Nghiên cứu các tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin với mô hình XXX

Về mặt lý thuyết, các tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin sắt từ đã được nghiên cứu sử dụng phép biến đổi Jordan – Wigner trong gần đúng trường trung bình với mô hình Heisenberg

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ TƯỜNG VI

NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CHUỖI SPIN

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lịch sử của từ học được bắt đầu từ khi người Trung Hoa cổ đại phát hiện ra các

đá từ thạch có khả năng định hướng Nam – Bắc và có khả năng hút các vật bằng sắt Nghiên cứu về từ học được mở ra vào thế kỷ 18 khi Girlbert viết cuốn sách về điện và từ và sau đó là thí nghiệm về sự tương tác giữa từ trường và dòng điện (của Oersted, các công trình của Ampere và Faraday) [2] Các nghiên cứu về từ học và các vật liệu từ thực sự phát triển như vũ bão ở thế kỷ 20 và vật liệu từ đã thực sự được đưa vào ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống và sản xuất hiện nay Các hệ từ tính thấp chiều như màng mỏng, chuỗi spin và các hạt nanô từ là những đối tượng được nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây [1], chúng được chế tạo từ các kim loại, hợp kim kim loại chuyển tiếp, perovskite, oxit đất hiếm [1], [5], [8], [9] Mục tiêu nghiên cứu của các nhà khoa học đối với các hệ vật liệu này đều hướng tới việc tìm tòi và chế tạo ra những vật liệu mới với các tính chất đặc biệt nhằm phục vụ cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật trong tương lai

Từ học trong các hệ một chiều đã trở thành một vấn đề được quan tâm và nghiên cứu liên tục cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm từ khi công trình của Ising ra đời [1] Đặc biệt các tính chất nhiệt động lực học của các hệ từ một chiều là một trong những vấn đề thu hút nhiều sự quan tâm Để giải thích các hiện tượng từ, việc sử dụng mô hình Heisenberg là khá thích hợp, mô hình này mô tả một tập hợp các mômen từ định xứ được ghép cặp với nhau thông qua tương tác trao đổi Thông qua tương tác trao đổi dị hướng giữa các thành phần spin, mô hình Heisenberg được chia làm 3 loại: XYZ, XXZ và XXX Nhiều phương pháp khác nhau đã được đưa ra để giải quyết bài toán nghiên cứu chuỗi spin với ba mô hình XYZ, XXZ và XXX [10]-[12] [15], [16], (xem phần 3) Như vậy có thể thấy, đây

là một trong những vấn đề đáng chú ý của vật lý hiện đại Các nhà nghiên cứu trên thế giới đi sâu vào nghiên cứu chuỗi spin vì chuỗi spin hiện nay đang là đối tượng nghiên cứu cho các tiến trình thông tin lượng tử [14]

Vì các lý do trên, tôi đã lựa chọn “Nghiên cứu các tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin với mô hình XXX” làm đề tài nghiên cứu của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu một số tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin Heisenberg với

mô hình XXX sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm

3 Lịch sử nghiên cứu của đề tài

a Ở ngoài nước

Các tính chất nhiệt động lực học của các hệ từ một chiều là một trong những vấn đề thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trên thế giới Trong số các

mô hình được sử dụng để mô tả và giải thích các tương tác của hệ spin định xứ,

mô hình Heisenberg đóng một vai trò vô cùng quan trọng Về mặt lý thuyết, các tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin sắt từ đã được nghiên cứu sử dụng phép biến đổi Jordan – Wigner trong gần đúng trường trung bình với mô hình

Heisenberg XYZ (S=1/2) [12]; lý thuyết hàm Green bậc hai và mô phỏng Monte Carlo cho các hệ sắt từ một chiều và hai chiều với S bất kỳ trong một từ trường và

cung cấp một mô tả khá tốt cho trật tự từ vùng ngắn và các tính chất nhiệt động học của các hệ [10]; nhóm của V Fridkin sử dụng các phương trình Bethe-Ansatz

để nghiên cứu các tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin XXZ hữu hạn với các điều kiện biên tự do [16] Bên cạnh đó các tính chất nhiệt động lực học của

chuỗi spin phản sắt từ Heisenberg lượng tử với S=1/2, 1 và 3/2 cũng được Tao

Xiang nghiên cứu sử dụng phương pháp nhóm chuẩn hóa ma trận chuyển [15] Phương pháp tích phân phiếm hàm là một phương pháp nghiên cứu đáng tin cậy trong vật lý lý thuyết, phương pháp này đã được sử dụng để nghiên cứu các hệ spin ba chiều [17] và hai chiều [6], [7] Tuy nhiên, vẫn chưa có công trình nào sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm để nghiên cứu các chuỗi spin một chiều

b Ở trong nước

Không nằm ngoài xu hướng chung của thế giới, vài năm gần đây các hệ từ tính thấp chiều cũng đang thu hút nhiều nhóm trong nước, đặc biệt tại các trung tâm nghiên cứu lớn của Việt Nam như Đại học Quốc gia Hà Nội, Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh, Viện Vật lý Tuy nhiên, chỉ có nhóm của GS TS Bạch

Thành Công tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội đang tập trung vào nghiên cứu các tính chất các hệ spin giả hai chiều, cụ thể là màng mỏng kích thước nanômét sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm [6], [7]

4 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp tích phân phiếm hàm

 Phương pháp tính số

5 Nội dung nghiên cứu

 Các tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin với mô hình XXX

 Nghiên cứu sự phụ thuộc của các đại lượng nhiệt động lực học vào nhiệt độ

và từ trường ngoài

6 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài chỉ giới hạn nghiên cứu một số tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin tuyến tính với mô hình XXX trong gần đúng trường trung bình và gần đúng thăng giáng spin

7 Bố cục luận văn

Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3 phần

 Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu của đề tài, lịch sử nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, nội dung nghiên cứu, giới hạn đề tài và bố cục luận văn

 Phần nội dung: Gồm 3 chương

 Chương 1: Nghiên cứu lý thuyết tổng quan về từ học nguyên tử, mô hình Heisenberg cho hệ spin định xứ, lý thuyết trường trung bình, các hệ từ tính thấp chiều và tính chất nhiệt động lực học

 Chương 2: Nghiên cứu các tính chất của chuỗi spin với mô hình XXX sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm, và các đại lượng nhiệt động học

 Chương 3: Trình bày kết quả tính số và thảo luận

 Phần kết luận: Tóm tắt các kết quả chính đạt được, kết luận và đề ra phương hướng nghiên cứu tiếp theo

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT TỔNG QUAN

1.1 Một số khái niệm cơ bản

1.1.1 Từ trường

1.1.2 Từ độ

Các vật liệu bị từ hòa nhiều hay ít trong từ trường được gọi là vật liệu từ Từ độ

hay còn gọi là độ nhiễm từ hoặc độ từ hóa là do vật vật liệu từ tạo ra và được hiểu

là số mômen từ trên một đơn vị thể tích

Xét một yếu tố thể tích dv của vật liệu với mômen từ tổng cộng là dm Thì từ độ

(độ từ hóa) được xác định như sau:

dm M

dv



(1.4) Với mômen từ đặc trưng cho khả năng chịu tác dụng bởi từ trường của nam châm

Đơn vị của từ độ M là A/m

Các hệ thứ nhiệt-từ và calo-từ trình bày mối liên hệ giữa các đại lượng nhiệt

động cho các vật liệu từ Thế nhiệt động trong trường hợp không có từ trường như

ta đã biết bao gồm các hàm:

1.3.2 Tính toán mômen từ dựa trên vật lý thống kê

1.4 Mô hình Heisenberg cho hệ spin định xứ và lý thuyết trường phân tử

Weiss

Xét một vật rắn gồm N nguyên tử giống nhau được sắp xếp đều đặn trong mạng

tinh thể Mỗi nguyên tử có spin điện tử S và mômen từ  liên hệ với spin bằng



Thêm vào đó mỗi spin còn có thể tương tác với các spin lân cận, năng lượng tương

tác phụ thuộc vào sự định hướng tương đối của các spin Tương tác giữa các spin

gọi là tương tác trao đổi với Hamiltonian có thể được viết là:

j i

S S

Đó được biết như là Hamiltonian Heisenberg Trong (1.24) J là hằng số tương ij

tác trao đổi giữa spin thứ i và spin thứ j, phụ thuộc vào sự chồng chéo của các

hàm sóng, nó giảm nhanh khi khoảng cách giữa các spin tăng lên Thường J ij

được cho khác không chỉ giữa hai spin lân cận gần nhất Nếu chúng ta giả sử tương tác trao đổi giữa các spin là như nhau, tức là J ij  J , thì

Các tính chất của các hệ từ tính thấp chiều bị ảnh hưởng mạnh bởi thăng giáng nhệt lượng tử Khi giảm số chiều của hệ từ tính, các thăng giáng spin nhiệt sẽ được tăng cường làm cho trật tự từ của hệ bị giảm xuống Tuy nhiên, một số mô hình đã không tính đến các thăng giáng spin mặc dù các thăng giáng spin này đóng một vai trò quan trọng trong các hệ từ tính thấp chiều [10], [12], [15] Định lý Mermin

và Wagner [13] chỉ ra một cách tổng quát rằng các mô hình Heisenberg đẳng hướng một và hai chiều với các tương tác trao đổi vùng hữu hạn không thể là sắt

từ hoặc phản sắt từ ở nhiệt độ hữu hạn

Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu các tính chất nhiệt động lực học của

chuỗi spin lượng tử tuyến tính sắt từ với mô hình Heisenberg XXX với S tùy ý sử

dụng phương pháp tích phân phiếm hàm

2.2 Mô hình và các đại lượng nhiệt động lực học

Chúng tôi xét một chuỗi tuyến tính gồm N spin nằm dọc theo hướng z Hamiltonian của mô hình Heisenberg XXX với spin tùy ý S cho chuỗi spin một

chiều nằm trong một từ trường ngoài h theo hướng z có dạng:

, '

1

,2

H  hS  J z z S S S S S S  (2.1) trong đó: J z j z j'  J j j, '  J là tích phân trao đổi giữa spin Sj và spin Sj' với

Theo [17] phiếm hàm Fint[ ] có dạng đơn giản như sau:

Tính toán tích phân phiếm hàm, sử dụng phiếm hàm tương tác Gaussian, chúng

tôi nhận được biểu diễn cho hàm trạng thái của chuỗi spin với mô hình XXX:

+ Trong gần đúng trường trung bình

Nội năng U0được tính bởi công thức:

+ Trong gần đúng thăng giáng spin

Ta có biểu thức tính nội năng:

Thực hiện các phép tính đạo hàm theo  , ta thu được biểu thức nội năng trong gần đúng thăng giáng spin như sau:

+ Trong gần đúng trường trung bình

Công thức tính nhiệt dung riêng trong gần đúng trường trung bình:

+ Trong gần đúng thăng giáng spin

Từ công thức tính nhiệt dung riêng:

2.2.4 Độ từ hóa

+ Trong gần đúng trường trung bình

Ta có biểu thức độ từ hóa trong gần đúng trường trung bình:

+ Trong gần đúng thăng giáng spin

Chúng ta có thể thu được thêm các tính chất của chuỗi spin bằng cách tính

toán các hàm tương quan spin-spin:

2

f , ,

1

z

z k

f ,

f ,

b'

1 b'b

ở đây b' y là đạo hàm bậc nhất của hàm Brillouin  

Ta có công thức tính độ thăng giáng spin m , độ từ hóa trên mỗi spin m:

CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN

Trong chương này, chúng tôi sử dụng hằng số tương tác trao đổi giữa các

spin lân cận gần nhất J như một thang đo năng lượng mới, cụ thể trường ngoài sẽ được biểu diễn như h/J, nhiệt độ là kBT/J, độ cảm từ là J , năng lượng tự do là

F/J và nhiệt dung riêng là C/kB

3.1 Trong gần đúng trường trung bình (MFA)

(a) Sự phụ thuộc nhiệt độ của các đại lượng nhiệt động lực học

Sự phụ thuộc nhiệt độ của các đại lượng nhiệt động lực học như độ từ hóa, độ cảm từ, năng lượng tự do và nhiệt dung riêng trên mỗi spin khi không có từ trường

ngoài h/J=0,0 trong MFA, với S=1/2 được chỉ ra trong các hình 3.1 – 3.4 Các kết

quả tính số chỉ ra có sự chuyển pha bậc hai với các tham số được đưa ra như trên (hình 3.2 và 3.4) ứng với các đỉnh trong đồ thị biểu diễn độ cảm từ J và nhiệt

dung riêng C/kB theo nhiệt độ

Hình 3.1: Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa khi không có từ trường ngoài

Hình 3.2: Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm từ khi không có từ trường ngoài

k B T/J

S=1/2, h /J=0.0

m 0

Hình 3.3: Sự phụ thuộc nhiệt độ của năng lượng tự do khi không có từ trường ngoài

Hình 3.4: Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung riêng khi không có từ trường ngoài

(b) Sự phụ thuộc từ trường ngoài của các đại lượng nhiệt động lực học

Hình 3.5 và 3.6 biểu diễn sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa, độ cảm từ và

năng lượng tự do với các giá trị khác nhau của từ trường ngoài h/J Có thể thấy khi

h/J tăng dần, đỉnh của độ cảm từ cũng tăng dần về phía tăng của nhiệt độ, kết quả

này tương ứng với nhiệt độ chuyển pha tăng dần theo h/J, khi từ trường ngoài lớn

sẽ không còn xuất hiện sự chuyển pha bậc hai, tương ứng với trật tự từ của hệ spin

0 0.5 1 1.5

không thể bị phá hủy một cách hoàn toàn bởi một nhiệt độ hữu hạn khi có từ trường ngoài đủ lớn

Hình 3.5: Sự phụ thuộc nhiệt độ của năng lượng tự do ứng với các giá trị khác nhau của

từ trường ngoài

Hình 3.6: Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm từ ứng với sự thay đổi các giá trị của từ trường ngoài

Sự phụ thuộc từ trường ngoài của độ từ hóa được chỉ ra trong hình 3.7 khi nhiệt

k B T/J

k B T/J

tăng theo từ trường ngoài và cuối cùng đạt tới hằng số khi tất cả các spin định hướng hoàn toàn theo từ trường ngoài Đây là kết quả của sự cạnh tranh giữa năng lượng nhiệt và năng lượng từ (được gây ra bởi từ trường ngoài) của chuỗi spin

Hình 3.7: Sự phụ thuộc cường độ từ trường ngoài của từ độ khi S=1, kB T/J=0,3

3.1 Trong gần đúng thăng giáng spin (SFA)

Đầu tiên, trong SFA thông qua các kết quả tính số chúng tôi muốn chỉ ra trong các hệ thấp chiều khi không có từ trường ngoài với mô hình Heisenberg đẳng hướng không tồn tại trật tự từ (sắt từ hoặc phản sắt từ) nếu tương tác giữa các spin

là tương tác vùng hữu hạn Hình 3.8 chỉ ra sự phụ thuộc nhiệt độ của các thành phần của thăng giáng spin của chuỗi spin tuyến tính khi không có từ trường ngoài

Chúng ta có thể thấy là thành phần z của thăng giáng spin nhỏ hơn rất nhiều so với thành phần x và y Đó là bởi vì trong luận văn này chúng tôi xét từ trường ngoài và

do đó là trường trung bình theo phương z bên cạnh thăng giáng spin z

h/J

m 0

Hình 3.8: Sự phụ thuộc nhiệt độ của các thành phần của thăng giáng spin khi không có

từ trường ngoài h/J=0,0 Hình chèn vào chỉ ra thành phần z của thăng giáng spin

Vì vậy thăng giáng spin toàn phần rất lớn dẫn đến trật tự từ của các hệ thấp chiều

bị phá hủy theo công thức:

Hình 3.9 – 3.11 chỉ ra sự phụ thuộc nhiệt độ của thăng giáng spin, độ từ hóa và

độ cảm từ của chuỗi spin với các giá trị khác nhau của từ trường h/J trong gần

đúng thăng giáng spin (SFA) Từ các hình này có thể thấy là khi từ trường ngoài càng lớn thì các thăng giáng nhiệt càng nhỏ Đây là kết quả của sự cạnh tranh giữa năng lượng nhiệt và năng lượng từ (được gây ra bởi từ trường ngoài) Khi từ

trường nhỏ (ví dụ h/J=0,05 và h/J=0,1), thông qua đường biểu diễn độ cảm từ

chúng ta có thể thấy có chuyển pha bậc hai trong hệ (điểm kì dị của đường cong biểu diễn J theo kBT/J); khi từ trường lớn (ví dụ h/J=0,3 và h/J=0,5), chúng ta

không thể tìm thấy điểm chuyển pha này, như được chỉ ra trong hình 3.10 cho độ

từ hóa Đó là bởi vì dưới tác dụng của từ trường lên hệ spin, rất khó để phá vỡ trật

tự từ của hệ

Hình 3.9: Sự phụ thuộc nhiệt độ của thăng giáng spin với các giá trị khác nhau của từ

trường ngoài, ở đây S=1/2

Hình 3.10: Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa với các giá trị khác nhau của từ trường

ngoài trong SFA, ở đây S=1/2

Hình 3.11: Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm từ với các giá trị khác nhau của từ trường

h/J trong SFA

Mặc khác từ hình 3.11 có thể thấy độ cảm từ J triệt tiêu khi kBT/J rất nhỏ, do

đó J có một đỉnh cực đại ở T , ở đây m T m tăng và độ cảm của J giảm khi từ trường ngoài tăng, kết quả này hoàn toàn phù hợp với kết quả được chỉ ra trong [10] của nhóm tác giả I Juhász Junger cho S=1/2 với mô hình Heisenberg đẳng hướng sử dụng lý thuyết hàm Green bậc hai

Ngoài ra, sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm từ và độ từ hóa trong gần đúng trường trung bình còn được chỉ ra trong hình 3.12 – 3.14 Các kết quả về hành vi phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa và độ cảm từ trong MFA của công trình này phù hợp với các kết quả của nhóm tác giả I Juhász Junger [10] tốt hơn so với trong gần đúng thăng giáng spin Đó là bởi vì trong [10] mặc dù có xét đến các hàm tương quan spin-spin tuy nhiên các thăng giáng vẫn chưa được tính đến