Cộng hưởng cyclotron do tương tác electron tạp chất trong silicene đặt trong từ trường tĩnh

Do có cấu trúc tương tự graphene nên silicene cũng có một số tính chất vật lý đặc biệt giống graphene: các hạt tải là các Fermion Dirac không khốilượng, phổ năng lượng tuyến tính gần điể

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS LÊ THỊ THU PHƯƠNG

Thừa Thiên Huế, năm 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các sốliệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được cácđồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳmột công trình nghiên cứu nào khác

Huế, tháng 9 năm 2018Tác giả luận văn

HOÀNG THỊ DUYÊN

LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến TS Lê Thị Thu Phương đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôitrong suốt quá trình thực hiện

Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong khoaVật lý và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại họcHuế; gia đình cùng các bạn học viên Cao học khóa 25, bạn bè đã độngviên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập vàthực hiện luận văn

Huế, tháng 9 năm 2018Tác giả luận văn

HOÀNG THỊ DUYÊN

MỤC LỤC

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

Danh sách các hình vẽ 4

MỞ ĐẦU 5

NỘI DUNG 10

Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN 10

1.1 Tổng quan về silicene 10

1.1.1 Mô hình silicene 10

1.1.2 Phổ năng lượng và hàm sóng của electron trong silicene 13

1.2 Tổng quan về phương pháp nghiên cứu 16

1.2.1 Phương pháp nhiễu loạn phụ thuộc vào thời gian 16 1.2.2 Sự chuyển dời của hệ sang các trạng thái mới dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn 19

1.2.3 Phương pháp Profile 26

Chương 2 BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CHO HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ TRONG SIL-ICENE ĐƠN LỚP DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA TƯƠNG TÁC ELECTRON-TẠP CHẤT 28

2.1 Biểu thức tổng quát của hệ số hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn khối dưới ảnh hưởng của tương tác electron-tạp chất 28

2.2 Biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng điện từ trong

silicene dưới ảnh hưởng của tương tác electron-tạp chất 32Chương 3 KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN 413.1 Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ sóng điện từ vào năng lượng

photon 413.2 Sự phụ thuộc độ rộng vạch phổ vào từ trường và nhiệt độ 44KẾT LUẬN 48TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

cho vùng K (En,s+ z,p) vào từ trường đặt trong điện trường

vuông góc với tấm silicene trong trường hợp Ez = 0 ở (a)

và Ez = 3.9 meV/d ở (b) Đường cong nét đứt (liền) tương

ứng với trạng thái spin lên (spin xuống) và n là chỉ số LLs

Cường độ SOI là λSO = 3.9 meV và υF = 5.42 × 105 m/s

Các hình nhỏ bên trong là đồ thị mô tả sự phụ thuộc của

năng lượng Fermi EF vào từ trường B cho mật độ electron

ne = 5 × 1011 cm−2 cùng với các LLs [31] 151.3 Minh họa sự dịch chuyển của các mức năng lượng do ảnh

hưởng của nhiễu loạn không dừng 201.4 Đồ thị của f (t, ω) = sin2(ωf it/2)/ωf i2 theo ωf i, trong đó

ta đã kí hiệu ω ≡ ωf i 221.5 Đồ thị của sin2((ωf i ± ω)t/2) /(ωf i ± ω)2 theo ωf i với

các giá trị t xác định, trong đó ωn = −ω − nπ/t, ω0n =

ω + nπ/t, Ωn = ω − nπ/t, Ω0n = ω + nπ/t 241.6 Sự phát xạ và hấp thụ một photon có năng lượng ~ω 261.7 Minh họa sự xác định độ rộng vạch phổ bằng phương pháp

Profile 26

3.1 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ Γ vào năng lượng photon

~ω tại từ trường B = 10 T, nhiệt độ T = 4 K với hai giá

trị khác nhau của điện trường eEz = 0 (đường đứt nét)

và eEz = 3.9 meV/d (đường liền nét) 413.2 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ Γ vào năng lượng photon

~ω tại nhiệt độ T = 4 K, điện trường eEz = 0 với các giá

trị khác nhau của từ trường B = 8 T (đường đứt nét) và

B = 10 T (đường liền nét) 433.3 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ Γ vào năng lượng photon

~ω tại từ trường B = 10 T với các giá trị khác nhau của

nhiệt độ T = 1 K (đường liền nét) và T = 4 K (đường

đứt nét) 443.4 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ FWHM vào từ trường

B tại nhiệt độ T = 1 K đối với quá trình hấp thụ một

pho-ton (chấm hình vuông) và quá trình hấp thụ hai phopho-ton

(chấm hình tròn) 453.5 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ FWHM vào nhiệt độ

T tại từ trường B = 10 T đối với quá trình hấp thụ một

photon khi không có điện trường không đổi (chấm hình

vuông) và có mặt điện trường không đổi eEz = 3.9 meV/d

(chấm hình tròn) 463.6 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ (FWHM) vào nhiệt

độ T tại từ trường B = 10 T có mặt điện trường không

đổi eEz = 3.9 meV/d đối với quá trình hấp thụ 1 photon

(chấm hình tròn) và quá trình hấp thụ 2 photon (chấm

hình vuông) 46

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong thời gian gần đây, graphene [10] nhanh chóng thu hút được

sự chú ý của các nhà vật lý chất rắn và khoa học vật liệu bởi nhữngtiềm năng ứng dụng tuyệt vời mà chúng mang lại Nó là vật liệu sở hữunhững thuộc tính đặc biệt tuy nhiên do không có khe năng lượng nênkhông phù hợp cho một số linh kiện quang-điện tử Trong khi đó, cáclinh kiện điện tử đang sử dụng hiện nay chủ yếu dựa trên bán dẫn silicvới khe năng lượng vào khoảng 1.11 eV [36] Với khe năng lượng bằngkhông, graphene sẽ hành xử như một vật liệu kim loại thay vì bán dẫnnhư mong muốn Điều này thúc đẩy các nhà khoa học nghiên cứu chế tạocác cấu trúc tương tự graphene nhưng có vùng cấm hữu hạn, chẳng hạnnhư silicene [16, 33], germanene [11] và hợp chất dichalcogenides-kimloại chuyển tiếp thuộc nhóm IV [37]

Trong số các vật liệu hai chiều (2D) tương tự graphene được đề cập

ở trên, silicene đã nhận được nhiều chú ý trong vài năm gần đây Silicenegồm một lớp các nguyên tử silic (Si) được sắp xếp trong mạng lưới tổong hai chiều tương tự như các nguyên tử cacbon trong graphene Do

có cấu trúc tương tự graphene nên silicene cũng có một số tính chất vật

lý đặc biệt giống graphene: các hạt tải là các Fermion Dirac không khốilượng, phổ năng lượng tuyến tính gần điểm K, độ linh động điện tử lớn(tuy nhỏ hơn graphene nhưng lớn hơn rất nhiều so với silic khối) Điểmkhác biệt cơ bản so với graphene là các nguyên tử silic không nằm trongcùng mặt phẳng, thể hiện tính bất đối xứng qua mặt phẳng mạng gâynên tương tác spin-quỹ đạo (SOI) mạnh trong silicene tạo nên một khenăng lượng nhỏ (cỡ 1.55 meV) [21] Ngoài ra, khe năng lượng có thể được

điều chỉnh bằng cách áp dụng một điện trường bên ngoài Ez vuông gócvới tấm silicene, điều này không thể thực hiện được đối với graphene.Hiện nay, nhiều công trình đã được thực hiện để nghiên cứu tínhchất quang của hệ electron trong bán dẫn khi có mặt từ trường [6].Một trong những hiệu ứng quang-từ quan trọng là hiệu ứng cộng hưởngcyclotron Nó rất được các nhà khoa học rất quan tâm vì đó là công cụhữu ích để khảo sát các tính chất của bán dẫn thông qua việc tính hệ

số hấp thụ sóng điện từ, độ dẫn từ và độ rộng vạch phổ vào các tham sốcủa vật liệu và của trường ngoài [7, 30, 38] Tương tác electron-phononđóng vai trò quan trọng trong các hệ bán dẫn Các kết quả nghiên cứugần đây cũng cho thấy rằng ở nồng độ electron thấp, cỡ 3 × 1016cm−3[5, 20], ảnh hưởng của tương tác electron-electron là không đáng kể và

có thể bỏ qua [23] Điều này là có thể chấp nhận được vì sự tương tácelectron-electron dẫn đến sự phân bố lại trong không gian K, nhưng nókhông phải quá quan trọng trong các hệ điện tử thông thường [17].Hiệu ứng cộng hưởng cyclotron-phonon trong vật liệu mỏng 2D được

sự quan tâm đặc biệt bởi các nhà khoa học do tính chất ưu việt của nó

Ta có thể kể ra một số nhóm tác giả nghiên cứu vấn đề kể trên [4].+ Hiệu ứng cộng hưởng từ-phonon (MPR) được Gurevich và Firsovtiên đoán bằng lý thuyết lần đầu tiên vào năm 1961 [12], được Puri,Geballe, Firsov và những người khác quan sát bằng thực nghiệm vàocùng năm đó MPR xảy ra ở nhiều vật bán dẫn, hợp kim như Si, InSb,GaAs, CdTe, cũng như trong các hệ thấp chiều Phát hiện này chobiết nguồn gốc của các hiệu ứng MPR là sự tán xạ cộng hưởng điện tửgây ra bởi sự hấp thụ và phát xạ các phonon khi khoảng cách giữa cácmức Landau bằng năng lượng của phonon quang dọc (LO)

+ Khordad và Bahramiyan [8] đã khảo sát phonon quang trong các

mô hình hình bình hành và dây lượng tử tam giác, trong đó ảnh hưởngcủa tương tác electron-phonon lên sự thay đổi của các mức năng lượngcủa electron ở trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích được tính bằng

sử dụng lý thuyết nhiễu loạn

+ Tác giả G Q Hai và F M Peeters [13] đã chứng minh về lýthuyết rằng các hiệu ứng MPR có thể quan sát trực tiếp thông qua việcnghiên cứu dò tìm bằng quang học cộng hưởng từ-phonon trong hệ bándẫn khối GaAs

+ Tác giả Bhat và cộng sự [3] đã sử dụng mô hình Huang-Zhu,Fuchs-kliewer đối với slab mode và mô hình của Ridley đối với guidemode, để nghiên cứu phổ hấp thụ do sự dịch chuyển của phổ hấp thụ do

sự dịch chuyển của electron giữa các mức Landau kèm theo sự phát xạphonon giam giữ và phonon bề mặt

+ Nhóm tác giả Singh và Tanatar [32] đã khảo sát dịch chuyển quang

từ phonon trong hệ 2D đối với bán dẫn loại p khi có mặt từ trường Trong

đó, nhóm tác giả đã nghiên cứu lý thuyết chuyển tải lượng tử cho hệnhiều hạt Nhóm tác giả đã sử dụng phương pháp Luttinger-Kohn và

đã thu được hệ số hấp thụ cộng hưởng cyclotron-phonon bằng lý thuyếtphản ứng tuyến tính Kết quả thu được có giá trị giới hạn liên kết yếuđối với trường hợp hấp thụ một photon

+ Nhóm tác giả Huỳnh Vĩnh Phúc, Lê Đình, Trần Công Phong đãkhảo sát cộng hưởng cyclotron-phonon trong cấu trúc hố lượng tử [29],trong dây lượng tử [30] Trong đó, nhóm tác giả đã dùng phương phápnhiễu loạn để thu được biểu thức giải tích cho công suất hấp thụ tuyếntính và phi tuyến Kết quả thu được chỉ ra được độ cao của các đỉnh cộnghưởng không phụ thuộc vào nhiệt độ mà chỉ phụ thuộc vào từ trường.Việc phân tích phổ cộng hưởng có thể thu nhận khối lượng hiệu dụng

hạt tải, khoảng cách giữa các mức năng lượng Landau, thừa số Lande(g-factor) Cộng hưởng cyclotron đã được nghiên cứu chi tiết trong bándẫn khối, các vật liệu thấp chiều truyền thống [27] và gần đây là tronggraphene cả về lý thuyết [28] và thực nghiệm [35] Ngoài ra do tươngtác electron-phonon, electron-tạp chất, trong các bán dẫn chuẩn 2Dhiện đại xảy ra khác biệt so với các bán dẫn khối và trong các bán dẫnthấp chiều khác nhau nên các hiệu ứng này mang các đặc tính mới [3].

Từ những lí do trên, tôi quyết định chọn đề tài “Cộng hưởng cyclotron

do tương tác electron-tạp chất trong silicene đặt trong trong từ trườngtĩnh” làm đề tài luận văn của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu cộng hưởng cyclotron-tạp chất trong silicene đặt trongtrường ngoài thông qua biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ phi tuyếnsóng điện từ dưới ảnh hưởng của tương tác electron-tạp chất cũng nhưkhảo sát sự phụ thuộc của nó vào năng lượng photon để đưa ra các điềukiện cộng hưởng cyclotron-tạp chất và một số tính chất của độ rộng vạchphổ

3 Nội dung nghiên cứu

- Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong silicene

- Biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ dướiảnh hưởng của tương tác electron-tạp chất

- Khảo sát số và vẽ đồ thị sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào nănglượng của photon và phân tích các quá trình cộng hưởng xảy ra do sựdịch chuyển của electron giữa các mức năng lượng

- Độ rộng vạch phổ dựa trên phương pháp Profile.

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nhiễu loạn phụ thuộc thời gian

- Phương pháp Profile

- Kết hợp sử dụng chương trình Mathematica để tính số và vẽ đồthị

5 Giới hạn nghiên cứu

Luận văn chỉ xét đến sự tương tác electron-tạp chất, bỏ qua quacác tương tác electron-electron, electron-phonon, phonon-phonon

6 Bố cục luận văn

Ngoài mục lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3 phần.Phần mở đầu: trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu,phương pháp nghiên cứu, nội dung nghiên cứu, giới hạn nghiên cứu và

bố cục luận văn

Phần nội dung: bao gồm 3 nội dung

- Nội dung 1: Tổng quan về mô hình khảo sát và phương phápnghiên cứu

- Nội dung 2: Biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ phi tuyến sóngđiện từ trong silicene dưới ảnh hưởng của tương tác electron-tạp chất

- Nội dung 3: Kết quả tính số và vẽ đồ thị

Phần kết luận: Trình bày tóm tắt các kết quả đạt được, hạn chếcủa luận văn, đề xuất hướng phát triển của luận văn

NỘI DUNG Chương 1

TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH KHẢO SÁT VÀ

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Chương này giới thiệu tổng quan về silicene, hàm sóng vàphổ năng lượng của electron trong silicene, Hamiltonian của

hệ electron-tạp chất, phương pháp nhiễu loạn phụ thuộc thờigian và phương pháp Profile

1.1.1 Mô hình silicene

Lần đầu tiên, thuật ngữ silicene đã được sử dụng bởi Guzman-Verri

và cộng sự vào năm 2007 [21] Silicene gồm một lớp các nguyên tử silic(Si) được sắp xếp trong mạng lưới tổ ong 2D tương tự như các nguyên tửcacbon trong graphene Ở Hình 1.1 cho thấy cấu trúc tinh thể dạng tổong hai chiều của cả silicene (a)(b) và graphene (c)(d) Ô đơn vị silicene(graphene) chứa hai nguyên tử Si (C) được ký hiệu là ‘A’ và ‘B’ Kết quảtính toán cấu trúc điện tử dựa trên lý thuyết phiếm hàm mật độ (DFT)cho thấy cấu trúc năng lượng tối thiểu của silicene hơi khác so với cấutrúc phẳng của graphene đơn lớp Trong trường hợp silicene, các nguyên

tử trong ô đơn vị bị gấp khúc (buckling) Nói cách khác, các nguyên

tử A và B trong của silicene không nằm trên cùng một mặt phẳng Do

đó, cấu trúc trạng thái nền của silicene không có khả năng quay vòng 6lần và hai đối xứng có mặt trong cấu trúc phẳng của graphene Ngoài

ra, khoảng cách liên kết Si-Si trong silicene lớn hơn nhiều so với khoảng

Hình 1.1: Các cấu trúc hình học của silicene (a)(b) và graphene(c)(d) Khoảng cách theo phương vuông góc với tấm silicene giữa hai nguyên tử Si ở hai mạng con A và B bằng ‘d’, phát sinh do sự gấp khúc.

cách C-C trong graphene Nguyên nhân là do trong silicene tồn tại mộtliên kết π yếu hơn nhiều so với liên kết π trong graphene Điều này làmcho các nguyên tử silic sắp xếp không đồng phẳng tạo nên một cấu trúcgấp khúc đặc trưng bởi khoảng cách giữa các nguyên tử Si thuộc haimạng con A và B

Bảng 1.1: Kết quả hình học tối ưu của silicene đơn lớp và graphene đơn lớp thu được bởi DFT với hàm tương quan-trao đổi PBE [18].

Hằng số mạng Chiều dài liên kết Góc liên kết Độ cong d

điện trường bên ngoài.

Các nghiên cứu lý thuyết đã dự đoán rằng cấu trúc điện tử củasilicene có sự phân tán tuyến tính xung quanh điểm Dirac và do đó cácsóng mang điện tích trong hệ thống hai chiều này hoạt động giống nhưFermion Dirac không khối lượng Hiệu ứng Hall spin lượng tử ở silicenecũng đã được nghiên cứu trên lý thuyết Sự hiện diện của một khe nănglượng tương đối lớn khoảng 1.55 meV trong silicene do tương tác spin-quỹ đạo (SOI) [18, 40] Các cấu trúc nano dựa trên silicon (như silicon,các cụm silic, các ống nano silicon ) có thêm một lợi thế quan trọngkhác đối với các cấu trúc nano dựa trên carbon (như graphene, fullerene,ống nano cacbon ) vì chúng tương thích với công nghệ bán dẫn hiện

có Vì vậy, silicene được coi là một trong những vật liệu hứa hẹn cho cácứng dụng trong công nghệ nano [18]

Mặt khác, silic là một trong những thành phần quan trọng nhấtcho chất bán dẫn ngành công nghiệp Nguồn gốc của sự khác biệt trongcác tính chất giữa cacbon và silicon là do sự lai hóa tồn tại trong hai hệnày Các nguyên tử C có thể biểu diễn tất cả ba sự lai hóa sp, sp2 và sp3trong khi silicon thường lai hóa sp3 Điều này là do sự khác biệt về nănglượng giữa các phân lớp (3s và 3p) trong silicon nhỏ hơn nhiều so vớiphân lớp 2s và 2p của carbon Do đó, các phân lớp 3s của silicon có thể

dễ dàng kết hợp với tất cả các phân lớp 3p (3px, 3py và 3pz) tạo ra sự laihóa sp3 Từ lý do được đề cập ở trên, silic tự nhiên không tồn tại ở dạnglớp giống như graphit Vì vậy, silicene không thể được sản xuất bằngphương pháp bóc tách là phương pháp đơn giản nhất được sử dụng đểsản xuất graphene Do đó, để sản xuất silicene đòi hỏi phải có phươngpháp thử nghiệm phức tạp Gần đây, tấm silicene và nanoribbon đã đượccấy thành công trên nhiều chất nền như bạc, màng mỏng diboride và iridi

(Ir) và nhiều dự đoán lý thuyết về tính chất của silicene hiện đang đượcxác minh Một trong những thành tựu quan trọng theo hướng này là sựtồn tại của sự phân tán tuyến tính trong cấu trúc điện tử của silicene đãxác nhận bằng thực nghiệm được giải quyết bởi phép đo chuẩn phổ phát

xạ phân giải - góc (ARPES) Trong một thử nghiệm khác, một khe siêudẫn có thể khoảng 35 meV cũng được quan sát thấy trong silicene trênnền Ag(111) bằng cách quét ống quang phổ [18, 19] Hiện tại, cộng đồngkhoa học làm việc trong lĩnh vực này đang tích cực khám phá nhiều tínhnăng tính chất vật lý và hóa học của silicene và những nỗ lực này sẽ rấtquan trọng trong việc làm cho silicene trở thành vật liệu tiềm năng chonhiều ứng dụng

1.1.2 Phổ năng lượng và hàm sóng của electron trong siliceneHamiltonian của hệ đối với các fermion lân cận các điểm K và K0xét đến tương tác spin quỹ đạo (SOI) được cho bởi [31, 34]

H = υF(πxσx− τ πyσy) − (τ szλSO − deEz)σz, (1.1)trong đó, υF là vận tốc Fermi, τ = +(−) là chỉ số vùng K(K0), σi(i =

x, y, z) là các ma trận Pauli chuẩn spin, 2d là khoảng cách giữa hai mạngcon theo phương vuông góc với tấm silicene, Ez là điện trường không đổiđặt vào tấm Silicene, λSO là cường độ SOI, sz = 1(sz = −1) mô tả spinlên (xuống), πµ là thành phần µ của toán tử xung lượng ~π = ~p + e ~A,

~

p là toán tử xung lượng, ~A là thế véctơ và e là điện tích điện tử Yếu

tố ma trận Hamiltonian H± với dấu +(−) biểu thị cho vùng K(K0) códạng [31]

trong đó, λ±(sz) = ∓λSOsz + deEz và π± = πx ± iπy Giả sử có một

từ trường vuông góc ~B = B~ez được đặt vào tấm silicene Với giả thiếtchuẩn Landau ~A = (−By, 0, 0) Để có được dạng không thứ nguyên củaHamiltonian đặt ξ = y/lB − lBkx với lB = p~/eB là độ dài từ, ta được

Ở đây, p = +1(−1) kí hiệu trạng thái electron (lỗ trống) và n (n ≥ 1)

là chỉ số mức Landau (LL) Hàm riêng của một electron gần vùng K là

1/2

,

±~ωcλ±(sz) và các hàm riêng liên kết được cho bởi ψ0+ = [φ0(ξ), 0]R

và ψ0− = [0, φ0(ξ)]R, tương ứng với chỉ số dịch chuyển R Do đó nănglượng electron tại các vùng K và K0 có liên quan bởi En,±1,p+ = En,±1,p−

và E0,±1+ = E0,±1−

Hình 1.2: Đồ thị mô tả sự phụ thuộc của các mức Landau (LLs) cho vùng K (E +

n,s z ,p ) vào từ trường đặt trong điện trường vuông góc với tấm silicene trong trường hợp E z = 0

ở (a) và Ez = 3.9 meV/d ở (b) Đường cong nét đứt (liền) tương ứng với trạng thái spin lên (spin xuống) và n là chỉ số LLs Cường độ SOI là λSO = 3.9 meV và υF = 5.42 × 10 5

m/s Các hình nhỏ bên trong là đồ thị mô tả sự phụ thuộc của năng lượng Fermi E F

vào từ trường B cho mật độ electron ne= 5 × 10 11 cm−2 cùng với các LLs [31].

Hình 1.2 mô tả sự phụ thuộc của LLs cho vùng K (En,s+ z,p) vào từtrường B đặt trong điện trường vuông góc với tấm silicene trong trườnghợp Ez = 0 (Hình 1.2a) và eEz = 3.9 meV/d (Hình 1.2b) Các đườngcong màu đỏ (màu xanh) tương ứng với spin lên (spin xuống) hoặc trạngthái sz = 1(sz = −1) Các hình nhỏ bên trong là đồ thị mô tả năng lượngFermi EF vào từ trường B Mỗi đường cong năng lượng tương ứng với

p = 1(p = −1) loại trừ mức năng lượng thấp nhất n = 0 thể hiện trong

Hình 1.2b được phân chia bởi các điện tử và lỗ trống.

Đối với Ez = 0 tất cả LLs đều bị suy biến spin bậc hai và n = 0

LL với năng lượng bằng không Nếu ta cũng lấy vùng K0 vào tính, sốlượng các trạng thái suy biến tương ứng với chỉ số Landau n 6= 0 là 4.Trong Hình 1.2b năng lượng của LL thấp nhất (n = 0) là không chospin lên giống LL thấp nhất trong tấm graphene Nguyên nhân do giátrị eEz = 3.9 meV/d hủy bỏ số hạng SOI λSO đối với spin lên Nếu tađảo ngược hướng của Ez thì mức này đối với spin xuống

1.2.1 Phương pháp nhiễu loạn phụ thuộc vào thời gian

Xét hệ lượng tử chịu tác dụng của nhiễu loạn phụ thuộc thời gian

W = W (t) Hamiltonian của hệ có thể được tách thành hai phần [1]

ˆH(t) = ˆH0 + ˆW (t), (1.9)trong đó ˆH0 là thành phần Hamiltonian không phụ thuộc thời gian, mô

tả hệ khi chưa bị nhiễu loạn, ˆW (t) là thành phần nhiễu loạn phụ thuộcthời gian Thế nhiễu loạn ˆW (t) có thể là hàm bậc thang có dạng

hoặc thế điều hòa ˆW = ˆW0e±iωt

Hamiltonian H(t) thõa mãn phương trình Schrodinger tổng quát

i~∂Ψ(x, t)

∂t = ( ˆH0 + ˆW (t))Ψ(x, t), (1.11)trong đó nghiệm của phương trình Schrodinger của hệ chưa nhiễu loạn

đã biết dưới dạng nghiệm của trạng thái dừng

Giả thuyết tại thời điểm t ≤ 0 hệ ở trạng thái Ψ(x, 0) = ψn(0)(x), lúc

đó ta tìm được hệ số ck(t) trong khai triển Ψ(x, 0) = P

kck(t)ψn(0)(x, t)là: ck(t) = hψ(x)k (x, 0)|Ψ(x, 0)i = δkn Từ đó ta tìm được

ck(0) = hψk(0)(x, 0)|ψn(0)(x, 0)i = δkn (1.19)Bắt đầu từ thời điểm t ≥ 0 hệ bắt đầu chịu tác dụng của nhiễuloạn, lúc đó hàm Ψ(x, t) sẽ thay đổi theo thời gian Ta viết hệ số ck(t)dưới dạng tổng tương ứng với các phép gần đúng bậc không, bậc nhất,bậc hai,

Giải phương trình (1.23) ta được

Biết các hệ số c(0)m c(1)m c(2)m ta sẽ biết được hàm sóng của hệ vào thời điểm

t Một ứng dụng quan trọng của kết quả này là việc tính xác suất chuyểndời lượng tử khi có nhiễu loạn

1.2.2 Sự chuyển dời của hệ sang các trạng thái mới dưới ảnh

hưởng của nhiễu loạn

Một trong những bài toán quan trọng của cơ học lượng tử là tínhxác suất chuyển dời từ một trạng thái lượng tử này sang một trạng tháilượng tử khác Sự dịch chuyển này xảy ra do ảnh hưởng của nhiễu loạnphụ thuộc thời gian và chỉ có ý nghĩa khi nhiễu loạn tác dụng trong mộtkhoảng thời gian hữu hạn (ví dụ từ 0 đến τ ) Ngoài khoảng thời giannày, hệ ở trạng thái dừng có năng lượng xác định Bài toán này có thểđược mô tả như sau (Hình 1.3) [1]

- Trước khi có tác dụng của nhiễu loạn W (t):

Hệ ở trạng thái dừng có năng lượng xác định E = En tương ứng vớitrạng thái ψ(x, 0) = ψn(x), thỏa mãn phương trình trị riêng ˆH0ψn(x) =

Enψn(x)

- Trong thời gian có tác dụng của nhiễu loạn W (t):

Do ảnh hưởng của nhiễu loạn hệ chuyển sang trạng thái mới vớihàm sóng ψ(x, t) Sự thay đổi theo thời gian của thế nhiễu loạn gây ra

Hình 1.3: Minh họa sự dịch chuyển của các mức năng lượng do ảnh hưởng của nhiễu loạn không dừng.

sự dịch chuyển các mức năng lượng của trạng thái ban đầu và sự dịchchuyển giữa các trạng thái của hệ chưa nhiễu loạn

- Sau khi ngắt nhiễu loạn W (t):

Sau khi nhiễu loạn bị ngắt, hệ sẽ trở về trạng thái ban đầu Trạngthái của hệ bây giờ là chồng chất của các trạng thái không nhiễu loạncủa hệ, tuy nhiên hệ số cm(t) bây giờ phụ thuộc vào dạng của toán tửnhiễu loạn và trạng thái ban đầu Trạng thái cuối của hệ được mô tảbởi hàm sóng dạng

Em trong khoảng thời gian t

Ta gọi xác suất của sự chuyển từ trạng thái n (sau đây gọi là trạngthái đầu |ii) sang trạng thái m (gọi là trạng thái cuối |f i) là Pf i(t) thì:

Pf i(t) = |cf(t)|2 = |cf i(t)|2 (1.27)

Ta tìm xác suất này trong phép gần đúng bậc nhất

Pf i(t) = |cf(t)|2 = |cf i(t)|2 = 1

~2

2

(1.28)

Ta xét 2 trường hợp cụ thể sau:

a) Nhiễu loạn không đổi

Giả sử ˆW (t) không đổi trong khoảng thời gian hữu hạn 0 ≤ t ≤ τ Trong trường hợp này phần tử ma trận Wf i = const, tích phân (1.28)được tính như sau

ψiE

2

ei(ωf i +ω)t− 1

ωf i + ω

2

+ 1

~2

...

2

(1.28)

Ta xét trường hợp cụ thể sau:

a) Nhiễu loạn không đổi

Giả sử ˆW (t) không đổi khoảng thời gian hữu hạn ≤ t ≤ τ Trong trường hợp phần tử ma trận Wf... tốn tử độc lậpthời gian Loại nhiễu loạn làm cho hệ chuyển từ trạng thái dừng nàysang trạng thái dừng khác

Xác suất chuyển hệ từ trạng thái ban đầu |ii đến trạng thái cuối

|f i theo... theo ωf i, ta kí hiệu ω ≡ ωf i.

trong đó, α = ωf i/2 Như vậy, t → ∞

Ta định nghĩa tốc độ dịch chuyển xác suất