Sự triệt tiêu của hệ số hilbert và độ sâu của vành phân bậc liên kết

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMHỒ THỊ MAI HƯƠNG SỰ TRIỆT TIÊU CỦA HỆ SỐ HILBERT VÀ ĐỘ SÂU CỦA VÀNH PHÂN BẬC PSG... 20 2 Mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu của

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HỒ THỊ MAI HƯƠNG

SỰ TRIỆT TIÊU CỦA HỆ SỐ HILBERT

VÀ ĐỘ SÂU CỦA VÀNH PHÂN BẬC

PSG TS CAO HUY LINH

Thừa Thiên Huế, năm 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu vàkết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả chophép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Hồ Thị Mai Hương

LỜI CẢM ƠN

Với lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, PSG.TSCao Huy Linh đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tậpcũng như hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô giáo khoa Toán - trường Đại học Sưphạm - Đại Học Huế đã giảng dạy, giúp đỡ, góp ý, truyền đạt cho tôi những kiếnthức bổ ích làm nền tảng cho việc nghiên cứu đề tài và tạo điều kiện tốt nhất đểtôi hoàn thành luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế,phòng Đào tạo Sau Đại học và các phòng ban của trường Đại Học Sư Phạm Huế

đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường.Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tập thể lớp Cao học Toánkhóa XXIV (2015-2017) trường Đại học Sư phạm - Đại Học Huế đã luôn độngviên, giúp đỡ tôi vượt qua khó khăn trong thời gian học tập và thực hiện luận văn

Huế, tháng 9 năm 2017

Tác giả

Hồ Thị Mai Hương

MỤC LỤC

1.1 Vành các thương và địa phương hóa 5

1.2 Chiều của vành và môđun 8

1.3 Dãy chính quy và độ sâu 10

1.4 Iđêan m-nguyên sơ và iđêan tham số 12

1.5 Vành và môđun phân bậc 13

1.5.1 Vành phân bậc 13

1.5.2 Môđun phân bậc 14

1.6 Vành và môđun Cohen-Macaulay 15

1.7 Hàm Hilbert và hệ số của môđun phân bậc 16

1.8 Đối đồng điều địa phương 18

1.9 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford 20

2 Mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu của vành phân bậc liên kết 23 2.1 Hàm Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert-Samuel 23

2.2 Mối quan hệ giữa hệ số Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert của

môđun phân bậc liên kết 24

2.3 Dãy các phần tử siêu bề mặt 26

2.4 Tính không dương của hệ số Hilbert của iđêan tham số 29

2.5 d-dãy 33

2.6 Mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu trong trường hợp d-dãy 34

2.7 Mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu trong trường hợp chỉ số chính quy đủ nhỏ 38

LỜI NÓI ĐẦU

Cho (A, m) là vành địa phương Noether, I là iđêan m-nguyên sơ của A Giả

sử M là A-môđun hữu hạn sinh có chiều d Khi đó hàm số

và hệ số e1(I, M ) được gọi là hệ số Chern của M ứng với iđêan I

Việc nghiên cứu hệ số Hilbert sẽ cho chúng ta nhiều thông tin về cấu trúcvành và môđun tương ứng

Cho (A, m) là vành Noether địa phương, I là iđêan m-nguyên sơ Kí hiệu

GI(A) =M

n≥0

In/In+1

Người ta gọi GI(A) là vành phân bậc liên kết của A ứng với I

Vấn đề thiết lập mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâucủa vành phân bậc liên kết không hoàn toàn đơn giản, thu hút nhiều nhà toánhọc trong và ngoài nước quan tâm Chẳng hạn, S.Goto, M.Manda, J.Verma đãchứng minh một kết quả đáng chú ý về hệ số Chern đó là " Nếu q là iđêan tham

số của vành địa phương Noether thì e1(q) ≤ 0" ([8], [9], ) Trong [15] Lori

Mccune đã chứng minh được rằng nếu depth(Gq(A)) ≥ d−1 với q là iđêan tham

số của vành A thì ei(q) ≤ 0, ∀i = 1, , d Trong [3] Linh-Trung đã chứng minhđược mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu của vành phânbậc liên kết trong trường hợp d-dãy Một cách cụ thể là, cho q là iđêan tham sốsinh bởi d-dãy; lúc đó, ei(q) = 0 nếu và chỉ nếu depth(Gq(A)) ≥ d − i − 1

Ta biết rằng, khi q là iđêan tham số sinh bởi d-dãy thì reg(Gq(A)) = 0 Taxét một trường hợp tổng quát hơn, q là iđêan tham số sao cho reg(Gq(A)) ≤ 1.Khi đó chúng tôi đạt được kết quả sau:

Định lý: Giả sử (A, m) là vành Noether địa phương có chiều d ≥ 3 vàdepth(A) ≥ k với 2 ≤ k ≤ d − 1 Giả sử q là iđêan tham số của A sao choreg(Gq(A)) ≤ 1 Khi đó,

(i) depth(Gq(A)) ≥ k;

(ii) ed−k+2(q) = ed−k+3(q) = = ed(q) = 0

Từ định lý này, ta thu được hệ quả sau cho vành hầu Cohen-Macaulay

Hệ quả: Cho (A, m) là vành hầu Cohen-Macaulay có chiều d ≥ 3 Giả sử q

là iđêan tham số sao cho reg(Gq(A)) ≤ 1 Khi đó,

(i) depth(Gq(A)) ≥ d − 1;

(ii) e3(q) = e4(q) = = ed(q) = 0

Đây là kết quả mới mà chúng tôi đạt được Phương pháp chính mà chúng tôi

sử dụng là áp dụng kết quả của Hoa [10] để đánh giá độ sâu của vành phân bậcliên kết từ đó suy ra tính triệt tiêu của hệ số Hilbert

Luận văn được chia làm hai chương Trong chương 1, chúng tôi trình bày một

số kiến thức cơ bản của Đại số giao hoán nhằm mục đích hổ trợ cho các chứngminh ở chương sau Trong chương 2, chúng tôi trình bày một số kết quả liênquan đến mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu của vànhphân bậc liên kết

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình nghiên cứu và trình bàykhó tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được sự góp ý của quý Thầy Cô giáo vàcác bạn để luận văn hoàn thiện hơn

Chương 1

Một số kiến thức cơ sở

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của đại sốgiao hoán như: vành nhân tử hóa và địa phương hóa, chiều của vành và môđun,dãy chính quy và độ sâu, iđêan nguyên sơ và iđêan tham số, vành và môđunphân bậc, vành và môđun Cohen-Macaulay, hàm Hilbert và hệ số của môđunphân bậc, đối đồng điều địa phương, chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford.Các kiến thức này được trình bày nhằm tham khảo cho các nội dung của chươngsau Một số kết quả trong chương này là khá kinh điển, được trích dẫn từ cáctài liệu tham khảo bằng cách tóm tắt lại những kết quả chính, vì vậy chúng tôichỉ trình bày nội dung mà không trình bày phần chứng minh (phần chứng minh

có thể tham khảo trong các tài liệu [1], [5], [14], [7], [13])

Định nghĩa 1.1.1 Một tập con S của một vành R được gọi là tập nhân đóng,nếu 1 ∈ S và xy ∈ S, ∀x, y ∈ S

Trên tập R × S ta xét một quan hệ ∼ xác định bởi:

(a, s) ∼ (b, t) ⇔ ∃u ∈ S : u(at − bs) = 0,với s, t ∈ S, a, b ∈ R

Dễ dàng kiểm tra quan hệ trên là quan hệ tương đương Ta kí hiệu a/s là lớptương đương của phần tử (a, s) và S−1R là tập tất cả các lớp tương đương này,

tức là

S−1R = {a/s | a ∈ R, s ∈ S}

Trên tập S−1R ta định nghĩa hai phép toán:

(a/s) + (b/t) = (at + bs)/st,(a/s)(b/t) = ab/st

Từ đó, chúng ta có định nghĩa vành phân thức như sau

Định nghĩa 1.1.2 Tập S−1R cùng với hai phép toán trên trở thành một vànhgiao hoán có phần tử đơn vị 1S−1 R = s/s (s ∈ S) và mọi phần tử s/t với s, t ∈ S

là khả nghịch Vành S−1R được gọi là vành các thương của R trên S

Cho I là iđêan của một vành giao hoán R và S là một tập nhân đóng trong

R Khi đó, dễ kiểm tra rằng tập hợp

S−1I = {a

s| a ∈ I, s ∈ S}

là một iđêan của S−1R

Mệnh đề 1.1.3 [1, Mệnh đề 4.5] Cho S là một tập nhân đóng và I là mộtiđêan của R Khi đó, S−1I = S−1R khi và chỉ khi I ∩ S 6= ∅

Chứng minh Giả sử S−1I = S−1R Khi đó, S−1I chứa phần tử đơn vị 1/1 của

S−1R, tức là tồn tại những phần tử a ∈ I và s ∈ S sao cho 1/1 = a/s Suy ratồn tại t ∈ S để t(a − s) = 0 Điều này chứng tỏ phần tử ta = ts thuộc vào

I ∩ S Hay I ∩ S 6= ∅

Ngược lại, giả sử tồn tại s ∈ I ∩ S Khi đó, s/s = 1/1 ∈ S−1I, suy ra

S−1I = S−1R

Ví dụ 1.1.4 (i) Cho R là một vành và S là tập hợp tất cả các phần tử khảnghịch của R Rõ ràng S là tập nhân đóng và trong trường hợp này ta có

S−1R = R

(ii) Cho R là miền nguyên và S = R \ {0} là một tập nhân đóng Khi đó S−1R

là một trường, gọi là trường các thương của miền nguyên R Trường cácthương của miền nguyên R là

S−1R =na

s | a ∈ R, s ∈ S \ {0}o

(iii) Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R Dựa vào tính nguyên tố của p,

ta có tập S = R \ p là một tập nhân đóng với phép nhân Trong trườnghợp này, vành các thương của R trên S được kí hiệu là Rp Tập hợp tất cảcác phần tử của Rp có dạng a/s với a ∈ p, s /∈ p lập thành một iđêan mcủa Rp Nếu a/s /∈ m thì a /∈ p, tức là a/s khả nghịch trong Rp Nghĩa là

m là iđêan cực đại duy nhất của Rp Qúa trình từ R đến Rp được gọi làđịa phương hóa của R tại iđêan p Các iđêan của Rp có dạng

IRp =na

s| a ∈ I, s /∈ po,trong đó I là một iđêan của R Đặc biệt, các iđêan nguyên tố của Rp códạng qRp, với q là một iđêan nguyên tố của R thỏa mãn q ⊆ p

Trong trường hợp này, ta kí hiệu môđun các phân thức của M trên S là Mp

và được gọi là môđun địa phương hóa của M ứng với p

Ta có định nghĩa vành địa phương hóa như sau

Định nghĩa 1.1.5 Vành R được gọi là vành địa phương nếu nó có đúng mộtiđêan cực đại m, ta thường kí hiệu là (R, m)

Nhận xét 1.1.6 (i) Với mọi iđêan nguyên tố p của R thì vành Rp là vànhđịa phương với iđêan cực đại duy nhất là

pRp =na

s| a ∈ p, s /∈ po.(ii) Nếu M là R-môđun thì môđun địa phương hóa M ứng với p là Mp và tacó

1.2 Chiều của vành và môđun

Định nghĩa 1.2.1 (i) Cho R là một vành, với mỗi dãy giảm (thực sự) cáciđêan nguyên tố của vành R có dạng p0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pr, khi đó r được gọi

là độ dài của dãy Ta định nghĩa chiều (Krull) của vành R là độ dài lớnnhất của các dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R, kí hiệu là dim R.Tức là

dim R := sup{r | ∃ p0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pr dãy các iđêan nguyên tố trong vành R}.(ii) Cho M là một R-môđun Chiều của môđun M là

dimRM := dim(R/annR(M )),với annR(M ) = {r ∈ R | rM = 0} Ta kí hiệu dim M thay cho dimRMtrong trường hơp không có sự nhầm lẫn về vành R

Nhận xét 1.2.2 (i) Mỗi iđêan nguyên tố của vành thương R/annR(M ) códạng p/annR(M ) với p là iđêan nguyên tố của vành R chứa annR(M ) Do

đó, chiều của vành R/annR(M ) là độ dài lớn nhất của các dãy giảm cáciđêan nguyên tố của R chứa annR(M ) Vì vậy, dim M ≤ dim R

(ii) Cho M là một R-môđun có chiều d và N là một R-môđun con của M Ta

có annR(M ) ⊆ annR(N ) nên R/annR(N ) ⊆ R/annR(M ) Do đó, dim N ≤dim M = d Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có dim M/N ≤ dim M =d

Ví dụ 1.2.3 Xét đa thức n biến k[x1, , xn] trên trường k Ta có

(0) ⊂ (x1) ⊂ (x1, x2) ⊂ ⊂ (x1, , xn)

là một dãy giảm các iđêan nguyên tố của k[x1, , xn] Vì vậy, dim k[x1, , xn] ≤n Theo [14, Corollary 5.6] người ta chứng minh được rằng dim k[x1, , xn] = n.Định nghĩa 1.2.4 Cho (R, m) là vành địa phương Noether có chiều d và bR làđầy đủ hóa m-adic của R (xem khái niệm đầy đủ hóa trong [14]) Khi đó, vành(R, m) được gọi là vành không trộn lẫn (unmixed) nếu dim bR/p = d với mọi p

là iđêan nguyên tố liên kết của bR

Lưu ý ta luôn có dim R = dim bR.

Ví dụ 1.2.5 Xét R = k[x1, , xn] là vành đa thức n biến trên k Khi đó ta cób

R = k[[x1, , xn]] là vành các chuỗi lũy thừa trên k

Định nghĩa 1.2.6 Cho R là một vành giao hoán khác không, p là iđêan nguyên

tố của vành R Độ cao của p, kí hiệu ht p, được định nghĩa như sau

ht p := sup{r | ∃ p = p0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pr dãy các iđêan nguyên tố trong vành R}.Nhận xét 1.2.7 Từ định nghĩa chiều của vành và môđun, độ cao của mộtiđêan nguyên tố ta có các tính chất sau:

(i) Nếu p1 ⊆ p2 thì ht p1 ≤ ht p2 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi p1 = p2

(ii) Nếu dim R là hữu hạn thì

dim R = sup{ht p | p ∈ Spec(R)}

= sup{ht m | m là iđêan cực đại của R}

Định nghĩa 1.2.8 Cho I là iđêan của vành giao hoán R Khi đó, độ cao của

I được định nghĩa như sau

ht(I) = inf {ht(p)|I ⊂ p ∈ Spec R}

Cho I là iđêan của vành R, iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên

tố tối tiểu của R nếu nó không chứa thực sự một iđêan nguyên tố thực sự nàokhác Kí hiệu tập tất cả các iđêan tối tiểu của I là Min(I) Khi đó, nếu Min(I)

là tập hữu hạn thì ta có bất đẳng thức sau

ht I + dim R/I ≤ dim R

Định lý 1.2.9 [4, Corollary 11.6] Cho R là một vành Noether và I = (x1, , xn)

là iđêan thực sự của R Khi đó, ht p ≤ n với mọi p ∈ Min(I)

Từ định nghĩa độ cao của iđêan và định lý trên ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.2.10 Cho R là một vành Noether và I = (x1, , xn) là iđêan thực

sự của R Khi đó, ht I ≤ n

1.3 Dãy chính quy và độ sâu

Cho M là R-môđun Khi đó, một phần tử x ∈ R được gọi là phần tử M -chínhquy nếu với mọi m ∈ M sao cho xm = 0 thì m = 0

Ta kí hiệu tập các phần tử M -chính quy trong R là N ZDR(M )

Định nghĩa 1.3.1 Cho M -môđun, dãy x = x1, , xn là dãy các phần tử trong

R Khi đó, x được gọi là một M -dãy chính quy nếu các điều kiện sau đây đượcthỏa mãn:

N2/xN2 −→ N1/xN1−→N0/xN0−→M/xM −→0

Cho R là vành Noether, M là một R-môđun và I là một iđêan của R Nếu

x = x1, , xn là một M -dãy thì dãy (x1) ⊂ (x1, x2) ⊂ ⊂ (x1, , xn) tăngngặt Giả sử x = x1, , xn ⊆ I là một M -dãy thì x được gọi là một M -dãytrong I Chúng ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.3.5 Cho x = x1, , xn ⊆ I là một M -dãy trong I, x được gọi

là một M -dãy cực đại trong I nếu x1, , xn, xn+1 không phải là một M -dãy vớimọi xn+1 ∈ I

Tất cả các M -dãy cực đại trong I với IM 6= M có cùng độ dài nếu M làR-môđun hữu hạn sinh Từ đó, chúng ta có định nghĩa độ sâu như sau

Định nghĩa 1.3.6 Cho R là vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh

và I là một iđêan của R thỏa mãn IM 6= M Khi đó, độ dài của một M -dãycực đại trong I được gọi là độ sâu của M ứng với iđêan I, kí hiệu depth(I, M ).Trong trường hợp IM = M thì ta định nghĩa depth(I, M ) = ∞ Từ địnhnghĩa trên, chúng ta định nghĩa độ sâu của môđun M như sau

Định nghĩa 1.3.7 Cho (R, m) là vành địa phương Noether và M là R-môđunhữu hạn sinh Khi đó, độ sâu của môđun M , kí hiệu là depth M và được địnhnghĩa là

depth(I, M ) ≥ min{depth(I, U ), depth(I, N )};

depth(I, U ) ≥ min{depth(I, M ), depth(I, N ) + 1};

depth(I, N ) ≥ min{depth(I, U ) − 1, depth(I, M )}

Mệnh đề sau đưa ra một số công thức tính toán depth(I, M )

Mệnh đề 1.3.9 [7, Proposition 1.2.10] Cho R là vành Noether, M là mộtR-môđun hữu hạn sinh và I, J là các iđêan của R Khi đó,

(i) depth(I, M ) = inf{depth Mp| p ∈ V(I)};

(ii) depth(I, M ) = depth(√

I, M );

(iii) depth(I ∩ J, M ) = min{depth(I, M ), depth(J, M )};

(iv) Nếu x = x1, , xn là một M -dãy trong I thì

depth(I/(x), M/xM ) = depth(I, M/xM ) = depth(I, M ) − n

Cho I là một iđêan của vành R, I được gọi là iđêan nguyên sơ của R khi haiđiều kiện sau được thỏa mãn:

(i) I 6= R;

(ii) Nếu xy ∈ I, x /∈ I thì tồn tại n ∈ N sao cho yn ∈ I với mọi x, y ∈ R

Ví dụ 1.4.1 Iđêan nguyên sơ trong vành số nguyên Z là pkZ với p là số nguyên

(ii) Nếu √

I là iđêan cực đại thì I là iđêan nguyên sơ

Định nghĩa 1.4.4 (i) Cho I là iđêan nguyên sơ của vành R Khi đó,√

Cho (R, m) là vành địa phương Noether có chiều d Giả sử I là iđêan m-nguyên

sơ của R thì số phần tử sinh tối tiểu của I được kí hiệu là µ(I) Theo Nhận xét1.2.7 và Định lý 1.2.9, ta có d ≤ µ(I) Theo [14, Theorem 13.4], luôn tồn tại mộtiđêan m-nguyên sơ I sao cho µ(I) = d Từ đó, chúng ta có định nghĩa sau đây:Định nghĩa 1.4.5 (i) Một dãy các phần tử x1, , xd thuộc m được gọi là

hệ tham số của R nếu I = (x1, , xd) là iđêan m-nguyên sơ Lúc đó, iđêan

I = (x1, , xd) được gọi là iđêan tham số của vành R

(ii) Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh có số chiều d Khi đó, hệ {y1, , yd} ⊆

m được gọi là hệ tham số của M nếu `(M/(y1, , yd)M ) < ∞

Nhận xét 1.5.2 (i) Một vành phân bậc R được gọi là phân bậc không âm(hay N-phân bậc) nếu Rn = 0, ∀n < 0 Nếu vành R phân bậc dạng R =L

(iii) Phần tử x được gọi là phần tử thuần nhất nếu tồn tại n ∈ Z sao cho

x ∈ Rn

(iv) R0 là vành con của R và 1 ∈ R0

Ví dụ 1.5.3 (i) Cho A là vành giao hoán, I là một iđêan thực sự của vành

(i) M = L

n∈Z

Mn;(ii) RmMn ⊆ Mn+m với mọi n, m ∈ Z

Nhận xét 1.5.5 (i) Mỗi phần tử u ∈ M được biểu diễn dưới dạng u = P

n∈Z

unvới un ∈ Mn và chỉ có hữu hạn các thành phần un 6= 0 Mỗi hạng tử unđược gọi là thành phần thuần nhất bậc n của u, kí hiệu deg(un) = n.(ii) Phần tử u được gọi là phần tử thuần nhất nếu tồn tại n ∈ Z sao cho

Định nghĩa 1.5.7 Cho M là R-môđun phân bậc và N là môđun con của M

N được gọi là môđun con phân bậc nếu N =L Nn với Nn = N ∩ Mn và n ∈ Z.Nói cách khác, N là môđun con phân bậc của M nếu và chỉ nếu N được sinhbởi các phần tử thuần nhất của M

Mệnh đề 1.5.8 [13, Proposition 2.1] Cho M là một R-môđun phân bậc và N

là môđun con của M Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

(i) N là R-môđun phân bậc;

(ii) N = L

n∈Z

(N ∩ Mn);

(iii) Nếu u ∈ N thì các thành phần thuần nhất của u cũng thuộc N ;

(iv) N có một hệ sinh gồm các phần tử thuần nhất của M

Ví dụ 1.5.9 Xét vành phân bậc chuẩn R = k[x, y, z] Khi đó, I = (x2, x3 +

y2z, y5) là một iđêan thuần nhất của R Trong khi đó, J = (x2 + y3z) khôngphải là iđêan thuần nhất của R

Định nghĩa 1.6.1 (i) Cho (R, m) là vành địa phương Noether, M 6= 0 là mộtR-môđun hữu hạn sinh Khi đó, M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếudepth M = dim M

(ii) Cho R là vành Noether tùy ý và M 6= 0 là R-môđun hữu hạn sinh M đượcgọi là R-môđun Cohen-Macaulay nếu Mm là môđun Cohen-Macaulay vớimọi iđêan cực đại m ∈ Supp M, trong đó Supp M là tập các iđêan cực đạicủa R sao cho Mm 6= 0

(iii) Vành Noether R được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là một R-môđunCohen-Macaulay

Một số tính chất quan trọng của vành Cohen-Macaulay như sau

Định lý 1.6.2 [7, Định lý 2.12] Cho (R, m) là vành địa phương Noether và

M 6= 0 là một R-môđun Cohen-Macaulay Khi đó

(i) dim R/p = depth M với mọi p là iđêan nguyên tố liên kết với M ;

(ii) depth(I, M ) = dim M − dim M/IM với mọi iđêan I ⊆ m;

(iii) x = x1, , xn là một M -dãy nếu và chỉ nếu dim M/xM = dim M − n;(iv) x là một M -dãy khi và chỉ khi x là một bộ phận của hệ tham số của M Định lý 1.6.3 [7, Theorem 2.1.3] Cho R là vành Noether và M là một R-môđun hữu hạn sinh

(i) Giả sử x = x1, , xn là một M -dãy Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thìM/xM cũng là môđun Cohen-Macaulay (trên R hoặc R/(x)) Điều ngượclại vẫn đúng khi R là vành địa phương

(ii) Giả sử M là R-môđun Cohen-Macaulay Khi đó, với mọi tập con đóngvới phép nhân S của R, ta có môđun các phân thức S−1M cũng là môđunCohen-Macaulay Hơn nữa, Mp là R-môđun Cohen-Macaulay với mỗi iđêannguyên tố p của R Nếu Mp 6= 0 thì depth Mp = depth(p, M ) Nếu thêmđiều kiện R là vành địa phương thì dim M = dim Mp+ dim M/pM

Định nghĩa 1.6.4 Cho (R, m) là vành Noether địa phương có chiều d Khi đó,nếu depth R ≥ d − 1 thì R được gọi là vành hầu Cohen-Macaulay

d − 1 sao cho hM(n) = pM(n), với mọi n đủ lớn Trong trường hợp d > 0 thì

pM(n) có thể biểu diễn dưới dạng

số Hilbert của môđun phân bậc M

Đặc biệt, e(M ) = e0(M ) được gọi là số bội của M

Ví dụ 1.7.2 Cho R = k[x1, , xd] là vành đa thức phân bậc chuẩn trên trường

k Khi đó, ta có R0 = k và các thành phần phân bậc Rn là các k-không gianvéctơ Hơn nữa, ta có

hR(n) = dimk(Rn) =n + d − 1

d − 1

, ∀n ≥ 0

Thật vậy, ta chứng minh bằng quy nạp theo n + d Rõ ràng là khẳng định đúngnếu n = 0 hoặc d = 1 Giả sử n > 0 và d > 1 Đặt S = k[x1, , xd−1] và xétdãy khớp

0 −→ Rn−1 xd

−→ Rn −→ Sp n −→ 0,trong đó xd(x) = xxd, ∀x ∈ Rn−1 và p được xác định bởi

Định nghĩa 1.7.3 Số nguyên dương lớn nhất n để hàm Hilbert hM(n) và đathức pM(n) khác nhau được gọi là chỉ số Hilbert của M và được kí hiệu là p(M );nghĩa là

p(M ) = max{n | hM(n) 6= pM(n)}

Nhận xét 1.7.4 p(M ) = −∞ khi và chỉ khi M = 0.

Cho R là vành giao hoán có đơn vị và a là iđêan của R

(i) Với mỗi R-môđun M ta định nghĩa Γa(M ) = S

n≥0

(0 :M an) Khi đó, Γa(M )

là môđun con của M

(ii) Với mọi R-môđun M , N và f : M −→ N là các đồng cấu R-môđun, tađịnh nghĩa

(ii) Cho a, b là hai iđêan của R Khi đó, √

a=√

b thì Γa = Γb.Định nghĩa 1.8.3 Cho R là vành giao hoán, có đơn vị, a là iđêan của R và M

là R-môđun Xét giải thức nội xạ tối tiểu của môđun M :

là Hai(M ) và được định nghĩa là

Hai(M ) := Ker(Γa(di))/ Im(Γa(di−1)) với mọi i ≥ 0

Nhận xét 1.8.4 (i) Cho M là R-môđun, ta có: Ha0(M ) ∼= Γa(M ) và Hai(M ) =

0 với mọi i < 0

(ii) Nếu M là R-môđun nội xạ thì Ha0(M ) = 0 với mọi i > 0

(iii) Hai(M ) có thể là R-môđun vô hạn sinh, cho dù M hữu hạn sinh

(iv) Nếu R là vành phân bậc, M là R-môđun phân bậc thì Hai(M ) là R-môđunphân bậc, trong đó a là iđêan thuần nhất của R

Mệnh đề 1.8.6 [7, Proposition 3.5.4] Cho (R, m) là vành địa phương Noether

và M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó,

(i) Môđun Hmi (M ) là Artin;

(ii) Hmi (M ) = 0 nếu i < depth(M )

Định lý 1.8.7 [7, Theorem 3.5.7] Cho (R, m) là vành địa phương Noether, M

là R-môđun hữu hạn sinh có chiều d và depth(M ) = t Khi đó,

(i) Hmi (M ) = 0 với mọi i < t và i > d;

(ii) Hmt (M ) 6= 0 và Hmd(M ) 6= 0

Cho R = L

n≥0

Rn là đại số phân bậc chuẩn trên vành cơ sở Noether địa phương

R0, R+ là iđêan của R được sinh bởi các phần tử bậc dương của R và M làR-môđun phân bậc hữu hạn sinh với dim(M ) = d Ta kí hiệu HRi+(M ) là môđunđối đồng điều địa phương của M với giá R+

Chúng ta có định nghĩa sau: