Định lượng độ rối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon lẻ

Quá trình viễn tải lượng tử với nguồn rối là trạng thái hai mode kết hợp SU1,1 thêm một và bớt một photon lẻ.. Từ năm 2011, học viên Lê Thị Thu đã khảosát tính đan rối và chuyển vị lượng

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các sốliệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được cácđồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳmột công trình nghiên cứu nào khác

Huế, tháng 10 năm 2018Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thu Hằng

LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Trương Minh Đức đã tận tình hướngdẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện

Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong khoaVật Lý và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đạihọc Huế; các bạn học viên Cao học khóa 25 cùng gia đình, bạn bè đãđộng viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập

và thực hiện luận văn

Huế, tháng 10 năm 2018Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thu Hằng

MỤC LỤC

Trang phụ bìa i

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

Danh sách hình vẽ 3

MỞ ĐẦU 4

NỘI DUNG 9

Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 9

1.1 Trạng thái kết hợp 9

1.1.1 Khái niệm 9

1.1.2 Các tính chất của trạng thái kết hợp 11

1.1.3 Trạng thái kết hợp chẵn và lẻ 15

1.2 Tính chất của toán tử dịch chuyển 19

1.3 Các tiêu chuẩn đan rối 21

1.3.1 Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy 21

1.3.2 Tiêu chuẩn Độ đồng quy 22

1.4 Mô hình viễn tải lượng tử với các nguồn rối hai mode 23

1.5 Trạng thái Bell với quá trình viễn tải lượng tử 25

Chương 2 KHẢO SÁT TÍNH CHẤT ĐAN RỐI 29

2.1 Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon lẻ 29

2.1.1 Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) 29 2.1.2 Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và

2.2 Khảo sát tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợp

SU(1,1) thêm một và bớt một photon lẻ 382.3 Định lượng độ rối theo tiêu chuẩn Độ đồng quy 46Chương 3 KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH VIỄN TẢI LƯỢNG

TỬ 523.1 Quá trình viễn tải lượng tử với nguồn rối là trạng thái hai

mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon lẻ 523.2 Độ trung thực trung bình của quá trình viễn tải lượng tử 57KẾT LUẬN 66TÀI LIỆU THAM KHẢO 68PHỤ LỤC P.1

DANH SÁCH HÌNH VẼ

Đồ thị 2.1 Sự phụ thuộc của tham số đan rối R1 vào r với giá

trị q = 1, q = 2, q = 3 và k thuộc khoảng giá trị (0;2) 44

Đồ thị 2.2 Sự phụ thuộc của tham số đan rối R1 vào r với giá

trị q = 6, q = 7, q = 8 và k thuộc khoảng giá trị (0;3) 45

Đồ thị 2.3 Sự phụ thuộc của Độ đồng quy C vào r 50

Đồ thị 2.4 Sự phụ thuộc của Độ đồng quy C vào r 51

Đồ thị 3.1 Khảo sát độ trung thực trung bình Fav theo r 63

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Ngày nay, các nước phát triển trên thế giới đang có cuộc chạy đuasôi động trong lĩnh vực thông tin lượng tử Các chuyên gia hàng đầu thếgiới nhận định: nước nào sớm chiếm lĩnh được lĩnh vực thông tin lượng

tử sẽ là nước chiếm thế thượng phong giữa các quốc gia Sự ra đời củangành khoa học mới thông tin lượng tử vừa là thời cơ, vừa là thách thức

và cũng có thể là hiểm họa đối với sự phát triển của một số quốc giakém phát triển Cụ thể là thông tin lượng tử sẽ được truyền đi với tốc

độ cực nhanh đồng thời vẫn đảm bảo được tính chất và tính bảo mậtcủa thông tin một cách tuyệt đối Với lĩnh vực tính toán, nếu áp dụng

lý thuyết thông tin lượng tử sẽ cho ra đời thế hệ máy tính có tốc độ xử

lý nhanh hơn bất kỳ một máy tính cổ điển nào, và việc bảo mật thôngtin trở nên an toàn tuyệt đối Vì thế, việc xử lý thông tin lượng tử làmột vấn đề mới, rộng lớn và có tính bao quát Việc truyền tải thông tinthông qua việc sử dụng tính chất đan rối được gọi là viễn tải lượng tử

Đó là một quá trình dịch chuyển thông tin cũng như vật chất tức thời,

mà không phải dịch chuyển qua không gian, được thực hiện bằng cáchgiải mã một vật ở thời điểm này rồi gửi thông tin phân tử tới điểm khác,nơi vật sẽ được tái tạo lại cấu trúc ban đầu Viễn tải lượng tử có thểđược khai thác để làm cho máy tính lượng tử, mạng lưới viễn thông trởnên nhanh và mạnh hơn Do đó, các nhà khoa học đã và đang tập trungvào khai thác rối lượng tử để nghiên cứu viễn tải lượng tử, sau đó tìm

ra nguồn rối có độ trung thực trung bình cao nhất là một trong nhữnghướng nghiên cứu đầy tiển vọng của ngành vật lý lý thuyết nói riêng,vật lý nói chung và cũng như ngành khoa học máy tính

Năm 1963, Glauber và Shudarshan đã đưa ra khái niệm về trạngthái kết hợp [17],[23], đây là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏnhất được suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg Trạng thái SU(1,1) đãđược Perelomov tìm ra vào năm 1972 [22] Khi q = 0 trạng thái này trởthành trạng thái nén chân không hai mode [15].

Đối với nước Việt Nam chúng ta, vấn đề thông tin lượng tử nóichung rất được quan tâm Từ năm 2011, học viên Lê Thị Thu đã khảosát tính đan rối và chuyển vị lượng tử với trạng thái kết hợp hai modethêm photon [6]; năm 2013, học viên Lê Thị Thủy đã khảo sát tính đanrối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode SU(1,1) [7]; năm 2014,học viên Nguyễn Thị Kim Thanh đã khảo sát tính đan rối và viễn tảilượng tử với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích[5]; năm 2015, học viên Trần Thị Thanh Tâm đã khảo sát tính đan rối

và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photonchẵn [4]; năm 2016, học viên Lê Thị Mai Phương đã nghiên cứu tính đanrối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn [3];năm 2017, học viên Nguyễn Thị Phương Ni đã nghiên cứu định lượng độrối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photontích SU(2) chẵn [2]; năm 2017 có nghiên cứu sinh Đặng Hữu Định vớikhảo sát các tính chất phi cổ điển và vận dụng các trạng thái phi cổ điểnvào thông tin lượng tử trong luận án tiến sĩ vật lý [1]

Như vậy, vấn đề về rối lượng tử đang là một vấn đề thú vị và thuhút được sự chú ý hiện nay bởi còn nhiều điều chưa được khám phá vànhững ứng dụng cực kỳ to lớn của nó Việc khảo sát về trạng thái đanrối và viễn tải lượng tử đã được một số tác giả nghiên cứu [11], [24], [25],[26] nhưng vẫn chưa có đề tài nào nghiên cứu về định lượng độ rối vàviễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và

bớt một photon lẻ Được sự hướng dẫn của Thầy giáo PGS.TS TrươngMinh Đức, tôi quyết định chọn đề tài “Định lượng độ rối và viễn tảilượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt mộtphoton lẻ” làm đề tài luận văn cho mình.

II Mục tiêu của đề tài

Mục tiêu của đề tài này là khảo sát tính chất đan rối và định lượng

độ rối của trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt mộtphoton lẻ bằng các tiêu chuẩn đan rối Tiếp theo, tôi sử dụng trạng tháinày làm nguồn rối để thực hiện quá trình viễn tải lượng tử một trạngthái kết hợp và đánh giá mức độ thành công của quá trình viễn tải thôngqua độ trung thực trung bình

III Phạm vi nghiên cứu

Trong luận văn này, tôi sẽ sử dụng tiêu chuẩn Độ đồng quy để địnhlượng độ rối, tiêu chuẩn đan rối Hillerry- Zubairy để nghiên cứu tínhđan rối và viễn tải lượng tử một trạng thái kết hợp [1], [12], [25] Sau

đó, sử dụng mô hình viễn tải biến liên tục để thực hiện quá trình viễntải với nguồn rối là trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một vàbớt một photon lẻ

IV Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài chủ yếu tập trung vào các nội dung sau:

- Nghiên cứu lý thuyết, phân tích tổng hợp các kiến thức liên quannhư: trạng thái kết hợp, các tiêu chuẩn đan rối, mô hình viễn tải lượng

tử với các nguồn rối hai mode, trạng thái Bell với quá trình viễn tảilượng tử

- Sử dụng tiêu chuẩn đan rối Hillerry-Zubairy để khảo sát tính đanrối của trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photonlẻ.

- Nghiên cứu định lượng độ rối theo tiêu chuẩn Độ đồng quy

- Áp dụng mô hình viễn tải: tọa độ, xung lượng để thực hiện quátrình viễn tải lượng tử với nguồn rối là trạng thái hai mode kết hợpSU(1,1) thêm một và bớt một photon lẻ và đưa ra độ trung thực trungbình của quá trình viễn tải rồi khảo sát trên đồ thị

V Phương pháp nghiên cứu

Một số phương pháp được chúng tôi sử dụng như sau:

- Phương pháp chung gồm nghiên cứu lý thuyết, phân tích, tổnghợp các kiến thức liên quan

- Sử dụng kiến thức về lý thuyết trường lượng tử phương phápquang lượng tử cho hệ nhiều hạt để giải các bài toán liên quan đến đềtài nghiên cứu

- Phương pháp tính số và sử dụng phần mềm Mathematica để vẽ

đồ thị

- Phương pháp so sánh, kiểm chứng

VI Bố cục luận văn

Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chialàm 3 phần:

Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, lịch sử vấn đề, mục tiêunghiên cứu, nội dung nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, phạm vinghiên cứu, bố cục luận văn

Phần nội dung gồm 3 chương:

Chương 1: Trình bày các cơ sở lý thuyết.

Chương 2: Trình bày về khảo sát tính đan rối của trạng thái haimode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon lẻ

Chương 3: Trình bày quá trình viễn tải lượng tử với nguồn rối làtrạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon lẻ.Phần kết luận trình bày các kết quả đạt được

NỘI DUNG Chương 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Những kiến thức tổng quan về trạng thái kết hợp, trạng tháiFock, toán tử dịch chuyển sẽ được chúng tôi đưa ra trong chươngnày nhằm hình thành một nền tảng kiến thức cho việc nghiêncứu các chương sau Bên cạnh đó, chúng tôi sẽ trình bày tiêuchuẩn đan rối Hillery-Zubairy, định lương độ rối theo tiêu chuẩn

Độ đồng quy, cũng như mô hình viễn tải biến liên tục để ápdụng vào việc khảo sát tính đan rối, định lượng độ rối và viễntải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một

|0i ) của trường điện từ, nghĩa là

với ˆD (α) = exp (αˆa+− α∗a) là toán tử dịch chuyển của toán tử ˆˆ a, với

α = r exp (iϕ) là tham số kết hợp, r và ϕ lần lượt là biên độ và pha kếthợp, ˆa+, ˆa lần lượt là toán tử sinh, hủy hạt boson của trường điện từ.Vậy chúng tôi biểu diễn trạng thái kết hợp như sau

|αi = exp αˆa+− α∗ˆ
|0i Với ˆA, ˆB là hai toán tử bất kỳ tôi áp dụng đồng nhất thức Baker –Hausdorff thì sẽ được kết quả

h ˆA, ˆBi

, (1.2)thực hiện khai triển toán tử dịch chuyển dưới dạng

exp αˆa+
= 1 + (αˆa

+)1! +

(αˆa+)22! + =

∞

X

n=0

(αˆa+)nn! , (1.4)và

exp (−α∗a) = 1 +ˆ (−α

∗ˆa)1! +

(−α∗ˆa)22! + =

∞

X

n=0

(−α∗ˆa)nn! . (1.5)

Ở đây, toán tử sinh hạt ˆa+ và toán tử hủy hạt ˆa tuân theo hệ thức giaohoán

ˆa, ˆa+ = ˆaˆa+− ˆa+ˆa = 1,[ˆa, ˆa] = ˆa+, ˆa+ = 0

Thay biểu thức trên vào (1.4) và (1.5) thì chúng tôi dễ dàng có được kếtquả

|αi = D (α) |0i

n

(αˆa+)nn! exp

(ˆa+)n

√n! exp

là trạng thái Fock và |0i là vectơ trạng thái chân không của hệ hạt Dovậy, trạng thái kết hợp có thể được biểu diễn

1.1.2 Các tính chất của trạng thái kết hợp

Tính chất 1: Trạng thái kết hợp |αi có phân bố số hạt tuân theo

chính bằng bình phương biên độ kết hợp r, tức là

Để chứng minh (1.12) chúng tôi xét

hˆni = hα |ˆn| αi = ˆ+ˆ α Mặt khác, chúng tôi có

ˆ

a |αi = α |αi ,hα| ˆa+ = hα| α∗,

α = r exp (iϕ) Chính vì thế

hˆni = hα|α∗α|αi = |α|2 = r2.Lúc này, phân bố Poisson chính là xác suất p (n) để tìm n hạt boson ởtrạng thái |αi, hay là

= hninexp (− hˆni)

Tính chất 2: Tập hợp tất cả các trạng thái |αi là một tập hợp đủ

1π

α = reiϕ,

Để chứng minh tính chất 3, chúng tôi đi từ định nghĩa trạng tháikết hợp |αi,

Từ biểu thức trên ta dễ dàng thu được

Thật vậy trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định cực tiểu,

ở đây chúng tôi đưa vào hai đại lượng X, P không thứ nguyên và đượcbiểu diễn thông qua hai toán tử tương ứng là ˆX và ˆP được định nghĩanhư sau

ˆ

X =r mω

~ˆ

x, ˆP =

r

~

mωp,ˆvới x và p là các đại lượng có thứ nguyên tương ứng với tọa độ và xunglượng Còn các toán tử ˆX và ˆP được biểu diễn thông qua các toán tửsinh, hủy photon của trường điện từ dưới dạng

Mà ˆX và ˆP là các toán tử Hermite nên chúng tương ứng với các đạilượng vật lý đo được Chính vì thế, ta có thể tính được phương sai củamỗi đại lượng.

Xét phương sai của ˆX

D

α|(∆X)2|αE =

Dα

ˆ

X2

ψic

chψ| ˆD (B) ˆT (A)

ψic

1.5 Trạng thái Bell với quá trình viễn tải lượng tử

Xét quá trình viễn tải, việc đo mức độ rối giữa hai mode a và

c là một bước quan trọng và không thể thiếu trong quá trình viễn tảilượng tử, nó giúp cho bên B xác định thông tin về trạng thái mà bên

A thực hiện viễn tải Trạng thái Bell là trạng thái trực giao nên sẽ chomức độ đan rối cao nhất, do đó việc thiết lập trạng thái Bell sẽ làm chomức độ đan rối giữa trạng thái cần viễn tải và trạng thái làm nguồn caonhất, làm tăng hiệu quả của quá trình viễn tải [2] Giả sử thông số cần

đo của trường đa mode là các trị riêng của toán tử biên độ trực giao

được biểu diễn như sau

ˆ

x = ˆa + ˆa

+

2 ,ˆ

ˆ

x ||X i = X ||X i ,ˆ

Gr(y) |iyi dy, (1.54)

ở đây, Sq.vac là nén chân không (Squeezed vacuum) Khi r → ∞ thì

N (r) → 0, Gr(x) → 1, khi đó trạng thái riêng tương ứng được xác định

Giả sử mode a và mode c được đưa vào máy đo, toán tử trực giao ˆx làcủa mode c, ˆp là của mode a, trị riêng cần đo là X, P Kết quả đo chotrạng thái chứa mode a và mode c lúc này sẽ là

Để tiện cho quá trình tính toán, chúng tôi đưa vào hai biến phức

Zexp(Aγ∗ − A∗γ)|γ∗ − A∗ia|γ + Aicd2y (1.60)

Nhằm chuẩn hóa xác suất đo theo giá trị biến phức A, ta đưa vào hệ số

|γ∗ia|γicd2y (1.62)

Phương trình (1.62) là trạng thái nén chân không hai mode Biến đổiphương trình (1.60)

|B (X, P )iac = ˆDc(2A) 2

π√π

ˆ

Dc(2A)

Z

d2γ|γ∗ia|γic.Xét trong không gian Fock, ta có thể viết lại biến phức γ như sau

Chương 2

KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT ĐAN RỐI CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(1,1) THÊM MỘT VÀ BỚT MỘT PHOTON LẺ

Độ đan rối của một trạng thái sẽ ảnh hưởng đến độ thànhcông của quá trình viễn tải lượng tử, vì thế nên trước khi sửdụng trạng thái nào làm nguồn rối để thực hiện một quá trìnhviễn tải lượng tử thì điều đầu tiên ta cần phải xét đến đó lànguồn rối Do đó, người ta phải sử dụng các tiêu chuẩn đanrối phù hợp để kiểm tra mức độ đan rối của trạng thái này.Trong chương 2, chúng tôi sử dụng tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy [18] và định lượng độ rối theo tiêu chuẩn Độ đồng quy[9],[21], để khảo sát tính đan rối của trạng thái hai mode kếthợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon lẻ

và bớt một photon lẻ

2.1.1 Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1)

Trước hết, để đưa ra trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) chúng tôixét các toán tử sau đây

K+ = ˆa†ˆb†,ˆ

K− = ˆaˆb,

với ˆa†, ˆa và ˆb†, ˆb lần lượt là toán tử sinh, hủy photon của mode a và mode

b của trường điện từ Áp dụng đại số Lie SU(1,1), ta có

h ˆK

0, ˆK+

i

= 12

h

ˆ†ˆa + ˆb†ˆb + 1

, ˆa†ˆb†

i,

= ˆa†ˆb†,

= ˆK+.Tính tương tự với

h ˆK

0, ˆK−

i

= 12

h

ˆ†ˆa + ˆb†ˆb + 1

, ˆaˆbi

có nhóm trạng thái hai mode |na, nbi = |nai ⊗ |nbi , của dạng

{|n + q, ni , n = 0, 1, , ∞} Perelomov [22] đã định nghĩa trạng thái hai mode SU(1,1) như sau

h

α ˆK+, −α∗Kˆ−i

,



−α∗Kˆ−

exp



−|α|2Kˆ0

.Thay phương trình (2.2) vào phương trình (2.1) ta suy ra được

|ϕiab = exp



α ˆK+

exp



−α∗Kˆ−

exp



−|α|2Kˆ0



|q, 0i (2.2)Tiếp theo, chúng tôi thực hiện phép biến đổi

Mặt khác, ta có

−1

2|α|2ˆ†ˆa + ˆb†ˆb + 1|q, 0i = −1

2|α|2(q + 1) |q, 0i ,h



−α∗Kˆ−

exp

|ϕiab =

hexp



−|α|2i

1+q 2

n!q! |q + n, ni (2.14)

Thay công thức (2.9) và (2.15) vào công thức (2.3) ta được

m



1+q 2

n!q! |q + n, ni ,

(2.15)

trong đó α = −12θ exp (−iϕ) và đặt ξ = − tanh (θ/2) exp (−iϕ);

(θ/2) = r với θ rất bé Lấy gần đúng ta được

2.1.2 Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt

một photon lẻ

Mở rộng (2.1) cho trường hợp thêm một và bớt một photon lẻ tathu được trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt mộtphoton lẻ định nghĩa như sau

|ψiab = N



ˆ†+ ˆb

(|ϕiab − |−ϕiab) , (2.17)

trong đó |ϕiab là trạng thái hai mode SU(1,1), ˆa†(ˆa) và ˆb†ˆb là toán tửsinh (hủy) photon của mode a và mode b, |±ϕiab là các trạng thái haimode SU(1,1) có dạng

Thay (2.19) vào (2.18) ta được

×npn + q + 1|n + q + 1, niab +√

n|n + q, n − 1iab

o.Hay trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon

lẻ được viết lại như sau

×npn + q + 1|n + q + 1ia|nib +√

n|n + qia|n − 1ibo.Trong đó N là hệ số chuẩn hóa và được tìm ra từ điều kiện chuẩn hóa

⇔

N ˆ† + ˆb(|ϕiab− |−ϕiab)

... tính chất trạng thái kếthợp chẵn kết hợp lẻ sau

a) Các trạng thái kết hợp chẵn kết hợp lẻ không trực giao vớinhau trạng thái kết hợp chẵn lại trực giao với trạng tháikết hợp lẻ

Để...

(1.21)Như vậy, biểu diễn sang trạng thái Fock trạng thái kết hợpchẵn (lẻ) tổ hợp trạng thái ứng với số hạt chẵn (lẻ) Tiếp tụctiến hành chuẩn hóa trạng thái kết hợp chẵn

= 4Cch2... với hệ thức bất định Heisenberg

Vì thế, trạng thái kết hợp trạng thái cho phép thực phép

đo đồng thời hai toán tử ˆX ˆP với sai số nhỏ Khi đó, hệ thức(1.16) gọi giới hạn lượng tử