Tối ưu hệ động lực phi tuyến và bài toán chuyển tiếp trong lò phản ứng : Luận án PTS. Toán học: 01 01 02

- Chi ra mdi quan he giùa viéc tòn tai cài tua va tinh dièu khién duoc dia phuong ddi vói càc ràng buóc cùa he dóng lue phi tuyén co càu trùc dièu khién.. Y tuòng cùa phuong phàp tua ddi

'

v:-m ^*v^

TRUÒNG DAI HOC TONO H O P H À NÓI

! f - ? i ' ^ v , r

Nguòi huóng dàn : PTS toàn 1;^, GiàosuVU TUAN

Ha npi, 1991

MVCLVC

Trang

MÒ dàu 3

Chuong I - Tóì Uu h$ dOng lire 11

LI Dièu khién duce 11

1.2 Dièu kién tdi uu 16

L3 Dieu kién ndi tdi uu 21

Chuong II - Nguyén 15^ tòi Uu tua 24

II.L He khóng co ràng buóc pha 24

11.2 He co ràng buòc pha 33

11.3 Bài toàn tàc dóng nhanh 38

ChUdng III - Phuong phàp tua 42

IILl Bài toàn tua 42

III.2 Cài tua Clic tri 48

Chuong IV - Tòi Uu qua trình chuyen tiép trong lo phàn ùng 53

IV.l Bài toàn tdi uu 53

IV.2 Bài toàn cuc tiéu thòi gian chuyén tiép 55

IV.3 Vi du sd giài bài toàn tàc dóng nhanh 58

Tài liéu tham kbào 64

MODAU

Trong ky thuàt, nguòi ta thuòng ed gang dieu khién càc qua trình v|t ly theo mong mudn

cùa mình, tue là de co dupc qua trình tdi uu theo mot nghia nào dò Vi du, làm sao de dat duce

muc tiéu sau thòi gian ngàn nhàt, it tdn nàng luong nhàt

Vói su ra dòi cùa nguyén ly tdi uu Pontriagin (1956), ly thuyét dièu khién tdi uu phàt trién

nhanh va trò thành mot ngành toàn hoc dpc I^p Càc phuong phàp tdi uu dua trén co so nguyén

ly Pontriagin dà giài quyét duoc nhièu bài toàn thuc té : chuyén dóng trong vu tru, dieu khién

lo phàn ùng hat nhàn Tuy nhién, nguyén ly Pontriagin chi giùp kiém nghiém tinh tdi uu cùa

mot dièu khién cho truóc, ma khóng chi ra duoc thuàt toàn xày dung dièu khién tdi uu

R Gabasov va F.M Kirillova dà dua ra khài niém cài tua, chùng minh nguyén ly tdi uu

tua (dang kién thiét cùa nguyén ly Pontriagin) cho he dóng lue Nhò dò, càc tàc già dà xày dung

duoc thujt toàn giài càc bài toàn tdi uu tuyén tinh, mot sd bài toàn phi tuyén dang dàc biét

Càc khài niém co bàn (cài tua, nguyén ly tua, ) dà duòc xày dung cho he phi tuyén dang

i = AoX + a^,fl(x) + bu, (1) trong dò A^j là ma tran hàng, a^, b là càc véc to hàng, phàn phi tuyén f j (x) duOc già thiét là hàm

vó huòng [56]

Trong luan àn này, chùng tòi sé phàt trién phuong phàp Gabasov - Kirillova cho he dóng

lue phi tuyén dang

i = fl(x) + f2(x)u • (2)

Ngoài muc dich thuàn tùy toàn hoc là mò róng lóp càc bài toàn giài duce bang phuong

phàp Gabasov - Kirillova, chùng tòi con co nhièm vu ùng dung là giài quyét bài toàn tdi uu qua

trình chuyén tiép trong lo phàn ùng hat nhàn Càc nghién cùu trình bay trong luàn àn duoe

phàt trién tu de tài nghién cùu khoa hoc 50.01.09.01, trong chuong trình càp nhà nuòc "Su dung

nàng luòng nguyén tu trong càc linh vuc cùa nèn kinh té qudc dàn"

Khi thay ddi cóng suàt lo phàn ùng (tàt lo), su càn bang giùa mat dò 1-135 va Xe-135 bi

phà vò M|t dò Xe-135 tàng lén, dat già tri cuc dai sau - 5 -10 giò Sau dò, nò bàt dàu giàm,

trò lai già tri ban dàu sau 24 - 36 giò Dò phàn ùng àm do Xe-135 sinh ra vuot qua dò phàn

ùng du du trù cùa lo phàn ùng: lo phàn ùng bi nhiém dóc va khóng the tàng cóng suàt lo trong

khoàng 1 -1,5 ngày Vi vày, càn co giai doan chuyén tiép de ha cóng suàt lo ve 0 Giai doan

chuyén tiép càn thòa man dièu kién: sau giai doan chuyén tiép, co thè tàng cóng suàt lo tu bàt

cu thòi diém nào, va càc dféu kién tdi uu: cuc tiéu thòi gian chuyén tiép, cuc tiéu nàng luòng

tòa ra

Mó hình toàn hoc cho qua trình chuyén tiép theo màu lo diém co thè xem nhu truòng hop riéng cùa (2) Càc nhà toàn hoc dà quan tàm giài quyét bài toàn này: D Tabak, B.C Kuo dà

su dung phuong phàp qui hoach dóng R.P Fedorenko su dung phuong phàp xàp xi lién tiép Lòi giài cùa càc phuong phàp này dèu co nhuòc diém là khó thuc hién bang càc giài phàp kl thuàt Càc nhà vat ly va ki thuàt co thè chàp nhàn lòi giài cùa A.P Rudik (su dung nguyén li tdi uu Pontriagin) Tuy nhién, nhu dà nói ò trén, nguyén li Pontriagin khóng cho ta thuàt toàn

"kin" giài bài toàn dièu khién tdi uu, do co mot sd dai luOng khóng duoc xàc dinh Trong luan

àn này, chùng tói su dung y tuòng cùa Gabasov va Kirillova cho bài toàn nói trén

Càc két qua khoa hoc mói cùa luàn àn là :

- Dièu kién càn tdi uu tai càc diém cuc tri Pontriagin kì di

- Xày dung cài tua va chùng minh nguyén ly tdi uu tua cho bài toàn tdi uu he dóng lue phi tuyén co càu truc dièu khién

- Chi ra mdi quan he giùa viéc tòn tai cài tua va tinh dièu khién duoc dia phuong ddi vói càc ràng buóc cùa he dóng lue phi tuyén co càu trùc dièu khién

- Giài bài toàn cuc tiéu thòi gian chuyén tiép trong lo phàn ùng Chùng minh bang vi du

sd y nghìa thuc tién cùa thuàt toàn tua

Càc két qua trình bay trong luàn àn dà duoc bào cào tai Hói nghi khoa hoc ky thuàt "Su dung nàng luOng nguyén tu trong càc linh vuc cùa nèn kinh té qudc dàn" (Ha nói 28/2 - 1/3, 1983), Hói nghi nghiém thu de tài càp nhà nuòc (Ha nói, 12/1985), xemina khoa hoc cùa bó món Càc phuong phàp dièu khién tdi uu truòng Dai hoc tong hop Belorutxi (Minsk, 5/1989), Hói nghi Toàn hoc toàn qudc làn thù 4 (Ha nói, 4 - 7/9,1990) va xemina khoa hoc chuyén ngành Phuong trình vi phàn (Lién càc truòng dai hoc, Ha nói)

Càc két qua cùa luàn àn dà duOc cóng btì trong 3 bài bào, trong Tom tàt bào cào cùa 3 Hói nghi khoa hoc, 1 cóng trình khoa hoc càp nhà nuòc

TÓNG QUAN TÀI LIÉU CO LIÉN QUAN

Ly thuyét dièu khién duoc phàt trién nhu mot linh vuc dóc làp cùa ly thuyét dièu khién càc

he dóng lue tu sau bào cào quan trong cùa R Kalman [68]

Theo Kalman, he dóng lue

X = Ax + Bu,x(t*) = XQ ^ (3)

(A là ma tran n x n chièu, B là ma tran n x r chièu), duOc gpi là dièu khién duòc hoàn toàn, néu

vói moi trang thài x^ tòn tai thòi diém t* va dièu khién lién tue tùng doan u(t), t e [t* t* ], sao

cho qui dao cùa he (3) thòa man x(t ) = 0 De cho he (3) dièu kiùén duoc hoàn toàn, dièu kién

càn va dù là rank { B, AB, ,A"-^ B } = n [36, 68]

Tinh dièu khién duoc cùa he tuyén tinh khóng dùng

i = A(t)x + B(t)u,x(t,)=x^ (4) duoc nghién cùu trong [74, 76]

N.N Krasovski dà chùng minh ràng he (4) dièu khién duOc hoàn toàn néu tòn tai t > t*

sao cho rank {Q^( t ), Qi( t ), Q^.j ( t )} = n , Q J i ) = B(t) Q^ (t) = A(t)Qj^.j (t) - Q;^ i(t),

k = 1,2,.„, n-L

Ddi vói he phi tuyén

i = f(x,u,t),x(t,) = x^.f(0,0,t) = 0 (5)

càc cóng trình dàu tién [70, 74 75] dua ra khài niém dièu khién duoc nhò (tue là ehi ddi vói

càc trang thài ban dàu x^ nàm trong làn càn dù nhò cùa gdc tpa dò)

R Gabasov, M.F Kirillova va càc dòng su dà chùng minh duoc mdi quan he giùa su tòn

tai cài tua va tinh dièu khién duóc tuong ddi ddi vói càc ràng buóc cùa he dóng lue [56]

Khài niém cài tua duoc R Gabasov va M.F Kirillova dua ra làn dàu cho bài toàn qui

hoach tuyén tinh Khài niém phuong àn (ddi phuong àn) tua duoc xem nhu mò róng tu nhién

cùa khài niém phuong àn (ddi phuong àn) co so cùa phuong phàp don hình [51 - 53] Phuong

phàp don hình (cung nhu phuong phàp ddi ngàu cùa nò) khóng su dung nhùng thóng tin phu

ve càc phuong àn (hoàc ddi phuong àn), ma nguòi ta co thè biét truóc do y nghia vat ly, ky thuàt

cùa bài toàn thuc té Phuong phàp tua cho phép tàn dung nhùng thóng tin co san, Dièu này

dàc biét hùu ich ddi vói nhùng bài toàn co lón, giàm duoc nhièu buòc tinh toàn

Bài toàn tdi uu he dóng lue tuyén tinh ànóc nghién cùu trong [54] Nguòi ta co thè xem

chùng nhu truòng hdp riéng cùa bài toàn qui ìoach va co thè su dung phuong phàp don hình

(hoàc càc dang ddi ngàu) Nhung viéc dò thuòng kém hiéu qua do de gap phài su xoay vòng (suy bién) trong tinh toàn Tàc già dà thù nghiém mot càch xù ly trong qua trình the hién thuat toàn trén mày tinh [78] Ky thuat dò là tdt ddi vói càc bài toàn qui hoach khóng co nguòn gdc dièu khién tdi uu Con néu là dang xàp xi cùa bài toàn dièu khién tdi uu thì dò chinh xàc co thè

bi giàm hoàc thòi gian tinh tàng lén rat nhièu Phuong phàp tua cho phép giài quyét nhùng dàc trung cùa bài toàn dièu khién tdi uu

Càc he mó phòng trén luói duoc nghién cuu ò [55]

Phuong phàp giài bài toàn tdi uu càc he toàn phuong duoc trình bay ò [57]

Mot sd mò róng phi tuyén dà duOc nghién cùu ò [56]

Co so cho phuong phàp tua là nguyén ly tdi uu tua (hoàc e - tdi uu) Khi àp dung nguyén

ly Pontriagin [82], nguòi ta gap khó khan trong viéc xàc dinh mot sd dai luOng (nhu dièu kién bién va càc buóc nhày cùa hàm hén hOp ) Nguyén ly tdi uu tua cho phép xày dung duoc càc dai luong này, nhò già thiét tòn tai cài tua Y tuòng cùa phuong phàp tua ddi vói càc bài toàn dièu khién tdi uu là : tich lùy dàn càc doan dièu khién tdi uu (thòa man nguyén ly tói uu tua

hoàc e • tói uu t Càc doan dièu khién dà tdi uu ò buòc làp truóc duOc luu giù lai cho buóc lap

sau, trành càc thay ddi "hón loan" trong qua trình the hién thuat toàn trén mày tinh

Mot phàt trién tu nhién cùa phuong phàp tua là su dung càc dièu kién tdi uu bac cao Co thè xem dièu kién Keìley [25, 69] nhu két qua dàu tién ve dièu kién càn tdi u j bac cao Càc két qua cùa R.E Kopp va H.G Moyer [73] là buòc phàt trién tiép theo cùa y tuòng H.J Keìley,

su dung bién phàn dièu khién dang:

óu(t) = J

V , t e [0 e + e)

-V, te [e + e.e -\- le)

0 , t^ [e,o + 2e)

H.J Kelley cùng dua ra phuong phàp bién ddi [26] de nghién cùu càc bài toàn loai này

R Gabasov, F.M Kirillova va V.A Srochko dà tìm duoc càc dièu kién tdi uu bac cao nhò

ma tran xung [46, 47, 84] va bó bién phàn [58]

V.I Gurman dà su dung phuong phàp V.F.Krotov de giài mot sd bài toàn thuc té [62-66] D.H Jacobson dà co nhùng két qua ve dièu kién tdi uu bac cao nhò su dung phuong phàp qui hoach vi phàn dóng [36 - 42]

Co thè xem cài tua cuc tri [56] nhu y tuòng dàu tién ve su phàt trién phuong phàp tua theo huóng su dung dièu kién tdi uu bac cao

Trong thuc té, dièu khién tdi uu gòm càc doan cuc tri kì di va khóng kì di [49] Vi vày,

nguòi ta cùng nghién cùu dièu kién ndi tdi uu càc doan dò Càc két qua dàu tién là cùa

H.J.Kelley, R.E Kopp, H.G Moyer [27] Tàc già cùa luan àn dà tìm duoc mot sd dièu kién ndi tdi uu cho bài toàn minimax va cho he co tré [77, 79] Nói chung, trong càc bài toàn co ràng buóc pha : càc doan dièu khién làm cho ràng buóc pha co dang dang thùc là càc doan dièu khién kì di Vi vày, buóc hoàn thién nghiém cùa phuong phàp tua duoc xem nhu bài toàn ndi tdi uu càc doan cuc tri kì di va khóng kì di

Mó hình toàn hoc duoc nghién cùu chù yéu trong luan àn này là he dóng lue phi tuyén co càu trùc dièu khién Càc nhà toàn hoc dà quan tàm dén mò hình này tu giai doan phàt trién dàu tién cùa ly thuyét dièu khién tdi uu [1-4,7,11-14,41j Va ngày nay, nò vàn con là ddi tuong cùa nhièu nhà nghién cùu [6, 8 -10, 28, 39]

Phàt trién phuong phàp tua cho he (2) vói càc ràng buòc dang:

day dù cho bài toàn nhiém dóc xenon co the tìm thày trong [45, 60, 83] Dà co nhùng co gang

trong viéc giài bài toàn dièu khién tdi uu theo phuong phàp qui hoach dóng Bellman [38] theo nguyén ly Pontriagin [61], phuong phàp tuyén tinh hòa lién tiép [86] va càc phuong phàp xàp

xi khàc, nhung nguòi ta vàn chua tìm ra duoc thuàt toàn co hiéu qua, tìm duoc dièu khién tdi

uu vói dò chinh xàc mong mudn va de thuc hién trong ky thuàt

TOM TAT NÓI DUNG LUÀN ÀN

Luàn àn gòm Mò dàu, 4 chuong va Tài liéu tham khào

Xét he dóng lue duOc mó tà bòi he phuong trình vi phàn phi tuyén (2) (hoac (5))

Véc to n chièu x = (xj , , Xj^ ) duoc goi là véc to trang thài Càc thành phàn cùa nò dàc trung cho càu trùc ben trong cùa he dóng lue tai thòi diém t va duoc goi là càc bién pha Véc

to r chièu u = (uj, , u^ ) duoc gpi là véc to dièu khién Càc bién Uj, u^ là càc già tri cùa tàc dóng co muc dich tu ben ngoài tai thòi diém t Càc tàc dóng dò thuòng bi han che bòi phuong tién va dièu kién thuc hién Trong luàn àn chùng ta sé già thiét r = 1 Tuy nhién, de thày là nhièu két qua co thè mò róng cho truòng hOp r > 1

Duói tàc dóng cùa dièu khién u = (u(t), t > t* ), trang thài cùa he sé thay ddi theo qui luàt hùu han x(t) = x(t, x^ u ), t > t*

Ta co qui luàt dò bang càch thay u = u(t) t > t* , vào (2) (hoàc (5)) va giài bài toàn Cosi Bài toàn này giài duoc vói lóp rat róng càc hàm u(t), t > t*, va f|(.), f2(.) (hoàc f(.)) Càc già thiét trong lu&n àn dàm bào cho bài toàn Cosi co nghiém duy nhàt Khi dò co thè xét hàm muc tiéu

J(u) = y>(x(t*)), t* > t^

Càc nghién cùu dinh tinh co quan he truc tiép dén li thuyét kién thiét bao gòm: tinh dièu khién duoc va dièu kién tdi uu Nhò tinh dièu khién duOc cùa he ddi vói càc ràng buóc (phàt trién tu tinh dièu khién duoc theo huóng), ta co thè xày dung càc dièu khién chàp nhàn duOc làm tdt hon hàm muc tiéu Gabasov va Kirillova su dung cài tua de thiét làp dièu khién chàp nhàn duoc Cài tua co vai trò gàn nhu co so trong phuong phàp don hình

Cùng nhu càc phuong phàp tdi uu duoc xày dung trén co so nguyén ly Pontriagin, phuong phàp tua thuc chat là phuong phàp xàc dinh dièu khién thòa man nguyén ly tdi uu dang H(x(t), v(t), u(t), t) = max H(x(t), v(t), v, t)

Ddi vói he (2), nguyén ly tdi uu sé luòn duOc thòa man néu f^ix) = 0

Ta gpi dang thùc trén là dièu kién tdi uu dang dàng thùc

Trong thuc té tinh toàn càc dièu kién tdi uu dang dang thùc co vai trò quan trpng trong viéc duy tri càc doan dièu khién tdi uu Vi vày, cài tua duoc xày dung con de duy tri càc dièu kién tdi uu dang dàng thùc Dièu kién tdi uu bac cao duoc su dung trong viéc xày dung he phuong trình hoàn thién nghiém (giai doan két thùc cùa thuàt toàn tua)

Duói su huóng dàn truc tiép cùa giào su R Gabasov, trong thòi gian thuc tàp tai truòng Dai hoc Tdng hpp Belorutxi, tàc già dà thu duoc càc két qua trong viéc xày dung cài tua cho

he phi tuyén trén co so tinh dièu khién duoc dia phuong, chùng minh nguyén ly tdi uu bang phuong phàp già sd phiém hàm, viéc xày dung bài toàn tua cho bài toàn phi tuyén, su dung [56] nhu tài liéu tham khào chinh

Chuong I trình bay mot sd két qua chù yéu cùa ly thuyét dièu khién duce [48], nguyén ly tdi uu ed dién va càc dièu kién tdi uu bac cao [49, 77, 79]

Chuong li nghién cùu vàn de co so cùa ly thuyét kién thiét càc he dóng lue: cài tua nguvén

ly tdi uu tua, e - tdi uu Chùng ta sé trình bay két qua cho he co càu trùc dièu khién co ràng

buóc diém cudi, khóng co ràng buòc pha va mò róng cho he co ràng buóc pha

Chuong III trình bay phuong phàp tua giài bài toàn phi tuyén, vó han chièu Bài toàn ban dàu duoc xàp xi bòi càc bài toàn tua Thuat toàn cho tùng bài toàn tua va cho bài toàn ban dàu duoc két thùc bòi buóc hoàn thién nghiém Ò buóc này chùng ta su dung phuong phàp Niuton,

ma vói nhùng dièu kién thich hop, dà duOc chùng minh là hói tu vói dò hói tu nhanh nhàt trong

sd cac phuong phàp giài bài toàn phi tuyén

Chuong IV giài bài toàn tdi uu qua trình chuyén tiép xenon trong lo phàn ùng hat nhàn

Ta sé su dung màu lo diém cho bài toàn dùng lo tdi uu, co 2 vi du sd giài bài toàn cuc tiéu thòi gian chuyén tiép

Nói dung chù yéu cùa luan àn duoc trình bay trong càc cóng trình [30- 34, 77-80]

hàm m chièu; néu f(x) là hàm vó huóng, thì = grad f(x),

o(.) là vó cùng bé bac cao hOn 1

u(t), t e T, là hàm dièu khién xàc dinh trong T

LOI CAM ON

Tàc già xin càm on giào su Rafail Gabasov dà giùp dò hoàn thành phàn dàu cùa bàn luàn

àn Tàc già vó cùng càm on giào su huóng dàn chinh Vù Tuàn ve su chù y thuòng xuyén cùa giào su de co thè hoàn thành toàn bó bàn luàn àn

Tàc già xin chàn thành càm on Tién si Pham Thè Long, Tién si Nguyén Khoa Son, PTS Nguyén Dinh Quyét dà co nhùng y kién dóng góp qui bau ve càch trình bay bàn luàn àn này Tàc già xin duoc càm on Tién si Huynh Mùi, Tién si Tran Vàn Nhung, PTS Dàng Dinh Chàu, ban bè, dòng nghiép va nguòi thàn dà dóng vién, khich le de tàc già vùng tin vào cóng viéc nghién cùu cùa mình

CHUONG I - TÒI UU HE DÒNG LUC

Trong chuong này, chùng ta sé trình bay mot so vàn de cùa ly thuyét dièu khién duóc va

dièu kién tói uu, co lién quan truc tiép dén phuong phàp tua Càc két qua, chi dàn day dù ve

phuong phàp nghién cùu, tài héu tham khào duoc giói thiéu trong [48, 49]

$LDìéu khién duoc

1 Dféu khién dtf0c ve khóng Xét he dòng lue duoc mó tà bòi he phuong trình vi phàn

i = f(x,u,t), x(t*) = x^ (1)

vói X = (xj, , x^) - véc to trang thài, u = (Uj, , Uj.) - véc to dièu khién, t - thòi gian va dièu

kién f(0, 0, t) = 0 u(.) duoc già thiét là hàm lién tue tùng doan, f(x u, t) lién tue dòng thòi vói

càc dao hàm riéng cùa nò

Bài toàn dat ra là tìm dièu khién u(t), t eT=[t*, t*], sao cho qui dao tuong ùng cùa he (1)

thòa man dièu kién x(t ) = 0

Djnh nghia LI Trang thài x^ cùa he (1) duOc gpi là TL - dféu khién duoc, néu tòn tai hàm

lién tue tùng doan u(t), ||u(t) ||< L t eT, sao cho qui dao tuong ùng cùa he (1) thòa man dièu

kiénx(t*) = 0

He dóng lue duoc gpi ìà TL - dièu khién duOc néu tòn tai so a = a(T, L) sao cho mpi trang

thài X e{ X : x < a } là TL - dièu khién duOc

Trang thài x^ duOc gpi là dièu khién dupc, néu tòn tai T, L de nò TL - dièu khién duoc

Tuong tu, ta co dinh nghìa he dóng lue dièu khién duoc

He duoc gpi là dièu khién duoc hoàn toàn, néu nò TL - dièu khién duoc vói mpi T, L

(L>0)

Nhàn xét LI Dièu kién f(0, 0, t) = 0 là de dàm bào cho qui dao cùa he (1) dà dat diém

x(t*)=0, sé duoc giù lai tai diém dò vói u(t) = 0, t > t* Néu co thè xày ra khà nàng x(t) ^^0, vói

t >t*, ta nói ràng trang thài x^ (hoàc he dóng lue) dièu khién duoc tuong dói

Xét hàm <p(x) = { ^^(x), , ^i(x) }, ^(0) = 0

Già su co thè phàn tich

<p(x) = Vx + o(x) (2)

Néu W(t) là ma tr$n hàm n x n chièu, thì

t* t*

Ngupc lai, néu co dàng thùc này, thì ^(t*)x(t*) = 0 Thay x(t) bòi ve phài cùa (1) va

il/(t) = - ^p(t)A(t), ta dupc

t y<Xo)= / W(t)B(t)u(t)dt + ^

W(.) là nghiém cùa phuong trình ^ = - ^A, W(t*) = - E, E là ma tran don vi cap n

Lay tich phàn (6), ta dupc

^o

n-l , , ^ (t-t,)k 2(-l)*=+iQi^.(t.)/ u(t)dt + k=0 , k

*

(-l)"/W(t)Q„(t) J u(T)drdt

Qo(t) = B(t), Q^+i(t) = A(t)Q^.(t) - Qk(t) k= 0, , n-1

Do dò, ta co dinh ly sau [48] :

Djnh \S I.l Già su A(t) e C""^ , B(t) e C"-^, he dóng lue (5) hoàn toàn dièu khién dupc,

néu rank { Qo(t*), , Qn.i(t*) } = n

Tuyén tinh hòa he (1) theo bién x vói x = 0 ;

X = A(t)x + b(u, t) + h(x, u, t), b(u,t) = f(0, u, t),

of(0,u,t) af(0,0,t)

Già su bj(t), , bj.(t) là co so cùa khóng gian con nhò nhàt chùa tàp hpp

Q(t) = conv { b(u, t) : ||u ||< L } Ta co dinh ly sau [48] :

thì he (1) dièu khién dupc hoàn toàn

2 Diéu khién dtfpc theo huóng

Xét he dóng lue dupc mó tà bòi he phuong trình

i - f(x.u), x(t,) = 0 t € T = [t, t*] f(0,0) = 0 (7)

t* - co dinh

D|nh nghia 1.2 Góc tpa dò dupc gpi là TL - dièu khién dupc theo huóng p, || p || = 1,

néu tòn tai so a^ = ^^{1*, L, p) > 0, sao cho vói mói a a < a^, tòn tai dièu khién chàp nhàn

dupc u(t), ||u(t) Il < L de co p'x(t*) = a

He dóng lue dupc gpi là TL - dièu khién dupc (tai góc tpa dò), néu góc tpa do dièu khién

duoc theo moi huóng inf a^(t*, L, p) > 0

i i p i i = i °

Góc tpa dò dupc gpi là dièu khién dupc theo huòng p, ||p ||= 1, néu nò TL - dièu khién

dupc theo huóng p vói t = t (p) < + oo,

L = U p ) < + ~ ( a „ ( t * , L , p ) > 0 )

He dóng lue (7) dupc gpi là dièu khién dupc (tai góc tpa dò), néu góc tpa dò dièu khién

duòc theo moi huóng ( inf aQ(t*(p), L(p), p) > 0)

IIP I N

Góc tpa dò dupc gpi là dièu khién dupc hoàn toàn theo huòng p, néu nò TL - dièu khién

dupc theo huòng dò vói mpi t* > t*, L > 0 {^^{1% L, p) > 0 , t* > 0, L > 0)

He dòng lue dupc gpi là dièu khién dupc hoàn toàn (tai góc tpa dò), néu góc tpa dò dièu

khién duòc hoàn toàn theo moi huòng ( inf aQ(t*, L, p) > 0 t > 0, L > 0)

Néu A(t) = v XOt» 4 0 , thì vói mpi a^ (khóng phu thuóc vào p, t*) tbn tai L, dièu khién

chàp nhàn dupc u(t) = ^LsignA(t) sao cho phiém hàm J(u) nhàn tàt cà càc già tri cùa doan

[-a^, a j vói tham só^ thay dói trong doan [-1, 1] Ngupc lai, néu J(u) nhàn càc già tri trong

doan [-a^, a^], thì (9) dupc thòa man

Dao hàm cùa hàm A(t) co dang

A(t) = -V'Xt)Ab, , A(")(t) = (-l)"v'XOA'*b

Mat khàc theo dinh ly Haminton - Kelley, mói ma tran vuóng A thòa man phuong trình

dac trung cùa nò

Tacò

A" + yiA"-i + + y„.iA + 7^E = 0

Suy ra

A(")(t) - yiA("-l)(t) + + y„.i(-l)("-l)A(t) + (-l)V„A(t) = 0

vói dièu kién ban dàu

A(t*) = p^b, À(t*) = -p'Ab, , A(n-l)(t*) = (-l)("-l) p'A("-l)b

Tu dièu kién A(t) ^ 0 ta nhàn dupc két qua sau [48] :

Djnh 15^ 13 Góc tpa dò cùa he dóng lue (8) dièu khién dupc (hoàn toàn dièu khién dupc)

theo huòng p khi va chi khi co it nhàt mot trong càc so sau khàc 0

p'b, p'Ab, p'A"-lb

He qua Ịl Dièu kién càn va dù de he (8) dièu khién dupc (dièu khién dupc hoàn toàn)

là rank { b, Ab, , Ấ^b } = n

Bay giò ta xét he (7) trong truòng hpp xàp xi tuyén tinh cùa nò là (8),

dX ' du

Chpn dièu khién u = u(t) dang u(t) = //v(t), | v | < L vói tham so M ^^ nhò Khi dò,

nghiém x(t) cùa he (7) tuong ùng phu thuóc lién tue vào M va x(t) ~ /^ Ta co:

*

t

J ( u ) = /./V''(t)bv(t)dt + o(/.)

t*

De dàng thày tinh dièu khién dupc cùa he (7) (tai góc tpa dò) tuong duong vói tinh dièu

khién dupc cùa xàp xi tuyén tinh cùa nò

Dinh ly 1.4 Néu góc tpa dò cùa he (8) dièu khién dupc hoàn toàn theo huóng p, thì he (7)

dièu khién dupc hoàn toàn theo huóng p

He qua L2 Néu he (8) dièu khién dupc hoàn toàn, thì he (7) cùng dièu khién dupc hoàn

toàn

i 2 Diéu kìf n tòi Uụ

1 Cóng thuc già só phiém hàm Xét bài toàn cuc tiéu phiém hàm

J(u) = Kx(t*)) (10) vói dièu khién chàp nhàn dupc u(.) là hàm hén tue tùng doan, nhàn già tri trong tàp hpp U,

x(.) là nghiém tuong ùng cùa he (1) Cùng vói tinh tron cùa hàm f(.), ta sé già thiét tinh trOn

cùa hàm <p(.)

Dièu khién chàp nhàn dupc vP{.) làm cuc tiéu phiém hàm (10) dupc gpi là dièu khién tói

Uu, qui dao x^(.) tuong ùng dupc gpi là qui dao tói uụ

Néu dféu khién u(.) co già so Au(.) va ù(.) = u(.) + Au(.) là càc dièu khién chàp nhàn dupc,

qui dao tuong ùng vói u(.) là x(.) = x(.) + Ax(.), ta co thè tinh già so phiém hàm

A J(u) = J(u) - J(u) = Kx(t*)) - Kx(t*)) Dat

Ta viét he (1) duói dang

X =^ ^^'- ^' ^' ^^ va gpi v'(.) là qui dao Hén hpp cùa x(.)

Cóng thùc già so phiém hàm (13) dupc gpi là cóng thùc càp mot

vói ^(t) là nghiém cùa phuong trình

^ ^ af(x,u,t) ^f _ ^ af(x,u,t) _ a^H(x,v;u,t)

ÓK ax ax-^

a^^(x(t*))

Tuong tu ta co thè viét cóng thùc già so phiém hàm càp ba

Chon già so dièu khién dang :

Au(t)=r " ^ ^ ' ^ ' t e [ M + 0

V Ó Ì V G U , ^ e [t*, t*), £ là so duong dù nhò

Do tinh hén tue tich phàn va tinh hén tue theo già tri ban dàu cùa nghiém cùa he (1), Ax(t)

< ke , 0 < k < + 00 , t* < t < t*, ta co

2 Cuc tri Pontriagin Néu u(.) là dièu khién tói uu, thì Aj(u) > 0 Tu cóng thùc già so

phiém hàm (14) suy ra duOc nguyén ly tói uu Pontriagin [82]

Djnh nghìa 13 Dièu khién chàp nhàn duòc u(.) duOc goi là cuc tri Pontriagin néu u(.) va

càc qui dao x(.), V'(-) cùa he (1), (11), (12) tuong ùng thòa man dièu kién tói uu

H(x(t),v(t),u(t),t) = max H(x(t),v(t),v,t)

v e U

Doan T* = [T*, T ], t* < T* < T < t , duoc goi là doan kì di cùa cuc tri Pontriagin, néu tòn

tai tàp hpp con a>(t) e U sao cho co dòng nhàt thùc

H(x(t),v(t),v,t) ^ H(x(t),v(t),u(t),t), vói moi u ea;(t), t e [r^, r*]

Cuc tri Pontriagin duce goi là cuc tri kì di, néu T^,, = T

Khài niém này duoc L.L Rozonoer dua ra vào nàm 1959 Nhung lue dàu it duoc quan tàm,

vi nguòi ta cho ràng, it tòn tai càc cuc tri kì di Thè nhung, ly thuyét tói uu càc he dòng lue phàt

trién nhanh, tham nhàp vào càc bài toàn thuc té co lién quan dén dóng lue hoc tén lùa, chuyén

dòng trong vù tru, dièu khién lo phàn ùng Càc bài toàn này duoc mó tà bòi mó hình toàn

hoc dang

i = fl(x) + f2(x)u,x(t,)=x, (15) J(u) = Kx(t'^)) -* min

Nguòi ta dà nhàn ra su co mat rat thuòng xuyén cùa càc doan cuc tri kì di

3 Diéu kién Kelley Xét bài toàn (15) vói hàm dièu khién vó huòng u(.), |u(t) | ^

1, t e T = [t*, t ] Tu nay ve sau, chùng ta sé luòn già thiét càc hàm mó tà bài toàn tói uu là dù

tron, vi du ò day ta sé già thiét f^(.), f2(.) KO ^^^^ tue dòng thòi vói dao hàm dén bac hai cùa

chùng theo x

Già su càc doan dièu khién kì di thòa man bàt dàng thùc |u(t) | < 1 Khi dò su dung bién

phàn Kelley, co the chùng minh duoc dinh ly sau [69] :

Djnh ly I.S Dièu khién kì di tói uu thòa man dièu kién Kelley

_a_ d^ _aH ^ Q

audt^ au '

vói H = V''(fi(x) + ^ 2 ^ ^ ) ' V'(-) l3 qui <^^o lièri hOp cùa he (15) •

Dièu kién |u(t) | < 1 tai càc doan kì di là khà róng rài trong càc bài toàn thuc té Vói dièu

kién dò, ta co thè su dung già so Au(t) = e(5u(t), t G T, va sé co

Ax(t) = £Óx(t) + Oj(£), AV<t) = eòxp(X) + 02(£)

Cóng thùc già so phiém hàm sé co dang

ó ' j = óx\x')^ ^^l^*)k(t*) + ; [ òx' ^ òx-2ò^' ^ óu-óu^ A ^ <3u ]dt

^ ^ cK^ ^ ^ ^ aj?^ a^au ^u^ ^

U

Bién dói bién phàn này theo dièu khién kì di, ta co két qua tóng quàt hon dièu kién Kelley

Djnh ly 1.6 Néu dièu khién tói uu kì di thòa man dièu kién

13 Diéu kién nói tòi Uu

1, Khài niém ve dié'm nò'i Diém ^ G T duOc gpi là diém nói kì di - khóng kì di cùa dièu

khién u(.) néu dièu khién co kì di ò làn càn trai va doan khóng kì di ò làn càn phài cùa e Tuong

tu, ta co dinh nghia diém nói khóng kì di - kì di kì di - kì di Néu doan kì di suy bién thành mot

diém 6, vói oj (e) \ u{0) 9t 0 va ò làn càn hai ben cùa e, dièu khién khóng kì di, thì 0 duOc gp^" là

diém kì di

Diém nói duOc gpi là tói uu, néu nò tao ra dupc dièu khién tói uu

2 Diéu kién nó'i tó'i Uu kì dj - khóng kì dj Già thiét càc dièu kién sau duOc thòa man :

e) tai diém nói :

u(e-O) = u(0),

u{e - 0) = ù(^), , u(P-^)(e - 0) = u(P-^) (e) (17) u<P\e - 0) ^ u(P)(6')

Tu dièu kién b) suy ra ù(e) = u(e) = = u(P'^)(e) = 0

Két hpp vói e) ta co (trén doan kì di) ;

u(t) = u(e) + (i/p!)u(P)(e - 0)(t - ef + o((t - e)P), t<e

Ta chùng minh dupc dinh ly sau [49] :

Dinh ly 1.7 Cho e là diém nói kì di - khóng kì di cùa dfèu khién u(.) va co càc dièu kién

(16), (17) Khi dò, néu p chàn (le), thì dièu kién nói tói uu là q le (tuong ùng, chàn) va ngupc

lai

Tuong tu, ta co thè xàc dinh dièu kién nói tói uu khóng kì di - kì di

3 Diéu ki^n tòi Uu tal diém ki di Xét bài toàn tóng quàt

Bang phuong phàp phàn chùng ta suy ra dièu phài chùng minh

Djnh nghia 1.4 Diém kì di 6 vói tàp hpp a)(0)tuong ùng dupc gpi là diém kì dj bac hai cùa

dièu khién u(.), néu tòn tai tàp con oj-^iO) G oj{e), VJ'^{6)\U{6) ^ 0 sao cho

d aAvH'

f - A H + A,f VPA f +—— A f 1 = 0 V G wAQ)

Djnh ly 1.9 Dièu kién càn tói uu tai diém kì di bac hai e là

Bang phuong phàp phàn chùng ta suy ra dièu phài chùng minh

Tàc già dà thu dupc két qua tuong tu cho bài toàn minimax va bài toàn tàc dóng nhanh

[79]

CHUONG II NGUYÉN LY TÓI UU TUA

Chuong này trình bay càc két qua co so cùa phuong phàp tua : cài tua va nguyén li tói uu

tua Nguyén li tói uu tua thuan tién hon nguyén li tói uu co dién, vi càc dièu kién cho hàm lién

hpp dupc xàc dinh tuòng minh Vói dièu kién tó] uu bac nhàt, ta thuòng chi su dung cài tua

don Dò là tàp hpp hùu han càc thòi diém (bài toàn co ràng buóc diém cuóij va càc khoàng

thòi gian (bài toàn co ràng buóc pha), tai dò co thè thay dói dièu khién ma vàn duy tri càc ràng

buòc va diéu kién tói uu dang dàng thùc Cài tua bàc cao hon thuòng dupc su dung vói càc dièu

kién tói Uu bac cao Khi dò cài tua bao gòm thém bac cùa dao hàm càc hàm xàc dinh bài toàn

Djnh nghia ILI Hàm lién tue tùng doan u = u(t), u* < u(t)< u* t e T , dupc gpi là dièu

khién chàp nhàn dupc, néu nghiém cùa he (2) tuong ùng vói nò thòa man ràng buóc

g(x(t*)) = 0 (3)

Càc véc to hàm n chièu f](.), f2(.) m chièu g(.) va mot chièu y^.) hén tue dòng thòi vói dao

hàm dén bac hai cùa chùng

Khóng mat tinh tóng quàt, co thè già thiét t* = 0, u+ = -1, u* = 1

2 Nguyén ì^ tó'i tìu tua Già su (u,x) là dièu khién va nghiém chàp nhan dupc cùa he (2)-(3)

Xét he hén hpp

^ = - A ' ( t ) v , t e T (4) V.(t*) = G'y-c (5)

^^^ ^ i ( x ( t ) ) rf'?(x(t))

A ( t ) = _J:L1Z^ + ^J^^J u(t),tGT

ax ax

vói F(t), t ^ , là nghiém cùa phuong trình

F(t) = A(t)F(t), teT, F(0) = E - ma tran don vi

Djnh nghia II.2 Càp Sg = { T , J } dupc gpi là cài tua dia phuong cùa càc ràng buóc

theo (u,x) va ma tran

P = ( G ( P ) ( t i ^ ) , p G j j , , k = l , s )

dupc goi là ma tran tua, néu rank P = m

Cap { u, S }, gòm dièu khién chàp nhàn dupc va cài tua tuong ùng, dupc gpi là dièu khién

Duói day, ta chi xét cài tua don va néu khóng càn thiét sé khóng nhàc lai ràng cài tua co

tinh dia phuong (theo (u, x))

Tuong ùng vói mói dièu khién tua, ta co thè xét he lién hpp (4)-(5) vói véc to thè m chièu

y = (P'^) csp (6)

Su dung thuat ngù cùa ly thuyét bién phàn, ta sé gpi dièu khién tói uu u(.) cùa bài toàn (1)

- (3) là chuàn, néu khóng tòn tai so A^ = 0 va véc to m chièu X^ 0, sao cho

V''(t)b(tju(t) =max I „ j < 1 V''(t) b(t)u , t G T ,

vói V'(t), t G T , là nghiém cùa he (4) va v(t*) = A ^c + G /

Dàt H(x,V',u) = V''(fi(x) + f2(^)^)- ^^ ^^ ^^^ ^^"^ ^y ^^^

Djnh Jy ILI Già su { u, S } là dièu khién tua khóng suy bién, x(.),v(.)^ ^^ nghiém tuong

ùng cùa càc he (2) va (4) - (6) Khi dò dièu kién

H(x(t),v'(t),u(t)) = max H(x(t), v'(t),u), t e T (7)

| u | < 1

là càn de u(t) t e T, là dièu khién tói uu

Ta sé chùng minh dinh ly này ò muc 4, sau khi xày dung cóng thùc già so phiém hàm cho

bài toàn co ràng buóc

Djnh \^ II.2 Già su u(.) là dièu khién tói uu chuàn Khi dò tòn tai cài tua S-_ sao cho dièu

sp

kién (7) dupc thòa man vói x(t), V'(t), t G T, là nghiém tuong ùng cùa càc he (2) va (4)- (6)

Dinh ly này dupc chùng minh hoàn toàn tuong tu nhu dinh ly tuong ùng trong [56]

3 Cóng thùc già so' phiem hàm Ò chuong 1 chùng ta dà co cóng thùc già so phiém hàm

cho bài toàn khóng co ràng buóc ò day ta sé xem ràng buòc pha va ràng buóc diém cuòi dupc

dua vào cóng thùc già so phiém hàm nhu thè nào

Xét phuong trình già so qui dao

Ax'= A(t)Ax H- b(t)Au + ;?j , t G T = [0, t*] (g)

va già so phiém hàm

AJ(U) = c'Ax(t*)+772 (9)

Già so dièu khién Au(t), t G T, thuòng dupc chpn sao cho J/J , 1}-^ trong càc cóng thùc (8)

(9)làcàedailupngvócùngbébàccaohon 1 dói vói ||Ax || (Dói vói he tuyén tinh: rj-^ = ?^ =0)

Vi vay, de don giàn càc phép bién dói, ta sé bò chùng di

Dàt Az(t) = d'Ax(t)

Vói càc thòi diém // j , i = T7s bàt kì, càc buóc nhày v-, va hàm thè ^(t), t G T , tùy y, ta co

*

s t AJ(U) = c*Ax(t*) + 2 (d'Ax(A-)- Az(/v.))v.+/ (Az(t)-d'Ax(t))f(t)dt

1 = 1 0

I

Gpi F(t), t G T, là nghiém cùa phuong trình F = A F F(0) = E - ma tran don vi càp n)

Ta thuòng su dung F(t,r) = F(t)F"^(T), F(t,T) = 0, t < T,và gpi nò là ma tran nghiém zo bàn

Vói càc ràng buóc diém cuòi dang GAx(t ) = g, dupc xàp xi tu ràng buóc phi tuyén g(x(t ))

= 0 ta thuòng già thiét g là xàp xi vó cùng bé bac cao hon 1 dói vói Ax(t* ) Khi dò, cóng thùc già so pniém hàm vàn khóng thay dói

4 Chùng minh dinh ly ILI So dò chùng minh càc dièu kién tói uu bang phuong phàp già

so phiém hàm gòm càc buòc :

- Già thiét phàn chùng

- Xày dung lóp càc dièu khién chàp nhan dupc (thòa man càc ràng buóc)

- Tu lóp càc dièu khién chàp nhàn dupc mói xày dung, chpn ra dupc dièu khién làm tòt hon hàm muc tiéu Dièu dò trai vói già thiét tói uu

Buóc 1 : Già su {u , S } là dièu khién tua khóng suy bién, u(t), t G T, là dièu khién tói uu,

dièu kién cuc dai (7) khóng dupc thòa man Tue là tòn tai A(tQ) = v'(^o)t>(to) '^ 0 va u(tQ) ^

signA(to)

Buóc 2 : Dàt y^ = sign A(tQ) - u(to)

y^ = (u(tj - 0) - u(tj -f 0))/ 2 (néu u(tj - 0) ^ u(t + 0)),

yj = m i n { l - u ( t j ) , l + u ( t i ) } / 2 (néuu(tj-0j = u(t- + 0)),j = Tjn

Ki hiéu e = (e-, i = J^

Lóp càc diéu khién chàp nhàn dupc dupc xày dung trén co so càc già so dièu khién dang

Au^" (t) = yj , t G [tj ,tj +e ] , néu ^j > 0

Au^^ (t) = - y p t G [tj ,tj +e.] , néu e < 0 , j = Tlìi

Au^^ (t) = Vo ' ^ ^ [ V o + ^ ] , néu £ > 0 ( t G [to+£ ,to], néu £ < 0)

Au^^(t)= 0 tai càc diém t G T con lai

Ki hiéu Ax^^ (t), t G T, là già so qui dao cùa he (2) tuong ùng vói Au^^ ( t ) , t G T

Dièu kién de Au^^ (t) t G T, thòa man ràng buóc diém cuòi là

Ta co thè chpn yQ sao cho A J(u) < 0 Dièu này trai vói già thiét u tói uu

Dinh ly dupc chùng minh xong

5 Phuong phàp tua giài bài tuàn tó'i Uu Nhu trén dà nói : muc dich cùa phuong phàp tua

là xàc dinh dièu khién thòa man nguyén ly tói uu Vi nhung ly do vat ly, ky thuat nguòi ta eó thè su dung càc dièu khién xàp xi ràng buòc diém cuòi dang | g(x(t*}) | < e, nhung vàn phài

thòa man càc ràng buòc pha Ta gpi dò là càc dièu khién e - xàp xi Càc dièu khién e - xàp xi

thòa man nguyén ly tói uu vói sai so £ :

H(x(t),v(t),u(t),t) = max H(x(t),V'(t),v,t) -e - '

V G U

dupc gpi là nghiém e - xàp xi

Phuong phàp tua giài bài toàn tói uu he dóng lue phi tuyén gòra ba giai doan :

a) Giai doan 1 (Giai doan bàt dàu) : Xày dung bài toàn tua dua vào cài tua dà co (hoàc xày dung cài tua bang thuat toàn phu) Bài toàn phi tuyén ban dàu dupc xàp xi bang bài toàn tuyén tinh Chù y ràng bài toàn xàp xi phài dupc xày dung sao cho mói dièu khién chàp nhan

dupc cùa nò cho ta dièu khién e - xàp xi cùa bài toàn ban dàu

b) Giai doan 2 (Giai doan chinh) : Giài bài toàn tua dà dupc xày dung và phàn tich nghiém cùa nò Ta eó thè chi ra :

- hoàc nghiém cùa bài toàn tua cho ta nghiém i - xàp xi cùa bài toàn ban dàu vói e cho

truóc;

- hoàc bài toàn tua vó nghiém khi dò bài toàn ban dàu khóng co lòi giài:

- hoàc bài toàn tua co nghiém nhung chua phài là nghiém e - xàp xi cùa bài toàn ban dàu

ta phai chuyén qua giai doan 3 de hoàn thién nghiém, hoac quay ve giai doan 1 de xày dung bài toàn tua mói

e) Giai doan 3 (Giai doan hoàn thién nghiém) : Dua vào dièu khién tua xàp xi (tói uu), ta xày dung he phuong trình hoàn thién Giài he phuong trình này ta sé dupc nghiém tói uu cùa bài toàn ban dàu

Giai doan hoàn thién nghiém là net dac trung hùu ich cùa phuong phàp tua giài bài toàn phi tuyén Ta sé viét he phuong trình hoàn thién nghiém cho bài toàn (1) - (3) và dàn ra mot

| = (li,ÌGK) = (Ti,ÌG N ; ^ i GNO,

-af(x(0, T)) : » Y

5^ (e,y) = 0; Ue,y) = 0; Sj(e,y) = 0, j G K

dupc gpi là he phuong trình hoàn thién nghiém

Nhan xét ILI Dièu kién Kelley (chuong I) dupc chùng minh cho he khóng co ràng buòc diém cuoi Néu già thiét càc doan dièu khién kì di khóng chùa diém cuoi, thì dièu kién Kelley vàn dùng cho bài toàn dang xét Vi vay dièu kién v'S(x) > 0 là khà róng

Vidu ILI : Xét bài toàn

'- l , t G [ 3 - l n 2 , 3 ]

là nghiém tói uu

Néu tu nhùng ly do thuc té, ta dà biét diéu khién tói uu là 3 pha :

de dàng thày ràng càn chpn doan tua Ty= [TJ T ^] OJ (t) = 0 t G T J

Giài he dà cho và he hén hpp cùa nò vói dièu kién Xj(0) = 2, X2(0) = 0, V'i(o) = - V'io * ^a

eó he phuong trình hoàn thién nghiém

0 -2exp(3-Ty T^) -2exp(3-T j - T ^j

^xp(T i) v'ioexp(7i)-^2exp(-Tj) 0 ,

^Wi^l) v'ioexp(Ti)-2exp(-Ti)+2 4exp(-Tj)-2 j

Dinh thùc cùa ma tr$n trén khàc 0 Néu ta chpn r ^ dù gàn In 2, thì phuong phàp Niuton

hói tu

Nhàn xét IL2 Nói dung cùa buòc hoàn thién nghiém là giài he phuong trình phi tuyén

Thè nhung diém khàc nhau co bàn cùa bài toàn phi tuyén 0 giai doan này vói bài toàn xuàt

phàt ban dàu là : nò co thè giài dupc bang phuong phàp Niuton Phuong phàp này eó toc óó

hói tu rat nhanh néu xàp xi ban dàu dù gàn nghiém càn tìm

Nhan xét IL3 Y tuòng sau xa cùa phuong phàp tua là co thè bàt dàu thuat toàn tu bàt cu

giai doan nào, tàn dung thóng tin dà biét cùa bài toàn Vi vay, trong nhièu bài toàn thuc té, eó

thè bàt dàu ngay giai doan hoàn thién nghiém sau khi làm ró càu trùc cùa dièu khién tói uu

è2 He eó ràng buóc pha

Trong tiét này chùng ta nghién cùu bài toàn eó ràng buòc pha - mot trong nhùng bài toàn

phùc tap nhàt cùa ly thuyét tói uu càc he dóng lue

1 Bài toàn Xét bài toàn tói uu

J(u) = ^x(t*)) - min (11)

i = fj(x) + f2(x)u , t ^ = [0 t*], x(0) = XQ (12)

g(x(t*) = 0 (13) d(x(t))< 0 , t G T (14)

Dinh nghia IL3 Hàm vó huòng lién tue tùng doan u = u(t), |u(t) | <1, dupc gpi là dièu

khién chàp nhàn dupc, néu thòa man càc ràng buóc (13), (14)

So chièu và tinh trOn cùa càc véc to và hàm cho ò day dupc già thiét nhu ò tiét 1 d(.) là

hàm vó huong, hén tue cùng vói dao hàm dén bac hai cùa nò

2 Tinh diéu khién dupc và cài tua Trong tiét 1 ta dà dua ra dinh nghia cài tua ràng buóc

ò day ta sé minh hpa ró hon vai trò cùa cài tua trong viéc duy tri càc dièu kién pha, dièu kién bién và mói quan he giùa càu trùc cùa cài tua và càu trùc cùa dièu khién tói uu

Già su (u,x) là dièu khién và qui dao chàp nhan dupc cùa he (12) - (14) Xét dièu khién

co già so ù(t) = u(t) + ^ ( t ) , t G T vói qui dao tuong ùng cùa he (12) là x(t) = x(t) •fAx(t), i

là he tuyén tinh hòa cùa he (12)

Xét t$p con T c T , gbm càc doan con T| = [T-, T^], T- < T' < T-^J,

ÌGN = {l, ,p}

Ki hiéu

N* = { i G N : r < T ' },No = N\N*

Dàt?(t) = D(t)z(t), t ^ i , i e N ; ?(r,) = D(rj)z(Ti), i eN^;? = G(t*)z(t*)

Djnh ngliTa II.4 He dóng lue (12) duOc gpi là dièu khién duoc dia phuong dói vói véc to

i, và hàm ^(t) trén T , néu vói mói ho càc hàm lién tue, tron tùng doan /3j(t), t ^ j , i eN, và càc

véc to (Jj, i eNp), g eR™, dèu tòn tai hàm lién tue tùng doan v(t), t eT, sao cho nghiém z(t),

t ^ , tuong ùng cùa he tuyén tinh hóa cùa nò, thòa man càc dàng thùc sau

m = fii(x), t ^ i , i e N , ; UT-) = ^,, i eN,, ; ^ = i

Gpi <l>(t,r) là ma tr$n nghiém co bàn cùa he z = A(t)z Ta co dinh ly sau [56] :

Djnh ly 113 He (12) dièu khién dupc dia phuong dói vói véc to l và hàm 5(t) trén T khi

và chi khi tbn tai ho t^p = { tj, j G J* }, x- eT^^= T \ u T j , |N | -f m = |J* |, sao cho det P ^