Nghiên cứu một số kỹ thuật xử lý điều kiện biên trong giải số mô hình thuỷ lực hai chiều

Đề tài nghiên cứu ảnh hưởng của điều kiện biên tới kết quả số trong mô hình hai chiều chỉ tâp trung vào các vấn đề về điều kiện biên của phương trình nước nông Saint Venant 2D.. Luận văn

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

******

VIỆN CƠ HỌC *****

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

*****

VIỆN CƠ HỌC

*****

Trang

Lời cảm ơn 1

Mục lục 2

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt 4

Danh mục các hình vẽ, đồ thị ……… 5

Mở đầu ……… 6

Chương1 - GIỚI THIỆU CHUNG ………8

Chương 2 - CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 11

2.1 Hệ phương trình Saint Venant ……… 11

2.2 Số Froude và số điều kiện biên cần thiết cho bài toán một chiều và hai chiều ………13

2.2.1 Số Froude, số điều kiện biên của bài toán thuỷ lực một chiều 2.2.2 Số Froude, số điều kiện biên của bài toán thuỷ lực hai chiều 21

2.3 Ý nghĩa vật lý của điều kiện biên trong thuỷ lực học ………22

Chương 3 - KỸ THUẬT XỬ LÝ ĐIỀU KIỆN BIÊN TRONG MỘT SỐ

PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN HAI CHIỀU ……… 23

3.1 Kỹ thuật xử lý điều kiện biên trong trong phương pháp khối hữu hạn 3.1.1 Phương pháp rời rạc hoá hệ phương trình Saint Venant …… 25

3.1.2 Kỹ thuật xử lý các phần tử trên biên ………27

3.1.3 Kỹ thuật xử lý biên khô ướt ……… 30

3.1.4 Ứng dụng các kỹ thuật vào phần mềm VODAP_2D ………32

3.2 Kỹ thuật xử lý điều kiện biên trong trong phương pháp phần tử hữu hạn ………32

3.2.1 Phương pháp rời rạc hoá hệ phương trình Saint Venant 32

3.1.2 Cách đưa điều kiện biên vào hệ phương trình 36

3.1.3 Kỹ thuật xử lý biên khô ướt ……… 38

3.1.4 Ứng dụng các kỹ thuật vào phần mềm TELEMAC_2D ……….39

Chương 4 - KẾT QUẢ GIẢI SỐ MỘT SỐ BÀI TOÁN MẪU ………41

4.1 Bài toán mẫu có nghiệm giải tích ……… 41

4.2 Bài toán thí nghiệm có số liệu thực đo ……… 42

4.3 Bài toán thí nghiệm có số liệu thực đo ……… 45

4.4 Bài toán thực tế đánh giá thực trạng lòng dẫn sông Hồng- sông Thái Bình và kiểm chứng ………50

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 54

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ……….55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

h - giá trị mực nước

u - vận tốc (trung bình) theo trục x

v - vận tốc (trung bình) theo trục y

g- gia tốc trọng trường

kx- hệ số Stricler trong lực cản đáy theo trục x

ky- hệ số Stricler trong lực cản đáy theo trục y

So,x - độ dốc đáy theo trục x

So,y - độ dốc đáy theo trục y

Fx - lực khối chiếu theo trục x

Fy- lực khối chiếu theo trục y

Một điều kiện biên tại thượng lưu

Hai điều kiện biên tại thượng lưu

Một điều kiện biên tại hạ lưu

Không cần điều kiện biên tại hạ lưu

Phần tử trong miền

Phần tử biên

Các phần tử nửa khô nửa ướt cần xử lý đặc biệt Các nút cần xử lý đặc biệt

Các sửa gradient mặt thoáng lỗi

So sánh mực nước tính toán với mực nước giải tích Cấu hình kênh bài toán mẫu số 2

So sánh tính toán với thực đo tại điểm đo S1

So sánh tính toán với thực đo tại điểm đo S2

So sánh tính toán với thực đo tại điểm đo S3

So sánh tính toán với thực đo tại điểm đo S4

Cấu hình kênh bài toán mẫu số 3

So sánh tính toán với thực đo tại điểm đo S1

So sánh tính toán với thực đo tại điểm đo S2

So sánh tính toán với thực đo tại điểm đo S3

So sánh tính toán với thực đo tại điểm đo S4

So sánh tính toán với thực đo tại điểm đo S5

So sánh tính toán với thực đo tại điểm đo S6

Mô hình hành lang thoát lũ sông Hồng

Lưới được chia chi tiết trên các công trình đê, bối

Điều kiện biên là một trong những bộ phận cấu thành của một bài toán

cơ học chất lỏng Điều kiện biên trong lĩnh vực thuỷ động lực học lại mang một số đặc trưng chuyên sâu riêng so với các ngành khác Hơn nữa kiến thức

và kinh nghiệm về xử lý điều kiện biên còn giúp người tác nghiệp áp dụng có hiệu quả thuỷ động lực học vào thực tế Vì vậy nghiên cứu và nắm rõ điều kiện biên của các bài toán thuỷ lực là nhiệm vụ cần thiết của người làm thuỷ lợi

Đề tài nghiên cứu ảnh hưởng của điều kiện biên tới kết quả số trong mô hình hai chiều chỉ tâp trung vào các vấn đề về điều kiện biên của phương trình nước nông Saint Venant 2D Trong khuôn khổ luận văn sẽ đề cập và giải thích một số khái niệm, định nghĩa của điều kiện biên trong bài toán 2 chiều Luận văn sẽ mô tả ý nghĩa và tác dụng của từng loại điều kiện biên trong thực

tế, yêu cầu về số lượng điều kiện biên để một bài toán có nghiệm duy nhất Tuy nhiên để dẫn giải sáng sủa vấn đề, chương hai của đề tài sẽ đề cập đến kiến thức điều kiện biên trong bài toán một chiều trước Điều kiện biên hai chiều sẽ được lập luận tương tự

Khi nghiên cứu các bài toán hai chiều truyền lũ, các nhà thuỷ lực đã gặp câu hỏi làm thế nào mô tả được sự lan truyền nước từ vùng ướt lên vùng khô,

và ngược lại sự rút nước Khi đó ta không còn khái niệm môi trường liên tục trên toàn miền tính nữa Khác với khí động học, toàn bộ vùng nghiên cứu

luôn được lấp đầy không khí, trong thuỷ lực sự dâng nước dẫn đến ngập các vùng khô hay ngược lại rút nước từ vùng ướt thành vùng khô lại thường xuyên xảy ra Vùng giáp ranh khô ướt lúc này được coi là biên lỏng di động

và chúng cần được nghiên cứu Loại điều kiện biên này tuy không được hiểu theo nghĩa thông thường như các loại điều kiện biên khác, nhưng do ý nghĩa quan trọng của nó, đề tài sẽ cập đến loại điều kiện biên này ở một chương riêng Chương ba sẽ nêu các định nghĩa xác định biên trong miền, cũng như một số bài toán mẫu có lời giải để kiểm chứng

Chương cuối cùng sẽ đưa ra một vài bài toán mẫu có lời giải giải tích hoặc số liệu thực đo do các phòng thí nghiệm của châu Âu đề xuất Chương này cũng đưa một vài bài toán thực tiễn mà nhóm của tác giả đã thực hiện trong thời gian vừa qua Kết quả số sẽ được so sánh với kết quả mẫu nhằm chứng minh các vấn đề mà luận văn đặt ra Tuy kết quả số chỉ là các giá trị trung bình và đôi chỗ còn khác so với kết quả thực đo, nhưng nhìn tổng thể các kết quả đó đạt các tiêu chuẩn cho phương pháp số

Bản thân lý thuyết về điều kiện biên của hệ phương trình Saint-Venant 2D đã được phát triển bởi rất nhiều thế hệ khoa học Do vậy, đề tài chỉ nhằm mục tiêu nêu lại các lý thuyết và cách áp dụng chúng vào thực tiễn sao cho đảm bảo tính chặt chẽ và hiệu quả đáp ứng được các bài toán thực tế đặt ra

Chương 1 – GIỚI THIỆU CHUNG.

Kỹ thuật xử lý điều kiện biên cho phương trình Saint Venant đã được nhiều thế hệ các nhà khoa học cả chuyên ngành toán học lẫn cơ học quan tâm

từ lâu Trong nước có PGS.TS Trần Gia Lịch, GS.TSKH Nguyễn Kim Đan, PGS.TS Hoàng Văn Lai đã nghiên cứu và có nhiều bài báo đăng trên các tạp chí uy tín về vấn đề này Ở nước ngoài cũng có rất nhiều nhà khoa học đã nghiên cứu và hoàn thiện kỹ thuật xử lý điều kiện biên cho các bài toán thuỷ lực học Sau đây là sơ lược tình hình nghiên cứu của các tác giả trong nước

GS Nguyễn Kim Đan hiện đang công tác tại đại học tổng hợp Caen nghiên cứu chuyên sâu về các phương pháp số giải hệ phương trình Saint-Venant 2D và kỹ thuật xử lý biên khô ướt Các kỹ thuật đó rất quan trọng trong các bài toán vỡ đê, vỡ đập, lan truyền lũ v.v Giáo sư là người hướng dẫn nhiều nghiên cứu sinh và cán bộ Việt nam về vấn đề này Phương pháp và phần mềm của giáo sư viết hiện đang được ứng dụng tại Việt nam

PGS.TS Hoàng Văn Lai cũng nghiên cứu về kỹ thuật xử lý biên gián đoạn Kết quả tính toán số bằng chương trình do PGS Hoàng Văn Lai xây dựng đã vượt qua các bài toán mẫu do các phòng thí nghiệm thuỷ lực châu Âu đưa ra

GS.TS Trần Gia Lịch và TS Lê Kim Luật đã viết một bài báo về điều kiện biên, hai người đã chứng minh rằng để tồn tại duy nhất nghiệm trong bài toán tuyến tính hoá, các điều kiện biên phải thoả mãn một vài bất đẳng thức

liên hệ Bài báo có ý làm chặt chẽ theo nghĩa toán học phương pháp tuyến tính hoá Tuy nhiên, bài báo đưa ra một vài luận đề toán học làm cơ sở mà không chứng minh

Trong các bài toán thực tế về quá trình lan truyền lũ, việc tìm các giá trị của các đại lượng trên biên là rất quan trọng Vì vậy người ta đã xây dựng một số phần mềm tính các giá trị của các đại lượng đó từ lượng mưa trên lưu vực Quá trình hình thành dòng chảy từ lượng mưa rơi trên lưu vực là quá trình phức tạp, phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố: độ dốc, độ che phủ của lưu vực, thành phần cấu tạo của đất, lượng bốc hơi….Mô hình mưa rào dòng chảy được xây dựng dựa trên cơ sở giả thiết chấp nhận một số thông số đặc trưng cho từng lưu vực Các thông số này sẽ được lựa chọn bằng thuật toán tối ưu hoá dựa trên các số liệu thực đo ngay trước thời điểm cần tính toán Mô hình thuỷ văn mưa rào dòng chảy được xây dựng dưới sự chỉ đạo của GS.TS Trịnh Quang Hoà đã có khả năng tính toán dòng chảy sinh ra do mưa trên các lưu vực Trong khi xây dựng mô hình thuỷ văn mưa rào dòng chảy chúng ta phải chấp nhận nhiều thông số thực nghiệm cho từng lưu vực Vì quá trình hình thành dòng chảy trên lưu vực phụ thuộc rất nhiều vào các yếu tố của lưu vực: địa hình, độ che phủ, cấu tạo đất….Do vậy, việc xác định các thông số đặc trưng của lưu vực cho mô hình thuỷ văn mưa rào dòng chảy là rất khó khăn và cho độ chính xác không cao Với mục đích mô phỏng chính xác hơn quá trình hình thành dòng chảy trên lưu vực, trong thời gian gần đây nhiều nhà thuỷ văn, thuỷ lực đã cố gắng xây dựng các mô hình thuỷ văn sử dụng các thành tựu mới nhất của lĩnh vực thông tin địa lý (GIS) Một trong các mô hình loại này là mô hình MARINE (Modelisation de l’Anticipation du Ruissellement et des Inondations pour des événements) do Viện Cơ học chất lỏng Toulouse (IMFT – Institut de Mecanique de Fluides de Toulouse) phát triển Trong khuôn khổ của đề tài nghiên cứu khoa học công nghệ KC.08-13

với sự hỗ trợ của Dự án FLOCODS, Viện Cơ học đã hợp tác với Viện Cơ học chất lỏng Toulouse trong việc ứng dụng thử nghiệm mô hình MARINE cho lưu vực sông Đà Kết quả của việc hợp tác này là Viện Cơ học được sử dụng

có bản quyền mã nguồn gốc bộ chương trình của mô hình MARINE

Trong thời gian làm luận văn, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hoàng Văn Lai, tác giả đã sưu tầm và nghiên cứu các tài liệu có liên quan tới luận văn Tác giả đã chọn lọc, trích dẫn từ các nguồn tài liệu đó, lấy đó làm chất liệu để viết cuốn luận văn này Tác giả cũng sử dụng các phần mềm như TELEMAC 2D, VO_DAP 2D làm công cụ để chạy các bài toán mẫu, lấy kết quả từ các chương trình đó làm luận chứng cho luận văn

Chương 2 - CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

2.1 Hệ phương trình Saint Venant

Hệ phương trình Saint Venant (được xây dựng năm1871) là các phương trình quan trọng trong nghiên cứu hải dương và thuỷ đông lực sông ngòi Các phương trình này thu được từ hệ phương trình Navier-Stocke bằng cách sử dụng một số giả thiết đơn giản hoá Một trong các giả thiết cơ bản được sử dụng là độ sâu cột nước nhỏ hơn rất nhiều so với chiều ngang của miền Sau đây là một vài dạng của hệ phương trình Saint Venant

a/ Hệ phương trình Saint-Venant một chiều:

- Hệ phương trình Saint-Venant một chiều theo biến h,u

u u g x

h g x

u u t u

x

u h t h

day

.

.

.

0 ) (

3 / 4 2

- Hệ phương trình Saint-Venant một chiều theo biến Q, A:

A

Q Q gA x

h gA A

Q x t

Q

x

Q t A

day c

3 / 4 2

b/ Hệ phương trình Saint Venant hai chiều:

_ Hệ phương trình Saint Venant hai chiều theo các biên h,u,v

()

(

))( (.1)(

)(

0)(.)(

3 / 4 2

2 / 1 2 2

3 / 4 2

2 / 1 2 2

v grad h

div h h

k

v u gv y

Z g grad

u

t

v

u grad h

div h h

k

v u gu x

Z g u grad u

t

u

u div h h grad u t h

e y

e x

h - giá trị mực nước

u - vận tốc trung bình theo chiều sâu theo hướng x

v - vận tốc trung bình theo chiều sâu theo hướng y

g- gia tốc trọng trường

kx- hệ số Stricler trong lực cản đáy theo hướng x

ky- hệ số Stricler trong lực cản đáy theo hướng y

e- hệ số khuyếch tán bao gồm khuyếch tán phân tử kết hợp

) (

) ( )

2 (

) (

) (

) ( )

2 (

0

2 2

2 2

y

q y x

q x fq q F y

Z gh h

h

q y y

q x fq q F x

Z gh y

q h h

q t h

y e y

e x

y y

x

y

x e x

e y

x y

x

x

y x

2.2.1 Số Froude, số điều kiện biên của bài toán thuỷ lực một chiều

Xét hệ phương trình Saint-Venant 1D, không thành phần khuếch tán,

không thành phần nguồn (không lưu lưọng phụ, không ma sát đáy, chảy trên

0 ) (

x

h g x

u u t u

x

u h t

0 ) 2 (

x

u c x

c u t c

x

c c x

u u t

( ) 2 (

0 ) 2 ( ).

( ) 2 (

c u x c u c u t

c u x c u c u

dx t

đường đặc trưng đã đặt hệ phương trình Saint-Venant 1D vào họ các phương

trình hyperbolic

Ta đưa các quy ước sau:

_ Đặt hệ toạ độ (0,x,t) sao cho dòng chảy dọc theo chiều dương của trục 0x Biên vào của miền là đường dọc theo trục 0t, biên ra của miền là đường vuông góc và cắt trục 0x tại điểm có toạ độ (0,L)

Xét trên biên vào :

Hình 2.1: Một điều kiện biên tại thượng lưu

Điều kiện biên vào (thượng lưu):

_ Trường hợp 1 (xem hình 2.1): uc Dòng chảy vào miền là dòng êm, sóng truyền nhanh hơn dòng chảy Trên đường đặc trưng C ta có

kiện đầu tại B hoặc xuất phát từ các giá trị trong miền đã tính Muốn xác định trạng thái của điểm A ta cần cho thêm một mối liên hệ f(u A,h A)  0 Ta cũng không thể cho nhiều hơn một quan hệ được, vì như vậy sẽ thừa Thường người ta cho quan hệ còn lại là modul lưu lượng qu A.h A theo thời gian

Hình 2.2: Hai điều kiện biên tại thượng lưu

_ Trường hợp 2 (xem hình 2.2): uc Dòng chảy vào miền là dòng xiết, sóng truyền chậm hơn dòng chảy Cả hai đường đặc trưng đều có hướng đi lên, ta chưa thể xác định được các giá trị đặc trưng của hai đường đặc trưng

đó Vì vậy muốn xác định trạng thái điểm tại A ta cần cho hai liên hệ

Xét trên biên ra:

Hình 2.3: Một điều kiện biên tại hạ lưu

Điều kiện biên ra (hạ lưu):

_ Trường hợp 3 (xem hình 2.3): uc Dòng chảy ra khỏi miền là dòng

êm, sóng truyền nhanh hơn dòng chảy Trên đường đặc trưng C ta có

x

t

Hình 2.4: Không cần điều kiện biên tại hạ lưu

_ Trường hợp 4 (xem hình 2.4): uc Dòng chảy ra khỏi miền là dòng xiết, sóng truyền chậm hơn dòng chảy Trên đường đặc trưng C ta có

A, ta không cần cho thêm một điều kiện rằng buộc nào nữa

Từ đó người ta xây dựng khái niệm số Froude để đưa ra một tiêu chuẩn xác định số điều kiện biên:

h g

u c

u F

Nếu F < 1 : Dòng chảy là êm: Cần cho 1 điều kiện biên ở thượng lưu và

1 điều kiện biên ở hạ lưu

Nếu F > 1 : Dòng chảy là xiết: Cần cho 2 điều kiện biên ở thượng lưu Như vậy số điều kiện biên cần cho bằng số đường đặc trưng đi vào miền tính toán

Có thể xác định số lượng điều kiện biên một cách đơn giản thông qua công cụ tuyến tính hoá Viết lại hệ phương trình (2.2.2):

2

(

0 ) 2 (

x

u c x

c u t

c

x

c c x

u u t

c u t

c u t

(2.2.7) Trong đó u và c là các giá trị đã biết của lớp lặp trước Ma trận này có các giá trị riêng1 uc và 2 uc tương ứng với các véctơ riêng  1 11và

2.2.2 Số Froude, số điều kiện biên cần thiết cho bài toán hai chiều

Xét bài toán hai chiều trên một kênh hở, đáy phẳng nhẵn không ma sát, không có thành phần nguồn phụ, không có thành phần khuyếch tán

Bài toán đƣợc biểu diễn thông qua hệ Saint-Venant 2D

0 ) ( ) (

0 ) ( ) (

2 2

y

h h g y

h v x

h v u t

v h

x

h h g y

h v u x

h u t

u h

y

h v x

h u t h

0 )

2 (

0

2 2

2 2

h h

q y y

q t q

y

q h

h

q x t q

y

q x

q t h

y x

y

y x

x

y x

U t

h g h q q U F

y x x x

2 )

(

2 2

2 2

h g h q h

q q q U G

y

y x

ngoài, còn biến  theo hướng tiếp tuyến của cạnh Trong quá trình biến đổi tọa

độ, một hàm f=f(x,y) bất kỳ biến đổi theo công thức sau:

G U n U

G U n U

F U n U

F t

U

x y

y x

G n U

F U

n U

G n U

F t

U

x y

y x

Ta giả thiết rằng trên biên vận tốc dòng chảy vuông góc với biên, khi đó

sự thay đổi theo hướng tiếp tuyến  là không đáng kể, khi đó ta có thể xấp xỉ biểu thức (2.2.13) bằng phương trình sau:

G n U

F t

U

y x

u u

c U

F

, ,

0 , 2 ,

0 , 1 ,

0 2 2

c

u v uv

U G

2 , 0 ,

, ,

1 , 0 , 0

2 2

Vì vậy phương trình véctơ (2.2.14) được viết lại như sau:

0

2)

(

2)

(

0

2 2

vn n

v c uvn

un vn

un uvn

n u c

n n

t

U

y x

x y

x

y y

x y

Tuyến tính hoá và lập luận tương tự như trường hợp một chiều, các giá trị gạch trên là của lớp lặp trước, ma trận của hệ phương trình

x y

x

y y

x y

x

y x

n v n u n

v n

v c n v u

n u n

v n u n v u n u c

n n

A

2 )

(

2 )

(

0

2 2

2 2

có các giá trị riêng 1 u n xv n y c U n c,2 U n u n xv n y ,

c U c n

n c

1 1

n c

n c u

1 1

Vì dòng được xét theo hường của pháp tuyến ngoài của đường biên, nên

số giá trị riêng mang dấu âm tương đương với số đường đặc trưng đi vào miền tính toán Vì vậy:

và u.nU n c dòng chảy ra ngoài miền là dòng

êm, ma trận A có 2 giá trị riêng dương, một giá trị riêng âm lúc đó

ta cần cho một điều kiện biên h hoặc Z

 Nếu u n U n  0

và u.nU n  c dòng chảy đi vào miền là dòng

êm, ma trận A có một giá trị riêng dương, hai giá trị riêng âm lúc

đó ta cần cho hai điều kiện biên qx và qy

 Nếu u n U n  0

và u.nU n  c dòng chảy đi vào miền là dòng xiết, ma trận A có 3 giá trị riêng âm lúc đó ta cần cho đầy đủ ba điều kiện biên qx , qy và h

Trong thực tế khi cần cho điều kiện biên ở biên ra, người ta thường cho điều kiện biên cao trình mực nước Z Khi cần cho các điều kiện biên ở biên

vào, thay vì cho trực tiếp các đại lượng U,V,h, người ta thường cho các giá trị lưu lượng Q

2.3 Ý nghĩa vật lý của các điều kiện biên trong thuỷ lực học :

Biên cứng có trượt : Điều kiện đặt trên biên này là thành phần vận tốc pháp tuyến U nbằng không, hoặc lưu lượng qua biên bằng không Với kiểu điều kiện biên này, thành phần trượt theo phương tiếp tuyến với biên khác không

Biên cứng có trượt, có ma sát theo phương tiếp tuyến: Hệ số ma sát a được cho bởi người sử dụng hoặc được tính toán bởi mô hình rối Công thức điều kiện biên được cho dưới dạng Newman :







(2.3.5) Biên lỏng : Xuất phát từ lý thuyết đặc trưng ta có 4 kiểu điều kiện biên phân biệt sau:

 Dòng vào là dòng xiết, ta phải cho đủ các thành phần vận tốc U,V

Biên sóng: Biên sóng là một sóng dạng hình sin đi vào hoặc đi ra qua biên mở Dạng điều kiện biên này thường dùng trong các bài toán nghiên cứu

thuỷ triều trên biển Đối với một sóng có tần số , biểu thức của biên sẽ là như sau :

* S ˆ  A ( M ) cos(  t   ( M )) : tín hiệu sóng đồng dạng với h

Khi sử dụng biên sóng người làm thuỷ lực không cần biết trước quá trình mực nước tại biên miền tính toán Mực nước được xác định thông qua biên

độ, tần số và pha của quá trình triều

Biên tự do : Biên tự do thường áp dụng cho các bài toán lan truyền

sóng vỡ đập, khi mà ta không thể cho ngay bất kì quá trình mực nào tại các biên của miền tính Đối với những bài toán dạng này, người ta quan tâm tới những hiện tượng xảy ra trong nội miền hơn những gì xảy ra ở trên biên của miền Kết quả của bài toán còn rất tốt cho tới khi sóng vỡ đập lan truyền tới biên Vì vậy người làm thuỷ lực khôn khéo sẽ chỉ lấy các kết quả trước khi sóng gián đoạn tiếp cận biên Biểu thức trên biên tự do là như sau:

(2.3.8)

Chương 3 - KỸ THUẬT XỬ LÝ ĐIỀU KIỆN BIÊN TRONG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN HAI CHIỀU

Hiện nay hai phương pháp sử dụng lưới không cấu trúc giải hệ phương trình nước nông hai chiều là phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Elemente Methode) và phương pháp khối hữu hạn (Finite Volume Methode) Phương pháp FEM phức tạp hơn về mặt lập trình, chi phí lập trình và khối lượng tính toán lớn hơn, và phương pháp này mới chỉ dừng ở mức độ áp dụng đối với lưới tam giác So với phương pháp FEM, phương pháp FVM đòi hỏi khối lượng tính toán ít hơn, cho các sơ đồ bảo toàn với các tính chất bắt gián đoạn bởi vì phương pháp này dựa trên dạng tích phân phương trình bảo toàn Tuy nhiên phương pháp FVM sử lý không tốt các bài toán có độ dốc đáy phức tạp Trong chương này sẽ giới thiệu kỹ thuật xử lý điều kiện biên được sử dụng trong hai phương pháp số nói trên

3.1 Kỹ thuật xử lý điều kiện biên trong trong phương pháp khối hữu hạn

3.1.1 Phương pháp rời rạc hoá hệ phương trình Saint Venant

Trong phương pháp khối hữu hạn, ta sử dụng hệ phương trình Saint Venant viết cho các biến h,qx,qy dưới dạng (2.2.14) của chương 2 :

) (

) ( )

2 (

) (

) (

) ( )

2 (

0

2 2

2 2

y

q y x

q x fq q F y

Z gh h

h

q y y

q t

q

y

q y x

q x fq q F x

Z gh y

q h

h

q x t

q

y

q x

q t h

y e y

e x

y y

x y

x e x

e y

x y

x x

y x









Hệ phương trình (2.2.14) có thể được viết lại dưới dạng bảo toàn như sau:

G U H

y U E x

( (3.1.1) với

h

2

2 2

h g h q q E

y x x x

,

2

2 2

q q q G

y

y x y

) (

) (

) (

) (

) (

0

y

q y x

q x fq q F y

Z gh

y

q y x

q x fq q F x

Z gh H

y e y

e x

y

x e x

e y

V

dV H dV U G y U E x

dV

t

U

) ( )

i i

dV H dc n G E V

dt

, (3.1.3)

Hình 3.1: Phần tử trong miền Các phần tử lưới được giả thiết cố định theo thời gian, và các đại lượng không thay đổi trên từng cạnh Tích phân đường khép kín có thể được xấp sỉ như sau:

     

canhK canhK

N

K

canhK C

dc dC

n G

E dc

n G

E

c

1Fluxk

.,

(3.1.4) Đối với đạo hàm theo thời gian ta rời rạc hoá theo sai phân tiến Eurler, phương trình (3.1.3) trở thành:

n i

n

i

i

dv H dc

V t

U U

Trong đó các chỉ số R và L dùng để phân biệt giá trị của đại lượng bên phải và bên trái của cạnh k A ~RL là xấp xỉ Jacobien của dòng A ~RL có dạng như sau :

x y

x

y y

x y

x

y x

RL

n v n u n

v n

u c n v u

n u n

v n u n v u n u c

n n

U

F A

~ 2

~

~ )

~

~ (

~

~ )

~

~ (

0

~

2 2

2 2

(3.1.7)

với

L R

L L R R

h h

h u h u

L L R R

h h

h v h v v

~ g h R h L

Từ (3.1.5) ta tính được giá trị Ui n1 của lớp thời gian sau n+1 từ các đại

lượng đã biết của lớp thời gian trước n :

V

n N

i

n i

n

i

i

dv H t dc

V

t U

Các phần tử nằm hẳn trong miền tính toán luôn đƣợc bao bọc kín bởi các

phần tử khác, vì vậy các dòng Fluxk đƣợc tính theo xấp xỉ kiểu Roe

Tuy nhiên các phần tử trên biên luôn thiếu một

phần tử bao ở một cạnh (xem hình 3.2) Vì vậy

dòng Fluxkquacạnh đó sẽ không đƣợc tính theo

xấp xỉ Roe nữa mà tính theo công thức sau đây:

x

x bien canh

n h g n q h q

n h g n q h q

n q Flux

2

) (

2

) (

= h* u* đƣợc cho theo thời gian

Theo lý thuyết điều kiện biên 1 chiều đã trình bày ở trên, ta có giá trị u L 2c L u*2c* (3.1.11)

Nhân cả hai vế của (3.1.11) vói (c*)2 ta có :