Một số vấn đề xung quanh các bài toán hit và đối đồng điều của đại số Steenrod

Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod thông qua các tác động của các toán tử Steenrod song bậc, biểu diễn modular của nhóm tuyến tính tổng quát; cấ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIấN

đạ i học kh

KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIấN CỨU KHOA HỌC CẤP CƠ SỞ

Tờn đề tài: Một số vấn đề xung quanh cỏc bài toỏn hit và đối đồng điều của đại số Steenrod

Mó số đề tài: TN.1802

Chủ nhiệm đề tài: TS Vừ Thị Như Quỳnh

Hà Nội, thỏng năm 2019

1

PHẦN I THÔNG TIN CHUNG

1 Tên đề tài: Một số vấn đề xung quanh các bài toán hit và đối đồng điều của đại số Steenrod

2 Mã số: TN.18.02

3 Danh sách các cán bộ thực hiện đề tài:

1 TS Võ Thị Như Quỳnh Khoa Toán- Cơ – Tin

học

Chủ nhiệm

2 ThS Lưu Xuân Trường Khoa Toán- Cơ – Tin

học

Tham gia

3 CN Nguyễn Đức Ngà Khoa Toán- Cơ – Tin

học

Tham gia

4 Đơn vị chủ trì thực hiện:

5 Thời gian thực hiện:

5.1 Theo hợp đồng: từ tháng 06 năm 2018 đến tháng 06 năm 2019

5.2 Gia hạn (nếu có): đến tháng 12 Năm 2019

5.3 Thực hiện thực tế: từ tháng 06 năm 2018 đến tháng 12 năm 2019

6 Tổng kinh phí được phê duyệt của đề tài: 25 triệu đồng

7 Những thay đổi so với thuyết minh ban đầu (nếu có)

(Về mục tiêu, nội dung, phương pháp, kết quả nghiên cứu và tổ chức thực hiện; nguyên nhân; ý kiến của Trường ĐHKHTN)

PHẦN II TỔNG QUAN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Viết theo cấu trúc một bài báo khoa học tổng quan từ 6-15 trang, nội dung gồm các phần:

1 Đặt vấn đề

Các đối tượng và nội dung chính của đề tài có mối liên hệ chặt chẽ với các đối tượng

và mục tiêu của Nhóm nghiên cứu mạnh về Tôpô đại số Đề tài nhằm khai thác một khía cạnh mới trong nghiên cứu Dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu

Trong quá trình thực hiện đề tài, chúng tôi đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các đồng nghiệp Đặc biệt, chúng tôi xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Hữu Việt Hưng đã khích lệ và góp ý cho nhóm thực hiện nghiên cứu đề tài này

2 Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod thông qua các tác động của các toán tử Steenrod song bậc, biểu diễn modular của nhóm tuyến tính tổng quát; cấu trúc H-đại

số trên đối ngẫu của đại số Dickson; tính H-đồng cấu của ánh xạ Lannes-Zarati từ đó

2

nghiên cứu Dạng đại số của giả thuyết về các lớp cầu

3 Tổng quan tài liệu

Đối đồng điều của đại số Steenrod được chỉ ra là trang E_2 của dãy phổ Adam hội tụ tới nhóm đồng luân ổn định của mặt cầu Từ đó nghiên cứu cấu trúc đối đồng điều của đại số Steenrod thu hút nhiều quan tâm của các nhà khoa học

[Adams60] J F Adams, On the non-existence of elements of Hopf invariant one,

Ann of Math 72 (1960), 20 104

Đã có một số hướng nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod, H^*(A), hướng trực tiếp nhằm xác định cấu trúc cụ thể, và hướng gián tiếp nghiên cứu thông qua lý thuyết biểu diễn modular của nhóm tuyến tính tổng quát trên trường hữu hạn…Năm

1962, Liulevicius phát hiện ra sự tồn tại của các toán tử Steenrod song bậc trên H^*(A) với trường hệ số có đặc số lẻ, và sau đó May [May1970] xây dựng cho trường hệ số chẵn và cho đối đồng điều của một đại số Hopf bất kỳ Các toán tử này trang bị cho H^*(A) một cấu trúc H-đại số

[Liulevicius] A Liulevicius, The factorization of cyclic reduced powers by secondary

cohomology operations Mem Amer Math Soc 42(1962)

[May1970] J P May, A general algebraic approach to Steenrod operations, Lecture

Notes in Mathematics 168, Springer, Berlin (1970), 153-231

[Uehara] Uehara, Hiroshi, Algebraic Steenrod operations in the spectral sequence

associated with a pair of Hopf algebras, Osaka J Math 9(1972), 131-141

[Zachariou] A Zachariou, On cup-$i$-products in the cobar construction on

$F(A^*)$, Univ of Manchester, 1966

Giả thuyết cổ điển về các lớp cầu nói rằng đồng cấu Hurewicz đi từ nhóm đồng luân

ổn định của mặt cầu 0-chiều S^0 tới đồng cầu của Q_0Q^0 chỉ phát hiện được các bất biến Hopf bằng 1 và bất biến Kervaire bằng 1 Trong [NHVHưng97] đưa ra một cách hướng nghiên cứu giả thuyết cổ điển thông qua nghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati, được xây dựng trong [Lannes-Zarati87] đi từ đối đồng điều của đại số Steenrod tới đối ngẫu của đại số Dickson, như là một phân bậc liên kết của đồng cấu Hurewicz Ông đưa ra giả dạng đại số của giả thuyết các cầu nói rằng đồng cấu Lannes-Zarati có thứ lớn hơn 2 triệt tiêu tại mọi phần tử có bậc dương Cho đến nay, đã có nhiều nhà khoa học tấn công và đưa ra một số khẳng định cho giả thuyết này

[NHVHưng97] Nguyễn H V Hưng, Spherical classes and the algebraic transfer,

Trans Amer Math Soc 349 (1997), 3893 3910

[Lannes-Zarati87} J Lannes and S Zarati, Sur les foncteurs d\'eriv\'es de la

d\'estabilisation, Math Zeit 194 (1987), 25 59

Đồng cấu Lannes-Zarati đã được chỉ ra là một đồng cấu đại số (trong [Hưng-Peterson]) và giao hoán với các toán tử Sq^0 (trong [NHVHưng2003])

[Hưng-Peterson] Nguyễn H V Hưng and F P Peterson, Spherical classes and the

Dickson algebra, Math Proc Camb Phil Soc 124 (1998), 253 264

[NHVHưng2003] Nguyễn H V Hưng On triviality of Dickson invariants in the

homology of the Steenrod algebra Math Proc Camb Phil Soc 134 (2003), 103–

113

Năm 2008, W.M Singer chứng minh được rằng tồn tại duy nhất các toán tử Steenrod

3

song bậc tác động trên vành các hàm đối xứng sao cho vành này có cấu trúc một H-đại số

W M Singer, Rings of symmetric functions as modules over the Steenrod algebra,

Algebraic \& Geometric Topology 8 (2008), 541 562

4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi nghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati trong mối quan hệ với các toán tử Steenrod song bậc trên đối đồng điều của đại số Steenrod Trên cơ sở đó, chúng tôi nghiên cứu Dạng đại số của giả thuyết về các lớp cầu

Phương pháp nghiên cứu dựa trên những kỹ thuật xây dựng các toán tử Steenrod song bậc trên đối đồng điều của đại số Steenrod của Liulevicus và trên vành các hàm đối xứng của Singer Bên cạnh đó, chúng ta vận dụng các xây dựng ở mức độ dây chuyền của đồng cấu Lannes-Zarati của Nguyễn H.V Hưng trong bài báo “Spherical classes and the lambda algebra, Trans Amer Math Soc 11(2001, 4447-4460”

5 Nội dung và kết quả nghiên cứu

Các nội dung nghiên cứu chính của đề tài được trình bày trong 3 chương tương ứng sau đây:

Chương 1: Toán tử Steenrod song bậc trên đối ngẫu của đại số Dickson

Liulivicicus [1962] là người đầu tiên phát hiện ra rằng tồn tại những toán tử tác động trên đối đồng điều của đại số Steenrod có hầu hết các tính chất của toán tử Steenrod

cổ điển, ngoại trừ thành phần bậc 0 không là ánh xạ đồng nhất Các toán tử này kết nối các phần tử bậc đồng điều thấp với các phần tử có bậc cao hơn, làm cho đối đối đồng của đại số Steenrod không những là một đại số trên trường hệ số mà nó còn là một đại số trên đại số H Sau đó Kahn [1970] chỉ ra rằng các toán tử này trên những phần tử có chu trình vĩnh cữu hội tụ tới các phân bậc tương ứng của toán tử đồng điều trên dãy phổ Adams

Đối ngẫu của đại số Dickson bao gồm các đối bất biến dưới tác động của nhóm tuyến tính tổng quát trên đồng điều của nhóm 2-abel sơ cấp hạng hữu hạn H_*(V) Do đó,

nó có một cấu trúc môđun trên đại số Steenrod Nguyễn H Hưng [2003] đã chỉ rằng tồn tại toán tử Steenrod song bậc bậc 0 trên đối ngẫu của đại số Dickson tương thích với toán tử tương ứng trên đối đồng điều của đại số Steenrod thông qua đồng cấu Lannes-Zarati Dáng điệu của toán tử này đã được khảo sát cụ thể và mang lại các ứng dụng hiệu quả trong nghiên cứu Dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cấu

Singer [2008] cũng chứng minh được sự tồn tại của các toán tử Steenrod song bậc trên vành các hàm đối xứng Ông cũng chỉ ra rằng không tồn tại các tác động của các toán tử này trên đối đồng điều của nhóm 2-abel sơ cấp hạng hữu hạn

Trong đề tài này, chúng tôi tập trung nghiên cứu sự tồn tại (nếu có, hoặc phủ định) các toán tử Steenrod song bậc này trên đối ngẫu của đại số Dickson

Các kết quả đạt được bao gồm:

1 Chứng minh sự tồn tại duy nhất các toán tử Steenrod song bậc trên đối ngẫu của đại số Dickson, chúng giao hoán với các toán tử Steenrod cổ điển, tương thích với các toán tử trên vành các hàm đối xứng

2 Chứng minh các toán tử bậc dương tác động tầm thường trên các phần tử

“nguyên thủy”, bị triệt tiêu bởi các toán toán tử Steenrod bậc dương, có bậc

4

đồng điều >2 Toán tử bậc 1 là một đẳng cấu trên các phần tử tương ứng có bậc đồng điều bằng 1

Chương 2: Đồng cấu Lannes-Zarati

Đồng cấu Lannes-Zarati đi từ đối đồng điều của đại số Steenrod tới đại số gồm các đối bất biến của H_*(V) dưới tác động của nhóm tuyến tính tổng quát Đồng cấu này

là một ánh xạ tương ứng với một phân bậc liên kết (theo một lọc nào đó) của đồng cấu Hurewicz Nó tác động không tầm thường tại các bậc đối đồng điều 1 và 2 là những bậc đồng điều tương ứng với sự tồn tại các bất biến Hopf bằng 1 và bất biến

Kervaire bằng 1 Năm 1997, GS TSKH Nguyễn H.V Hưng đã đưa ra một hướng tiếp cận mới giả thuyết cổ điển về các lớp cầu bởi việc khảo sát đồng cấu cấu Lannes-Zarati Ông đưa ra dự đoán, được gọi là Dạng đại số của giả thuyết về các lớp cầu, rằng đồng cấu Lanne-Zarati bậc >2 triệt tiêu trên các phần tử bậc dương Giả thuyết này đã được khảo sát bởi Nhóm nghiên cứu mạnh về Tôpô đại số trong nhiều năm và đã thu được nhiều khẳng định đăng trên các tạp chí quốc tế uy tín Tuy nhiên, cho tới nay, giả thuyết vẫn còn mở

Chúng tôi nghiên cứu cấu trúc của đồng cấu Lannes-Zarati trong mối quan hệ với các toán tử Steenrod song bậc trên miền xác định và miền giá trị của nó

Các kết quả thu được như sau:

Chứng minh được đồng cấu Lannes-Zarati là một $H$-đồng cấu, tức là các toán

tử Steenrod song bậc tương ứng trên miền xác định và trên miền giá trị giao hoán với nhau qua đồng cấu này

Chương 3: Dạng đại số về giả thuyết cổ điển của các lớp cầu

Dạng đại số về giả thuyết cổ điển của các lớp cầu đã được chứng minh cho đối với các bậc <5 và trên một số nhóm các phần tử có bậc đồng điều lớn hơn Các kết quả

đó dựa trên (1) mô tả tường minh đã biết của đối đồng điều của đại số Steenrod; (2)

tính chất về đồng cấu đại số của đồng cấu Lannes-Zarati; (3) tính giao hoán của các

toán tử Sq^0 qua đồng cấu Lannes-Zarati

Trong đề tài này, chúng tôi khảo sát giả thuyết dựa trên sự tồn tại các cấu trúc H-đại

số của miền xác định và miền giá trị, đồng thời tính H-đồng cấu của đồng cấu Lannes-Zarati

Chúng tôi đã đưa thêm một khẳng định cho giả thuyết này:

Đồng cấu Lannes-Zarati bậc >2 triệt tiêu trên những phần tử được kết nối bởi các toán tử Steenrod bậc dương từ một phần tử có bậc đồng điều nhỏ hơn nào đó

Các kết quả mới đã được đón nhận ở các hội nghị chuyên ngành quốc gia và quốc tế:

+ 01 báo cáo tại Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX, Nha Trang, 14-18/8/2018 :

Võ T N Quỳnh, On the bigraded Steenrod operations on the dual of A-

generators of the Dickson algebra, 15 phút

+ 01 Báo cáo dạng Poster tại Đại hội Toán học Việt-Mỹ, Quy Nhơn 10-13/6/2019

Lưu X Trường, On the transfers between the Dickson algebras as modules over the Steenrod algebra

+ 01 báo cáo tại Hội nghị Đại số - Lý thuyết số- Hình học và Tô pô 2019, 12/2019 :

5

Võ T N Quỳnh, Các toán tử Steenrod song bậc và đồng cấu Lannes-Zarati,

15 phút

+ 01 báo cáo tại Hội nghị quốc tế về Lý thuyết đồng luân, Viện nghiên cứu cao cấp

về Toán, 12/2019

Võ T N Quỳnh, The bigraded Steenrod operations and the Lannes-Zarati homomophism, 50 minutes

Một số kết quả mới đang được viết thành 01 bài báo khoa học:

Võ T N Quỳnh, The squaring operations and the Lannes-Zarati homomorphism, khoảng 20 trang

6 Đánh giá về kết quả nghiên cứu đạt được

- Các kết quả mới làm mịn thêm cấu trúc của đồng cấu Lannes-Zarati và đối ngẫu của đại số Dickson, đồng thời bổ sung thêm khẳng định mang tính tổng quát cho Dạng đại số của giả thuyết về các lớp cầu

- Các kết quả này đã được báo cáo tại các hội nghị quốc gia và quốc tế chuyên ngành

và được các chuyên gia đánh giá tốt

7 Kết luận và kiến nghị

Chúng tôi đã hoàn thành tốt những mục tiêu nghiên cứu ban đầu đã đề ra:

- Phát triển hướng nghiên cứu truyền thống của nhóm là lý thuyết toán tử đối đồng điều Nhóm đã xây dựng thành công cách tiếp cận mới để khảo sát đồng cấu Lannes-Zarati, từ đó nghiên cứu Dạng đại số của giả thuyết về các lớp cầu Nhóm đã thu được một số kết quả mới Các kết quả này đã được báo cáo tại các hội nghị quốc gia và quốc tế chuyên ngành và được các chuyên gia đánh giá tốt

 Một số các kết quả mới đang được hoàn thiện thành 01 bài báo để gửi đăng

Kiến nghị:

- Các kết quả mới đã được các chuyên gia trong và ngoài nước đánh giá tốt Thông qua các góp ý của GS Nguyễn H V Hưng và GS Lionel, chúng tôi cần thêm thời gian để bố cục lại bức tranh các kết quả cho hoàn thiện hơn

8 Tài liệu tham khảo

[Adams60] J F Adams, On the non-existence of elements of Hopf invariant one,

Ann of Math 72 (1960), 20 104

[Kahn] D S Kahn, Cup i-products and the Adams spectral sequence, Topology,

9(1970), 1-10

[Lannes-Zarati87} J Lannes and S Zarati, Sur les foncteurs d\'eriv\'es de la

d\'estabilisation, Math Zeit 194 (1987), 25 59

[Liulevicius] A Liulevicius, The factorization of cyclic reduced powers by secondary

cohomology operations Mem Amer Math Soc 42(1962)

[May1970] J P May, A general algebraic approach to Steenrod operations, Lecture

Notes in Mathematics 168, Springer, Berlin (1970), 153-231

[NHVHưng97] Nguyễn H V Hưng, Spherical classes and the algebraic transfer,

Trans Amer Math Soc 349 (1997), 3893 3910

[Hưng-Peterson] Nguyễn H V Hưng and F P Peterson, Spherical classes and the Dickson

6

algebra, Math Proc Camb Phil Soc 124 (1998), 253 264

[NHVHưng2003] Nguyễn H V Hưng On triviality of Dickson invariants in the homology

of the Steenrod algebra Math Proc Camb Phil Soc 134 (2003), 103–113

[Uehara] Uehara, Hiroshi, Algebraic Steenrod operations in the spectral sequence

associated with a pair of Hopf algebras, Osaka J Math 9(1972), 131-141

[Singer] W M Singer, Rings of symmetric functions as modules over the Steenrod algebra,

Algebraic \& Geometric Topology 8 (2008), 541 562

[Zachariou] A Zachariou, On cup-$i$-products in the cobar construction on

$F(A^*)$, Univ of Manchester, 1966

9 Tóm tắt kết quả (tiếng Việt và tiếng Anh)

Các kết quả đạt được của đề tài là:

 Chứng minh sự tồn tại các toán tử Steenrod song bậc trên đối ngẫu của đại số Dickoson, chúng giao hoán với các toán tử Steenrod cổ điển, tương thích với các toán tử trên vành các hàm đối xứng

 Chứng minh các toán tử bậc dương tác động tầm thường trên các phần tử

“nguyên thủy”, bị triệt tiêu bởi các toán toán tử Steenrod bậc dương, có bậc đồng điều >2 Toán tử bậc 1 là một đẳng cấu trên các phần tử tương ứng có bậc đồng điều bằng 1

 Chứng minh được đồng cấu Lannes-Zarati là một $H$-đồng cấu, tức là các toán tử Steenrod song bậc tương ứng trên miền xác định và trên miền giá trị giao hoán với nhau qua đồng cấu này

 Đồng cấu Lannes-Zarati bậc >2 triệt tiêu trên những phần tử được kết nối bởi các toán tử Steenrod bậc dương từ một phần tử có bậc đồng điều nhỏ hơn nào

đó

 01 báo cáo tại Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX, Nha Trang, 14-18/8/2018 :

+Võ T N Quỳnh, On the bigraded Steenrod operations on the dual of A-

generators of the Dickson algebra, 15 phút

 02 Báo cáo dạng Poster tại Đại hội Toán học Việt-Mỹ, Quy Nhơn 10-13/6/2019

+ Lưu X Trường, On the transfers between the Dickson algebras as modules over the Steenrod algebra

+ Nguyễn Đức Ngà, An alternative approache to Hưng-Powell’s theorem on the A-decomposability of the Singer construction

 01 báo cáo tại Hội nghị Đại số - Lý thuyết số- Hình học và Tô pô, Bà Rịa-Vũng Tàu, 4-6/12/2019 :

Võ T N Quỳnh, Các toán tử Steenrod song bậc và đồng cấu Lannes-Zarati,

15 phút

 01 báo cáo tại Hội nghị về Lý thuyết đồng luân, Viện nghiên cứu cao cấp về Toán, 12/2019

Võ T N Quỳnh, The bigraded Steenrod operations and the Lannes-Zarati

7

homomophism, 50 minutes

 01 bản phác thảo bài báo quốc tế:

Võ T N Quỳnh, The squaring operations and the Lannes-Zarati

homomorphism, khoảng 20 trang

Here is a summary of the results obtained:

 We prove that there exists a left action of the bigraded Steenrod opertions on the dual of the Dickson algebra, these actions commute with actions of the classical Steenrod operations, and they are compatible with the ones on the ring of symmetric functions

 We prove that the bigraded Steenrod operation of positive degree vanishes on primitive elements of homological degree >2

 We show that the Lannes-Zarati homomorphism is an $H$-map

 We prove that the Lannes-Zarati of degree >2 vanishes on hit elements by the

bigraded Steenrod operations

 01 talk at the 9th Vietnam Mathematical Congress, Nha Trang, 14-18/8/2018 :

Võ T N Quỳnh, On the bigraded Steenrod operations on the dual of A-

generators of the Dickson algebra, 15 minutes

 02 posters at the Vietnam - USA Joint Mathematical Meeting, Quy Nhơn 10-13/6/2019

+ Lưu X Trường, On the transfers between the Dickson algebras as modules over the Steenrod algebra

+ Nguyễn Đức Ngà, An alternative approache to Hưng-Powell’s theorem on the A-decomposability of the Singer construction

 01 talk at the national conference on Algebra – Number theory - Geometry,

Bà Rịa-Vũng Tàu, 4-6/ 12/2019 :

Võ T N Quỳnh, Các toán tử Steenrod song bậc và đồng cấu Lannes-Zarati,

15 minutes

 01 invited talk at the international mini-conference on “Homotopy theory”, Vietnam Institute for Advanced Study in Mathematics, 11-12/12/2019,

Võ T N Quỳnh, The bigraded Steenrod operations and the Lannes-Zarati homomophism, 50 minutes

 01 manuscrip with the title:

Võ T N Quỳnh, The squaring operations and the Lannes-Zarati

homomorphism, ~20 pages

8

PHẦN III SẢN PHẨM CỦA ĐỀ TÀI

1 Các công trình khoa học đã công bố:

Tình trạng

(Đã in/chấp nhận in,…)

Ghi địa chỉ và cảm ơn sự tài

ĐHQGHN / ĐHKHTN

Đánh giá chung

(Đạt, không đạt)

1 Công trình công bố trên tạp chí khoa học quốc tế theo hệ thống ISI/Scopus

2 Bài báo quốc tế không thuộc hệ thống ISI/Scopus

3 Bài báo trên các tạp chí khoa học chuyên ngành quốc gia

4 Báo cáo khoa học đăng trong kỷ yếu hội nghị quốc tế

5 Báo cáo khoa học đăng trong kỷ yếu hội nghị quốc gia

6 Sản phẩm khác:

9

02 Báo cáo khoa học tại Hội nghị quốc gia :

+ Võ T N Quỳnh, On the bigraded Steenrod operations on the dual of A-

generators of the Dickson algebra, Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX, Nha Trang, 14-18/8/2018, 15 phút

+ Võ T N Quỳnh, Các toán tử Steenrod song bậc và đồng cấu Lannes-Zarati, Hội nghị toàn quốc về Đại số - Lý thuyết số- Hình học và Tôpô, Bà Rịa-Vũng Tàu 4-6/12/2019, 15 phút

02 poster tại các Hội nghị quốc tế:

+ Lưu X Trường, On the transfers between the Dickson algebras as modules over the Steenrod algebra, Đại hội Toán học Việt-Mỹ, Quy Nhơn 10-13/6/2019, dạng poster

+ Nguyễn Đức Ngà, An alternative approache to Hưng-Powell’s theorem on the A-decomposability of the Singer construction, Đại hội Toán học Việt-Mỹ, Quy Nhơn 10-13/6/2019, dạng poster

01 báo cáo tại Hội nghị quốc tế:

+ Võ T N Quỳnh, The bigraded Steenrod operations and the Lannes-Zarati homomophism, Mini-conference on “Homotopy theory”, Vietnam Institute for Advanced Study in Mathematics, 11-12/12/2019, 50 minutes

01 bản thảo bài báo khoa học :

Võ T N Quỳnh, The bigraded Steenrod operations and the Lannes-Zarati homomophism

- Đối với mỗi công trình công bố cần ghi rõ: Tên các tác giả; Tên công trình; Tên tạp chí, tập, số, năm, trang (đối với bài báo), tên kỷ yếu hội nghị, nơi tổ chức, thời gian tổ chức (đối với báo cáo hội nghị);

- Các ấn phẩm khoa học chỉ được chấp nhận nếu có ghi nhận/cảm ơn tài trợ của Trường ĐHKHTN

và đã in hoặc có xác nhận được chấp nhận xuất bản

- Bản photocopy toàn văn các ấn phẩm cần đưa vào phần phụ lục các minh chứng của báo cáo

2 Sản phẩm đào tạo: Không có

TT Họ và tên

Thời gian và kinh phí

(số tháng/số tiền)

Công trình công bố liên quan

Tiến sỹ / Nghiên cứu sinh

1

Thạc sỹ / Học viên cao học

1

Cử nhân

Minh chứng trong phần phụ lục bằng bản photocopy trang bìa luận án/ luận văn/ khóa luận và bằng hoặc giấy chứng nhận nghiên cứu sinh/thạc sỹ nếu học viên đã bảo vệ thành công luận án/ luận văn