Cơ sở gronebner của iđêan các đa thức triệt tiêu trong vành đa thức zm = x1,…xn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy cô Khoa Toán, các Thầy ở Đại học Huế và Viện Toán học đã dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trìnhhọc tập.. Cơ sở Groebner của iđêan

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS PHAN VĂN THIỆN

Thừa Thiên Huế, năm 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này do chính bản thân tôi thực hiện dưới sự hướngdẫn khoa học của PGS TS Phan Văn Thiện Các kết quả trích dẫn trong luậnvăn đã nêu trong phần tài liệu tham khảo ở cuối luận văn này

Trương Thị Như Hằng

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo, PGS TS.Phan Văn Thiện Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự kính trọng đối vớiThầy Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng nhưhoàn thành luận văn này

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy cô Khoa Toán, các Thầy ở Đại học Huế

và Viện Toán học đã dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trìnhhọc tập

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạosau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện cho tôi trong suốtkhóa học

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè Cao học Toán khóa XXIV trườngĐHSP Huế chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số vì sự động viên, giúp đỡ trongquá trình học tập vừa qua

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó!

Vì thời gian có hạn, bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránhkhỏi những thiếu sót, kính mong sự đánh giá, góp ý của quý thầy cô và các bạnquan tâm để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Trương Thị Như Hằng

MỤC LỤC

Chương 1 Cơ sở Groebner của iđêan trong vành đa thức K[x1, , xn]

1.1 Cơ sở Groebner của iđêan trong K[x1, , xn] 3

1.1.1 Các thứ tự từ 3

1.1.2 Thuật toán chia 6

1.1.3 Cơ sở Groebner của iđêan trong K[x1, , xn] 12

1.2 Cách tìm cơ sở Groebner của iđêan trong K[x1, , xn] 17

1.2.1 Định lý Buchberger 17

1.2.2 Thuật toán Buchberger 22

Chương 2 Cơ sở Groebner của iđêan các đa thức triệt tiêu trong vành đa thức Zm[x1, , xn] 25 2.1 Cơ sở Groebner của iđêan các đa thức triệt tiêu trong Zm[x1, , xn] 25 2.1.1 Một số khái niệm cơ sở 25

2.1.2 Cơ sở Groebner của iđêan các đa thức triệt tiêu trong vành đa thức Zm[x1, , xn] 27

2.2 Ứng dụng của cơ sở Groebner mạnh cực tiểu 35

Cho K là một trường, cho I là một iđêan trong K[x1, , xn] Cơ sở Groebnercủa iđêan I trong vành K[x1, , xn] được nghiên cứu nhiều nhưng sở Groebnercủa iđêan trong các vành đa thức C[x1, , xn] trên một vành C thì chưa đượcnghiên cứu nhiều Gần đây cơ sở Groebner của một iđêan trong vành đa thức

Zm[x1, , xn] đã thu hút được nhiều sự chú ý của các nhà toán học dựa vàotiềm năng ứng dụng của chúng, chẳng hạn như các kết quả trong [5] có thể ápdụng để cải thiện tính chính xác của đường dữ liệu trong thiết kế hệ thống vimạch

Tập các đa thức triệt tiêu của vành Zm[x1, , xn] lập thành một iđêan của

Zm[x1, , xn] (xem [5]) Với mong muốn tìm hiểu thêm về cơ sở Groebner củaiđêan của các đa thức triệt tiêu và được sự định hướng của thầy hướng dẫnPGS.TS Phan Văn Thiện, tôi đã chọn đề tài "Cơ sở Groebner của iđêan các

đa thức triệt tiêu trong vành đa thức Zm[x1, , xn]" làm đề tài nghiên cứu choluận văn thạc sĩ của mình

Chương 1

CƠ SỞ GROEBNER CỦA IĐÊAN

TRONG VÀNH ĐA THỨC K[x 1 , , x n ]

TRÊN TRƯỜNG K

Cho K là trường Trong chương này sẽ đề cập đến các thứ tự từ, thuật chia

đa thức trong vành nhiều biến K[x1, , xn], cơ sở Groebner của iđêan trongvành đa thức và cách tìm cơ sở Groebner Ta ký hiệu x := (x1, x2 , xn) và kýhiệu K[x] := K[x1, , xn] Tài liệu tham khảo chính của chương này là [2]

1.1 Cơ sở Groebner của iđêan trong K [x1, , xn]

Trước hết nhắc lại thế nào là một quan hệ thứ tự Một quan hệ < trên tập Ađược gọi là quan hệ thứ tự nếu nó thỏa mãn các tính chất phản xạ, đối xứng,bắc cầu Nếu trong A có quan hệ thứ tự thì ta nói A được sắp thứ tự Nếu haiphần tử bất kỳ trong A đều so sánh được với nhau thì A được gọi là tập sắpthứ tự toàn phần Đồng thời A được gọi là tập sắp thứ tự tốt nếu A là tập sắpthứ tư toàn phần sao cho bất kỳ tập con khác rỗng nào của A đều có phần tửnhỏ nhất

Cho vành đa thức n biến K[x] := K[x1, , xn], ở đây n ≥ 1 Một phần tửtrong K[x] có dạng

xα1

1 xα2

2 xαn

n với αi ∈ N, ∀i = 1, , n

được gọi là một đơn thức trong K[x] Một phần tử trong K[x] có dạng

axα1

1 xα2

2 xαn

n với a ∈ K và αi ∈ N, ∀i = 1, , nđược gọi là một từ trong K[x]

ii) Nếu xα < xβ thì xαxγ < xβxγ, với mọi xγ ∈ Tn

Cho hai từ trong K[x1, , xn], từ nào có đơn thức lớn hơn thì từ đó lớn hơn,tập các từ có quan hệ thứ tự toàn phần gọi là thứ tự từ Ta sẽ đến với một vàithứ tự từ cụ thể sau :

Định nghĩa 1.1.2 Thứ tự từ điển, ký hiệu là lex, trên Tn là thứ tự được xácđịnh như sau: Giả sử

αi <

nPi=1

βin

Pi=1

αi =

nPi=1

βi và xα < xβ với thứ tự lex x1 > x2 > · · · > xn

Ví dụ 1.2 Cho x1, x2 ∈ Q[x1, x2], với quy ước x1 > x2, khi đó theo thứ tựdeglex ta có

1 < x2 < x1 < x22 < x1x2 < x12 < x23 < x1x22 < x12x2 < x13 < · · · Định nghĩa 1.1.4 Thứ tự từ điển ngược phân bậc, ký hiệu là degrevlex, trên Tn

là thứ tự được xác định như sau: Giả sử x1 > x2 > · · · > xn, cho α = (α1, , αn)

αi <

nPi=1

βin

Pi=1

αi =

nPi=1

βi và αi, βi đầu tiên trong α và βtính từ phải sang khác nhau thỏa mãn αi > βi

Ví dụ 1.3 Cho x1, x2, x3 ∈ Q[x1, x2, x3], với quy ước x1 > x2 > x3, khi đó theothứ tự degrevlex ta có

x12x2x3 > x1x23,nhưng theo deglex thì

x12x2x3 < x1x23.Định nghĩa 1.1.5 Cho 0 6= f ∈ K[x1, , xn] Khi đó ta có thể viết f dướidạng:

f = a1xα1 + a2xα2+ + arxαr,

ở đây 0 6= ai ∈ K, xαi ∈ Tn và xα1 > xα2 > > xαr Ta có các định nghĩa sau:

• lp(f ) = xα 1: đơn thức dẫn đầu của f

Ví dụ 1.4 Cho f = 2x2yz + 3xy3− 2x3 ∈ K[x1, , xn], khi đó:

• Nếu theo thứ tự lex với x > y > z thì lp(f ) = x3, lc(f ) = −2, lt(f ) = −2x3

• Nếu theo thứ tự delex với x > y > z thì lp(f ) = x2yz, lc(f ) = 2, lt(f ) =2x2yz.

• Nếu theo thứ tự degrevlex với x > y > z thì lp(f ) = xy3, lc(f ) = 3, lt(f ) =3xy3

Định lý 1.1.1 (Định lý cơ bản Hilbert) [4, tr.4] Cho vành K[x1, , xn] Khi đónếu I là iđêan của K[x1, , xn] thì tồn tại các đa thức f1, , fs∈ K[x1, , xn]sao cho I = hf1, , fsi

Định nghĩa 1.1.6 Cho f, g, h ∈ K[x1, , xn] với g 6= 0 Ta nói rằng f rút gọn

về h theo g , ký hiệu:

f −−−−→ h,gkhi và chỉ khi lp(g) chia hết một từ khác không X trong biểu diễn của f và

h = f − X

lt(g)g

= (6x2y − x + 4y3− 1) − 6x

2y2xy (2xy + y

Chúng ta có thể tiếp tục quá trình này, tức là sẽ trừ đi những từ của f chiahết cho lp(g).

4, có lp(g) = y nên quá trình trên dừng.

Định nghĩa 1.1.7 Cho f , g và f1, , fs là các đa thức trong K[x1, , xn]với fi 6= 0 (1 ≤ i ≤ s) Đặt F = {f1, , fs} Ta nói rằng f rút gọn về h theo F ,

ký hiệu f −−→ h, khi và chỉ khi tồn tại một dãy chỉ số iF 1, i2, , it ∈ {1, , s}

và một dãy các đa thức h1, , ht−1 ∈ K[x1, , xn] sao cho

Định nghĩa 1.1.9 Nếu f −−→ r và r là đã được rút gọn theo F , khi đó ta gọiF

r là một phần dư của f theo F Khi đó f còn được gọi là rút gọn toàn phần về

r theo F

Thuật toán chia: Cho f, f1, , fs ∈ K[x1, , xn] với fi 6= 0 (1 ≤ i ≤ s).Thuật toán này cho ta các thương u1, , us ∈ K[x1, , xn] và một phần dư

r ∈ K[x1, , xn] sao cho

f = u1f1 + · · · + usfs+ r

Input: f1, , fs∈ K[x1, , xn] với fi 6= 0 (1 ≤ i ≤ s)

Output: u1, , us, r sao cho f = u1f1 + · · · + usfs + r

và r được gọi là rút gọn theo {f1, , fs} vàmax(lp(u1), lp(f1), , lp(us), lp(fs), lp(r)) = lp(f )

r := r + lt(h)

h := h − lt(h)Thuật toán trên được đưa ra dựa vào định lý sau:

Định lý 1.1.2 Cho một tập các đa thức khác không F = {f1, , fs} và f ∈K[x1, , xn], thuật toán chia ra các đa thức u1, , us, r ∈ K[x1, , xn] saocho

f = u1f1 + · · · + usfs+ r,với r là thu gọn theo F và

lp(f ) = max

max1≤i≤s

lp(ui) lp(fi), lp(r)

.Chứng minh Ta sẽ chứng minh thuật toán trên dừng Ở mỗi bước của thuậttoán thì từ dẫn đầu của h được loại bỏ cho đến khi không thể loại bỏ được nữa.Vì

hi+1 = hi− (lt(hi) + các từ bậc thấp hơn) hoặc hi+1 = hi− lt(hi),

suy ra lp(hi+1) < lp(hi) Do thứ tự từ là thứ tự tốt nên dãy h1, , hi, dừng.Trong mỗi bước, ta có lp(h) ≤ lp(f ) Với mỗi i,

ui = ui+ lt(h)

lt(fi),cho nên

lp(ui) ≤ lp(f )

lp(fi).Suy ra

y = lp(f1) chia hết lp(h) = y2x,

u1 := u1+ y

2x2y =

y = lp(f1) chia hết lp(h) = yx,

u1 := u1+

7

2yx2y =



−

7

2yx2y (2x + x + 1)

và do đó

f = yf1+ f2,suy ra f ∈ I

Tuy nhiên nếu chia theo cách khác:

1.1.3 Cơ sở Groebner của iđêan trong K[x1, , xn]

Định nghĩa 1.1.10 Một tập các đa thức khác không G = {g1, , gt} chứatrong một iđêan I được gọi là cơ sở Groebner của I khi và chỉ khi với mọi f ∈ I,

f 6= 0, tồn tại i ∈ {1, , t} sao cho lp(gi) chia hết lp(f )

Ta định nghĩa iđêan từ dẫn đầu của G:

Lt(G) = hlt(g)|g ∈ Gi

Định lý 1.1.3 Cho I là một iđêan khác không của K[x1, , xn], cho một tậpcác đa thức khác không G = {g1, , gt} ⊆ I Khi đó các điều sau tương đương:i) G là một cơ sở Groebner của I

ii) f ∈ I ⇔ f −−−→G + 0

iii) f ∈ I ⇔ f =Pt

i=1higi với lp(f ) = max2≤i≤tlp(hi), lp(gi).iv) Lt(G) = Lt(I)

Chứng minh i)⇒ ii) Đặt f ∈ K[x1, , xn] Khi đó theo Định lý 1.1.2 tồn tại

r là thu gọn theo G, với r ∈ K[x1, , xn]

lt(f ) = max

1≤i≤t

lp(hilp(gi)),suy ra tồn tại j ∈ {1, , t} sao cho

Ta có vế trái của 1.1 là một đơn thức khác không Do đó nếu muốn vế trái bằng

vế phải thì khi khai triển vế phải, các hạng tử thu gọn khác bậc của vế trái đềubằng 0, còn lại tổng các đơn thức khác 0 mà có bậc giống nhau Khi đó

lt(f ) =

sX

i=1

aixαilt(gi), s ≤ t, ai ∈ K, ai6= 0,

xα1lp(g1) = = xαslp(gs) = lp(f ),

Do đó lp(f ) chia hết cho các

lp(g1), , lp(gs) ⊂ {lp(g1), , lp(gs)},suy ra G là cơ sở Groebner của I

Hệ quả 1.1.4 Nếu G = {g1, , gt} là một cơ sở Groebner của iđêan I thì

I = hg1, , gti

Chứng minh Vì gi ∈ I với mọi i = 1, , t nên

hg1, , gti ⊂ I

Lấy f ∈ I, theo chứng minh Định lý 1.1.3, f −−→ 0, do đó f ∈ hgG 1, , gti

Bổ đề 1.1.5 Cho I là iđêan sinh bởi một tập S các từ khác 0 và f ∈ K[x1, , xn].Khi đó f ∈ I khi và chỉ khi với mọi từ X trong biểu diễn của f đều tồn tại từ

Y ∈ S sao cho Y chia hết X Hơn nữa, tồn tại một tập con hữu hạn S0 của Ssao cho I = hS0i

Chứng minh Giả sử f ∈ I Khi đó

f =

lX

Theo định lý cơ sở Hilbert, I có một tập sinh hữu hạn, tức là I = hS00i với

S00 hữu hạn Ta giả sử các phần tử của S00 là các đơn thức Vì mỗi phần tử của

S00 đều thuộc I nên chia hết cho Y tương ứng nào đó của S Ta lấy một Y duynhấy ứng với một phần tử của S00 và đặt S0 là tập các Y đã chon.

Ta có S0 ⊂ S, S00 hữu hạn kéo theo S0 hữu hạn và

hS0i = hS00i = I

Hệ quả 1.1.6 Mọi iđêan I khác 0 của K[x1, , xn] đều có một cơ sở Groebner.Chứng minh Theo Bổ đề 1.1.5, từ dẫn đầu của iđêan Lt(I) có một tập sinh hữuhạn

{lt(g1), , lt(gt)}, với g1, , gt ∈ I

Nếu ta đặt G = {g1, , gt} thì ta có Lt(G) = Lt(I), do đó G là cơ sở Groebnercủa I theo Định lý 1.1.3

Định nghĩa 1.1.11 Ta nói rằng một tập con G = {g1, , gt} của K[x1, , xn]

là một cơ sở Groebner khi và chỉ khi G là một cơ sở Groebner của iđêan hGi.Định lý 1.1.7 Cho G = {g1, , gt} là một tập các đa thức khác 0 trongK[x1, , xn] Khi đó G là cơ sở Groebner khi và chỉ khi với mọi f ∈ K[x1, , xn],phần dư của phép chia f theo G là duy nhất

Chứng minh Giả sử G là cơ sở Groebner Cho

f −−→ rG 1 và f −−→ rG 2

là thu gọn theo G, vì

f − r1, f − r2 ∈ hCti = hg1, , gti,nên r1 − r2 ∈ G Hơn nữa, r1 − r2 là thu gọn theo G nhưng r1− r0 = 0 theoĐịnh lý 1.1.3, suy ra r1 = r2, tức phần dư là duy nhất

Ngược lại giả sử phần dư của phép chia f theo G là duy nhất Ta chứng minh

G là cơ sở Groebner Giả sử f ∈ hGi Giả sử có phép chia mà kết quả f −−→ r,Gvới r là các rút gọn theo G Ta chứng minh r = 0

Để chứng minh ta cần bổ đề sau:

Bổ đề 1.1.8 Nếu 0 6= c ∈ K, X ∈ Tn là một tích lũy thừa và g ∈ K[x1, , xn]sao cho g −−−→ r, r là thu gọn Khi đó với mọi i ∈ {1, , t}, ta cóG

g − cXgi −−−→ r.GChú ý rằng nếu bổ đề đúng, do f ∈ hGi nên

f =

sX

v = 1cvXvgiv −−→ r.GSuy ra 0−−→ r, suy ra r = 0, suy ra fG −−→ 0, suy ra G là cơ sở Groebner, suyG

ra định lý được chứng minh Vậy ta chứng minh Bổ đề 1.1.8

Ta định nghĩa d ∈ G sao cho d lc(gi) là hệ số của X lp(gi) ∈ g Ta xét batrường hợp:

Trường hợp 1: d = 0 Khi đó hệ số của X lp(gi) trong g − cXgi là −c lc(gi) 6= 0và

g − cXgi −−−→ ggi −−→ r.GTrường hợp 2: nếu d = c Cho r1 là thu gọn và giả sử rằng g − cXgi −−→ rG 1.Khi đó, vì d = c 6= 0, ta có

suy ra r2 = r vì phần dư là duy nhất và

Bằng cách chia khác, ta có:

f −−−→ xf2 2− x,

và x2− x là rút gọn thích ứng với {f1, f2}, suy ra x2 − x là phần dư của phép

chia f cho {f1, f2} Suy ra

F

−−→ x2− x

Nhưng x2 − x 6= 0 nên hai phần dư khác nhau Do đó theo Định lý 1.1.7, G

không phải là cơ sở Groebner

1.2 Cách tìm cơ sở Groebner của iđêan trong K [x1, , xn]

Đặt L = {xα, xβ} là bội chung nhỏ nhất của xα và xβ

Định nghĩa 1.2.1 Cho 0 6= f, g ∈ K[x1, , xn] Đặt

L = lcm{lp(f ), lp(g)}

Khi đó

S(f, g) = L

lt(f )f −

Llt(g)gđược gọi là s-đa thức của f và g

y2x3y2g

f −−−→ xf2 2+ 1 = f − xf2

X = L = Lcm(lp(f1), lp(f2)) = y2xS(f1, f2) = yf1− xf2 = −y2+ x2.Định lý 1.2.1 (Buchberger) Cho G = {g1, , gt} là tập khác 0 các đa thứctrong K[x1, , xn] Khi đó G là một cơ sở Groebner của iđêan I = hg1, , gtikhi và chỉ khi với mọi i 6= j

S(gi, gj) −−−→ 0.G

Để chứng minh Định lý 1.2.1 ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 1.2.2 Cho f1, , fs ∈ K[x1, , xn] sao cho lp(fi) = X 6= 0, với mọi

i = 1, , s Cho

f =

sX

i=1

cifi với ci ∈ K, i = 1, s

Nếu lp(f ) < X khi đó f là một tổ hợp tuyến tính với hệ số trong K của S(fi, f )j),

a2f2− 1

a3f3

+ · · · ++(c1a1+ · · · + cs1as1)

1

as−1fs−1− 1

asfs

+ (c1a1+ · · · + csas) 1

asfs

= c1a1S(f1, f2) + (c1a1+ c2a2)S(f2, f3) + · · · + (c1a1+ · · · +

+cs−1as−1)S(fs−1, fs),

vì c1a1+ · · · + csas = 0

Bây giờ ta chứng minh Định lý Buchberger

Chứng minh Định lý 1.2.1 Giả sử với mọi i 6= j, do

S(gi, gj) = L

lt(gi)gi− L

lt(gj)gj,nên S(gi, gj) ∈ I Mà G là cơ sở Groebner của I = hg1, , gti Nên theo Định

lý 1.1.3 suy ra

S(gi, gj) −−→ 0.G

Ngược lại giả sử

S(gi, gj) −−→ 0.G

• Nếu X = lp(f ) ta có điều phải chứng minh.

• Nếu X > lp(f ) thì ta sẽ tìm cách viết khác của f với X nhỏ hơn và điềunày mâu thuẫn với X là nhỏ nhất

Cho S = {i/lp(hi)lp(gi) = X} với mỗi i ∈ S,

hi = ciXi+ (từ có bậc thấp hơn)

= ciXi+ BiTập g =

s

P

i=1

ciXigi, khi đó lp(Xigi) = X, với mọi i ∈ S, nhưng lp(g) < X, theo

Bổ đề 1.2.2, tồn tại dij ∈ K sao cho:

f =

i6=jX

Theo Định lý 1.1.2 ta có S(Xigi, Xjgj) =

tPv=1

hijvgv và lp(S(Xigi, Xjgj)) =max

i=1

qigi

=

i6=jX

i,j∈S

dijS(Xigi, Xjgj) +

tX

i=1

qigi

=

i6=jX

i,j∈S

dij

tX

v=1

hijvgv+

tX

i=1

qigi,

Đây là một cách viết của f có dạng f =

tPk=1

hkgk với max{lp(hk0), lp(gk)} < X.Mâu thuẫn với tính thấp nhất của X Suy ra điều phải chứng minh

Hệ quả 1.2.3 Cho G = {g1, g2, , gt} với gi 6= 0(1 ≤ i ≤ t) Khi đó G là một

cơ sở Groebner khi và chỉ khi với mọi i 6= j(1 ≤ i, j ≤ t) ta có:

S(gi, gj) =

tX