Lập trình tính cơ sở groeber của iđêan các đa thức triệt tiêu trong vành zm = x1,…xn

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMTÔN NỮ QUỲNH MAI LẬP TRÌNH TÍNH CƠ SỞ GROEBNER CỦA IĐÊAN CÁC ĐA THỨC TRIỆT TIÊU TRONG VÀNH Z m [x 1 ,.. ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMTÔN NỮ QUỲNH MAI

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TÔN NỮ QUỲNH MAI

LẬP TRÌNH TÍNH CƠ SỞ GROEBNER CỦA IĐÊAN CÁC ĐA THỨC TRIỆT TIÊU TRONG VÀNH Z m [x 1 , , x n ]

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG: Nghiên cứu

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS PHAN VĂN THIỆN

Thừa Thiên Huế, năm 2017

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TÔN NỮ QUỲNH MAI

LẬP TRÌNH TÍNH CƠ SỞ GROEBNER CỦA IĐÊAN CÁC ĐA THỨC TRIỆT TIÊU TRONG VÀNH Z m [x 1 , , x n ]

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG: Nghiên cứu

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS PHAN VĂN THIỆN

Thừa Thiên Huế, năm 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoahọc độc lập của riêng tôi dưới sự định hướng củaPGS.TS Phan Văn Thiện Các số liệu sử dụng phântích trong luận án có nguồn gốc rõ ràng, đã công bốtheo đúng quy định Các kết quả nghiên cứu trongluận án do tôi tự tìm hiểu, phân tích một cách trungthực, khách quan Các kết quả này chưa từng đượccông bố trong bất kỳ nghiên cứu nào khác

Tôn Nữ Quỳnh Mai

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo, PGS.TS.Phan Văn Thiện Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự kính trọng đối vớiThầy Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiệnkhóa luận tốt nghiệp, đồng thời giúp tôi lĩnh hội được những kiến thức chuyênmôn và rèn luyện cho tôi tác phong nghiên cứu khoa học

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy cô Khoa Toán, các Thầy ởĐại học Huế và Viện Toán học đã dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho tôi trongsuốt quá trình học tập

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạosau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện cho tôi trong suốtkhóa học

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, các anh chị Cao học Toán khóaXXIV trường ĐHSP Huế chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số vì sự động viên,giúp đỡ trong quá trình học tập vừa qua

Ngày 15 tháng 09 năm 2017.Học viên thực hiện

Tôn Nữ Quỳnh Mai

Mục lục

1 Thuật toán tìm cơ sở Groebner của iđêan các đa thức triệt tiêu

1.1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1.1 Vành đa thức Zm[x1, , xn] Định lý Hilbert về cơ sở 5

1.1.2 Thứ tự từ trong vành Zm[x1, , xn] 7

1.1.3 Iđêan đơn thức Iđêan dẫn đầu 11

1.2 Cơ sở Groebner của iđêan các đa thức triệt tiêu trong vành Zm[x1, , xn] 14

1.2.1 Iđêan các đa thức triệt tiêu 16

1.2.2 Cơ sở Groebner mạnh tối tiểu của I0 17

1.2.3 Thuật toán tìm cơ sở Groebner mạnh tối tiểu trong vành Zm 21

2 Lập trình tính cơ sở Groebner của iđêan các đa thức triệt tiêu trong vành Zm[x1, , xn] bằng ngôn ngữ C 24 2.1 Tổ chức cấu trúc dữ liệu 24

2.1.1 Đơn thức trong Zm[x1, , xn] 24

2.1.2 Đa thức trong Zm[x1, , xn] 25

2.1.3 Hàm biểu diễn đa thức triệt tiêu p 30

2.2 Xây dựng chương trình 312.3 Một số ví dụ 42

LỜI NÓI ĐẦU

Năm 1970, Buchberger đã công bố nền tảng lý thuyết về cơ sở Groebner củaiđêan trong vành đa thức nhiều biến trên một trường Tám năm sau, năm 1978,W.Trinks đưa ra một cách tổng quát lý thuyết vành đa thức trên một vànhnoetherian, giao hoán Ông ấy đã trình bày khái niệm của cơ sở Groebner trongvành đa thức nhiều biến từ trường hợp trên một trường sang trường hợp trênmột vành Có thể thấy tính chất cơ bản của cơ sở Groebner trong các vành đathức nhiều biến trên một vành C rất được chú ý, song nó vẫn chưa được nghiêncứu nhiều Tuy nhiên, do ứng dụng tiềm năng và các tính chất thú vị nên nó

đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới, chẳng hạn nhưGreuel G., Seelish F., Wienand O., Adam W., (xem [5], [6])

Khi vành Zm chỉ có hữu hạn phần tử thì tồn tại các đa thức khác không trong

Zm[x1, , xn] triệt tiêu với mọi (a1, a2, , an) ∈ Zn, ta gọi là các đa thức triệttiêu Tất cả các đa thức triệt tiêu tạo thành một iđêan I0 Trên phương diệntoán học và tin học, I0 ⊂ Zm[x1, , xn] có một số tính chất thú vị (xem [5]).Luận văn sẽ đưa ra một cơ sở Groebner mạnh tối tiểu Gm của I0 Việc xâydựng chi tiết cơ sở Groebner mạnh tối tiểu của iđêan các đa thức triệt tiêu trongvành Zm[x1, , xn] với m ≥ 2 đã được chứng minh một cách hoàn toàn tổngquát ([5]) Điều đáng chú ý là việc xây dựng cơ sở Groebner không phụ thuộcvào thứ tự đơn thức và tập các từ dẫn đầu của cơ sở Groebner là duy nhất.Luận văn cũng trình bày lại một thuật toán đệ quy trong [5] để xây dựng một

cơ sở Groebner mạnh tối tiểu của iđêan các đa thức triệt tiêu trong Zm[x1, , xn].Phần cuối của luận văn là xây dựng một chương trình tính cơ sở Groebner mạnhtối tiểu của iđêan các đa thức triệt tiêu trong vành Zm[x1, , xn] bằng ngônngữ C dựa trên thuật toán trong [5]

Luận văn bao gồm hai chương:

Chương 1 : Thuật toán tìm cơ sở Groebner của iđêan các đa thức triệt tiêutrong vành Zm[x1, , xn]

Đầu tiên chương này trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản nhất củavành đa thức Zm[x1, , xn]

Tiếp theo chương này trình bày những khái niệm, nội dung những định lýcần thiết, liên quan đến việc xây dựng định nghĩa cơ sở Groebner của iđêan các

đa thức triệt tiêu và thuật toán để tìm nó trong vành Zm[x1, , xn], chương

này là tiền đề nghiên cứu cho chương sau.

Chương 2 : Lập trình tính cơ sở Groebner của iđêan các đa thức triệt tiêutrong vành Zm[x1, , xn] bằng ngôn ngữ C

Đây là phần chính của luận văn Nội dung trình bày cách biểu diễn dữ liệu,một vài ý kiến trong việc sử dụng thuật toán tính cơ sở Groebner mạnh tối tiểutrong [5] Cuối chương là chương trình tính cơ sở Groebner, các ví dụ chạy mẫu

và nhận xét

Chương 1

Thuật toán tìm cơ sở Groebner của iđêan các đa thức triệt tiêu trong vành Z m [x 1 , , x n ]

Trong suốt luận văn này ta sẽ xét vành đa thức Zm[x1, , xn] với m ≥ 2.Tài liệu tham khảo chính của chương là [1], [5], [6]

1.1.1 Vành đa thức Zm[x1, , xn] Định lý Hilbert về cơ sở.

Xét vành đa thức Zm[x1, , xn] với các biến x1, x2, , xn (n ≥ 1) Ta gọiđơn thức là biểu thức có dạng:

xα1

1 xα2

2 · · · xα n

n

trong đó (α1, , αn) ∈ Nn được gọi là bộ số mũ của đơn thức Nếu α1 = · · · =

αn = 0 thì đơn thức là 1 Phép nhân trên tập các đơn thức được định nghĩa nhưsau:

n , trong đó a ∈ Zm được gọi là hệ số của

từ Thông thường phần tử của vành cơ sở Zm được gọi là phần tử vô hướng Hai

trong đó aα ∈ Zm và chỉ có một số hữu hạn hệ số aα 6= 0 Từ aαxα với aα 6= 0được gọi là từ của đa thức f (x) và xα là đơn thức của f (x).

Đối với đa thức một biến, bậc tổng thể chính là bậc thông thường Đôi khibậc tổng thể của đa thức nhiều biến cũng gọi tắt là bậc, nếu như không có sựhiểu nhầm nào xảy ra

Định nghĩa 1.1.2 [6, tr.6] Cho I là iđêan của vành Zm[x1, , xn] Nếu tồntại các đa thức f1, f2, , fs ∈ Zm[x1, , xn] sao cho I = hf1, f2, , fsi thì Iđược gọi là có tập sinh hữu hạn hay hữu hạn sinh

Định lý 1.1.3 [6, tr.6] Cho vành Zm[x1, , xn] , các mệnh đề sau tương đương:(i) Với mọi iđêan I ⊆ Zm[x1, , xn] tồn tại f1, f2, , fs∈ I sao cho

I = hf1, f2, , fsi

(ii) Mọi dãy tăng các iđêan của Zm[x1, , xn] như sau:

I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ In ⊆ · · ·tồn tại N sao cho IN = IN +1 = IN +2 = · · ·

Tức là, vành Zm[x1, , xn] là Noetherian nếu và chỉ nếu mọi iđêan của

Zm[x1, , xn] đều có tập sinh hữu hạn

Chứng minh (i) =⇒ (ii) Đặt:

Định nghĩa 1.1.5 Quan hệ thứ tự tốt trên một tập M là một quan hệ thứ

tự toàn phần trên M với thuộc tính là mọi tập con không rỗng của M có mộtphần tử bé nhất trong quan hệ thứ tự này Tập M cùng với quan hệ thứ tự tốtđược gọi là tập được sắp thứ tự tốt

Ví dụ 1.1.6 Tập N với quan hệ thứ tự thông thường ≤ trên các số là tập đượcsắp thứ tự tốt Tập Z với quan hệ thứ tự thông thường ≤ không phải là tậpđược sắp thứ tự tốt bởi vì nó không có phần tử bé nhất

Thứ tự từ trong vành đa thức một biến là thứ tự được xác định bởi bậc củađơn thức Vậy với đa thức số biến từ hai trở lên thứ tự từ được xác định như thếnào? Dưới đây ta sẽ thiết lập một số tính chất chung của thứ tự từ và các cáchxác định thứ tự từ

Mệnh đề 1.1.7 [1, tr.76] Mọi thứ tự toàn phần ≤ trên M là thứ tự tốt khi vàchỉ khi mọi dãy đơn thức thực sự giảm:

m1 > m2 > m3 > · · ·

sẽ dừng (sau hữu hạn phần tử).

Chứng minh Nếu ≤ không là thứ tự tốt thì tồn tại tập con A ⊆ M không cóphần tử nhỏ nhất Lấy m1 là một phần tử tùy ý từ A Vì A không có phần tửnhỏ nhất nên tìm được m2 < m1 trong A Tiếp tục như vật sau khi tìm được nđơn thức m1 > m2 > m3· · · > mn trong A, ta lại tìm được mn+1 ∈ A sao cho

mn > mn+1 Bằng quy nạp ta xây dựng được một dãy vô hạn các đơn thức thực

sự giảm

Ngược lại, nếu có một dãy vô hạn các đơn thức thực sự giảm thì dãy đó không

có phần tử nhỏ nhất Vì vậy thứ tự đã cho không phải là thứ tự tốt

Mệnh đề 1.1.8 [1, tr.76] Mọi thứ tự từ là thứ tự tốt Ngược lại mọi thứ tự tốttrên M thỏa điều kiện (b) của Định nghĩa 1.1.4 là thứ tự từ

Chứng minh Xem [1, tr.76]

Sau đây là một số thứ tự từ quan trọng

Định nghĩa 1.1.9 [1, tr.77] Thứ tự từ điển (lexicographic order) trên tập cácđơn thức trong vành Zm[x1, , xn], kí hiệu là ≤lex, là thứ tự từ được xác địnhnhư sau:

nếu thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của vectơ (α1− β1, , αn−

βn) là một số âm (tức là, nếu tồn tại 0 ≤ i < n sao cho α1 = β1, , αi = βi,nhưng αi+1 < βi+1.)

Ví dụ 1.1.10 Với các đơn thức 3 biến bậc tổng thể không quá 2, ta có:

1 < x3 < x23 < x2 < x2x3 < x22 < x1 < x1x3 < x1x2 < x21

Định nghĩa 1.1.11 [1, tr.77] Thứ tự từ điển phân bậc (graded lex order) trêntập các đơn thức trong vành Zm[x1, , xn], kí hiệu là ≤glex, là thứ tự từ đượcxác định như sau:

Ví dụ 1.1.12 Với các đơn thức 3 biến bậc tổng thể không quá 2, ta có:

1 < x3 < x2 < x1 < x23 < x2x3 < x22 < x1x3 < x1x2 < x21

Định nghĩa 1.1.13 [1, tr.78] Thứ tự từ điển ngược (reverse lex) trên tập cácđơn thức trong vành Zm[x1, , xn], kí hiệu là ≤rlex, là thứ tự từ được xác địnhnhư sau:

deg(f ) = max{|α(i)||0 ≤ i ≤ k} Bậc tổng thể của f

tự từ đã chọn

Ví dụ 1.1.16 Cho f = x3 + 3x2yz − 2xy2 + 4z2+ 6xy3 Viết theo thứ tự các

từ giảm dần, ta có:

a) Đối với thứ tự từ điển mà x > y > z:

f = x3+ 3x2yz + 6xy3− 2xy2+ 4z2 và LT≤lex(f ) = x3

b) Đối với thứ tự từ điển phân bậc mà x > y > z:

f = 3x2yz + 6xy3+ x3− 2xy2 + 4z2 và LT≤glex(f ) = 3x2yz

c) Đối với thứ tự từ điển ngược mà x > y > z:

f = 6xy3+ 3x2yz + x3− 2xy2 + 4z2 và LT≤rlex(f ) = 6xy3

Một số tính chất cơ bản của các từ dẫn đầu đối với một thứ tự từ ≤ nào đótrong quan hệ với các phép toán trên vành Zm[x1, , xn]

Bổ đề 1.1.17 Cho f, g ∈ Zm[x1, , xn] và m ∈ M, với M là tập các đơn thứccủa nó Khi đó:

(a) Với mọi i, j: LT (f )LT (g) 6= 0, LT (f )nj < LT (f )LT (g) và miLT (g) <

LT (f )LT (g) Do đó LT (f )LT (g) không giản ước được với các từ nào sau khi

bỏ ngoặc của tích f g và là từ lớn nhất Vì vậy LT (f g) = LT (f )LT (g)

(c) Không mất tính tổng quát có thể giả thiết LT (f ) ≥ LT (g) Nếu LT (f ) >

LT (g) thì

f + g = LT (f ) + LT (g) + Σmi+ Σnj

Ta có LT (f ) > LT (g) > nj nên LT (f ) > nj Theo định nghĩa từ khởi đầu ta lại

có LT (f ) > mi Vậy từ LT (f ) lớn nhất trong tổng trên và không giản ước đượcvới các từ khác, nên

Nếu LT (f ) = −LT (g) thì f + g = Σmi + Σnj Như vậy hoặc f + g = 0, hoặc

LM (f + g) = LM (mi) < LM (f ), hoặc LM (f + g) = LM (nj) < LM (g) (i, j nàođó) Vì vậy

LM (f + g) ≤ max{LM (f ), LM (g)}

Chú ý 1.1.18 Bất đẳng thức ở khẳng định (c) ở trên cũng thường được viếtdưới dạng:

LT (f + g) ≤ max{LT (f ), LT (g)},trong đó khi LM (f ) = LM (g) thì max{LT (f ), LT (g)} được hiểu như αLM (f )với 0 6= α ∈ Zm

1.1.3 Iđêan đơn thức Iđêan dẫn đầu.

Định nghĩa 1.1.19 [1, tr.42] Iđêan I ⊂ Zm[x1, , xn] được gọi là iđêan đơnthức nếu nó sinh bởi các đơn thức

Như vậy một iđêan đơn thức có dạng I = (xα; α ∈ A), trong đó x =(x1, , xn), α = (α1, , αn) ∈ Nn, A ∈ Nn

Ví dụ 1.1.20 I = (xy; x2y; y3)

Bổ đề 1.1.21 [1, tr.42] Cho I = (xα; α ∈ A) là iđêan đơn thức Đơn thức

xβ ∈ I khi và chỉ khi xβ chia hết cho một đơn thức xα với α ∈ A nào đó

Chứng minh Nếu xβ chia hết cho một đơn thức xα với aα ∈ A thì xβ ∈ Itheo định nghĩa của iđêan Ngược lại nếu xβ ∈ I thì xβ =

Bổ đề 1.1.22 [1, tr.42] Cho I là iđêan đơn thức và f ∈ Zm[x1, , xn] Cácđiều kiện sau tương đương:

(i) f ∈ I

(ii) Mọi từ của f thuộc I

(iii) f là tổ hợp tuyến tính trên Zm[x1, , xn] của các đơn thức thuộc I

Chứng minh Rõ ràng ta có (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i) Để chứng minh (a) ⇒ (c) ta cũng

có nhận xét giống Bổ đề trên, mỗi từ của f phải chia hết cho xα với α ∈ A nào

đó Mà mọi đơn thức chia hết cho xa lại thuộc I Do đó mỗi từ của f là tíchcủa một đơn thức thuộc I và một phần tử từ Zm[x1, , xn], tức là f là tổ hợptuyến tính trên Zm[x1, , xn] của các đơn thức thuộc I

Hệ quả 1.1.23 [1, tr.43] Hai iđêan đơn thức trong một vành đa thức bằng nhaunếu chúng chứa cùng một tập đơn thức

Bổ đề 1.1.24 [1, tr.43] Iđêan I là iđêan đơn thức khi và chỉ khi với mọi f ∈ I,các từ của f đều thuộc I

Chứng minh Điều kiện cần suy ra Bổ đề 1.1.22 Từ giả thiết suy ra tập tất cảcác đơn thức của các đa thức trong I sẽ sinh ra I Do đó điều kiện đủ đượcchứng minh

Bổ đề 1.1.25 [1, tr.43] (Bổ đề Dickson) Mọi iđêan đơn thức I = (xα; α ∈ A)bao giờ cũng viết được dưới dạng I = (xα(1), , xα(s)), trong đó α(1), , α(s) ∈

A Nói riêng I là hữu hạn sinh

Chứng minh Xem [1, tr.43]

Định nghĩa 1.1.26 [1, tr.43] Cho I là iđêan của Zm[x1, , xn] và ≤ là mộtthứ tự từ Iđêan dẫn đầu của I, kí hiệu là LT≤(I), là iđêan của Zm[x1, , xn]sinh bởi các từ dẫn đầu của các phần tử của I, nghĩa là:

LT≤(I) = hLT≤(f )|f ∈ IiCũng như trên ta sẽ viết LT (I) thay vì LT≤(I) nếu ≤ đã rõ

Chú ý 1.1.27 Thấy rằng LT (f ) và LM (f ) chỉ khác nhau bởi một hằng sốkhác 0 nên LT (I) = hLM (f )|f ∈ Ii, và do đó LT (I) là iđêan đơn thức

Bổ đề 1.1.28 [1, tr.85] Cho ≤ là một thứ tự từ và I, J là hai iđêan của

Zm[x1, , xn] Khi đó:

(a) Tập tất cả các đơn thức trong LT (I) là tập {LM (f )|f ∈ I}

(b) Nếu I là iđêan đơn thức thì LT (I) = I

(c) Nếu I ⊆ J thì LT (I) ⊆ LT (J ) Hơn nữa nếu I ⊆ J và LT (I) = LT (J ) thì

I = J

(d) LT (I)LT (J ) ⊆ LT (IJ )

(e) LT (I) + LT (J ) ⊆ LT (I + J )

Chứng minh (a) Do LT (I) = {LM (f )|f ∈ I} là một iđêan đơn thức nên theo

Bổ đề 1.1.21 thì với mọi đơn thức m ∈ LT (I) ta đều có m = LM (f )·m0, trong

đó f ∈ I và m0 ∈ M Lại theo Bổ đề 1.1.17(b), m = LM (f ) · m0 = LM (m0f )

và m0 ∈ I Vậy m ∈ {LM (f )|f ∈ I} Điều ngược lại đương nhiên đúng.(b) Vì I là iđêan đơn thức, nên I sinh bởi một tập đơn thức A nào đó Với mỗi

m∈ A, m = LT (m) ∈ LT (I), nên A ⊆ LT (I), do đó I ⊆ LT (I)

Ngược lại, nếu f ∈ I là phần tử tùy ý thì theo các Bổ đề 1.1.21 và 1.1.22,

LT (f ) chia hết cho đơn thức m ∈ A nào đó Lại theo Bổ đề 1.1.21, LT (f ) ∈

I Suy ra LT (I) ⊆ I, tức là LT (I) = I

(c) Với mọi f ∈ I thì LT (f ) ∈ LT (I) Do I ⊆ J nên f ∈ J Suy ra LT (f ) ∈

h ∈ J \ I Mặt khác, theo Bổ đề 1.1.17(c) ta lại có LM (h) < LM (f ) Điềunày mâu thuẫn với việc chọn f Vậy I = J

(d) Vì LT (I)LT (J ) sinh bởi các từ LT (f )LT (g), trong đó f ∈ I và g ∈ J , và theo

Bổ đề 1.1.17(a) LT (f g) = LT (f )LT (g), nên ta có LT (f )LT (g) ⊆ LT (IJ )(e) Với mọi f ∈ LT (I) + LT (J ) thì tồn tại g ∈ I, h ∈ J sao cho

f = LT (g) + LT (h)Mặt khác, g ∈ I ⊆ I + J và h ∈ J ⊆ I + J nên LT (g), LT (h) ∈ LT (I + J )

Do đó f ∈ (I + J ) Suy ra LT (I) + LT (J ) ⊆ LT (I + J )

1.2 Cơ sở Groebner của iđêan các đa thức triệt tiêu

Với hai đơn thức axα, bxβ ta nói axα là ước của bxβ nếu a|mb ∧ α  β Tathường kí hiệu axα|bxβ

Định nghĩa 1.2.1 [5, tr.563] Cho một iđêan I ⊂ Zm[x1, , xn] Một tập hữuhạn G ⊂ I được gọi là một cơ sở Groebner của I nếu:

L(I) = L(G)Nhìn chung, tất cả những điều được định nghĩa trên phụ thuộc vào thứ tự từđược chọn Đặc biệt, một tập G có thể là cơ sở Groebner chỉ với một thứ tự từnhất định nào đó Chú ý rằng, với định nghĩa đã cho I sinh bởi G

Định nghĩa 1.2.2 [5, tr.563] Cơ sở Groebner G được gọi là một cơ sở Groebnermạnh nếu với mọi f ∈ I \ {0}, tồn tại đa thức g ∈ G sao cho LT (g)|LT (f ).Định nghĩa 1.2.3 [5, tr.563] G là một cơ sở Groebner mạnh được gọi là cơ sởGroebner mạnh tối tiểu nếu LT (g1) - LT (g2) với mọi g1, g2 ∈ G phân biệt.Lưu ý rằng nếu Zm là một trường ( với m là số nguyên tố), bất kỳ hệ sốkhác không của một từ đều có phần tử khả nghịch trong Zm, khi đó LT (f ) =

a · LM (f ) với a ∈ Zm do đó ∃a−1 ∈ Zm : a−1· LT (f ) = LM (f ) ∈ L(I), vì vậyL(I) = hLM (f )|f ∈ Ii Dễ dàng kiểm chứng được trong trường hợp này tất cả

cơ sở Groebner là một cơ sở Groebner mạnh Điều này nhìn chung không đúngkhi Zm là một vành Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.2.4 Xét Z6[x] là vành đa thức một biến Khi đó G = {2x, 3x} là một

cơ sở Groebner của iđêan I = hxi

Nhưng vì 2x và 3x đều không là ước của x Do đó G không là một cơ sởGroebner mạnh

Bổ đề 1.2.5 [1, tr.88] Cho I là một iđêan tùy ý của Zm[x1, , xn] Nếu

g1, , gs là cơ sở Groebner của I đối với một thứ tự từ nào đó, thì g1, , gs là

cơ sở của I

Chứng minh Đặt J = (g1, , gs) ⊆ I Vì LT (I) = (LT (g1), , LT (gs)) ⊆

LT (J ) ⊆ LT (I), nên LT (J ) = LT (I) Theo Bổ đề 1.1.28 (c), ta có I = J

Như vậy, việc xác định iđêan dẫn đầu tương đương với việc tìm một cơ sởGroebner của I (đối với một thứ tự từ nào đó) Tuy nhiên việc này không đơngiản vì không phải mọi cơ sở của I là cơ sở Groebner của I Hơn nữa, một cơ

sở đã cho của I có thể là cơ sở Groebner đối với thứ tự này, nhưng không là cơ

sở Groebner đối với thứ tự khác

Ví dụ 1.2.6 i) Cho I = (xy, y3) ⊆ Zm[x, y] và f1 = xy, f2 = xy − y3 Cho

x > y Khi đó LT≤lex(f1) = LT≤lex(f2) = xy, nên {f1, f2} không là cơ sởGroebner của iđêan I đối với ≤lex, vì LT≤lex(I) = I Tuy nhiên LT≤glex(f1) =

LT≤rlex(f1) = xy, LT≤glex(f2) = LT≤rlex(f2) = y3và LT≤glex(I) = LT≤rlex(I) =

I nên f1, f2 là cơ sở Groebner của iđêan I đối với thứ tự từ điển phân bậc

iii) Cho I = (x + y, y + z) ⊆ Zm[x, y, z] và xét thứ tự từ điển với x > y > z

Ta sẽ chứng tỏ x + y, y + z là cơ sở Groebner của I Thật vậy mọi phần tử

0 6= f ∈ I có dạng f = g.(x + y) + h.(y + z) Nếu LT (f ) không chứa x và

y thì f chỉ chứa biến z, tức f = f (z) Thay x = z và y = −z vào biểu thứcvừa nêu của f , ta có f = f (z) = g(z, −z, z).0 + h(z, −z, z).0 = 0, vô lý Vậy

LT (f ) ∈ (x, y) = (LT (x + y), LT (y + z)), hay x + y, y + z là cơ sở Groebnercủa I đối với thứ tự từ điển

1.2.1 Iđêan các đa thức triệt tiêu.

Định nghĩa 1.2.7 [5, tr.564] Cho đa thức f ∈ Zm[x1, , xn], hàm đa thứccủa f là:

e

f : Znm → Zm(c1, , cn) 7−→ f (c1, , cn)Khi đó, ta gọi f là một đa thức triệt tiêu nếu hàm ef đồng nhất không.Tập I0 = {f ∈ Zm[x1, , xn]|f là một đa thức triệt tiêu} là một iđêan trong

Zm[x1, , xn] và được gọi là iđêan các đa thức triệt tiêu

Bổ đề 1.2.8 [5, tr.564] Xét a ∈ Z và α = (α1, , αn) ∈ Nn sao cho m|Zaα!.Khi đó

Vì vậy pα,a(c1, c2, , cn) = 0 theo modulo m

Bổ đề 1.2.9 [5, tr.564] Cho f ∈ I0 ⊂ Zm[x1, x2, , xn] là một đa thức triệttiêu tùy ý với LT (f ) = bxβ Khi đó m|Zbβ!

Chứng minh Cho Zm[x1, x2, , xn] là vành đa thức n biến (n ≥ 1) và h ∈

Zm[x1, x2, , xn] là một đa thức Khi đó ta định nghĩa sai phân riêng thứ i

∇ih = h(x1, , xi−1, xi+ 1, xi+1, , xn) − h(x1, , xi−1, xi, xi+1, , xn).với 1 ≤ i ≤ n, ∇i là một toán tử tuyến tính Và

∇0

ih = h, và ∇k+1i h = ∇i∇k

ih, với k ≥ 0

Rõ ràng, ∇i∇jh = h(x1, , xi+1, , xj+1, , xn)−h(x1, , xi+1, , xn)−h(x1, , xj + 1, , xn) + h(x1, , xn) = ∇j∇ih, với mọi i, j ∈ {1, , n}, ta

không phụ thuộc vào thứ tự của các ∇i.

Xét sai phân (xi+ 1)k − xk

i = k · xk−1i + g(xi), với deg(g) < k − 1

Bằng quy nạp ta có: ∇kixki = k! và ∇jixki = 0, với mọi j > k

Ta kí hiệu axα = LT (h) là từ dẫn đầu của h Khi đó, nhờ vào sự tuyến tínhcủa toán tử ∇i ta có:

∇αh = aα! và ∇βh = 0, với mọi β  a

Áp dụng đẳng thức thứ nhất cho đa thức triệt tiêu f trên vành Zm Khi đó:

∇βf = bβ! là một đa thức triệt tiêu

Vì vậy bβ! = 0 theo modulo m

1.2.2 Cơ sở Groebner mạnh tối tiểu của I0

Định nghĩa 1.2.10 [5, tr.566] Xét vành đa thức Zm[x1, x2, , xn] Ta địnhnghĩa các tập như sau:

Trước khi chứng minh định lý, ta xem ví dụ sau

Ví dụ 1.2.12 Cho m = q1· q2· · · qk là tích của k số nguyên tố phân biệt, k ≥ 1

trong mỗi hàng i ∈ {1, 2, , n} Xét hàng đa thức thứ nhất trong Gm, vì qk!chia hết cho mọi qj, ∀j, do đó m|Zqk!

Ta có với mọi r < qk, qk -Z r!, tức là m -Z r! Lâp luận tương tự cho những

đa thức còn lại Hơn nữa, mọi phần tử Gm điều chỉ chứa một biến và những đathức được nhắc đến điều là phần tử của Gm

Trong trường hợp đặc biệt |Gm| = k · n và bậc cao nhất là qk Điều đó cónghĩa là độ lớn của cơ sở chỉ phụ thuộc vào số biến

Trường hợp k = 1, Z/q1 là một trường, ta chỉ thu được n đa thức ở hàng đầutiên

Chứng minh Xét m ≥ 2, n biến với n ≥ 1 và một thứ tự từ tùy ý Trước hết tacần chừng minh Gm là cơ sở Groebner của I0 Tức là chứng minh:

i) Gm là tập hữu hạn

ii) Gm ⊂ I0

iii) L(I0) ⊂ L(Gm)

Ta có Gm ⊂ I0 ⇒ L(Gm) ⊂ L(I0)

i)Vì (α, a) ∈ Sm nên α  (m, m, , m) Do đó, Gm là tập hữu hạn

ii) Gm bao gồm đa thức pα,a với m|Zaα! Khi đó, Gm ⊂ I0 theo Bổ đề 1.2.8.iii) Xét f ∈ L(I0) bất kỳ, tồn tại số nguyên N ≥ 1, hi ∈ Zm[x1, x2, , xn] và

Đặt aixα(i) = LT (fi), ta có m|Zaiα(i)! theo Bổ đề 1.2.9 Mà (α(i), ai) là một phần

tử của Sm Hay ta có thể thay ai bởi bi|Zai hoặc α(i) bởi β(i) với β(i)  α(i) saocho (β(i), bi) ∈ Sm Ta có thể gộp hai trường hợp ở trên với mỗi i ∈ {1, 2, , N }

có (β(i), bi) ∈ Sm sao cho bixβ(i)|LT (fi) Với đa thức gi thích hợp, 1 ≤ i ≤ N tacó:

Tiếp theo, cho f ∈ I0 Khi đó, với lập luận tương tự như fi ở trên, tồn tại

pγ,c ∈ Gm sao cho LT (pγ,c)|LT (f ) Điều này chứng tỏ rằng Gm là một cơ sởGroebner mạnh

Phần còn lại ta chứng minh Gm tối tiểu.

Lấy hai cặp (α, a), (β, b) ∈ Sm sao cho axα|bxβ Khi đó a|mb, a|Zm, b|Zm, và

α  β Ta cần chứng minh a = b và α = β

Xét trên Z, cho một thừa số nguyên tố q của b và k ≥ 1 lớn nhất sao cho

qk|Zb Giả sử qk -Z a Khi đó aα! hơn bα! ít nhất là một thừa số q trong phântích thành thừa số nguyên tố Nhưng vì m|Zaα!, ta có m|Zb/q · α!|Zb/q · β!, và bkhông phải phần tử nhỏ nhất trong (β, b) ∈ Sm Tóm lại b|Za

Ta viết a = d · b với d|Zm Ta có a|mb, tức là m|Za · c − b với c bất kỳ Tanhận được b · d = a|Zm do đó b · d|Zbcd − b = b(cd − 1) Vì vậy d|Z(cd − 1) suy

ra d = 1, dó đó a = b Vì vậy ta cũng có α = β, bởi vì nói cách khác β không làphần tử tối tiểu trong (β, b) ∈ Sm

Định lý 1.2.13 [5, tr.567]

a) Cho G, F là hai cơ sở Groebner mạnh tối tiểu của iđêan I ⊂ C[x1, x2, , xn],với C là vành giao hoán có đơn vị là 1 Khi đó |G| = |F | và:

∀g ∈ G, ∃f ∈ F, ∃c ∈ C : LT (g) = c · LT (f ) (∗)b) Nếu C = Zm và I = I0 thì c trong (∗) là phần tử đơn vị của Zm

Chú ý rằng phát biểu b) đúng với mọi iđêan, nếu vành C là một miền xác định.Chứng minh a) Với mọi g ∈ G ⊂ I Vì F là cơ sở Groebner mạnh nên với f ∈ Fthì LT (f )|LT (g) Hơn nữa, do G là cơ sở Groebner mạnh nên tồn tại g0 ∈ G saocho LT (g0)|LT (f ) Do đó, LT (g0)|LT (f )|LT (g), suy ra g = g0 ( vì G tối tiểu).Nhưng đơn thức dẫn đầu LM (f ) và LM (g) như nhau, do đó ta cần tìm mốiliên hệ giữa LT (f ) và LT (g)

Tương tự lập luận trước, dễ dàng thấy được nếu tồn tại f, f0 ∈ F sao cho

LT (g) = c · LT (f ) và LT (g) = c · LT (f0) thì LT (f ) = LT (f0) Do đó ta có đẳngthức |{LT (g)|g ∈ G}| = |{LT (f )|f ∈ F }|, rõ ràng |G| = |F | (vì G và F tốitiểu)

b) Chọn G = Gm là cơ sở Groebner , và F là cơ sở Groebner mạnh tối tiểubất kỳ của I0 ⊂ Zm[x1, x2, , xn] Xét một quan hệ tượng tự như (∗), tức là

b · xβ = c · a · xα, với (β, b) ∈ Sm và a · xα là từ dẫn đầu của f ∈ F Khi đó

b = a · c mod m hay m|Zac − b

Xét ea = gcd(a, m) là ước chung lớn nhất của a và m, ta có a = ea · u, vớigcd(u, m) = 1 điều này có nghĩa u là phần tử đơn vị trong Zm Vìea|Zm|Zac − b,

ta có ea|Zb

Ta cần chứng minh ea = b, bằng phản chứng, giả sửea < b f ∈ F ⊂ I0 suy ram|Zaα! theo Bổ đề 1.2.9, như vậy m|Zaα! =eaβ! vì thừa số trong a/ea không ảnhhưởng đến phép chia cho m, vậy nên hiển nhiên α = β Nhưng điều đó có nghĩa

là ta có thể thay b bằng một số ea nhỏ hơn mà vẫn đảm bảo điều kiện m|Zeaβ!.Điều này mâu thuẫn với với tính tối tiểu của b trong (β, b) ∈ Sm Vì vậy ea = b

Ta có khẳng định u · bxβ = axα, và c có thể được thay bởi phần tử đơn vị

Chú ý 1.2.14 Với số c bất kỳ, mối quan hệ giữa hai từ dẫn đầu không nhấtthiết là một phần tử đơn vị

Ví dụ 1.2.15 Xét đa thức f (x, y) = 3(x − 1)(x − 2) · (y − 1)(y − 2) ∈ G12 Ta cóthể chuyển sang một cơ sở Groebner mạnh tối tiểu khác của I0 ⊂ Z12[x, y], thay

f (x, y) bởi f0(x, y) = 9(x − 1)(x − 2) · (y − 1)(y − 2) Lưu ý rằng trên Z12 iđêan

hf i và hf0i là đồng nhất Do đó, Gm \ {f } ∪ {f0} vẫn là một cơ sở Groebnermạnh tối tiểu Rõ ràng LT (f0) = 3 · LT (f ), nhưng 3 không phải phần tử đơn vịtrong Z12

Ta chỉ ra rằng cơ sở Groebner mạnh tối tiểu nhìn chung không duy nhất.Điều này là do ta chỉ xét từ dẫn đầu mà không yêu cầu phần dư ở đây Ví dụ,trong trường hợp của iđêan I0, ta có thể dễ dàng thay đổi cơ sở Gm và vẫn cómột cơ sở Groebner mạnh tối tiểu Để chứng minh điều này, ta cho f, g ∈ Gmvới LM (g) < LM (f ) và thay f bởi f + g

Nhắc lại sự phức tạp của Gm, ta có |Gm| là một hàm theo biến n Theo Ví

dụ 1.2.12 thì |Gm| là một hàm tuyến tính theo n, đồng thời các thừa số nguyên

tố của m là phân biệt Tổng quát, ta có m = qe1

1 · qe2

2 · · · qek

k , trong đó các ej > 1.Nếu xét trường hợp đặc biệt m = qk, với việc chọn m hợp lý, ta suy ra kíchthước của Gm là một đa thức theo n Ta xét sự giới hạn của |Gm| khi n lớn Giả

sử n > m = qk thì Gm được biểu diễn dưới dạng: