KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI VÀ ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU1,1 THÊM MỘT VÀ BỚT MỘT PHOTON.. Quá trình viễn tải lượng tử với nguồn rối là trạng thái 2 mode kết hợp SU1,1
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
HOÀNG THỊ THÚY DUNG
ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(1,1)
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các sốliệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được cácđồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳmột công trình nghiên cứu nào khác
Huế, tháng 8 năm 2018Tác giả luận văn
Hoàng Thị Thúy Dung
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Trương Minh Đức đã tận tình hướngdẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trongkhoa Vật Lý và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm,Đại học Huế; các bạn học viên Cao học khóa 25 cùng gia đình, bạn bè
đã động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình họctập và thực hiện luận văn
Huế, tháng 8 năm 2018Tác giả luận văn
Hoàng Thị Thúy Dung
Trang 4MỤC LỤC
Trang phụ bìa i
Lời cam đoan ii
Lời cảm ơn iii
Mục lục 1
Danh sách hình vẽ 3
MỞ ĐẦU 4
NỘI DUNG 9
Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 9
1.1 Trạng thái kết hợp 9
1.1.1 Định nghĩa 9
1.1.2 Các tính chất của trạng thái kết hợp 11
1.2 Tính chất của toán tử dịch chuyển 15
1.3 Các tiêu chuẩn đan rối 16
1.3.1 Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy 16
1.3.2 Tiêu chuẩn độ đồng quy 17
1.4 Mô hình viễn tải lượng tử với các nguồn rối hai mode 18
1.4.1 Mô hình viễn tải lượng tử biến liên tục 18
1.4.2 Trạng thái Bell với quá trình viễn tải lượng tử 20
Chương 2 KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI VÀ ĐỊNH LƯỢNG ĐỘ RỐI CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(1,1) THÊM MỘT VÀ BỚT MỘT PHOTON 24
2.1 Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon 24
2.1.1 Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) 24
Trang 52.1.2 Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và
bớt một photon 292.2 Khảo sát tính đan rối của trạng thái hai mode kết hợp
SU(1,1) thêm một và bớt một photon bằng tiêu chuẩn đan
rối Hillery-Zubairy 302.3 Định lượng độ rối của trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1)
thêm một và bớt một photon theo tiêu chuẩn độ đồng quy 37Chương 3 KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH VIỄN TẢI LƯỢNG
TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP
SU(1,1) THÊM MỘT VÀ BỚT MỘT PHOTON 423.1 Quá trình viễn tải lượng tử với nguồn rối là trạng thái 2
mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon 423.2 Độ trung thực trung bình của quá trình viễn tải lượng tử 47KẾT LUẬN 59TÀI LIỆU THAM KHẢO 60PHỤ LỤC P.1
Trang 6DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
Hình 2.1 Sự phụ thuộc của tham số đan rối R1 vào r với giá
trị q = 1, 2, 3 Các giá trị q được chọn theo thứ tựtương ứng với đường màu xanh lục nét liền, đườngmàu xanh dương nét đứt chấm và đường màu đỏnét đứt 37Hình 2.2 Sự phụ thuộc của độ đồng quy C vào r với các giá
trị q = 1 ứng với đường màu xanh dương nét liền,
q = 2 ứng với đường màu đỏ nét đứt 40Hình 3.1 Sự phụ thuộc của độ trung thực trung bình Fav vào
r với giá trị q = 2, 4, 5 Các giá trị q được chọn theothứ tự tương ứng với đường màu xanh lục nét liền,đường màu xanh dương nét đứt chấm và đường màu
đỏ nét đứt 57Hình 3.2 Sự phụ thuộc của độ trung thực trung bình Fav
vào r với giá trị q = 2 ứng với γ = 1.45, γ = 1.50,
γ = 1.99 Các giá trị γ được chọn theo thứ tự tươngứng với đường màu xanh lục nét liền, đường màuxanh dương nét đứt chấm và đường màu đỏ nét đứt 58
Trang 7có giá trị đáp ứng cho yêu cầu này; bởi đây chính là chìa khóa cho sựphát triển nhanh chóng của thông tin lượng tử và máy tính lượng tử.Rối lượng tử là cơ sở quan trọng trong quá trình xử lý thông tinlượng tử [1] Cụ thể là thông tin lượng tử sẽ được truyền đi với tốc độcực nhanh đồng thời vẫn đảm bảo được tính chất và tính bảo mật củathông tin một cách tuyệt đối Xử lý thông tin lượng tử là một vấn đềmới, rộng lớn và có tính bao quát Việc truyền tải thông tin thông quaviệc sử dụng tính chất đan rối được gọi là viễn tải lượng tử Đó là mộtquá trình dịch chuyển thông tin cũng như vật chất tức thời, mà khôngphải dịch chuyển qua không gian, được thực hiện bằng cách giải mã mộtvật ở thời điểm này rồi gửi thông tin phân tử tới điểm khác, nơi vật sẽđược tái tạo lại cấu trúc ban đầu Viễn tải lượng tử có thể được khaithác để làm cho máy tính lượng tử, mạng lưới viễn thông trở nên nhanh
và mạnh hơn Với mục đích đó, việc dò tìm tính đan rối của một trạngthái và sử dụng trạng thái đó làm nguồn rối cho quá trình viễn tải lượng
tử đã và đang là một trong những hướng nghiên cứu mới đầy hấp dẫncủa ngành vật lý lý thuyết
Ý tưởng về rối xuất hiện đầu tiên vào năm 1935 trong bài báo củaEinstein, Podolsky, Rosen [18] đưa ra dưới dạng nghịch lý EPR Cũng
Trang 8trong năm 1935, Erwin Schodinger [21] đã đưa ra khái niệm về rối, ônggọi rối là điểm nổi bật đặc trưng của cơ học lượng tử Năm 1993, Bennett[14] đã giải thích thành công về viễn tải lượng tử và đưa ra mô hình lýthuyết đầu tiên về viễn tải, đó là mô hình viễn tải với các biến rời rạctrong không gian hilbert vô hạn chiều Tuy nhiên, mô hình viễn tải nàykhó thực hiện bởi nó yêu cầu một điều kiện lý tưởng là nguồn rối phảirối hoàn toàn Năm 1997, Brauntein và Kimble [15] cũng đưa ra mô hìnhviễn tải với biến liên tục với nguồn rối không hoàn toàn Nhiều mô hìnhsau đó đã sử dụng các trạng thái khác nhau làm nguồn rối như: năm
2007, Agarwal [13] đã sử dụng nguồn rối là trạng thái kết hợp cặp (trạngthái phi Gauss) và viễn tải với trạng thái kết hợp; kết quả thu được có
độ trung thực khi viễn tải là 0.75884, chứng tỏ trạng thái kết hợp cặpphù hợp làm nguồn rối để viễn tải lượng tử
Ở Việt Nam, vấn đề thông tin lượng tử nói chung rất được các nhàkhoa học đặc biệt quan tâm Năm 2011, học viên Lê Thị Thu đã khảosát tính đan rối và chuyển vị lượng tử với trạng thái kết hợp hai modethêm photon [6] Năm 2013, học viên Lê Thị Thủy đã khảo sát tính đanrối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode SU(1,1) [7] Năm 2014,học viên Nguyễn Thị Kim Thanh đã khảo sát tính đan rối và viễn tảilượng tử với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích[5] Năm 2015, học viên Văn Thị Diệu Hiền đã nghiên cứu tính chất nénbậc cao và tính phản chùm của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn[3] Năm 2016, học viên Lê Thị Mai Phương đã nghiên cứu tính đan rối
và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn [4].Năm 2017, học viên Nguyễn Thị Phương Ni đã nghiên cứu tính đan rối
và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photontích SU(2) chẵn [2]
Trang 9Nhận thấy vấn đề về rối lượng tử đang là một vấn đề thú vị và thuhút được sự chú ý hiện nay bởi còn nhiều điều chưa được khám phá vànhững ứng dụng cực kỳ to lớn của nó Các khảo sát về trạng thái đanrối và viễn tải lượng tử đã được một số tác giả nghiên cứu nhưng vẫnchưa có đề tài nào nghiên cứu về định lượng độ rối và viễn tải lượng tửvới trạng thái hai mode kết hợp thêm một và bớt một photon Chính vì
lý do đó mà tôi quyết định chọn đề tài “Định lượng độ rối và viễn tảilượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt mộtphoton” làm đề tài luận văn cho mình
II Mục tiêu của đề tài
Mục tiêu của đề tài này là khảo sát tính chất đan rối và định lượng
độ rối của trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt mộtphoton bằng các tiêu chuẩn đan rối Tiếp theo, chúng tôi sử dụng trạngthái này làm nguồn rối để thực hiện quá trình viễn tải lượng tử mộttrạng thái kết hợp và đánh giá mức độ thành công của quá trình viễntải thông qua độ trung thực trung bình
III Phạm vi nghiên cứu
Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng tiêu chuẩn độđồng quy [10] để định lượng độ rối, tiêu chuẩn đan rối Hillerry-Zubairy[19] để nghiên cứu tính đan rối và viễn tải lượng tử một trạng thái kếthợp Sau đó, sử dụng mô hình viễn tải biến liên tục để thực hiện quátrình viễn tải với nguồn rối là trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêmmột và bớt một photon
Trang 10IV Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài chủ yếu tập trung vào các nội dung sau:
- Nghiên cứu lý thuyết, phân tích tổng hợp các kiến thức liên quannhư: trạng thái kết hợp, các tiêu chuẩn đan rối, mô hình viễn tải lượng
tử với các nguồn rối hai mode, trạng thái Bell với quá trình viễn tảilượng tử
- Nghiên cứu định lượng độ rối theo tiêu chuẩn độ đồng quy
- Áp dụng tiêu chuẩn đan rối Hillerry-Zubairy để nghiên cứu tínhđan rối của trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt mộtphoton
- Áp dụng mô hình viễn tải để thực hiện quá trình viễn tải lượng
tử với nguồn rối là trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một vàbớt một photon và đưa ra độ trung thực trung bình của quá trình viễntải rồi khảo sát trên đồ thị
V Phương pháp nghiên cứu
Một số phương pháp được chúng tôi sử dụng như sau:
- Phương pháp chung gồm nghiên cứu lý thuyết, phân tích, tổnghợp các kiến thức liên quan
- Sử dụng kiến thức về lý thuyết trường lượng tử phương phápquang lượng tử cho hệ nhiều hạt để giải các bài toán liên quan đến đềtài nghiên cứu
- Phương pháp tính số và sử dụng phần mềm Mathematica để vẽ
đồ thị
- Phương pháp so sánh, kiểm chứng
Trang 11VI Bố cục luận văn
Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chialàm 3 phần:
- Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, nhiệm vụ nghiên cứu,mục tiêu nghiên cứu, nội dung nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu,phạm vi nghiên cứu, bố cục luận văn
- Phần nội dung gồm 3 chương:
Chương 1: Trình bày các cơ sở lý thuyết
Chương 2: Trình bày về khảo sát tính đan rối của trạng thái haimode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon
Chương 3: Trình bày quá trình viễn tải lượng tử với nguồn rối làtrạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon
- Trình bày về các kết quả đạt được của đề tài và các hướng mở của
đề tài
Trang 12NỘI DUNG Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày chi tiết về trạng tháikết hợp, trạng thái Fock, toán tử dịch chuyển nhằm hình thànhmột nền tảng kiến thức cho việc nghiên cứu các chương sau.Ngoài ra chúng tôi sẽ trình bày tiêu chuẩn đan rối hai modecủa Hillery-Zubairy, định lương độ rối theo tiêu chuẩn độ đồngquy, cũng như mô hình viễn tải với nguồn rối hai mode để ápdụng vào việc khảo sát tính đan rối, định lượng độ rối và viễntải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một
với ˆD(α) = exp(αˆa+) exp(−α∗a) exp(−ˆ 12|α|2) là toán tử dịch chuyển củatoán tử ˆa, với α = r exp (iϕ) là tham số kết hợp, r và ϕ lần lượt là biên
Trang 13độ và pha kết hợp; ˆa+, ˆa lần lượt là toán tử sinh, hủy hạt boson củatrường điện từ.
Thật vậy, ta xét hệ hạt boson có các toán tử hủy hạt và sinh hạt tuântheo các hệ thức giao hoán
ˆa, ˆa+ = ˆaˆa+− ˆa+ˆa = 1,[ˆa, ˆa] = ˆa+, ˆa+ = 0
Xét một trạng thái |αi như sau
là trạng thái Fock và |0i là vectơ trạng thái chân không của hệ hạt.Thay vectơ trạng thái này vào (1.2) ta có
(ˆa+)n
√n! |0i
(αˆa+)22! +
Theo đó dễ dàng suy ra được trạng thái kết hợp được biểu diễn ở chỗ nó
là trạng thái riêng của toán tử hủy photon, nghĩa là (chứng minh phụlục 1)
ˆ
Bây giờ ta lấy liên hợp Hermite của biểu thức trên thì ta được
hα| ˆa+ = α∗hα| (1.5)
Trang 14Vì ˆa không phải là toán tử Hermitic nên α nói chung là một số phức,
α = r exp (iϕ) với r và ϕ là thực Lưu ý rằng do
Thật vậy, số hạt boson trung bình ở trạng thái |αi
hˆni = hα |ˆn| αi = ˆ+ˆ α Ngoài ra chúng ta đã có
ˆ
a |αi = α |αi ,hα| ˆa+ = hα| α∗,
Trang 15|αi hα| d2α = 1 (1.11)Thật vậy, ta có
R |αi hα| d2α = R e−|α|2 P∞
n=0
α n
√ n!|ni
|αi hα| d2α = π,
Trang 16hay ta có
1π
Thật vậy từ định nghĩa trạng thái kết hợp |αi, ta có
Trang 17Để chứng minh trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định cực tiểu,chúng tôi đưa vào hai đại lượng X, P không thứ nguyên và được biểudiễn thông qua hai toán tử tương ứng là ˆX và ˆP được định nghĩa nhưsau
ˆ
X =r mω
~ˆ
x, ˆP =
r
~
mωp,ˆtrong đó x và p là các đại lượng có thứ nguyên tương ứng với tọa độ vàxung lượng Các toán tử ˆX và ˆP được biểu diễn thông qua các toán tửsinh, hủy photon của trường điện từ dưới dạng
Phương sai của ˆX
D
α|(∆X)2|αE =
Dα
ˆ
X2
2
≤ D ˆNbE
Trongtrạng thái tích ta có
D
∆ ˆL1
2E+
Dˆ
aˆb+
E
aˆb+
E
D
ˆmˆb+n
E
2
1.3.2 Tiêu chuẩn độ đồng quy
Để định lượng độ rối của trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1)thêm một và bớt một photon ngoài tiêu chuẩn Hillery Zubairy bậc cao,
Trang 21ta còn có thế định lượng độ rối bằng tiêu chuẩn độ đồng quy Cho trạngthái hai mode a và b:
|Ψiab = N [µ |ηia|γib + υ |ζia|δib] (1.29)trong đó N là hệ số chuẩn hóa; µ, υ là số phức; ζ, η , γ , δ là các trạngthái đã được chuẩn hóa của hai mode a và b Định nghĩa độ đồng quy:
C =2|µ||υ|
q(1 − |P12|)((1 − |P22|)
|µ|2 + |υ|2 + Re(µ∗υP1P2∗) , (1.30)trong đó: P1 = ahη|ζia,P2 = bhδ|γib
Trạng thái |Ψiab đan rối nếu C > 0 và cực đại đan rối nếu C = 1
hai mode
1.4.1 Mô hình viễn tải lượng tử biến liên tục
Chúng tôi sử dụng mô hình viễn tải lượng tử liên tục Agarwal[15], với các nguồn rối hai mode được biểu diễn dưới dạng các trạng tháikết hợp để thực hiện quá trình viễn tải lượng tử Hệ thống quá trình viễntải một trạng thái kết hợp gồm bên gửi thông tin và bên nhận thôngtin, hai người cùng nhau chia sẻ một trạng thái đan rối hai mode Giả
sử bên gửi thông tin là Alice và bên nhận thông tin là Bob, cùng chia sẻtrạng thái đan rối hai mode a và b, trong đó mode a dành cho Alice vàmode b dành cho Bob Trạng thái |ψic là trạng thái được viễn tải chứathông tin được mã hóa, tương ứng với mode c được đưa vào Alice Đầutiên Alice phải thực hiện phép đo thông tin về mức độ đan rối giữa trạngthái biên độ trực giao Bell Kết quả đo được tích hợp vào biến phức với
X là tổng tọa độ và P là hiệu xung lượng của các photon ứng với hai
Trang 22mode a và b Kết quả của phép đo này sẽ được gửi tới bên nhận là Bobqua kênh thông tin cổ điển Để thực hiện phép đo này, trước hết Alice
tổ hợp một trạng thái ba mode có dạng
|ψiabc = |ψiab|ψic (1.31)Tiếp theo, Alice sẽ thưc hiện phép đo trên hai mode a và c Phép đotrạng thái này thông qua trạng thái Bell có dạng như sau
|B (X, P )iac ≡ |B (A)iac, (1.32)Việc đo mức độ rối chính là sự tổ hợp trạng thái Bell và trạng thái bamode Sau quá trình đo, lúc này trạng thái lượng tử bên Alile sẽ là
|ψiA = cahB (X, P ) | ψiab|ψic = cahB (A) | ψiab|ψic (1.33)
Do Bob và Alice cùng chia sẻ với nhau một trạng thái đan rối nên Bobcũng có dạng tương tự
|ψiB = cahB (A) | ψiab|ψic (1.34)Đây chính là trạng thái trước khi Bob nhận được bằng thông tin cổ điển
do Alice gửi, ta viết lại |ψiB như sau
|ψiB = cahB (A) | ψiab|ψic = ˆT (A) |ψic, (1.35)với ˆT (A) = cahB (A) | ψiab|ψic được gọi là toán tử viễn tải Lúc này
|ψiB là một phiên bản của trạng thái vào |ψic, tuy nhiên nó không giốngvới bản gốc ban đầu do bị xê dịch bởi phép đo trên Sau khi nhận đượckết quả đo từ Alice thông qua kênh cổ điển, Bob sẽ sử dụng thông tinnày cùng với trạng thái của mình để tái tạo lại trạng thái ban đầu |ψicbằng cách sử dụng phép đổi Unita theo biến phức A Đặt β = g2A với
g là hệ số điều khiển dùng để hoàn thiện độ trung thực viễn tải, trạngthái ra của bản gốc sau khi viễn tải là
|ψiout = ˆD (β) |ψiB = ˆD (β) ˆT (A) |ψic (1.36)
Trang 23Khi đó, phân bố xác suất đo độ đan rối giữa mode a và mode c
ρ (A) = hψA | ψAi = hψB | ψBi =
ˆ
T (A) |ψic
...
Thật từ định nghĩa trạng thái kết hợp |αi, ta có
Trang 17Để chứng minh trạng thái kết hợp trạng thái. .. data-page="18">
đồng thời hai toán tử ˆX ˆP với sai số nhỏ nhất.
Hệ thức (1.16) gọi giới hạn lượng tử chuẩn Đây tínhchất quan trọng trạng thái kết hợp
1.2 Tính chất tốn tử dịch chuyển... đan rối Hillery-Zubairy
Trong phần này, giới thiệu điều kiện đan rối cho h? ?hai mode Hillery-Zubairy [19] Hai ông đưa lớp bất đẳngthức mà vi phạm chúng diện đan rối h? ?hai mode Xét hai mode