong chương Ì chúng tôi tổng quan nghiên cứu thực nghiệm dẫn nhảy và giới thiệu

vắn tắt cơ sở của lý thuyết hiện đại về dẫn nhảy Đó là mô hình lưới trớ ngẫu nhiên Miller - Abrahams với phổ trở rất rộng và phương pháp lý thuyết thấm đế tính điện trở hiệu đụng của lưới trở này Định luật M o t t - T ~1 / í í / + i ỉ được giới thiệu ở cuối chương

Ì là mớ đầu về dẫn nhảv bước biến đ ố i ( V R H ) khi chưa tính đến tương tác Coulomb giữa các trạng thái electron định xứ Tuy nhiên tương tác electron - electron sẽ gây ảnh hưởng quan trọng lên dẫn nhảy bước biến đ ổ i và các hiệu ứng này sẽ được nghiên cún trong các chương tiếp theo của luận án

Chương 2 trình bầy ảnh hưởng của tương tác electron - electron lên mật độ

trạng thái và sự phụ thuộc nhiệt độ của độ dẫn nhảy bước biến đ ố i Sau khi trình bẩy khảo sát định tính khe Coulomb trong mật độ trạng thái chúng tôi đã giới thiệu 2 phương pháp nghiên cún định lượng khe Coulomb là giải phương trình tự hoa hợp và

mô phỏng hệ trên máy tính điện tử Sự phù hợp về kết quả của hai phương pháp không chỉ cho các hệ tương tác thuần Coulomb mà cho cả các hộ với thế chán Yukawa (3 chiều) và chán cổng kim loại (2 chiều) cho thấy sự đúng đắn của các phương pháp và góp phần khắng định sự tổn tại của khe Coulomb Do quan sát thực nghiệm trực tiếp khe Coulomb là một việc rất khó và mới chí thực hiện được trons thời gian gán đây nhờ kỹ thuật chui ngâm, nén trong nhiều năm vấn dề khe Coulomb đã được tranh cãi sôi nổi, ngoài việc tiến hành rất nhiều thực nghiệm số,

mô tá trực tiếp hệ trên MTĐT, sự tổn tại của khe Coulomb chủ yếu được kiểm tra gián tiếp thông qua sự phụ thuộc nhiệt độ của độ dẫn điện V R H EíVos-Shklovskii

chí ra rằng tính đến khe Coulomb thay vì định luật Mott ơ(T) GC 7,-| / Í J + l í có định luật

ES ơịT) oe T~ u2 Ớ một số vật liệu cả hai định luật này đều quan sát được nhưng ở nhũng miền nhiệt độ khác nhau, với sự chuyên liên tục giữa hai giới hạn Chuyến Mott - ES là biểu hiện điên hình của vai trò tương tác Coulomb ớ nhiệt độ thấp Bằng phương pháp lý thuyết thấm và sử dụng một hàm DOS "hiệu dụng" tống quát

có thể nhận được biểu thức giải tích của cr(T) mò tá tốt các quan sát thực nghiệm

chuyển M o n - ES đó Đ ố i với vặt liệu vô định hình, ngoài chuyển Mótt - ES thường quan sát thấy độ dẫn thực nghiệm lớn hơn nhiều bậc so với độ dẫn tính theo mô hình Mon: Các tính chất này được chúng tôi giải thích qua việc tính độ dãn điện V R H trẽn cơ sở sù dụng một hàm mật độ trạng thái đơn giản và sử dụng phương pháp lý thuyết t h í m

Tươns tác electron - electron khôrm chỉ ảnh hưởng đến sự phụ thuộc nhiệt độ của điện trở V R H mà còn ảnh hướne tới một loạt tính chát đòng khác điển hình là suất nhiệt điện động V R H Cũng như độ dẫn điện, dáng điệu phu thuộc nhiệt độ của suất nhiệt điện động V R H phu thuộc rất mạnh vào dạng hàm DOS ỏ lân cặn mức Fermi Sử dụng hàm mật độ trạng thái tống quát đã đề xuất trone chương 2 chúng tôi kháo sát các hiệu ứng tương tác Coulomb trong suất nhiệt điện động ở miền dẫn nhảy bước biến đ ổ i trong chương 3 Kết quả thu được cho thấy trong sự phụ thuộc nhiệt độ của suất nhiệt điện động V R H có một chuyển liên tục, nhạy cám hơn so với

ở độ dẫn điện từ dáng điệu M o n s cc 7, t í M , / í t / + l ỉ đến dáng điệu ES, s không phụ

thuộc nhiệt độ Cũng sử dụns mật dỏ trạng thái cho vật liệu vô định hình ỏ chương 2 chúng tỏi tìm được biểu thúc giải tích dơn giản mỏ tà định tính tính chất phụ thuộc nhiệt đô của suất nhiệt điện động V R H của vật liệu này troníí dải rộng nhiệt độ

Đối với nhiều hệ vật lý tươm tác electron - electron ảnh hướng quan trọng lên sự phu thuộc nhiệt độ và tán sò cùa độ dẫn điện ác Mặc dù vấn đề độ dẫn ác đã

được sớm quan tâm từ nhữníì năm 1970 - 1980 cho đến nay về mạt lý thuyết các kết quả thu clươc còn rất hạn chế dù đã có thêm nhiêu số liệu thực nghiệm mới C h ư ơ n g

4 trình bầy về việc sử dụng phép gần dúm: cặp để tính độ dẫn nhảy ác ở miền V R H

cho cả hệ hai chiều và ba chiều Dựa vào hàm mật độ trụng thái trong chương 2 chúng tôi tính hàm phân bố cặp và từ đó thu được biếu thức tống quát đế mô tả sự

phụ thuộc của độ dẫn điện ác vào cả nhiệt độ và tần số trong dải rộng giá trị của các

tham số này Trong các trường hợp giới hạn, các biếu thức của chúng tôi phù hợp với các kết quả đã biết của các tác giả khác

C h ư ơ n g 5 mô phòng hệ thấm hai chiều bất đẳng hướng mạnh Mô hình của chúns tỏi được đề xuất để mồ tả dẫn nháy trong các hệ có cấu trúc phức tạp như polymer dẫn hay silic xốp với cấu trúc đặc thù: các đường dẫn (kênh) là thảng song song liên kết yếu với nhau nhờ các tâm tạp thưa hoặc các hạt kim loại nhỏ Trước hết chúng tôi kháo sát bài toán / thấm Các đặc trưng thấm cơ bán được tính cho cả

2 phương: song song và vuông góc với các đường kênh với sự chú ý đặc biệt đến hiệu ứng kích thước hữu hạn, qua đó nghiên cứu sự phụ thuộc vào các tham số cấu trúc của hệ thấm vò hạn Sau đó dẫn nhảy bước biến đối được kháo sát trong hệ một chiều hữu hạn nhàm xác định miền nhiệt độ đế có thế quan sát V R H và kiểm định các kết quả lv thuyết đang còn nhiều tranh cãi về sự phụ thuộc của điện trở hệ Ỉ D vào chiều dài và nhiệt độ H ệ hai chiều bất đẳng hướng mạnh là các hệ đang thu hút nhiều quan tâm từ phía công nghệ Kết quả mỏ phỏng tiên đoán sư chuyến đối trong

dáng điệu sự phụ thuộc nhiệt độ của V R H ơỢ) từ dạns gần ID khi nồng độ tạp

nhỏ sang dạng 2D Mott khi nồng độ tạp vượt quá mót giá trị ngưỡng Chú ý đến hiệu ứng kích thước hữu hạn, kết quả mò phỏng cho thấy, mặc dù có bát đẳng hướng

về cấu trúc nhưng về phương diện thấm thì hệ 2 chiều vô hạn là đẳng hướng Sự chuyến đổi chiều quan sát thấy trong thúc nghiệm chí là hệ quả của hiệu ứng kích thước hữu hạn và nó sẽ biến mất trong hê vô hạn, nơi mà dẫn nhảy bước nhảy biến đối luôn là đảng hướng và tuân theo định luật Mott 2D

Luận án có 30 hình vẽ, 2 bảng, sử dụng 133 tài liệu tham khảo, được trình bày trong 171 trang (kể cả phụ lục) Các kết quả chính của luận án được côns bố trong sáu bài báo khoa học sau:

1 Đặng Đinh T ớ i (1999) "Vé đản nhay bước biến đ ố i tronu vạt liệu vô định hình"

Tạp chí Khoa học Đại học Quốc Gia Hù Nội, KHTN, t X V , 0°4, tr 41-46

2 Nguyen V a n Lien and Dang Dinh Toi, (1999), "Coulomb Correlation Effects in

Variable - Range Hopping Thermopower", Phys Letters A, 261, pp 108-113

3 Dang Dinh Toi, (2001), "Coulomb Correlation Effects on the high frequency

hopping conduction in disordered systems", VNU Journal of Science Nat Sà., t

X V I I , n°3, pp 38-45

4 Nguyen Van Lien, Dang Dinh Toi and Nguyen Hoai Nam, (2002), " A continuum

percolation model in an anisotropic medium: dimensional crossover ?", Physica A,

316, pp 1-12

5 Dang Dinh T o i , Nguyen Quang Bàu, (2002), " O n The Variable Range Hopping

Thermopower in amorphous material", VNU Journal of Science Nat Sà., t X V I I I ,

n°2, pp 46-51

6 Nguyen V a n Lien and Dang Dinh Toi, "Variable Range Hopping in finite one

dimensional and anisotropic two dimensional systems", Phvsica B (accepted)

Ngoài ra, một số kết quả của luận án đã được báo cáo tại H ộ i nghị Vật lý trẻ (Hà nội 2000), các H ộ i nghị V ậ t lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 26 ( H ạ long 2001) và lần thứ 27 (Cửa lò 2002)

C h ư ơ n g Ì

T Ổ N G Q U A N

Chương đầu tiên của Luận án tổng quan các nghiên cún lý thuyết và thực nghiệm vé dẫn nhảy Tiết L I và 1.2 lần lượt giới thiệu về mất trật tự và cơ chế dẫn nhảy trong hệ với các trạng thái electron định xứ mạnh Mô hình lưới trở do Miller-Abrahams đề xuất để tính điện trỏ của hệ dẫn nhảy được trình bày trong tiết 1.3 Lưới trở này có phổ điện trở rất rộng và đây là đ ố i tượng phù hợp của phương pháp

lý thuyết thám, vấn đề này được trình bày trong tiết 1.4 và được áp dụng trong tiết 1.5 để nhận được định Luật M o n về sự phụ thuộc nhiệt độ của điện trở dẫn nhảy bước biến đ ổ i

1.1 M Ấ T T R Ậ T T ự V À Đ Ị N H x ứ

Cho đến những năm 1950 các tính chất electron của vật rắn đã được nghiên cứu chủ vếu dựa trên các đ ố i xứng của mạng tinh thế Các thành còng cùa lý thuyết vật rắn trong giai đoạn này như lý thuyết cấu trúế vùng năng lượng, lý thuyết các hiện tượns động, gắn liền với khái niệm hàm sons Bloch với phương pháp khối lượng hiệu dụng [45] Lý thuyết gần cổ điển Bloch-Boltzmann đã rất thành công

trong m ò tả sự phụ thuộc của điện trớ suất p vào nhiệt độ cũng như nồng độ tạp

mát trật tự được xây dựng vào những nám cuối thập kỉ 70 và phát triển mạnh mẽ

vào những năm 80 và 90 của thế kỷ trước Lý thuyết các hệ mật trật tự về cơ bán dựa

trẽn khái niệm định xứ mà Anderson đã đề xuất trước đó

Năm 1958 Anderson [8] khảo sát một mô hình liên kết mạnh trong một

mạng đơn giản với Hamiltonian dạng:

H = ỵ đ e i a;a i + ỵi ij a;a j +h.c ( L I )

i <!/>

trong đó: a*\ci, ) là toán tử sinh (huy) một trạng thái electron ớ nút (/); < ụ > ngụ ý

chí xét các nút lân cặn gần nhất h.c là liên hợp hecmitic với phần đứng trước nó

V ề nguyên tắc cả nâng lượng nút Si lẫn tích phàn phú Iịj đểu có thể là ngẫu nhiên,

nhưng thường thì người ta chỉ xét trường hợp Ịịj = v = const Năng lượng Si giả thiết

là ngẫu nhiên, phân bố đều trong khoảng [-W/2, W/2] V ớ i giả thiết như vậy, trong

bài toán với Hamiltonian ( L I ) chỉ có hai tham số w và V Và bởi vì ta luôn có thể

chọn một trong hai tham số đó làm đơn vị chẳng hạn \v\, khi dó tham số duy nhất

của bài toán là w /\vị Anderson chứne minh rằng, với mỗi loại mạng có tổn tại một

giá trị tới hạn (critical) sao cho khi wỉịvị < (w/\v\) sóng electron có thế

truyền đi xa, hệ mang đặc trưng kim loại, còn khi w /\vị > [W /\v\) sóng electron bị

định xứ trong một miền không gian hẹp và hệ mang đặc trưng điện môi Như vậy

mỏ hình Anderson ( L i ) tiên đoán sự chuyến pha kim loại điện môi (MIT Metal

-Insulating Transition) khi độ mất trật tự của hệ thay đ ổ i Chuyến pha như vậy được

gọi là chuyển pha Anderson

Mò hình Anderson nói chun* không thể giải chính xác Rất nhiều tính toán

số thực hiện với các loại mạng khác nhau đã ủng hộ kết luận của Anderson đồns

thời cho giá trị của (w /|vj)., chẳng hạn với mạng lập phương đơn giản là 14.4 còn

với mạng vuông là 6.1

M o n (1961) là người đầu tiên đã đưa ra một lý giải vật lý cụ thể cho mô hình

Anderson, cho trường hợp bán dẫn pha tạp và bán dẫn vô định hình Theo Mott [62],

thế tĩnh điện ngẫu nhiên của các tùm tạp mang điện (donors, acceptors) gây ra sợ

định xứ của trạng thái electron ở đuôi của vùng núng lượng (hình 1.1) M i ề n các trạng thái định xứ (gạch chéo) và các trạng thái truyền qua phàn tách nhau bởi một

nâng lượng giới hạn gọi là ngưỡng linh động (E m và E M) K h i đó, vật liệu là kim

Hình L I : Mô hình Mon Miền các trạng thái định xứ dược gạch chéo, các

ngưỡng lình động.E m và E m a) Kim ỉoạỉ'{b) Điện môi

loại hay điện mỏi tuy theo mức Fermi JU nằm trong vùng truyền qua hay vùng định

xứ Bới vì vị trí của ngưỡng linh động hav của mức Fermi có thể thay đ ổ i bằng thay

đ ổ i tương ứng nồng độ tạp hay mật độ electron, Mott tiên đoán chuyển pha kim loại

- điện môi xảy ra, chảng hạn ở một giá trị xác định của nồng độ tạp trong bán dẫn (chuyển pha Mott) Theo Mott [64] chuyển pha k i m loại - điện môi là chuyển pha loại ì, và do đó có tổn tại một độ dẫn điện kim loại cực tiểu:

Hình 1.2: Trạng thủi truyền qua (a) và trạng thái định xứ(b)

Thouless (1974) [116] chứng minh rằng, tham số w l\v\ trong mô hình Anderson liên quan đơn trị với đại lượng gọi là conductance không thứ nguyên g:

troni đó: conductance G của một hypercube ả chiều cạnh L liên hệ với độ dẫn ơ"bới

hệ thức:

Khác với độ dẫn (X, conductance g nói chuns phụ thuộc vào kích thước của

hệ Thouless cho rằng đặc trưng dẫn của một hệ vĩ mô tuy thuộc dáng điệu của hàm

g(L) N ế u khi tăng L , g dẫn đến giới hạn hữu hạn xác định bởi định luật Ohm thì hệ

là kim loại Còn ngược l ạ i , nếu g -> 0:

gccexp{-Lỉệ) (1.5)

thì hệ mang tính điện m ỏ i Đ ộ dài đạc trưng £ t h ì n h 1.2) phụ thuộc vào bản chất của

hệ và được gọi là độ dài định xứ (localization length) Giới hạn định luật Ohm

được gọi là giới hạn mất trật tự yếu, còn giới hạn (1.5) là giới hạn mất trật tự mạnh

Phát triển ý tưởng trên của Thouless, nám 1979 Abrahams và các đồng tác

giả [1] đề xuất hệ thức scaling nổi tiếng cho sự phụ thuộc tổng quát của g và L:

Đây là hệ thức cơ bản của lý thuyết định xứ Anderson H ệ thức này đã cho

những tiên đoán quan trọng:

(ỉ) tồn tại chuyển pha kim loại - điện môi trong hệ 3 chiều (3D) và đó là một

chuyển pha loại hai, nghĩa là không tổn tại độ dẫn kim loại cực tiếu của Mott;

(2) trong các hệ 2 chiều (2D) và Ì chiều (ID) sóng electron luôn định xứ, không

tổn tại trạng thái kim loại

Như vậy, lý thuyết các hệ mất trật tự bao gồm 2 giới hạn quan trọng: mất trật

tự yếu và mật trật tự mạnh Trong giới hạn mất trật tự yếu, sóng electron có thế

truyền ra xa, hệ mang tính kim loại dẫn xảy ra theo cơ chế khuếch tán, các tính toán

lý thuyết có thể thực hiện trong khuôn khổ lý thuyết nhiễu loạn Trong giới hạn mát

trật tự mạnh, sóng electron định xứ mạnh trong miền khônơ gian hẹp, hệ mang tính

điện môi, sự dẫn điện xây ra theo cơ^chế nháy (hopping), các phương pháp tính toán quen thuộc cho hệ electron tán xạ yếu không còn sử dụng được nữa

Ngoài ra, quan trọng là trong Hamiltonian Anderson (1.1) chưa tính đến tương tác electron - electron N ế u tính đến tương tác này sẽ dẫn tới nhiều hiệu ứng vật lý quan trọng, nhất là ớ nhiệt độ thấp Vai trò của tương tác electron - electron là vấn đề hay nhất và cũng là khó nhất trong ỉý thuyết các hệ mất trật tự Nghiên cứu ảnh hưởng của tương tác electron - electron lên các tính chất động, trước hết là dẫn nhảy bước biến đổi (Variable-Range Hopping - V R H ) , của hệ electron định xứ mạnh chính là mục tiêu của luận án này Để tiếp cận vấn đề, trong các tiết tiếp theo của chương này chúng tôi sẽ giới thiệu ngắn gọn về khái niệm dẫn nhảy và các phương pháp tính độ dẫn điện (hay điện trờ suất) trong cơ chế nháy

1.2 D Ẫ N Đ I Ệ N T R O N G C Á C H Ệ E L E C T R O N Đ Ị N H x ứ M Ạ N H : D A N N H Ả Y

Dẫn nhảy (hopping conduction) là cơ chế dẩn chủ đạo ở nhiệt độ thấp trong các hệ mất trật tự với các trang thái electron định xứ manh, chang han như trong các vật liệu vỏ định hình, trong bán dẫn pha tạp nhẹ các polymer dẫn, thậm chí trong ống nanocarbon hay sợi D N A Để cụ thể, dưới đây chúng tôi trình bày về dẫn nhảy trong bán dẫn pha tạp nhẹ, là loại vật liệu được nghiên cứu thực nghiệm sớm và đầy

đủ nhất về dẫn nhảy

Ạ1^

Hình 1.3: Sự phụ thuộc của điện trớ suất vảo nhiệt độ của bán dan pha tạp nhẹ

ớ nhiệt độ cao, bán dan có độ dẫn điện riêng liên quan tới sự kích hoạt nhiệt các electron từ vùng hoa trị lên vùng dẫn (miên A trên hình 1.3) Mật độ các hạt

dẫn điện riêng là những hàm số mũ của nhiệt độ K h i giảm nhiệt độ thì mật độ các hạt dẫn điện riêng giảm rất nhanh cho tới khi chúng nhò hơn mật độ hạt dẫn đóng góp bởi các tâm tạp chất Tiếp tục giảm nhiệt độ thì sự dẫn điện được xác định chủ yếu bời mật độ và các tính chất của tạp chất Vì thế, dẫn điện lúc đó gọi là dẫn điện tạp chất Ở nhiệt độ đù thấp, xuất hiện miền bão hoa B, tại đó tất cả các tâm tạp bị ion hoa và mật độ hạt dẫn không phụ thuộc vào nhiệt độ Sự phụ thuộc của điện trò vào nhiệt độ ở miền này hoàn toàn được xác định bời sự phụ thuộc của độ linh động hạt tải điện vào nhiệt độ, chẳng hạn điện trở giảm khi nhiệt độ giảm liên quan tới sự yếu đi của tán xạ electron lên phonon Nhiệt độ càng giảm, các electron tái hợp trớ lại với tâm tạp (miền C) Sự phụ thuộc nhiệt độ cùa độ dẫn điện trong miền này được xác định hoàn toàn bởi sự giảm nhanh của nồng độ electron tự do K h i nhiệt độ tiếp tục giảm thì xuất hiện thời điểm mà năng lượng nhiệt không đu để kích hoạt electron từ vùng tạp chất lên vùng dẫn, nhưng vẫn đủ đế electron có thể nhảv (hopping) trực tiếp theo các tâm tạp (miền D) Đó là dẫn nháy (hopping conduction) Electron nhảy từ donor đang bị chiếm (occupied) sang donor trống (empty) VI thế, điều kiện cần của dẫn nhảy là sự có mặt của các donor trông Cơ chế dẫn nháy tươns ứng với độ linh động nhỏ, bới sự nhảy của electron liên quan với sự phu vếu các hàm sóng của các donor cạnh nhau Trên hình 1.3 mô tả sự thay đổi điện trớ của bán dẫn pha tạp nhẹ khi nhiệt độ giảm M i ề n A với độ dốc gần thẳng đứng tươns ứng với dẫn điện riêng của bán dẫn, các miền B - C - D ứng với vùng dẫn tap chất, trong đó B

là miền bão hoa, c là miền tái hợp còn D là miền dẫn nhảy Đ ố i với Ge, với mật độ

donor là N D * l o '5e m- 3 thì miền dẫn điện riêng ứng với T > 400K miền bão hoa khi 50K < T < 400K , miền tái hợp khi 7K <T < 50K , còn miền dẫn nhảy xuất hiện khi T * 1K

K h ả nâng dẫn nhảy đã được B Gudden và w Schottky đoán nhặn lý thuyết

từ năm 1935 Các số liệu thực nghiêm đáu tiên về dẫn nhảy được G Bush và H Labhart thu nhận trên cacbua-silic năm 1946, c.s Hung và J Gliessman [38] thu nhận trên Silic và German năm 1954 Sau đó, dẫn nháy đã được nghiên cứu nhiều lần trong Ge, Si và nhiều bán dẩn khác Trên hình 1.4 biểu diễn sự phụ thuộc của điện trở suất vào nghịch đảo của nhiệt đ ộ đối với Ge loại p theo số liệu thực nghiệm

của Fritzsche và Cuevas [32] với nồng độ acceptor (Ga) NA (đơn vị em"3) tăng dẩn: (1) - 7,5.lo1 4 ; (2) - 1.4.1015 ; (3) - 1.5.1015 ; (4) - 2/7.10'5 ; (5) - 3,6.1015 ; (6) - 4.9.101 5; (7) - 7,2.101 5; (8) - 9,0.1015; (9) - 1.4.1016 ;(10) - 2.4.10'6; ( l i ) - 3.5.1016 ; (12) - 7,3.101 6; (13) - l,0.101 7; (14) - 1.5.1017; (15) - 5.3.10'7; (16) - 1,35.10'* Tất

cả các đường cong với độ chính xác cao có thế mô tả bằng còng thức gần đúng:

Hình 1.4: Sự phụ thuộc của điện trở suất vào nghịch đáo của nhiệt độ đối với Ge

loại ọ theo số liệu thực nghiệm của Fritzsche và Cuevas [32]

có một năng lượng kích hoạt £3 xác định, tuy nhó so với s{ Nhảy theo các donor,

electron hấp thụ hoặc bức xạ phonon dẫn đến sự phụ thuộc dạng hàm e-mũ của độ

dẫn điện vào nhiệt độ K h i tăng nồng độ tạp chát, năng lượng kích hoạt ban đẩu có

táng một chút Điều này liên quan tới sự tăng của thế Coulomb ngẫu nhiên gây bởi

các tâm tạp mang điện Tuy nhiên, tiếp tục tăng nồng độ tạp chất dẫn đến sự phu của

các hàm sóng các tâm tạp cạnh nhau táng lên và £3 giảm đi Kết quả là khi

N A = 1.5.lo 17 cm'- (đường số 14) thì nâng lượng £3 = 0 Dưới đây chi xét sự dẫn

nhảy trong miền nồng độ tạp nhỏ Trên hình 1.4 còn cho tháy rất rõ một nét đặc

trưng của dẫn nhảy: sự phụ thuộc rất mạnh của đại lượng fa vào nồng độ tạp chất

Giá trị của có thể xác định dựa vào hình 1.4 nếu ngoại suy phần thẳng của nhiệt

độ thấp đến r _ l = 0 , tức là tìm giao điểm của đường thẳng này với trục toa độ K h i

táng nồng độ tạp chất lên 30 lần thì Ps giảm lo17 lần Sự phụ thuộc rõ nét đó được

giả thiết ngay có dạng hàm mũ và Pi được viết dưới dạng:

trong đó: Pt)3 vầf(N D ) là các hàm lũy thừa của nồng độ tạp chất Nguyên nhàn vật lý

của sự phụ thuộc dạng hàm e-mũ (1.8) là rỏ ràng: xác suất nhảy giữa hai tâm tạp

được xác định bởi sự phủ của các hàm sóng Khoảng cách giữa các tâm tạp mà ta

quan tâm là rất lớn so với bán kính Bohr (do nồng độ tạp nhò) trong khi hàm sóng

định xứ mạnh, giảm e-mủ theo khoảng cách, vì thế tích phân phủ 2 Ì ử a các tạp chất

cũng giảm theo hàm e-mũ với khoảng cách giữa chúng K h i giảm nồng độ thì

khoảng cách trung bình giữa các tàm tạp tăng lên, xác suất nhảy giảm e-mủ và do đó

độ dẫn điện giảm Sự phụ thuộc dạng hàm ^-mũ (1.8) của điện trở suất vào nồng độ

tạp chất là bằng chứng thực nghiệm quan trọng cua cơ chế dãn nhảy

Ev - *

(a) (b)

Hình 1.5: Các trạng thái định xứ lân cận mức Fermi (a) và mật độ trạng thái (b)

Các kết quả đo hiệu ứng Hall và độ linh động của electron trong miền dẫn

nhảy (miền D) [14, 32, 67] đã dẫn đến một kết luận là không thế giải thích dẫn nháy

theo quan niệm về tán xạ, chẳng hạn trên phonon, của các electron chuẩn tự do

(quasi-free electron) mà cẩn xây dựng lv thuyết dẫn nhảy trên cơ sở những ý tướng

mới mà quan trong nhất là ý tướng về các trạng thái electron định xứ Sự tương tác

với các phonon và sự phủ của các hàm sóng của các trạng thái định xứ phải dẫn đến

sự nháy thưa thớt từ một trạng thái này sang trạng thái khác Trong hai tiết tiếp theo

chúng tôi sẽ giới thiệu vắn tắt cơ sở của lý thuyết hiện đại về dẫn nhảy

1.3 LƯỚI T R Ở N G Ẫ U N H I Ê N M I L L E R - A B R A H A M S

Miller và Abrahams [59] đã đề xuất phương pháp tính điện trờ suất của hệ ở

chế độ dẫn nhảy như sau: Từ hàm sóng định xứ của các electron trên các donor

riêng biệt, tính xác suất chuyển dịch của electron giữa 2 donor ì và ỳ với sự hấp thụ

hoặc bức xạ phonon Sau đó, tính số electron thực hiện chuyển dịch trong một đem

vị thời gian khi không có điện trường K h i có điện trường vếu thì các dịch chuyển

thuận và ngược không cân bằng nữa, tức là xuất hiện dòng tỷ l ệ với điện trường

Tính dòng tuyến tính sẽ tìm được điện trở Rịị ứng với chuyến dịch ỉ - j Do các tâm

donor có vị trí và năng lượng ngẫu nhiên các yếu tố trở Rịj cũng hoàn toàn ngẫu

nhiên Và như vậy bài toán tính trở vĩ mô cùa hệ dẫn về tính trở tương đương của

một lưới các điện trở ngẫu nhiên (random resistors network)

Xét 2 donor ì và ì với toa độ ĩ và ĩ j , trên hai donor chỉ có một electron G i ả

sử WỢ'-Ĩ.) = PịỢ) là hàm sóng ớ trạng thái cơ bản của donor cô lập ỉ, thoa mãn

phương trình Schrodinger (H Q +UỴF = EỸ với u - -e 1 1hc\r -r\ Vì khoảng cách

điển hình giữa hai donor r u - ịĩị - rị là rất lớn so với độ dài đạc trưng của hàm sóng,

sự phủ của các hàm % và *Fj là rất yếu Do tương tác của electron với cả hai donor

mà trạng thái suy biến tách ra Trong khuôn khổ phương pháp tổ hợp tuyến tính các

quỹ đạo nguyên tử ( L C A O ) , hàm sóng của các trạng thái tách ra là tố hợp của các

hàm nguyên tử đ ố i xứng và phi đ ố i xứng

^L 2= 2 -, / 2( l ± J ^ ^ r ) ~l / 2( ^ ±«F) (1.9)

Tính nans lượng của các trạng thái Ì , 2 với Hamiltonian:

ớ đây: //(, là Hamiltonian của electron trong tinh thế tuần hoàn, Eo là mức nâng

lượng của donor cô lập, K là hằng sô điện mòi, còn ỈỊj là tích phân phủ:

/ = [ l ^ ^ - n — \ d r - dr r \ d r (1.12)

J K ] r - / ; | If r - r

Do ảnh hướng mạnh của năng lượng tương tác W(r) của electron với các

tâm tạp tích điện bao quanh các donor ì và j, đối với hầu hết các cập donor, bất đẳng

thức sau được thoa mãn:

Rõ ràng sự dịch chuyển của electron từ trạng thái sang trạng thái *Fj có

nghĩa là dịch điên tích -e một khoảng là /; Sự phát sinh dòng điện liên quan tới

những dịch chuyển này Năng lượng phonon bị hấp thụ trong dịch chuyến ì —> j

bằng đ Do đ cỡ khoáng vài meV nén chuyến dịch ì —> ì chí có thế xảy ra với sự

tham gia của phonon âm bước sóng dài Đế đơn giản, Miller và Abrahams coi rằng

electron chỉ tương tác với một nhánh âm có phổ đẳng hướng

Xác suất chuyển dịch ì ->ị với hấp thụ phonon là:

h {2xỴ trong đó: V () là thể tích nguyên tố mạng tinh thể, s: vạn tốc âm, CỊ: vectơ sóng của

là yếu tố ma trận của tương tác electron - phonon ơ đây, Eịi hàng số thế biến dạng,

d: mật độ tinh thể, N q : số phonon có xung lượng q G i ả sử, số lấp đầy ìĩị = (0; 1) của

donor ỉ thăng giáng theo thời gian Chuyến dịch ì -> ì chỉ xảy ra ở các thời điếm khi

rtị = 4 và ỉij = 0 Vì thế số electron thực hiện dịch chuyển trong một đơn vị thời gian

bằng:

/ ; = < 7 V i(- ( l - «y) > (1.16)

trong đó: trung bình lấy theo thời gian Đại lương Yiị thăng giáng theo thời gian Đó

là do các donor bên cạnh ỉ váy có số lấp đẩy thay đ ổ i theo thời gian, bằng thế năng

của mình, chúng tạo nên hiệu các nâng lượng đ , vì thế tạo ra sự thảng giáng cho

4 và cả Yiỳ

Đế đơn giản bài toán, ta giả thiết rằng số lấp đầy và nũng lượng các nút

không thảng giáng theo thời gian và bằng các giá trị trung bình của chúng Nói cách

khác, hệ được mò tả trong khuôn khổ gần đúng của trường tự hợp, tương tự gần

đúng Hartree Gần đúng này gồm:

1 M ỗ i donor đươc đặc trưng bới một số lấp đáy trung bình: < lĩ >= f

2 Coi rằng mỗi donor có một năng lượng trung bình (theo thời gian) cua mức

electron trong trường của tất cả các tâm tạp và electron còn l ạ i

/ /cr - r f \ M KÌ?, - r

(1.17)

ở đó: tống thứ nhất lấy theo tất cả các acceptor, còn tổng thứ hai lấy theo tất cả các

donor ngoại trừ donor í, giá trị (Ì - k k )e có nghĩa là điện tích trung bình của donor k

3 Năng lượng của phonon bị hấp thụ trong dịch chuyến / -> j được viết dưới dạng :

V ớ i gần dúns này thì:

í 2r,\

•s J

Ét ã {le

trong đó: Y\ = ' ~ ị4

nds'K v 3 ^ J í

1 + 4 £ Ì 2fo là hàm phàn bố Fermi, /V(x) là

hàm phàn bố phonon: N(x) = (e" tT - ly'

Tương tự (1.18) đ ố i với dịch chuyển nsươc j -> i , với bức xạ phonon thì:

í 2r ^ / > y > p - - f [ A ^;- £ , ) + I ] / ; ( 1 - / ; )

trong đó: £° là giá trị trung bình của mức nũng lượng donor ì khi E = 0, JU là mức

Fermi còn thừa số 1/2 liên quan đến sự xuất hiện 2 trạng thái spin của donor bị chiếm, ở nhiệt độ thấp đang xét thì năng lượng £ữ khác rất ít so với năng lượng

tương ứng ớ nhiệt độ không Từ (1.19) - (1.21) suy ra khi E = 0 thì: r u = r = r ĩ ,

do đó: J = 0 K h i E t- 0 sự cân bằng giữa các chuyến dịch ị —> ỉ và ỉ —> ì bị vi

phàm Điều đó xảy ra do các nguyên nhàn sau:

- Thứ nhất, mức Fermi thay đối ỖỊẤ: làm các electron phân bố lại theo các donor, tức là tạo nên một số gia ổfi của hàm phân bố (1.21):

Số hạng thứ nhất của Se Ị là tác dụng trực tiếp của điện trường ngoài, còn số

hạng thứ hai là sự biến đ ố i của tương tác Coulomb do sự phùn bố lại các electron

(xem 1.17) Kết quả làm thay đ ổ i nâng lượng của phonon bị hấp thụ Sj - £ị , năng

lượng này là tham số của hàm Planck

Nếu mạch hờ (mẫu nằm trong tụ điện), thì trong điện trường xuất hiện trạng

thái cùn bàng mới, ở đó ỗjUị - -ổs Để tính độ dẫn điện ta cẩn xét mạch kín Trong

trường hợp nàv, sự cân bằng bị phá huv và ỖỊẦ * -de Nếu điện trường nhỏ đến

mức mà các số gia ổjLtị và ỗSị nhò so với kBT thì trong các biếu thức đối với Fjj và rịh

các hàm s ố f j , f j N(Sj - Si) có thế phàn tích thành chuỗi theo các số gia này K h i đó

trong gần đúng tuyến tính, yếu tố dòng ụ - j) có dạng:

J ii = TT foi + 5 < - { ô > + Se < }1 ( 1 -2 4 )

ky ỉ

ớ đó: là tán suất (số chuyến dịch trong mót đơn vị thời gian) của chuvến dịch j

—> ì và í —> j ở trạng thái cân bàng Biếu thức Jịị có thế viết lại dưới dạng định luật

Ohm:

- ơ , ) (1.25) trong đó:

Đại lượng - eưị có thể xem như giá trị địa phương của thế điện hoa (tính từ

/ù) của electron trên donor ì K h i đó Ui - Uị là hiệu điện thế cho chuyến dịch ị -> j

Còn đại lượng Rịj có nghĩa là điện trở của chuyến dịch đó

Chuvển từ hai donor đến hệ thực bao gồm số rất lớn các donor liên kết nhau

bâng các trớ Rị (hình 1.6), nếu bàng một cách nào đó tìm dươc Ui, thì có thế tính

được dòng giữa hai donor bất kì Dòng toàn phán đi qua mẫu được xác định là tổng

các dòng qua tiết diện thảng của mẫu Như vậy, sự dẫn điện của mẫu được xác định

hoàn toàn bởi các điện trớ Rịj Bài toán về tính độ dẫn nhảy của hệ được chuyển về

tính độ dẫn của lưới trở, mà mỗi nút của lưới trùng với một donor, giữa mỏi cặp nút

nối mót điên trở R !:

Hình 1.6: Lưới trở ngẩn nhiên Miller - Abrahams

Để thuận tiện, biếu thức Rị được viết riêng thành tích cua thừa số phụ thuộc

e-mủ vào ĩ'ij và nâng lượng các donor, và thừa số khác phu thuộc yếu vào các tham

số này Thay các hàm cân bằng N , / ° , / ° vào biểu thức cho r r , có thế thấy rằng, ở

nhiệt độ thấp k B T « s -e] sũ 0 0 i -JU e) -M , với phân bố tuy ý của s° và s° đ ố i ũ

với mức Fermi thì đại lượng 7"*° được viết dưới dạng:

Chí số "0" trong kí hiệu năng lượng được bỏ đi cho gọn Điều đặc biệt quan

trọng của lưới trở (1.30) là phổ giá trị Rị rất rộng Trong các bán dẫn pha tạp nhẹ,

khoảng cách trung bình giữa các donor là r D = [(4/r/3)iVư]~l / 3 cỡ khoảng 6-^12 bán

kính Bohr K h i đó điện trở của cặp với Ị-ịj = 2r D và cặp với r,y = r D sẽ hơn kém nhau

e ì2 -r e 24 lần Ớ nhiệt độ thấp thì số hạng năng lượng trong (1.31) cũng dẫn đến sự thăns giáng rất mạnh của điện trở Phương pháp thích hợp nhất đế tính điện trò hiệu dụng của lưới trở với phổ rất rộng như vậy là phương pháp lý thuyết thấm [105] mà chúng tôi sẽ trình bày trong tiết tiếp theo

1.4 Đ Ộ D Ẫ N Đ I Ệ N C Ủ A C Á C H Ệ RẤT K H Ô N G ĐONG N H Ấ T T R O N G G A N

Đ Ú N G LÝ T H U Y Ế T T H Ấ M

Lý thuyết thấm (percolation) do Broadbent và Hammersley [16] đề xuất năm

1957 đã rất mau chóng trỏ thành một phương pháp hiệu quả trong rất nhiều ngành khoa học mà trước hết là vật lý Trong giới hạn của vấn đề liên quan đến tính độ dẫn nhảy trong luận án này chúng tôi sẽ chỉ giới thiệu ngắn gọn những hai bài toán cơ bản của lý thuyết thấm là bài toán mạng (lattice problems) và bài toán nút ngẫu nhiên (Random site problem hav continuum problem) và ứng dụng của chúng để tính độ dẫn điện các môi trường rất khổng đổng nhất

1.4.1 Bài toán mạng [105]

G i ả sử có một mạng vô hạn 2 hoặc 3 chiều Trong đó, tất cả các nút lân cận được nối với nhau bằng các đường liên kết (bonds) M ỗ i đường liên kết có 2 khá năng: thông hoặc tắc (unblocked or blocked, với ngụ ý đơn giản, chẳng hạn là cho

hay k h ô n s cho nước thấm qua) G ợ i X là xác suất để một liên kết bất kỳ là thông, thì với một mạng vô han lý tưởng, điều này cũng ngụ ý X là phần (mật độ ti đối) các nút

thông, còn (L - x) là phán các nút tắc

Bây giờ, ta làm ướt một nút nào đó trong mạng (nối nó vào một nguồn nước),

nước từ nút này sẽ theo các liên kết thông làm ướt các nút lân cận Khi đó, có 2 khả

nâng: hoặc quá trình thám kế tiếp xảy ra liên tục và số nút bị ướt tăng lên vô hạn,

hoặc nước chỉ thấm đến một số hữu hạn nút rồi dùng lại Rõ ràng là, nếu X = Ì,

nghĩa là tất cả các liên kết đều thông thì từ một nút bất kỳ, nước luôn có thể chảy và

làm ướt toàn mạng Còn nếu X = 0, nghĩa là tất cả các liên kết đều tắc thì nước từ

một nút không thể chảy làm ướt thêm bất kỳ nút nào Như vậy, khả năng để nước từ

một nút làm thấm ướt một số vô hạn các nút khác là tuy thuộc giá trị của tham số X

Gọi p ( h ) { x ) là xác suất để nước từ một nút có thể làm ướt một số vô hạn các

nút trong mạng Rỏ ràng là, xác suất này phụ thuộc vào số chiều cũng như cấu trúc

mạng Ta thấy, với mỗi mạng khi nhỏ p ( b ) ( x ) = 0, vì trong trường hợp này, đa số

tuyệt đối các liên kết là tắc, nước không thể thấm ra xa Tăng X lên, đến một giá trị

X = x c nào đó, xác suất p ( b \ x ) đột ngột trở thành khác không và tăng nhanh đến

p (b \x) = l theo qui luật:

trong đó /?là một chỉ số cơ bản của bài toán và có giá trị chỉ phụ thuộc vào số chiều:

p « 1.4 cho các mạng 2 chiều và 0.4 cho các mạng 3 chiều

Giá trị X = x c, ở đó sự thấm vô hạn bắt đầu xảy ra ( P i b ) ( x ) * 0) được gọi là

ngưỡng thấm Giá trị x c phụ thuộc vào loại mạng Bài toán vừa trình bày ở trên được

gọi là bài toán liên kết (bond problem)

Một loại bài toán mạng khác, gọi là bài toán nút (site problem) có nội dung

như sau: trong bài toán nút, tất cả các liên kết trong mạng được xem là thòng, còn

các nút (sites) thì lại có thể thông hoặc tắc: các nút tắc không cho nước thấm qua để

có thể chảy đến các nút khác Gọi X là phần nút thông và tương tự như trên P(s)(JC) là

xác suất để nước từ một nút bất kỳ có thể chảy làm ướt một số vô hạn các nút khác

Cũng tương tự như bài toán liên kết, với mỏi mạng có tổn tại một giá trị

X = x c , ở đó xác suất p ỉs) (x) trở nên khác không Các giá trị x c này cũng được gọi là

ngưỡng thấm của mạng khảo sát Giá trị ngưởng thấm của một số mang cơ bản được

cho trong bảng 1.1, trong đó x c (b) và x c (s) là ngưỡng thấm tương ứng cua bài toán

liên kết và bài toán nút

B ả n g 1.1: Giá trị ngưỡng thám của một số mạng cơ bản

Mạng x c (b) x c (s)

Lập phươna đơn giản 0.27 0.31

Lập phương tâm khối 0.18 0.25

Lập phương tâm mặt 0.12 0.20

Ngoài ngưởng thấm x c (b), x c (s), một đặc trưng quan trọng của bài toán thấm

và đóng vai trò quan trọng trong các ứng dụng vật lý là độ dài kết hợp (correlation

length) L Độ dài L được định nghĩa là kích thước đặc trưng của đám các nút đã

được thấm ướt V ớ i X < x Cĩ số các nút được thấm ướt là hữu hạn Tại X = x c (s), số

các nút được thấm ướt trờ nén ỉớn vô hạn và tiến đến vỏ cùng Trong miền X gần đến

x c về phía dưới hàm L(x) có dạng:

trong đó, Wà một trong số các chí số cơ bản cua lý thuyết thấm và đóng vai trò quan

trọng trong lý thuyết độ dẫn điện của các hệ khống trật tự Giá trị của 1 / p h ụ thuộc

chí vào số chiều: V- 4/3 (d = 2) và 1 / a 0.89 (d = 3)

Bài toán nút ngầu nhiên đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết dẫn nháy Bài

toán được phát biểu như sau: Già sử có các nút phân bố ngẫu nhiên trong không gian

với mật độ /V, rjỊj là một hàm nào đó của vectơ Kị. nối các nút / và ỳ V ớ i một số ỉ] đã

cho ta qui ước gọi 2 nút /, ì là liên kết với nhau nếu:

>7,<n (1.34)

Hai nút liên kết với nhau hoặc trực tiếp, hoặc bắc cầu qua các nút liên kết

khác thì được gọi là thuộc cùng một đám (cluster) K h i đó, nội dung của bài toán là

tìm ngưỡng thám 7C, tức là giới hạn dưới của ĩ] mà ớ đó tồn tại một đám vô hạn

Đem giản nhất trong bài toán nút ngẫu nhiên là bài toán với điều kiện liên kết:

/-,</- (1.35) nshĩa là: rjiị chính là khoảng cách giữa các nút ì và ỳ Bài toán này thường gọi là }'-

thấm (r - percolation) và ngưỡng ì\ tương ứng gọi là bán kính thấm

Bán kính thấm r c phụ thuộc vào mật độ nút yV, và về thứ nguyên, nó tí l ệ với

N' Ud (ã là số chiều: ả = 2, 3) N h i ề u khi thay cho r c người ta đưa vào xét đại lượng:

4

B,. =ị d = 3

7tNr-\

nghĩa là: số trung bình các liên kết tính trên một nút, và bài toán tìm B c (hay r c )

thường gọi tương ứng là bài toán hình cầu (cho ả = 3) hay hình tròn (cho ả = 2) Các

bài toán này thường gặp trong lý thuyết dẫn nhảy (khi tìm sự phụ thuộc của năng

lượng kích hoạt vào mật độ tạp) Ngoài đại lượng B c (hav rc) , tương tự như trong bài

toán mạng, một đặc trưng quan trọng của bài toán nút ngẫu nhiên là kích thước đặc

trưng của các đám tới hạn được định nghĩa là:

trong đó: V là một chỉ số đạc trưng

Nói chung, các đại lượng B c (hay rc) , v c h ỉ có thế tìm gần đúng (chẳng hạn

bằng phương pháp chuỗi [22]) hoặc tính số bằng phương pháp mỏ phòng trên máy

tính điện tử (MTĐT) Quan trọng là, các đại lượng B c và V có tính tổng quát: giá trị

của chúng không phụ thuộc vào bản chất và cấu trúc của hệ mà chi phụ thuộc vào

số chiều V ớ i (1-2, các tính toán chính xác cho V = 4/3 và Br « 4.5 V ớ i ả = 3 thì

V sa 0.88 và B c sa 2.7 K h i đó, từ hệ thức (ỉ.36) tươnơ ứng có:

rc( £ / = 3 ) * 0 8 7 Wr / 3 và r c {d = 2) * ì.2N~ m

1.4.3 Đ ộ dẫn điện của mòi trường rất không đồng nhát

Trong tiết 1.3 đã giói thiệu rằng việc tính độ dẫn nhảy dẫn đến bài toán về tính độ dẩn điện của một mạng trở ngẫu nhiên (random resistors network) Miller-Abrahams với phố trở rất rộng G i ả sử có một lưới lập phương, các nút cạnh nhau được nối bời những điện trở ngẫu nhiên Viết các điện trỏ này dưới dạng:

Trong đó: Rị) là đại lượng không đ ổ i , còn biến ngẫu nhiên ĩ]' phân bố đều trong khoảng - rj 0 < rf< ĩ] ữ với 7o » ỉ Cần tìm độ dẫn điện của lưới, và xác định sự phụ

thuộc của nó vào ĨỊ {) H ệ với 7o lớn như vậy được gọi là các hệ rất không đổng nhất

với tính chất quan trọng nhất là phổ rất rộng các giá trị địa phương của độ dẫn (Các

hệ có ĩ]' thăng giáng mạnh là những đối tượng phù hợp rất tốt với điều kiện áp dụng

lý thuyết thấm) L ờ i giải bài toán trên theo phương pháp lý thuyết thấm [105] được

thực hiện như sau: cho một số rị nào đó trong khoáng - rj {) < ĩ] < ĨỊ 0 và thay tất cả các

điện trở với Tị' > rị bằng các điện trơ vô cùng lớn (nói đơn giản là gở bỏ chúng) G i ả

sử độ dẫn điện cua lưới trở tương ứng với giá trị ỉ] đã cho là ơịĩ]) Đ ộ dẫn của toàn lưới phụ thuộc vào 7(>, là ơị ĩ] {) ) Việc cho rị xác định xác suất của điện trở được chọn

Từ (1.39) và (1.40) thu được:

+ 7)/2ifc (1.41)

V ớ i các giá trị của rị gần với - 7] Q, đại lượng „*( 7) nhỏ và các điện trở chưa bị

gỡ tạo nên những cụm cô lập (isolated clusters) K h i đó ơịĩ]) = 0 Tăng dần 77, khi rị

đạt giá trị ngưỡng TỊ C , khi đó A'(7) bằng ngưỡng thấm x c (b) cho bài toán liên kết, thì

cụm vô hạn được tạo ra từ các điện trớ chưa bị gỡ Theo (1.41), giá trị tới hạn TỊ C xác

định bởi điều kiện:

K h i tâng tiếp rị từ TỊ C đến ĩ] c + Ì, do sự tạo thành cụm vỏ hạn nên độ dẫn điện

ơịrị) trở nên khác không và tảng rất nhanh (hình 1.7) Đó là do ở trong miền các giá

trị rị này thì độ dài kết hợp giảm nhanh:

với /() là chu kỳ của lưới lập phương, do đó số các mạch dẫn mắc song song trong

lưới của cụm vô hạn tăng lên rất nhanh Trong khi đó, nếu ĩ] thav đối một lượng nhò

hơn Ì thì sự thay đổi giá trị lớn nhất của các điện trở riêng tham gia vào cụm có thể

bỏ qua Do vậy khi rị - TỊ C « Ì đại lượng ơi ĩ]) tăng theo hàm mũ:

Ơ { Ĩ Ị ) GC (rj - rj c Ý, với b > 0

Cụm vò hạn xuất hiện khi hiệu Ĩ J - Ĩ J C cỡ đơn vị, được gọi là mạng con tới

hạn Điện trở cua mạng con tới hạn được xác định bới nhữna điện trở lớn nhất của

nó (vì theo định nghĩa, các điện trở nàv không thế mắc phân nhánh với các điện trớ

nhỏ hơn khác, nếu khác đi thi thấm đã xảy ra khi rị < rj c ) Vì vậy, đối với độ dẫn

điện của mạng con tới han thì:

ờ đây: số mũ được viết với độ chính xác đến số hang cỡ đơn vị Sự tăng tiếp theo của

rj sẽ không thế làm thay đổi đáng kể ơịì]), mặc dù tiếp tục táng độ dày đặc của lưới

cụm vô hạn Vấn đề là, bảy giờ khi ì] - q c thay đ ố i vài lần, sẽ có các trớ rất lớn, lớn

hơn exp(/7c) được mắc vào Nhũng trở mới này dù có số lượng lớn, mắc phàn nhánh

với mạng con tới hạn, thực tế không làm thay đ ổ i ơ{rỊ) (hình 1.7) Như vậy, xét về

bậc giá trị thì mạng con tới hạn xác định độ dẫn điện của lưới trở ngẫu nhiên:

Công thức (1.45) là cồng thức rất quan trọng của lý thuyết dẫn nhảy Ta đi đến kết luận tổng quát và quan trọng cho tất cả các môi trường rất không đổng nhất

[7, 105]: nếu các phần tử của môi trường được mắc vào theo thứ tự tâng dần của các điện trở thì số mũ của hàm exponent mô tả độ dẫn điện hiệu dụng sẽ được xác định

bởi những phần tử gảy ra thấm đẩu tiên Kết luận này đã trở thành cơ sở của lý

thuyết dẫn nhảy

Đ ố i với lưới lập phương thì x c (b) = 0.25 Từ (1.41) thu được: ĨJ C = -ĩ] Q /2, nên:

Công thức (ỉ.46) chỉ đúng với r/ {) » Ì, vì trong trường hợp này, nhờ sự phân tán

mạnh các điện trở mà từ toàn lưới có thể tách ra mạng con tới han và viết độ dẫn điện dưới dạng (ỉ.44) Điều quan trọng là, khi 7(J rất lớn thì sự phụ thuộc của ơi) vào

7J 0 chỉ là lũy thừa và không thể so sánh với nhân tử chính là hàm e'-md trong (1.46) Trên thực tế, lý thuyết dẫn nhảy hiện đại được xây dựng cơ bản dựa trên phương pháp lý thuyết thấm Trong tiết 1.5 dưới đây chúng tôi sử dung phương pháp này để thiết lập định lượng định luật M o n - định luật về sự phụ thuộc nhiệt độ của điện trớ dẫn nhảy trong miền bước nhảy biến đ ổ i , với giả thiết bỏ qua tương tác Coulomb giữa các electron định xứ

1.5 D Ẫ N N H Ả Y BƯỚC BIÊN Đ ổ i : Đ Ị N H L U Ậ T M O T T

Năm Ỉ968, Mott [63] nhân xét rằng, ở nhiệt đô thấp dẫn nhảy dược xác định chí bởi các trạng thái với năng lượng trong một dải hẹp gần mức Fermi V ớ i giả thiết rằng mật độ trạng thái (Density of States - DOS) tại múc Fermi là không đói và khác không, ông đề xuất hệ thức nổi tiếng về sự phu thuộc của điên trở vào nhiệt độ:

ơ(77o) = ơ ỉ , e x p ( - 70/ 2 ) (1.46)

p(T) = p0e x p ^ 0 T =

1 li ( 1 4 7 )

với: g{ịi) là D O S ở mức Fermi, p d là hệ số không đ ổ i

Sự phụ thuộc (1.47) thường gọi là định luật Mott Định luật Mott cho hệ ba

chiều có thể nhận được một cách định tính như sau: Xét hệ với các trạng thái định

xứ gần mức Fermi (hình 1.8) Do trong (1.30) biểu thức của Rjj có chứa nhàn tử

exp(«sv I k B T) và nhiệt độ rất thấp nên đóng góp chính vào sự dẫn điện sẽ là các điện

trở với những giá trị Sịị rất nhỏ Theo định nghĩa của Sịị (xem 1.29) thì điều đó nghĩa

là Si và Si nằm trong một dải hẹp gần mức Fermi, ngoài ra bề rộng dải này giảm khi

T giảm N ế u D O S ở mức Fermi g(jj) * 0 thì trong toàn dải năng lượng đang quan

tâm (ở nhiệt độ đủ thấp), g(s) có thể coi là không đ ổ i và bằng g(jù) Ngoài ra do độ

rộng của dải nhỏ nên các trạng thái rơi vào vùng đó nói chung nằm rất xa nhau, và

sự phàn bố không gian của chúng là ngẫu nhiên Xét các mức năng lượng nằm trong

dải đ ố i xứng quanh mức Fermi, xác định bới bất đắng thức:

Số trạng thái trong dải:

H ì n h 1.8: Dái các trạng thái có nâng lượng cách mức Fermi mội lượng nhỏ hơn s n

Bển phải vè mật độ trạng thái g(s) , vùng các trạng thái bị chiếm được gạch chéo

Dùng (ỉ.30) đế đánh ơiá điện trờ, liên hệ với sự dẫn nhảy giữa hai nút điển

hình trong dải K h i đó, ĩ'iị được thay bàng khoáng cách điên hình 1 / 3 giữa các

nút, còn £jị được thay bàng £Ị>:

p = Poexp

N u \s ữ )ậ k H T p 0 exp [g(M)e 0 ] Uỉ ệ k.T

(1.50)

Rõ ràng là với 5) lớn thì vai trò chính trong số mũ của hàm e-mũ trong (1.50)

là số hạng thứ hai, dẫn đến /ơ(£<)) giảm khi Sa giảm K h i ỂJ| đủ nhỏ thì hai số hạng sẽ

cùng cỡ và nếu giảm tiếp ỄỊ, thì P(Ể<,) lại tăng Đó là do trong trường hợp nàv các

trạng thái trong dải là rất hiếm và vai trò quyết định là giảm sự phủ của chúng Như

vậy, do cạnh tranh giữa sự phủ và kích hoạt mà p(£ tỊ ) có cục tiếu khi:

£ n =£ 0 {T) =

3/4

(1.51) Với ý nghĩa đ ó nên dải với độ rộng 3,(7) gọi là dải tối ưu Đương nhiên, có thể giả

thiết rằng dẫn điện của cả hệ, xét về bậc, có giá trị xác định bởi dải tối ưu K h i đó,

thay (1.51) vào (1.50) sẽ nhận được định luật Mott (1.47)

Công thức (1.51) cho thấy sự hợp lý của giả thiết ban đầu rằng khi nhiệt độ

đủ thấp, dải trạng thái (gây nên sự dẫn điện) có bề rộng nhỏ Nếu gọi đạo hàm

d(ln p)ld(k H TỴ ] là năng lượng kích hoạt tương ứng nhiệt độ đã cho thì từ định luật

Mott suy ra rằng năng lượng kích hoạt có giá trị cỡ £ {] (T) và giảm đơn điệu với sự

giảm của nhiệt độ, tỷ l ệ với T m Vì vậy, độ dẫn (theo Mott) được gọi là độ dẫn điện

với nâng lượng kích hoạt giảm Tên gọi đó bao gồm không chí định luật (1.47) mà

cho cả những sự phụ thuộc vào nhiệt độ khác, dạng:

P(T) = p ữ e x p [ ( T0 / r ) ' ] , trong đó 0 <p < ì (1.52)

Độ dài điển hình của bước nhảy ĩ , tức là khoáng cách trung bình ỉ'ij giữa các

trạng thái trong dải tối ưu được ước lượng từ (1.49) và (1.51):

r*[g(MK(T)V n *ậ(TJT) 1 / 4 (1.53) Như vậy, khi giảm nhiệt độ, độ dài điển hình của bước nháy tăng tý l ệ với

T' u4 Đ ế phùn biệt với dần nhảy bước nháy trung bình không đổi mà điện trở đã

được m ô tả bới cống thức: p = / ?0e x p ( £3 /k H T), với 63 không đối dẫn nháy được

mô tả bởi định luật (1.47), có bước nhảy /• thay đ ố i theo T clươc gọi là dẫn nhảy bước

biến đ ổ i (Variable Range Hopping - V R H )

Trên đây là những lập luận định tính để suy ra công thức (1.47) Bây giờ,

chúng ta sẽ dẫn ra công thức này một cách chặt chẽ trên cơ sở phương pháp lý

thuyết thấm Bài toán thám được bắt đầu từ điều kiện liên kết là:

do đó, từ điều kiện: Sịj < s m u suy ra: ịSị - t ị ị e Ị - j u \ < £* max

Đưa vào các biến không thứ nguyên sau:

Bây giờ đế tìm ĩ ] c cần giải bài toán thấm sau: Trorm không gian cho trước

có các nút phân bố ngẫu nhiên với tổng nồng độ n(ĩ]) Năng lượng trong mỏi nút là

4 , và tất cả giá trị nũng lượng này phân bố đều trong khoáng |4| < Ì Cần tìm nồng

độ ngưỡng n(rj c ) = n c tại thời điếm lần đáu tiên xuất hiện thấm trong toàn hệ, với

liên kết thấm đã cho bới (1.57) K h i tìm đươc n c , biểu thức (1.60) sẽ cho:

Thay ngưỡng thấm (1.61) vào (1.45) chúng ta có định luật (1.47) với:

A = 4nc (1-62) Nhiều tác giả có những đánh giá khác nhau [7, 42, 63, 83 99] và thu được

nhữns giá trị n c tương đối khác xa nhau, trong khoảng từ 2 đến 7 Bài toán thấm nói

trên đã được giải trên M T Đ T bàng phương pháp Monte Carlo cho n c = 5.7 ± 0.3 , tức

là /?3 = 2 1 2 ± 1 2 [ I U ]

Định luật M o n cho trường hơp hai chiều á = 2 [15] có dạng:

P = Po exp[(f0 / 7 ) "3] , f0 = p/k tì g(M)ệ 2 (1.63) trong đó: là mặt độ trạng thái 2 chiều ờ mức Fermi Trong trường hợp này, hệ

số P nhận giá trị J3 = 1 3 8 ± 0 8 Trường hợp một chiều ã = Ì thì ọ = 1/2 Tuy

nhiên, do tính chất đặc thù của hệ thấm ỉ chiều nên kết quả nàv là không chắc chắn

K h ả năng áp dụng công thức (1.52) với p = 1/2 cho hệ 1D được tháo luận trong

chương 5

Hàng chục công trình thực nghiệm về dẫn nhảy đã được thúc hiện H i l l [36]

và Zabrodskii [126] đã sử dụng những phép gần đúng khác nhau đế phân tích các số

liệu thực nghiệm cho vật liệu vỏ định hình và họ đã kết luận rằng phần lớn các giá

trị thực nghiệm của số mũ ọ là tập trung xung quanh điểm /; = 0.25 phù hợp với định

luật Mott Bên cạnh đó, khi phân tích các số liệu thực nghiệm nhận được ở bán dẫn

pha tạp, Zabrodskii và Zinov'eva [128] thấy rằng, với loại vật liệu này, số mũ ọ

trong công thức (ỉ.52) lại gần với giá trị /; = 0.5 Đâu là nguyên nhân của sự khác

nhau này? Đó chính là do tương tác giữa các electron định xứ điều này sẽ được

phân tích trong chương tiếp theo

Chương 2 ẢNH HƯỞNG CỦA TƯƠNG TÁC ELECTRON - ELECTRON

LÊN MẬT Đ ộ TRẠNG THÁI VÀ s ự PHỤ THUỘC NHIỆT ĐỘ

CỦA ĐỘ DẪN NHẢY BƯỚC BIẾN Đ ổ i

Trong chương Ì đã trình bày ý tường của Mott là ở nhiệt độ thấp, dẫn điện trong các hệ electron định xứ mạnh chủ yếu được xác định bởi các trạng thái electron thuộc lân cặn hẹp của mức Fermi Bò qua tương tác electron - electron, Mott giả thiết rằng DOS đơn hạt trong miền này là không phụ thuộc vào năng lượng:

g(s) = g ữ = const và đã thu được định luật T~ Uid+i) Tuy nhiên, tương tác giữa các

electron định xứ sẽ gây nên ảnh hưởng quan trọng, trước hết là đến dáng điệu của DOS và sự phụ thuộc nhiệt độ của độ dẫn điện V R H Đây là nội dung sẽ được chúng tôi nghiên cứu trong chương 2 này Tiết 2.1 trình bầy những khảo sát định tính và các phương pháp khảo sát định lượng khe Coulomb trong DOS Các hiệu ứng chắn lên thế tương tác Coulomb làm thay đ ổ i dạng hàm DOS được chỉ ra trong tiết 2.2 Sự ảnh hướng của khe Coulomb lên độ dẫn V R H sẽ trình bầy trong tiết 2.3 Vấn đề chuyển của độ dẫn từ dáng điệu Mott đến dáng điệu ES khi nhiệt độ giám được nghiên cứu trong tiết 2.4 M ộ t chuyển tương tự trong vật liệu vô định hình nhưng khi nhiệt độ tâng, được đề cập trong tiết cuối 2.5 của chương

2 Ì MẬT Đ Ộ TRẠNG THÁI ĐỊNH x ứ LÀN CẬN MỨC F E R M I

2.1.1 Khảo sát định tính:

Efros và Shklovskii (ES) [25] chỉ ra rằng, do tương tác Coulomb xa giữa các electron định xứ [82], khi r = 0, ở lân cận mức Fermi mặt độ trạng thái không phải

là hữu hạn và không đ ổ i như Mott đã giả định mà có một khe, trong đó DOS giảm

dần và bằng không tại E = ụ Khe này đươc gọi là khe Coulomb Dưới đây, chúng

tôi sẽ trình bày lập luận định tính của Efros và Shklovskii [105]

Khi nồng độ tạp chất nhỏ các hiệu ứng lượng tứ liên quan tới sự phủ của những trạng thái cạnh nhau có thể coi là yếu, còn bản thân các trạng thái là định xứ

mạnh Các electron có thể dịch chuyển từ một donor sang một donor khác, do đó hệ

nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động Ó nhiệt độ không (T = 0), sự phân bố các

electron theo các donor được xác định bởi điều kiện cực tiểu của năng lượng tĩnh điện toàn phần:

ở đây: nk là số choán đẩy các donor, nk - 0 nếu donor k bị ion hoa, nk = Ì nếu donor

k là trung hoa Tổng lấy theo tất cả các toa độ của các donor và acceptor tương ứng

với các chỉ dẫn trên dấu lấy tổng ì Tập hợp các số choán đầy { } phải tìm từ điều

kiện cực tiểu (2.1) khi tổng số electron Znk là xác định

Năng lượng đơn hạt Si của nút ỉ tức là thế năng tạo bời tất cả các nút tích điện

Hình 2.1: Các mức năng lượng trong dải nấng lượng gần mức Fermi

Nghĩa là các trạng thái có năng lượng thấp hơn mức Fermi là bị choán, còn trên mức Fermi thì còn trống Mặt khác, ở trạng thái cơ bản, bất kì sự dịch chuyển electron nào đều làm tăng nâng lượng toàn phần cùa hệ tức là thay đổi năng lượng

đ ứng với dịch chuyển electron ì -> j bất kỳ phải là dương Từ (2.1) có: