Điều kiện tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu đa mục tiêu

Lý thuyết các điều kiện cấp 2 của bài toán tối ưu đa mục tiêu là một bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu.. Trong những năm qua, đã có một sự quan tâm ngày càng nhiều về cácđiều kiện

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI

CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Học viên: NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - Cao học K23Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS PHAN NHẬT TĨNH

Thừa Thiên Huế, năm 2017

Trang 2

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên em xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo hướng dẫn PGS.TSPhan Nhật Tĩnh Thầy đã giao đề tài, hướng dẫn em trong suốt quá trìnhhoàn thực hiện luận văn này

Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô khoa Toán, TrườngĐại Học Sư Phạm Huế đã dạy học và giúp đỡ em trong thời gian qua

Thừa Thiên Huế, tháng 12 năm 2017

Học viênNguyễn Ngọc Uyển Nhi

Trang 3

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết các điều kiện tối ưu trong tối ưu đơn mục tiêu và đa mụctiêu trơn và không trơn đã và đang phát triển rất mạnh mẽ với nhiều kếtquả đẹp đẽ và phong phú Lý thuyết các điều kiện cấp 2 của bài toán tối

ưu đa mục tiêu là một bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu

Trong những năm qua, đã có một sự quan tâm ngày càng nhiều về cácđiều kiện cấp 2 của bài toán tối ưu vì bên cạnh vai trò kiểm tra tính tối

ưu, đặc biệt khi không có giả thiết lồi (từ các điều kiện cần ta có đượctập các điểm dừng mà trong đó bao hàm các nghiệm của bài toán tối ưu,các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho phép ta tìm ra nghiệm của bài toánđó), các điều kiện cấp hai còn là cơ sở cho việc thiết kế các thuật toán tối

ưu và đồng thời trợ giúp cho việc nghiên cứu tính nhạy cảm của nghiệmtối ưu trong các bài toán có nhiễu

Vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài cho luận văn cao học là “Điều kiện tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu đa mục tiêu”

Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung, kết luận vàdanh mục các tài liệu tham khảo

Chương 1: Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu đa mục tiêu.Chương 2: Điều kiện cần tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu đa mục tiêukhông trơn với ràng buộc tập hợp

Chương 3: Điều kiện đủ tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu đa mục tiêukhông trơn với ràng buộc tập hợp và trường hợp không ràng buộc tậphợp

Trang 4

Mục lục

1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu đa mục tiêu 1

§1 Quan hệ thứ tự từng phần trong Rm 1

§2 Nghiệm cực tiểu, nghiệm cực tiểu yếu, nghiệm cực tiểu địa

phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu 3

2 Điều kiện cần tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu đa mục

§1 Điều kiện đủ của bài toán tối ưu cấp hai 29

§2 Trường hợp bài toán không ràng buộc tập hợp 31

0

Trang 5

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu đa mục tiêu.

∀x, y ∈Rm, x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y

Định nghĩa 1.1.2 Không gian tuyến tính Rm được trang bị bởi quan hệthứ tự từng phần được gọi là không gian tuyến tính thứ tự từng phần

Trang 6

Thứ tự từng phần trên Rm mà ta gọi là thứ tự tự nhiên ≤m được xácđịnh bởi:

≤m= {(x, y) ∈ Rm×Rm|xi ≤ yi, ∀i = 1, , m}

Định nghĩa 1.1.3 a) Một tập hợp C ⊂ Rm được gọi là lồi nếu với mọi

x, y ∈ C và λ ∈ (0, 1) ta có λx + (1 − λ)y ∈ C

b) Một tập hợp không rỗng K ⊂ Rm được gọi là nón nếu với mọi điểm

k ∈ K và λ ≥ 0, ta có λk ∈ K, nếu K là tập lồi thì nó sẽ được gọi lànón lồi

c) Nón K được gọi là nón nhọn nếu K ∩ (−K) = {0}

Nhận xét: Trong không gian hữu hạn chiều Rm, mặt phẳng, đườngthẳng, đoạn thẳng, tam giác, hình cầu cho ta các hình ảnh về tập lồi.Chú ý 1.1.4 i) Quan hệ thứ tự từng phần có thể được mô tả bởi một nónlồi Bất kỳ thứ tự từng phần ≤ trên Rm xác định một nón lồi:

Trang 7

§2 Nghiệm cực tiểu, nghiệm cực tiểu yếu, nghiệm

cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu.

2.1 Các khái niệm

Định nghĩa 1.2.1 Cho T là tập hợp khác rỗng của không gian tuyếntính Rm được sắp thứ tự từng phần bởi một nón lồi K Điểm y ∈ T đượcgọi là K-điểm cực tiểu của tập hợp T nếu:

Nếu K nhọn thì (1) tương đương với:y −k ∈ ¯¯ y +K ⇒ k = 0 ⇒ ¯y −k = ¯y

nên (y − K) ∩ T = {y}

Hình 1.1: K-điểm cực tiểu ¯ y Điểm ˜ y ≤K y.

Cho f :Rn → Rm và Ω ⊂ Rn Giả sử Rm được sắp thứ tự bởi nón lồi K.Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu sau:

Trang 8

Định nghĩa 1.2.2 Một điểm x ∈ Ω¯ được gọi là nghiệm cực tiểu (hoặcnghiệm hữu hiệu hoặc K-cực tiểu) của bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP)theo nón thứ tự K nếu f (¯x) là K-điểm cực tiểu của tập hợp f (Ω)

Khi đóε(f (Ω), K) còn gọi là tập giá trị hữu hiệu Mỗi điểmy ∈ ε(f (Ω), K)¯

được gọi là một giá trị K-cực tiểu (hay hữu hiệu theo nón K)

iii) Với K = Rm+ thì K-điểm cực tiểu còn được gọi là điểm cực tiểuEdgeworth-Pareto (EP-điểm cực tiểu)

iv) Hình 1.2 là ví dụ về bài toán tối ưu đa mục tiêu với số chiều n = 2.Tập hợp Ω và f (Ω) cũng như nón nhọn thứ tự được chỉ ra Tập giá trịhữu hiệu được biểu thị bởi đường dày hơn

Hình 1.2: Giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu.

Trang 9

Định nghĩa 1.2.4 Cho K là một nón nhọn, lồi, với int(K) 6= ∅ Điểm

và được gọi là tập hợp giá trị hữu hiệu yếu theo nón K

iii) K-điểm cực tiểu yếu chính là điểm cực tiểu theo nón int(K) ∪ {0m},

do đó, Mw(f (Ω), K) = M(f (Ω), int(K) ∪ {0m})

Với bài toán tối ưu đa mục tiêu, ta có các khái niệm về cực tiểu địaphương:

Định nghĩa 1.2.6 Cho K là một nón nhọn, lồi với int(K) 6= ∅

Điểm x ∈ Ω¯ được gọi là nghiệm cực tiểu địa phương của bài toán tối

ưu đa mục tiêu (MOP) theo nón thứ tự K nếu tồn tại lân cận U của x¯

sao cho không có y ∈ f (Ω ∩ U )\{f (¯x)} với f (¯x) ∈ y + K

Điểm x ∈ Ω¯ được gọi là nghiệm cực tiểu yếu địa phương của bài toántối ưu đa mục tiêu (MOP) theo nón thứ tự K nếu tồn tại lân cận U của

¯

x sao cho không có y ∈ f (Ω ∩ U ) với f (¯x) ∈ y + intK

Trang 10

Kết quả được phát biểu tương tự với tập hợp các nghiệm cực tiểu yếu

Hệ quả 1.2.8 Cho K1 và K2 là nón lồi, nhọn, phần trong khác rỗng và

Trang 11

Định nghĩa 1.2.10 Cho A ⊂ Rm Điểm y ∈ Rm được gọi là điểm biêncủa A nếu với mọi ε > 0 thì B(y, ε) ∩ A 6= ∅ và B(y, ε) ∩ (Rm\A) 6= ∅.Tập hợp tất cả điểm biên của A kí hiệu là ∂A.

Định lý 1.2.11 Cho K là nón lồi, nhọn và K 6= {0m} Khi đó:

ε(f (Ω), K) ⊂ ∂f (Ω)

Chứng minh: Tương tự cách chứng minh định lý 1.2.12

Định lý 1.2.12 Cho K là một nón nhọn, lồi và int(K) 6= ∅ Khi đó:

εw(f (Ω), K) ⊂ ∂f (Ω)

Chứng minh:

Lấy bất kỳ y ∈ ε¯ w(f (Ω), K) ⊂ f (Ω) Ta giả sử y ∈ (f (Ω)\∂f (Ω)) =¯int (f (Ω)) Khi đó, ∃δ > 0 và hình cầu mở B = {y ∈ Rm|||y|| < δ} saocho y + B ⊂ f (Ω)¯

Cho k ∈ int(K), khi đó tồn tại λ < 0 với ||λk|| < δ tức là λk ∈ B nên

Trang 12

Chương 2

Điều kiện cần tối ưu cấp hai của

bài toán tối ưu đa mục tiêu.

Các khái niệm, kết quả của chương này được trích dẫn từ bài báo [12] ởmục tài liệu tham khảo

Trang 14

Nếu t2n

tn.sn =

tn

sn → 0 với x + t¯ nv + tnsnwn ∈ Ω thì w ∈ T02(Ω, ¯x, v) (2).Nếu tn

Từ (1), (2), (3) dẫn đến T2(Ω, ¯x, v) ∪ T02(Ω, ¯x, v) 6= ∅

Mệnh đề 2.1.4 Cho Ω ⊂ Rn là tập hợp lồi và x ∈ clΩ¯ , intΩ 6= ∅ Khiđó: IT (intΩ, ¯x) = IT (Ω, ¯x) = cone+(intΩ − ¯x) = int cone(Ω − ¯x)

Chứng minh:

i) Ta chứng minh đẳng thức đầu tiên: IT (intΩ, ¯x) = IT (Ω, ¯x)

Lấy u ∈ IT (intΩ, ¯x), khi đó ∃δ > 0 sao cho x + tw ∈ intΩ ⊂ Ω¯ ,

Vậy IT (Ω, ¯x) ⊂ IT (intΩ, ¯x) nên IT (intΩ, ¯x) = IT (Ω, ¯x)

ii) Chứng minh đẳng thức cuối: cone+(intΩ − ¯x) = int cone(Ω − ¯x)

Ta có: cone+(intΩ − ¯x) = ∪α>0α(intΩ − ¯x) là một tập mở chứa trong

cone(Ω − ¯x)

Do đó, cone+(intΩ − ¯x) ⊂ int(cone(Ω − ¯x))

Tiếp theo, Lấyv = α(x−¯x) ∈ cone(Ω−¯x)vớiα > 0vàx ∈ Ω Cho > 0,

do intΩ là trù mật trong Ω nên ∃x1 ∈ intΩ sao cho ||x − x1|| < α−1.Đặt w = α(x1 − ¯x) ∈ cone+(intΩ − ¯x), khi đó:

||v − w|| = ||α(x − ¯x) − α(x1 − ¯x)|| = α||x − x1|| < với

Trang 15

Suy ra, int cone(Ω − ¯x) ⊂ cone+(intΩ − ¯x).

Vậy cone+(intΩ − ¯x) = int cone(Ω − ¯x)

iii) Cuối cùng, chứng minh: IT (Ω, ¯x) = int(cone(Ω − ¯x))

Lấy u ∈ int(cone(Ω − ¯x)) ⊂ cone(Ω − ¯x), khi đó u = α(x − ¯x) với α > 0

t = α(x − ¯x) ∈ cone+(intΩ − ¯x) = int cone(Ω − ¯x).

Vậy IT (intΩ, ¯x) = IT (Ω, ¯x) = cone+(intΩ − ¯x) = int cone(Ω − ¯x).Chú ý 2.1.5 Với nón K = Rm+ và y = (y1, y2, , ym) ∈ Rm+, ta có cácbiểu thức đối với tập tiếp xúc sau:

Trang 16

c) Tập tuyến tính bậc 2 của Ω tại (¯x, v) được định nghĩa là tập:

= g0(¯x)w + g00(¯x)(v, v)

Chứng minh: Đặt wn = xn− ¯x − tnv

1

2t2 n

, từ giả thiết lim

Trang 17

Mệnh đề 2.1.8 Cho Q ⊂ Rp, Ω = g−1(Q), x ∈ Ω¯ Ta có:

i) T (Ω, ¯x) ⊂ C(Ω, ¯x)

ii) T2(Ω, ¯x, v) ⊂ C2(Ω, ¯x, v)

Chứng minh: Ta chứng minh (ii)

Lấy w ∈ T2(Ω, ¯x, v) thì ∃tn → 0+ và xn ∈ Ω = g−1(Q) sao cho:

= g0(¯x)w + g00(¯x)(v, v) (3)

Bằng định nghĩa của T2, ta có: ∃tn → 0+ và g(xn) ∈ Q nên:

g0(¯x)w + g00(¯x)(v, v) ∈ T2(Q, g(¯x), g0(¯x)v)

Do đó, w ∈ C2(Ω, ¯x, v)

i) Từ (ii) suy ra (i) khi cho v = 0

Định nghĩa 2.1.9 i) Nếu đẳng thức T (Ω, ¯x) = C(Ω, ¯x) xảy ra, ta nóirằng điều kiện Abadie (ACQ) thỏa tại x¯

ii) Nếu đẳng thức T2(Ω, ¯x, v) = C2(Ω, ¯x, v) 6= ∅ xảy ra, ta nói rằng điềukiện bậc hai Abadie (SOACQ) thỏa tại (¯x, v)

Trang 18

§2 Điều kiện cần tối ưu cấp hai của bài toán có

ràng buộc tập hợp.

Cho f : Rn → Rm

là một hàm khả vi cấp hai, Rm được sắp thứ tự bởimột nón K lồi, nhọn, phần trong khác rỗng Cho Ω ⊂ Rn, xét bài toántối ưu đa mục tiêu sau:

Cho x ∈ Ω, v ∈¯ Rn, đặt I(¯x, v) = {i ∈ I : fi0(¯x)v = 0} trong đó,

Trang 19

Định lý 2.2.2 Nếu x ∈ Ω¯ là nghiệm cực tiểu yếu địa phương của bàitoán (MOP) thì:

i) T (Ω, ¯x) ∩ C0(f, ¯x) = ∅

ii) T2(Ω, ¯x, v) ∩ C02(f, ¯x, v) = ∅, ∀v ∈ T (Ω, ¯x) ∩ [C(f, ¯x)\C0(f, ¯x)].Chứng minh:

ii) Ta chứng minh phần (ii) trước Giả sử, T2(Ω, ¯x, v) ∩ C02(f, ¯x, v) 6= ∅

= f0(¯x)w + f00(¯x)(v, v) = ¯v (6)Bởi f0(¯x)v ∈ −clK (với v ∈ C(f, ¯x)) Từ Mệnh đề 2.1.4 của §1 thì:

−int cone(K + f0(¯x)v) = IT (−intK, f0(¯x)v) nên từ (5), ta có: v ∈¯

Trang 20

Từ (6) với ε, sẽ tồn tại n0 ∈ N sao cho:

f (xn) − f (¯x) − tnf0(¯x)v

1

2t2 n

Áp dụng Định lý 2.2.2 đối với bài toán đa mục tiêu Edgeworth-Pareto(nón K = Rm+), ta đi đến hệ quả tiếp theo

Hệ quả 2.2.3 (Điều kiện cần đối với EP-cực tiểu) Giả sử K = Rm+.Nếu x¯ là EP-nghiệm cực tiểu yếu địa phương của f trên Ω thì với mỗi

v ∈ T (Ω, ¯x) ∩ {v ∈ X : fi0(¯x)v ≤ 0, ∀i = 1, m và ∃i : fi0(¯x)v = 0} thì hệdưới đây không có nghiệm trong Rn

trong đó I(¯x, v) = {i ∈ I : fi0(¯x)v = 0} với I = {1, 2, , m}

Chứng minh: Áp dụng định lý 2.2.2(ii) với:

C(f, ¯x)\C0(f, ¯x) = {v ∈ X : fi0(¯x)v ≤ 0, ∀i = 1, m và ∃i : fi0(¯x)v = 0}

C02(f, ¯x, v) = {w ∈ X : fi0(¯x)w + fi00(¯x)(v, v) < 0, ∀i ∈ I(v)}

Trang 21

Định lý 2.2.4 Cho K = Rm+ Nếu x ∈ Ω¯ là EP-nghiệm cực tiểu địaphương của (MOP) thì với mọi v ∈ C1(f, ¯x) ∩ T (Ω, ¯x):

max

i∈I [fi0(¯x).w] ≥ 0, ∀w ∈ T02(Ω, ¯x, v) (10)Chứng minh

Giả sử rằng fi0(¯x).w < 0 với mọi i ∈ I và một số v ∈ C1(f, ¯x) ∩ T (Ω, ¯x)

fi(¯ với n bất kỳ đủ lớn Điều này mâu thuẫn do x¯ là nghiệm cực tiểuđịa phương của (MOP)

Trang 22

§3 Định lý Motzkin.

Cho tập hợp E của Rp, nón cực âm của E được định nghĩa là:

E− = {µ ∈ Rp : hµ, xi ≤ 0, ∀x ∈ E}

Tương tự, nón cực dương của E được định nghĩa là: E+ = −E−

Xét các giả thiết ban đầu dưới đây:

i) ψ : Rn →Rp là tuyến tính và z0 ∈ Rp

ii) B ⊂ Rp là tập lồi khác rỗng

iii) B˜ là tập con của Rp, D ⊂ Rp là nón lồi khác rỗng thỏa B + D ⊂ ˜B.iv) ϕ : Rn →Rm là tuyến tính và y0 ∈ Rm

v) C ⊂ Rm là nón lồi với intC 6= ∅

Không gian đối ngẫu của Rp là Rp, một phần tử µ ∈ Rp được xem nhưhàm tuyến tính µ từ Rp vào R

riB là phần trong tương đối của B

σB là hàm giá của tập lồi B: σB(µ) = supb∈Bhµ, bi

Bổ đề 2.3.1 Cho µ ∈ Rp, α ∈ R, B ⊂ Rp là một tập lồi, D ⊂ Rp làmột nón lồi Khi đó:

⇒ α ≥ sup{hµ, bi+hµ, di : b ∈ B, d ∈ D} = sup{hµ, bi : b ∈ B} = σB(µ)

Trang 23

(⇐) Từ (12) suy ra điều cần chứng minh, nghĩa là:

α ≥ σB(µ) = sup{hµ, bi : b ∈ B} = sup{hµ, bi+hµ, di : b ∈ B, d ∈ D} = σB+D(µ)

(Do max{hµ, di : d ∈ D} = 0 từ µ ∈ D−)

Bổ đề 2.3.2 i) Với các giả thiết ban đầu (i)-(ii), các phát biểu dưới đây

là tương đương:

a) Không có x ∈ Rn sao cho ψ(x) + z0 ∈ riB

b) Tồn tại µ ∈ Rp, µ 6= 0 sao cho:

µ ◦ ψ = 0, hµ, z0i ≥ σB(µ) và hµ, z0i > hµ, b0i với một phần tử b0 ∈ B

nào đó

ii) Giả sử thêm vào đó B là tập lồi đa diện Khi đó, các phát biểu dưới

đây là tương đương:

a’) Không có x ∈ Rn sao cho ψ(x) + z0 ∈ B

b’) Tồn tại µ ∈ Rp, µ 6= 0 sao cho: µ ◦ ψ = 0 và hµ, z0i ≥ σB(µ)

Chứng minh:

i) (a) ⇒ (b) Giả sử, tập lồi ψ(Rn) + z0 và riD là rời, ψ(Rn) + z0 là tập

lồi đa diện Khi đó, áp dụng định lý 20.2 sách các bài toán về điều kiện

tối ưu cấp 2 của Penot (1999), tồn tại µ ∈ Rp, µ 6= 0, và α ∈R sao cho:

Trang 24

ii) Phần này ta chứng minh tương tự như phần (i) khi tập lồi đa diện Dthay thế bởi ψ(Rn) + z0 (trong đó ri(ψ(Rn) + z0) = ψ(Rn) + z0)

Định lý 2.3.3 (Định lý Motzkin)

Với các giả thiết ban đầu (i)-(v), xét các phát biểu dưới đây:

a) Không có x ∈ Rn sao cho:

ϕ(x) + y0 ∈ −intC và ψ(x) + z0 ∈ ˜B (13)b) Tồn tại (λ, µ) ∈ Rm×Rp sao cho:

λ ∈ C+, λ 6= 0, µ ∈ D− (14)

hλ, y0i + hµ, z0i ≥ σB(µ) (16)Khi đó:

(i) (b) ⇒ (a) với B = B + D˜ .

(ii) Nếu một trong các điều kiện sau thỏa:

∃x ∈ Rn sao cho ψ(x) + z0 ∈ ri(B + D) (17)hoặc

B + D là tập lồi đa diện và ∃x ∈ Rn sao cho ψ(x) + z0 ∈ B + D (18)thì (a) ⇒ (b)

Trang 25

Từ (16) và µ ∈ D− thì:

hµ, ψ(x) + z0i = hµ, b + di ≤ hµ, bi ≤ α0 = hλ, y0i + hµ, z0i (20)

Từ (19) và (20), ta có:

hλ, ϕ(x) + y0i + hµ, ψ(x) + z0i < α0

Điều này lại mâu thuẫn với (15)

(ii) Goi Γ = {x ∈ Rn : ψ(x) + z0 ∈ B + D} Khi đó, Γ là tập lồi và Γ 6= ∅

(21)

Hệ (21) là vô nghiệm từ điều kiện (a) và giả thiết A(iii) Ta nói, hệ (21)

là vô nghiệm nếu không có x ∈ Γ sao cho:

và Γ = {(x, t) ∈ˆ Rn×R : ˆψ(x, t) ∈ cone+((B + D) × {1})} Khi đó, Γˆ

là nón lồi khác rỗng

Từ (22) và (23), ∀(x, t) ∈ ˆΓ (nghĩa là t = 1) thì:

Trang 26

Trang 27

(Với ψ(x) + z0 ∈ B + D) Từ (18) và (22), ta có: β00 ≥ 0 Theo định lý28.2 trong [17] Khi đó, ∃v ∈ Rl, v ≥ 0 sao cho:

σB+D(µ) = σB(µ) ≤ hv, ci ≤ hλ, y0i + hµ, z0i (Vậy định lý chứng minhxong)

Trang 28

i) (a) ⇒ (b) Vì B + D là tập lồi đa diện và nếu:

∃x ∈ Rn sao cho ψ(x) + z0 ∈ B + D (29)

Theo Định lý 2.3.3, tồn tại (λ, µ1, µ2) ∈ Rp+ × Rs

+ × Rr, λ 6= 0 saocho (26) thỏa và α0 = hλ, y0i + hµ1, z1i + hµ2, z2i ≥ σB(µ) = 0 (Do

Cuối cùng, cho λ = 0, thì tất cả điều kiện thỏa mãn

ii) (b)⇒(a) Nếu λ 6= 0 thì áp dụng Định lý 2.3.3 suy ra điều cần chứngminh

Trang 29

§4 Ứng dụng định lý Motzkin vào điều kiện cần

của bài toán tối ưu cấp 2.

Cho f :Rn → Rm và g : Rn →Rp

là các hàm khả vi cấp 2, Rm được sắpthứ tự bởi một nón K lồi, nhọn với phần trong không rỗng

Cho Q ⊂ Rp, Ω = g−1(Q) Xét bài toán (MOP):

(g(¯x), g0(¯x)v) Nếu (SOACQ) thỏa tại (¯x, v) thì với mỗi tập con lồi τ (v)

khác rỗng của T2(Q, g(¯x), g0(¯x)v), tồn tại (λ, µ) ∈ Rm×Rp, với (λ, µ) 6=(0, 0) sao cho:

Trang 30

τ (v) + T (T (Q, g(¯x)), g0(¯x)v) là tập lồi đa diện và

tồn tại w ∈ Rn sao cho:

Từ (2) ⇒ w ∈ C2(Ω, ¯x, v) = T2(Ω, ¯x, v) (do (SOACQ) tại (¯x, v))

Vô lý từ định lý 2.2.2 của §2 với x¯ là nghiệm cực tiểu bài toán thì

T2(Ω, ¯x, v) ∩ C02(Ω, ¯x, v) = ∅ nên hệ phương trình (36) vô nghiêm

Trang 31

Nếu (33) là sai, nghĩa là không ców ∈ Rn sao cho ψ(w) + z0 ∈ ri(B + D)

thì áp dụng Bổ đề 2.3.2(i) của§3, tồn tại µ ∈ Rp,µ 6= 0sao choµ◦ψ = 0,

hµ, z0i ≥ σB+D(µ)

Áp dụng bổ đề 2.3.1 của §3, µ ∈ D− thì hµ, z0i ≥ σB(µ) và µ ◦ ψ = 0.tức là hµ, g00(¯x)(v, v)i ≥ supz∈τ (v)hµ, zi với B = τ (v) và µ ◦ g0(¯x) = 0.Với λ = 0 thì điều kiện (30)-(32) là thỏa mãn vì:

D− = T (T (Q, g(¯x)), g0(¯x)v)− = {µ ∈ N (Q, g(¯x)) : hµ, g0(¯x)vi = 0}

(37)(Do g0(¯x)v ∈ T (Q, g(¯x) nên µ ∈ D− thì µ ∈ T (Q, g(¯x)− = N (Q, g(¯x)

với hµ, g0(¯x)vi = 0)

Chứng minh tương tự nếu B + D là đa diện và (34) là sai

Vì vậy, giả sử (33) hoặc (34) là đúng Khi đó,áp dụng Định lý 2.3.3, tồntại (λ, µ) ∈ Rp×Rp, λ 6= 0 sao cho:

λ ∈ C+ = {λ ∈ K+ : hλ, f0(¯x)vi = 0}, µ ∈ D− và D− được cho bởi(37) Ta có:

Định dạng
Số trang	42
Dung lượng	328,19 KB