Khảo sát tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) lẻ

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMLÂM THỊ TUYẾT NHUNG KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI PHOTON TÍCH SU 1,1 LẺ Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ V

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÂM THỊ TUYẾT NHUNG

KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI PHOTON TÍCH SU (1,1) LẺ

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN

Mã số : 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

Thừa Thiên Huế, năm 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Cáckết quả, số liệu, đồ thị được nêu trong luận văn là trung thực, được cácđồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳmột công trình nghiên cứu nào khác

Huế, tháng 10 năm 2017Tác giả luận văn

Lâm Thị Tuyết Nhung

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp này, tôi xin đặc biệt bày tỏlòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Trương Minh Đức đã tậntâm giảng dạy, hướng dẫn, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện cho tôi trongsuốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô trong khoa Vật Lý vàphòng Đào tạo sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế

đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn tôi trong quá trình học tập và hoànthành luận văn này

Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình cùng bạn bè,các anh, chị học viên Cao học khóa 24 đã động viên, góp ý, giúp đỡ vàtạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài

Huế, tháng 10 năm 2017Tác giả luận văn

Lâm Thị Tuyết Nhung

MỤC LỤC

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

Danh sách hình vẽ 7

MỞ ĐẦU 8

NỘI DUNG 12

Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 12

1.1 Trạng thái kết hợp 12

1.1.1 Định nghĩa 12

1.1.2 Các tính chất của trạng thái kết hợp 16

1.1.3 Trạng thái kết hợp thêm photon 19

1.2 Trạng thái nén 20

1.3 Một số tính chất phi cổ điển 22

1.3.1 Tính chất nén tổng 22

1.3.2 Tính chất nén hiệu 24

1.3.3 Tính chất nén Hillery bậc cao 24

1.3.4 Tính chất phản kết chùm bậc cao 25

1.3.5 Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 27

1.4 Các tiêu chuẩn đan rối 28

1.4.1 Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy 28

1.4.2 Tiêu chuẩn đan rối entropy von Newmann 30

Chương 2 KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT NÉN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI PHOTON TÍCH SU (1,1) LẺ 33

2.1 Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ 33

2.1.1 Trạng thái hai mode kết hợp SU (1,1) 33

2.1.2 Trạng thái hai mode kết hợp SU (1,1) lẻ 34

2.1.3 Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ 35

2.2 Khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ 37

2.3 Khảo sát tính chất nén hiệu của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ 41

2.4 Khảo sát tính chất nén Hillery bậc cao của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ 46

Chương 3 KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM VÀ SƯ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI PHOTON TÍCH SU (1,1) LẺ 53

3.1 Khảo sát tính chất phản kết chùm của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ 53

3.1.1 Trường hợp tổng quát 53

3.1.2 Trường hợp l =1, p=1 56

3.1.3 Trường hợp l =2, p=1 57

3.1.4 Trường hợp l =2, p=2 57

3.1.5 Trường hợp l =3, p=1 58

3.1.6 Trường hợp l =3, p=2 58

3.1.7 Trường hợp l =3, p=3 59

3.1.8 Trường hợp l =4, p=3 59 3.2 Khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của

trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU ( 1,1) lẻ 61

Chương 4 KHẢO SÁT TÍNH CHẤT ĐAN RỐI CỦA

TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI

PHOTON TÍCH SU (1,1) LẺ 654.1 Khảo sát tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợp

thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ bằng tiêu chuẩn đan rối

Hillery-Zubairy 654.2 Khảo sát tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợp

thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ bằng tiêu chuẩn đan rối

entropy von Newmann 69KẾT LUẬN 73

DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

Hình 2.1 Sự phụ thuộc của S của trạng thái hai mode kết hợp

thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0 (đườngchấm chấm gạch), q = 2 (đường chấm gạch) vàtrạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ khi q = 0(đường nét liền), q = 2 (đường nét đứt) vào biên độkết hợp r 40Hình 2.2 Sự phụ thuộc của tham số nén hiệu D của trạng thái

hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻkhi q = 1 (đường nét liền), q = 2 (đường nét đứt),

q = 3 (đường chấm chấm gạch) vào biên độ kết hợp

r 45Hình 2.3 Sự phụ thuộc của tham số H2(φ) của trạng thái hai

mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi

q = 0 (đường nét liền), q = 1 (đường nét đứt), q = 2(đường chấm chấm gạch) vào biên độ kết hợp r 49Hình 3.1 Sự phụ thuộc của Aab(1, 1) của trạng thái hai mode

kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0(đường chấm chấm gạch), q = 3 (đường chấm gạch)

và trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ khi q = 0(đường nét liền), q = 3 (đường nét đứt) vào biên độkết hợp r 56

Hình 3.2 Sự phụ thuộc của Aab(2, 1) của trạng thái hai mode

kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0(đường chấm chấm gạch), q = 3 (đường chấm gạch)

và trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ khi q = 0(đường nét liền), q = 3 (đường nét đứt) vào biên độkết hợp r 57Hình 3.3 Sự phụ thuộc của Aab(2, 2) của trạng thái hai mode

kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0(đường chấm chấm gạch), q = 3 (đường chấm gạch)

và trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ khi q = 0(đường nét liền), q = 3 (đường nét đứt) vào biên độkết hợp r 57Hình 3.4 Sự phụ thuộc của Aab(3, 1) của trạng thái hai mode

kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0(đường chấm chấm gạch), q = 3 (đường chấm gạch)

và trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ khi q = 0(đường nét liền), q = 3 (đường nét đứt) vào biên độkết hợp r 58Hình 3.5 Sự phụ thuộc của Aab(3, 2) của trạng thái hai mode

kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0(đường chấm chấm gạch), q = 3 (đường chấm gạch)

và trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ khi q = 0(đường nét liền), q = 3 (đường nét đứt) vào biên độkết hợp r 58

Hình 3.6 Sự phụ thuộc của Aab(3, 3) của trạng thái hai mode

kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0(đường chấm chấm gạch), q = 3 (đường chấm gạch)

và trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ khi q = 0(đường nét liền), q = 3 (đường nét đứt) vào biên độkết hợp r 59Hình 3.7 Sự phụ thuộc của Aab(4, 3) của trạng thái hai mode

kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0(đường chấm chấm gạch), q = 3 (đường chấm gạch)

và trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ khi q = 0(đường nét liền), q = 3 (đường nét đứt) vào biên độkết hợp r 59Hình 3.8 Sự phụ thuộc của A(1, 1), A(2, 1), A(3, 1) của trạng

thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1)

lẻ vào r với q = 2 Đường biểu diễn các tham sốđược chọn theo thứ tự tương ứng với đường nétliền, đường nét đứt, đường chấm chấm gạch 60Hình 3.9 Sự phụ thuộc của I của trạng thái hai mode kết hợp

thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0 (đườngchấm chấm gạch), q = 3 (đường chấm gạch) vàtrạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ khi q = 0(đường nét liền), q = 3 (đường chấm gạch) vào biên

độ kết hợp r 63

Hình 4.1 Sự phụ thuộc của R1 của trạng thái hai mode kết

hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0(đường nét liền), q = 1 (đường nét đứt), q = 2(đường chấm chấm gạch) vào biên độ kết hợp r ứngvới m = n = 2 69Hình 4.2 Sự phụ thuộc của Ev của trạng thái hai mode kết

hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ khi q = 0(đường nét liền), q = 1 (đường nét đứt), q = 2(đường chấm gạch) vào biên độ kết hợp r 72

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Vật lý học ở thế kỷ XX mang nhiều thành tựu nổi bật, đáng kểnhất là ở lĩnh vực công nghệ thông tin, thông tin lượng tử Sự phát triểnnày là tất yếu khi cuộc sống con người ngày càng hiện đại, nhu cầu liênlạc, tốc độ truyền và xử lý tín hiệu luôn được quan tâm Nhận thấy rằngtrong quá trình truyền tín hiệu thì các tín hiệu này bị nhiễm, làm giảm

độ chính xác của phép đo quang học, dẫn đến chất lượng truyền tin sẽ

bị hạn chế Hiểu được tầm quan trọng này các nhà vật lý lý thuyết vàvật lý thực nghiệm đã tìm các phương pháp tạo ra các trạng thái vật lý

mà ở đó các thăng gián sẽ được hạn chế ở mức tối đa có thể và sau đó

áp dụng vào thực nghiệm để chế tạo các dụng cụ quang học đảm bảotính lọc lựa và độ chính xác cao

Nghiên cứu các trạng thái phi cổ điển rất quan trọng, cụ thể đi tìmhiểu các tính chất phi cổ điển của các trạng thái cho trước và các hiệuứng phi cổ điển của trạng thái lượng tử Trạng thái vật lý được nghiêncứu đầu tiên là trạng thái kết hợp Năm 1963, Glauber [14] và Sudarshan[32], đã đưa ra chính thức trạng thái kết hợp Đây là trạng thái ứng vớigiá trị thăng gián nhỏ nhất suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg vàtrạng thái này có thể được xem là tập hợp các trạng thái cổ điển Sau

đó, Stoler đã đưa ra một kiểu trạng thái mới, được gọi là trạng tháinén Stoler [31] vào năm 1970 và được thực nghiệm khẳng định vào năm

1987 Đây là trạng thái mở đầu cho lớp các trạng thái phi cổ điển củatrường điện từ và mở ra cơ hội cho sự nghiên cứu của các nhà khoa họcđạt nhiều thành tựu quan trọng

Tạo ra các trạng thái phi cổ điển của trường điện từ được các nhàkhoa học rất quan tâm, điển hình là các trạng thái nén và các trạng tháikết hợp, vì chúng tuân theo các tính chất phi cổ điển Trạng thái haimode kết hợp SU (1, 1) đã được Perelomov [29], tìm ra vào năm 1972.Trong thực nghiệm, trạng thái hai mode hai mode kết hợp SU (1, 1) đãđược tạo ra bởi công nghệ lượng tử Vào năm 2015, học viên PhạmVăn Tiến đã nghiên cứu đề tài “Nghiên cứu các tính chất phi cổ điểncủa trạng thái hai mode SU (1, 1) lẻ” Năm 2016, học viên Nguyễn ThịHuyền Trang đã nghiên cứu đề tài “Nghiên cứu các tính chất nén vàphản kết chùm trạng thái hai mode SU (1, 1) thêm một photon lẻ” [4].Tuy nhiên chưa có đề tài nào nghiên cứu các tính chất phi cổ điển củatrạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ Với mongmuốn hiểu rõ các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợpthêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ và bước đầu tiên nghiên cứu ứng dụngcủa trạng thái này trong công nghệ thông tin lượng tử cũng như các ứngdụng sau này.

Từ những lý do trên, tôi quyết định chọn đề tài “Khảo sát cáctính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm haiphoton tích SU(1,1) lẻ” làm Luận văn Thạc sĩ

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu các tính chất nén bao gồm tínhchất nén tổng, nén hiệu hai mode, nén Hillery bậc cao của trạng tháihai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ Đồng thời, chúng tôinghiên cứu tính chất phản kết chùm bậc cao, tính chất đan rối và sự viphạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trạng thái hai mode kết hợpthêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trên cơ sở mục tiêu nghiên cứu của đề tài, tôi đặt ra một số nhiệm

vụ nghiên cứu như sau:

- Nghiên cứu các tính chất nén tổng, nén hiệu hai mode và nén Hillerybậc cao của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1)lẻ;

- Nghiên cứu tính chất phản kết chùm bậc cao, tính chất đan rối và sự viphạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trạng thái hai mode kết hợpthêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ

- Nghiên cứu ngôn ngữ lập trình Mathematica để vẽ đồ thị

4 Phạm vi nghiên cứu

Trong Luận văn này, tôi chỉ nghiên cứu các tính chất phi cổ điểncủa trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ vànén Hillery bậc cao, tính chất phản kết chùm, tính chất đan rối và sự viphạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trạng thái hai mode kết hợpthêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ

5 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu, tôi sử dụng một số phương pháp nghiêncứu sau:

- Phương pháp phân tích, tổng hợp tài liệu;

- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử;

- Phương pháp quang lượng tử;

- Sử dụng ngôn ngữ lập trình Mathematica để tính số và vẽ đồ thị

- Phần nội dung gồm 4 chương:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Chương 2: Khảo sát các tính chất nén của trạng thái hai mode kết hợpthêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ

Chương 3: Khảo sát tính chất phản kết chùm và sự vi phạm bất đẳngthức Cauchy-Schawrz của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photontích SU (1, 1) lẻ

Chương 4: Khảo sát tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợpthêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ

Phần kết luận: Nêu lên kết quả đạt được của Luận văn và đề xuất hướng

mở rộng nghiên cứu

NỘI DUNG Chương 1

1.1.1 Định nghĩa

Trạng thái kết hợp đã được Glauber [14] và Sudarshan [32] đưa

ra vào năm 1963 dùng để mô tả tính chất của chùm tia laser, là chùmtia có có độ đơn sắc cao tạo ra các trường điện từ chứa các trạng tháikết hợp

Trạng thái kết hợp |αi có thể được tạo ra bằng cách tác dụng toán tửdịch chuyển ˆD(α) lên trạng thái chân không |0i của trường điện từ

trong đó ˆD(α) = exp(αˆa†) exp(−α∗ˆa) là toán tử dịch chuyển với tham

số kết hợp là α = r exp(iϕ); r và ϕ lần lượt là biên độ và pha kết hợp;

ˆ†(ˆa) là toán tử sinh (hủy) hạt boson và chúng tuân theo hệ thức giaohoán

a, ˆa = ˆ†, ˆa† = 0,h

ˆ

a, ˆa†

i

= ˆaˆa†− ˆa†a = 1.ˆTheo công thức Baker-Hausdorff [15], nếu [ ˆA, ˆB] 6= 0 và

[[ ˆA, ˆB], ˆA] = [[ ˆA, ˆB], ˆB] = 0 (1.2)thì

exp( ˆA + ˆB) = exp( ˆA) exp( ˆB) exp(−1

2[ ˆA ˆB]). (1.3)

Ta chọn ˆA = αˆa†, ˆB = −α∗ˆa và [ ˆA, ˆB] = |α|2 thỏa mãn hệ thức (1.3),

ta có

ˆD(α) = exp(αˆa†− α∗ˆa)

= exp(αˆa†) exp(−α∗ˆa) exp(−1

2[αˆa

†, −α∗a]).ˆ (1.4)trong đó

[αˆa†, −α∗ˆa] = −|α|2[ˆa†, ˆa] = |α|2[ˆa, ˆa†] = |α|2 (1.5)

Do đó

ˆD(α) = exp(αˆa†) exp(−α∗ˆa) exp(−1

(αˆa†)22! + =

(−α∗ˆa)22! + =

Bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển lên trạng thái chân không củatrường điện từ ta thu được

ˆD(α)|0i = exp(αˆa†) exp(−α∗ˆa) exp(−1

n

√ n! |0i là các trạng thái Fock |ni là trạng thái riêng củatoán tử số hạt ˆn = ˆa†a nghĩa làˆ

ˆa|0i = 0, ˆa|ni = √

ˆ†|ni = √n + 1|n + 1i (1.15)Các trạng thái Fock tạo nên một hệ cơ sở đủ, nghĩa là

Bên cạnh đó, trạng thái kết hợp |αi là trạng thái riêng của toán tử hủyphoton ˆa ứng với trị riêng α

√n|n − 1i

Phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp |αi là

h(∆ˆn)2i = hˆn2i − hˆni2 = hn|ˆn2|ni − hn|ˆn|ni2

= hα|ˆa†ˆaˆa†ˆa|αi − hα|ˆa†ˆa|αi2 = hα|α∗aˆˆa†α|αi − hα|ˆa†ˆa|αi2

= |α|2hα|1 + ˆa†a|αi − |α|ˆ 4 = |α|2(hα|αi + hα|ˆa†ˆa|αi) − |α|4

ˆa|αi = α|αi, hα|ˆa† = hα|α∗, α = r exp(iϕ) (1.21)

do đó

hˆni = hα|α∗α|αi = |α|2 (1.22)Tính chất 2: Tập hợp tất cả các trạng thái |αi là một tập hợp đủ

1π

do đó

Z

|αihα|d2α =

Z ∞ 0

rdr

Z 2π 0

dϕe−r2X

n,m

rn+mei(n−m)ϕ

√n!m! |nihm| (1.25)với R02πei(n−m)ϕdϕ = 2πδmn, nên suy ra

0 e−r2r2n+1dr

+ Trường hợp α 6= β thì exp(−|α − β|2) 6= 0, nghĩa là các trạngthái kết hợp không trực giao với nhau.

+ Trường hợp|α − β|  1 thì exp(−|α − β|2) = 0, nghĩa là cáctrạng thái kết hợp xem như gần trực giao với nhau

Do đó, trạng thái kết hợp không trực giao với nhau, chúng đượcxem như là gần gần trực giao với nhau khi |α − β|  1

Hệ quả của sự không trực giao nhau là bất kì trạng thái kết hợp nàocũng có thể khai triển theo các trạng thái kết hợp khác, nghĩa là

Z

d2α|αi exp(−1

2|α|2 + α0α∗ − 1

2|α|2) (1.30)Điều này cho thấy rằng tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp tạo thành

hα|(∆ ˆX)2|αi = hα| ˆX2|αi − (hα| ˆX|αi)2

= 14hα|(ˆa†+ ˆa)2|αi − 1

4(hα|(ˆa†+ ˆa)|αi)2

= 14(α∗2 + α2 + 2|α|2 + 1) − 14(α∗2+ α2 + 2αα∗)

= 14

Phương sai của ˆP

hα|(∆ ˆP )2|αi = hα| ˆP2|αi − (hα| ˆP |αi)2 = 14.Vậy

hα|(∆ ˆX)2|αihα|(∆ ˆP )2|αi = 1

Đây là giá trị nhỏ nhất tương ứng với hệ thức bất định Heisenberg Do

đó, các trạng thái kết hợp là trạng thái cho phép thực hiện các phép đođồng thời hai toán tử ˆX và ˆP với sai số nhỏ nhất

Hệ thức (1.33) gọi là giới hạn lượng tử chuẩn Đây cũng chính là tínhchất quan trọng nhất của trạng thái kết hợp

1.1.3 Trạng thái kết hợp thêm photon

Vào năm 1991, Agarwal và Tara [10] đã đưa ra được định nghĩađược trạng thái kết hợp thêm photon Trạng thái kết hợp thêm photon

là trung gian giữa trạng thái Fock và trạng thái kết hợp Với trạng tháikết hợp |αi, trạng thái kết hợp thêm photon được định nghĩa như sau

|α, mi = ˆ

†m|αiphα|ˆamˆ†m|αi, (1.34)với m là số nguyên không âm Trong đó

Trường hợp m = 1 thì (1.34) trở thành

|α, 1i = ˆ

†|αiphα|ˆaˆa†|αi =

|α, 1ip1 + |α|2.Trạng thái |α, mi được biểu diễn dưới dạng trạng thái Fock là

|α, mi = exp(−

|α| 2

2 )[m!Lm(−|α|2)]1/2

Từ hệ thức bất định Heisenberg với hai toán tử ˆA và ˆB theo thứ tự lầnlượt biểu diễn cho hai đại lượng vật lý A và B Theo cơ học lượng tửnếu hai đại lượng này không đo được đồng thời thì hai toán tử ˆA và ˆBkhông giao hoán với nhau, nghĩa là

[ ˆA, ˆB] = ˆA ˆB − ˆB ˆA = ˆC (1.36)Với trường hợp này, ta có được hệ thức bất định trong trạng thái bất kỳ

h(∆ ˆA)2i = h( ˆA − h ˆAi)2i = h ˆA2i − h ˆAi2 (1.38)Nếu chúng ta cụ thể hóa cho ˆA = ˆX, và ˆB = ˆP thì

hn|h(∆ ˆX)2i|ni = hn|h( ˆX)2i|ni − hn|h ˆXi|ni2

hay thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg.

Đối với trạng thái kết hợp |αi thì dấu bằng của hệ thức bất định berg ở (1.42) xảy ra và các phương sai của toán tử biên độ trực giaobằng nhau h(∆ ˆA)2i = h(∆ ˆB)2i = 1/4 Do đó, các trạng thái kết hợpcòn được gọi là trạng thái ứng với độ bất định tối thiểu Bên cạnh đó,

Heisen-hệ thức bất định Heisenberg chỉ áp đặt sự bất định lên tích của cácthăng giáng h(∆ ˆA)2ih(∆ ˆB)2i Nếu một trong hai thăng giáng là rất bé

và thăng giáng còn lại trở nên lớn hơn thì hệ thức này hoàn toàn không

vi phạm Về mặt toán học, một trạng thái gọi là trạng thái nén với đạilượng A nếu thỏa mãn

h(∆ ˆA)2i < |h ˆCi|

Giá trị tương ứng với độ bất định |h ˆCi|2 ứng với giới hạn lượng tử chuẩn.Vậy nên, một trạng thái có một thăng giáng lượng tử nhỏ hơn giới hạnlượng tử chuẩn thì trạng thái đó được gọi là trạng thái nén Đối vớitrường hợp đặc biệt, nếu trạng thái nào mà các thăng giáng lượng tửbằng giới hạn lượng tử chuẩn thì trạng thái đó có thể coi là trạng tháinén lý tưởng

1.3.1 Tính chất nén tổng

Nén tổng được hiểu đơn giản là hiện tượng hai photon ở haimode a và b có tần số lần lượt là ωa, ωb(ωa 6= ωb), kết hợp thành mộtphoton có tần số ωc = ωa+ ωb Toán tửu nén tổng được định nghĩa nhưsau:

ˆb†(ˆb) lần lượt là các toán tử sinh (hủy) photon của mode a và mode b.Các toán tử ˆVφ, ˆV(φ+π/2) thỏa mãn hệ thức giao hoán

h ˆV

φ, ˆV(φ+π/2)

i

= ˆVφVˆφ+π/2− ˆVφ+π/2Vˆφ

= 14(eiφˆ†ˆb† + e−iφˆaˆb)(ei(φ+ π2)ˆ†ˆb†+ e−i(φ+ π2)ˆaˆb)

− 14(ei(φ+ π2)ˆ†ˆb†+ e−i(φ+ π2)ˆaˆb)(eiφˆ†ˆb†+ e−iφˆaˆb)

= 14

h(e−i π2 − ei π2)ˆa†ˆb†ˆaˆb + (ei π2 − e−i π2)ˆaˆbˆa†ˆb†

i

= 14

h(−2i)ˆa†ˆb†ˆaˆb + 2i(ˆa†a + 1)(ˆˆ b†ˆb + 1)

φ nếu thõa mãn bất đẳng thức sau

h(∆ ˆVφ)2i < 1

4hˆna+ ˆnb + 1i, (1.47)trong đó h(∆ ˆVφ)2i = h ˆVφ2i − h ˆVφi2 Đây chính là điều kiện để khảo sáttính chất nén tổng hai mode của trạng thái hai mode kết hợp thêm haiphoton tích SU (1, 1) lẻ

1.3.2 Tính chất nén hiệu

Nén hiệu cũng được hiểu đơn giản là hiện tượng hai photon ởhai modea, b có tần số lần lượt là ωa, ωb(ωa < ωb) kết hợp lại thành mộtphoton có tần số hiệu là ωc = ωb − ωa

Toán tử nén hiệu hai mode được định nghĩa dưới dạng

b Một trạng thái được gọi là nén hiệu hai mode theo phương xác địnhgóc φ nếu thõa mãn bất đẳng thức sau

h(∆ ˆWφ)2i < 1

4|hˆna− ˆnbi|, (1.48)trong đó h(∆ ˆWφ)2i = h ˆWφ2i − h ˆWφi2 Đây chính là điều kiện để khảo sáttính chất nén hiệu hai mode của trạng thái hai mode kết hợp thêm haiphoton tích SU (1, 1) lẻ

1.3.3 Tính chất nén Hillery bậc cao

Các trạng thái nén đơn mode bậc cao đã được Hong và Mandelđưa ra vào năm 1985 và được gọi là kiểu nén Hong-Mandel Một kiểunén đơn mode bậc cao khác được đưa ra bởi Hillery vào năm 1987 (bậchai) sau đó là nén bậc ba và bậc , ta gọi chung là nén kiểu Hillery.Toán tử biên độ lũy thừa k được định nghĩa như sau

V Xab,k(φ) < 1

4| ˆFab(k)| (1.52)1.3.4 Tính chất phản kết chùm bậc cao

a Tiêu chuẩn tính phản kết chùm đơn mode

Phương sai của phân bố số hạt nhỏ hơn trạng thái số hạt của nó vì cácphoton phản kết chùm tuân theo thống kê Sub-Poisson nên

hˆn2i − hˆni2 < hˆni, (1.53)

mà hˆn2i = hˆn(ˆn − 1)i nên ta suy ra

hˆn2i − hˆni2 < 0 (1.54)Biểu diễn hˆn(p)i dưới dạng phân bố xác suất P như sau

với P (α, β) = P (α)P (β) là hàm phân bố xác suất trong biểu diễnGlauber [14] và Shudarshan [32].

Mặt khác ta luôn có

(|α|4 + |β|4 − 2|α|2|β|2) > 0 (1.57)

Từ (1.56) và (1.57) ta thấy P (α, β) nhận giá trị âm Phép đo tính chấtphản kết chùm bậc cao đơn mode được áp dụng để khảo sát một số trạngthái phi cổ điển Năm 1903, Murihead [28] đã khái quát hóa bất đẳngthức (1.57) dưới dạng

|α|2l+2|β|2p−2 + |α|2p−2|β|2l+2 ≤ |α|2l|β|2p+ |α|2p|β|2l, (1.58)với l và p là các số nguyên, thỏa mãn điều kiện l ≥ p ≥ 1 Theo Lee[24, 25], tiêu chuẩn để tồn tại tính chất phản kết chùm bậc cao đơnmode được định nghĩa bằng bằng hệ số phản kết chùm đơn mode A(l, p

b Tiêu chuẩn tính phản kết chùm hai mode

Dựa vào tiêu chuẩn cho sự tồn tại tính phản kết chùm cho trường hợpđơn mode, Lee [24, 25] mở rộng tiêu chuẩn này cho trường hợp hai mode

hˆn(l+1)a nˆ(p−1)b i + hˆn(p−1)a nˆ(l+1)b i − hˆn(l)a nˆ(p)b i + hˆn(p)a nˆ(l)b i < 0, (1.61)trong đó ˆna = ˆa†ˆa, ˆnb = ˆb†ˆb lần lượt là toán tử số hạt của mode a vàmode b trong trường bức xạ

Tiêu chuẩn cho sự tồn tại tính phản kết chùm cho trạng thái hai modetrong trường bức xạ thể hiện qua tham số A(l, p) được viết dưới dạng

Aab(l, p) = hˆn(l+1)a + ˆn(p−1)b ihˆn(p−1)a + ˆn(l+1)b i

hˆn(l)a + ˆn(p)b ihˆn(p)a + ˆn(l)b i − 1 < 0. (1.62)Như vậy, hệ số phản kết chùm Aab(l, p) càng âm thì tính chất phản kếtchùm của trạng thái càng mạnh, nếu Aab(l, p) không âm thì trạng tháiđang khảo sát không có tính chất phản kết chùm hai mode

1.3.5 Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Tính chất thống kê của các mode được đặc trưng bởi

Gxˆˆy = Gy ˆˆx = hˆx†yˆ†y ˆˆxi

hˆx†xihˆˆ y†yiˆ , (1.63)Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đối với trường cổ điển có dạng

GxˆˆxGy ˆˆy − G2xˆˆy ≥ 0, (1.64)với

1.4 Các tiêu chuẩn đan rối

1.4.1 Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy

Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy [19] do hai ông Hillery vàZubairy đưa ra vào năm 2006 Ở đây hai ông đã đưa ra các điều kiện

dò tìm đan rối bởi một lớp bất đẳng thức dựa vào hệ thức bất địnhHeisenberg và bất đẳng thức Schwarz

Khảo sát trường điện từ hai mode theo các toán tử

ˆ

L1 = ˆaˆb†+ ˆa†ˆb, (1.68)ˆ

L2 = i(ˆaˆb†− ˆa†ˆb), (1.69)Trong đó ˆa và ˆa† lần lượt là toán tử hủy và toán tử sinh của mode thứnhất, ˆb và ˆb† lần lượt là toán tử hủy và toán tử sinh của mode thứ hai.Tính phương sai của các biến, sau cộng lại ta thu được

h(∆ ˆL1)2i+h(∆ ˆL2)2i = 2(h( ˆNa+1) ˆNbi+h ˆNa( ˆNb+1)i−2|hˆaˆb†i|2), (1.70)trong đó ˆNa = ˆa†a và ˆˆ Nb = ˆb†ˆb Giả sử rằng trạng thái đang khảo sát làtích của một trạng thái ở mode a và trạng thái khác ở mode b Sau đóphân tích các giá trị trung bình ở vế phải của biểu thức thừa số (1.70)thành các tích các giá trị trung bình của mode a và mode b, ta cóh(∆ ˆL1)2i + h(∆ ˆL2)2i = 2(h( ˆNa+ 1)ih ˆNbi + h ˆNaih( ˆNb + 1)i − 2|hˆaihˆb†i|2)

(1.71)Trường hợp trạng thái đang khảo sát là một trạng thái tích, ta có

h(∆ ˆL1)2i + h(∆ ˆL2)2i ≥ 2(h ˆNai + h ˆNbi) (1.72)Bất đẳng thức Schwarz cho ta |hˆai|2 ≤ h ˆNai và |hˆbi|2 ≤ h ˆNbi Xét hệthức bất định tuân theo ˆL1 và ˆL2 , ta có

h(∆ ˆL1)ih(∆ ˆL2)i ≥ |h ˆNa− ˆNbi| (1.73)

Từ đó ta thấy rằng

h(∆ ˆL1)2i + h(∆ ˆL2)2i ≥ 2 |h ˆNa − ˆNbi| (1.74)

Vì vế phải của bất đẳng thức (1.72) luôn lớn hơn vế phải của bất đẳngthức (1.74) nên có những trạng thái thỏa mãn bất đẳng thức (1.74),nhưng lại vi phạm bất đẳng thức(1.72) Từ bất đẳng thức (1.72) suy ramột trạng thái là đan rối nếu

h ˆNaNˆbi < |hˆaˆb†i|2 (1.75)Trong khi đó bất đẳng thức Schwarz có dạng

|hˆaˆb†i|2 ≤ h ˆNa( ˆNb + 1)i, (1.76)

do đó tồn tại những trạng thái có thể thỏa mãn bất đẳng thức

|hˆaˆb†i|2 > h ˆNaNˆbi, |hˆakˆb†li|2 > hˆa†kˆkˆb†lˆbli (1.77)Khảo sát toán tử ˆamˆb†n với một trạng thái tích thuần khiết, ta có

|hˆamˆb†ni|2 ≤ hˆa†mˆmˆb†nˆbni (1.78)Bất đẳng thức (1.78) không chỉ là điều kiện để một trạng thái là thuầnkhiết mà còn là điều kiện cho một trạng thái có thể tách bất kỳ Có thểchứng minh điều này như sau: Một trạng thái có thể tách với ma trậnmật độ được biểu diễn dưới dạng ˆρ = P

ipiˆi, trong đó ˆρi là ma trậnmật độ tương ứng với một trạng thái tích thuần khiết và pi là xác suấtcủa ˆρi Với điều kiện Pipi = 1 Đặt ˆA = ˆam và ˆB = ˆbn, ta có

Do đó bất đẳng thức (1.78) là điều kiện cho tất cả các trạng thái có thểtách và ngược lại là điều kiện để một trạng thái đan rối

|hˆamˆb†ni|2 > hˆa†mˆmˆb†nˆbni (1.81)Tương tự, khảo sát theo toán tử ˆaˆb, ta có một trạng thái là đan rối nếu

|hˆaˆbi|2 > h ˆNaih ˆNbi (1.82)Xét tổng quát, với các số nguyên dương m và n bất kỳ, một trạng tháiđan rối cần phải thỏa mãn điều kiện

|hˆamˆbni|2 > hˆa†mˆmihˆb†nˆbni (1.83)1.4.2 Tiêu chuẩn đan rối entropy von Newmann

Các trạng thái lượng tử được mô tả bởi các vectơ trạng tháiđược gọi là trạng thái thuần Các trạng thái lượng tử không thể được

mô tả bởi các vectơ trạng thái được gọi là các trạng thái hỗn tạp Cáctrạng thái hỗn tạp được mô tả bởi toán tử mật độ

ˆ

ρ = X

j

pj|ψjihψj|, (1.84)

trong đó pj là xác suất để hệ ở trong trạng thái của các hệ con định xứ

|ψji, ta có hψj|ψji = 1 Xác suất thỏa mãn các hệ thức sau

ˆ

là toán tử mật độ của trạng thái thuần khiết |ψii

Định nghĩa đan rối có thể được mở rộng cho các trạng thái hỗn tạpnhư sau: Một trạng thái hỗn tạp của hệ hai thành phần được biểu diễn

bởi toán tử mật độ ˆρAB, với hai hệ con thành phần tương ứng có toán

tử mật độ rút gọn là ˆρA = TrBˆAB và ˆρB = TrAˆAB, trong đó TrA(B) làphép lấy vết ma trận mật độ hai thành phần lên thành phần A hoặc B.Một trạng thái hỗn tạp của một hệ hai thành phần có thể tách nếu matrận mật độ tổng của nó là tổng của tích ma trận mật độ của hai trạngthái thành phần

ˆAB = X

j

pjˆj,A⊗ ˆρj,B (1.87)Ngược lại, một trạng thái hỗn tạp hai thành phần nếu không viết đượcdưới dạng (1.87) thì được gọi là trạng thái không thể tách được haytrạng thái đan rối

Theo định nghĩa, entropy von Newmann theo mode x của một trạngthái nhiều mode được xác định là

Ev = −T rx( ˆρxln ( ˆρx)) , (1.88)trong đó T rx ˆA

là ký hiệu cho lấy vết của toán tử ˆA theo mode x.Một trạng thái đan rối khi Ev > 0 Giả sử với một trạng thái hai modecủa trường được khai triển trong không gian Fock như sau:

( ˆρx)n+p,n+pln ( ˆρx)n+p,n+p = |cn|2ln



|cn|2, (1.93)Các yếu tố ma trận khác đều bằng không Vậy

tích SU (1,1) lẻ

2.1.1 Trạng thái hai mode kết hợp SU (1,1)

Gọi ˆa†, ˆa và ˆb†, ˆb lần lượt là toán tử sinh, toán tử hủy photoncủa mode a và mode b của trường điện từ Xét các toán tử sau đây

ˆ

K0 = 1

2(ˆa

†ˆa + ˆb†ˆb + 1),ˆ

K+ = ˆa†ˆb†,ˆ

Toán tử Casimir có dạng ˆC = ˆK02 − 12( ˆK+Kˆ−+ ˆK−Kˆ+) = 14(∆2 − 1),trong đó ∆ = ˆa†ˆa −ˆb†ˆb là giá trị riêng chỉ sự khác nhau về số photon giữahai mode Nếu không xét đến tính tổng quát, chúng ta lấy giá trị riêng(q nguyên) để khẳng định Như vậy, trạng thái cơ sở cho một biểu diễntối giản đơn vị được hiểu như là khẳng định chuỗi hữu hạn cho bởi tham

số suy biến q gồm có nhóm trạng thái hai mode |na, nbi = |nai ⊗ |nbi,của dạng {|n + q, ni, n = 0, 1, , ∞}

Trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) đã được Perelomov [29] định nghĩanhư sau (theo phụ lục P.L2)

ξm|m + q, miab (2.2)và

(−ξ)m|m + q, miab (2.3)

trong đó ξ = − tanh(θ2) exp(−iϕ) với θ, ϕ lần lượt là biên độ kết hợp vàpha kết hợp; |m + q, miab là các trạng thái Fock tương ứng với hai modecủa trường điện từ a và b, q là số photon chênh lệch giữa hai mode.2.1.2 Trạng thái hai mode kết hợp SU (1,1) lẻ

Trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) lẻ đã được Phạm VănTiến [5] đưa ra trong đề tài nghiên cứu của mình và định nghĩa như sau:

|ψile = Nle(|ϕiab − |−ϕ∠ab), (2.4)Biểu diễn dưới dạng trạng thái Fock, trạng thái hai mode kết hợp

SU (1, 1) lẻ có dạng

|ψile = Nle(|ϕiab − |−ϕiab)

= Nle

n

(1 − |ξ|2)

1+q 2

1+q 2

ξm|m + q, miab

× −(1 − |ξ|2)

1+q 2

× ξ2n+1√2n + 2|2n + q + 2, 2n + 2iab (2.9)Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ được viếtlại như sau

(ξ∗)2m+1√

2m + 2

× ξ2n+1√2n + 2|2n + q + 2, 2n + 2iab, (2.12)trong đó

N = 1

2

h(1 − |ξ|2)1+q

Sau khi tìm được hệ số chuẩn hóa N và đưa ra được trạng thái hai modekết hợp thêm hai photon tích SU (1, 1) lẻ Chúng tôi tiến hành khảo sátcác tính chất phi cổ điển của trạng thái này trong các chương sau

mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1) lẻ.

Từ điều kiện kiện nén tổng hai mode đã được đưa ra trong côngthức (1.47) để khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai mode kết