tim m để hàm số đơn điệu trên r hoặc trên từng khoảng xác định

0 ' 0 0 a Chú ý: Nếu hệ số của a có chứa m thì phải xét thêm một trường hợp a0 xem khi đó giá trị m tìm được thay vào có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không?. BÀI GIẢNG: TÌM m ĐỂ HÀM

A LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP LÀM BÀI

I HÀM ĐA THỨC BẬC BA

1 Nhắc lại lý thuyết dấu tam thức bậc hai

Cho   2

g x ax bx c

0 0 0

0 0

a b c

g x x

a







 





0 0 0

0 0

a b c

g x x

a







 





2 Điều kiện để hàm số tăng hoặc giảm trên

y f x m ax bx  cx d a

y  f x m  ax  bx c có  ' b23ac

a) Hàm số đồng biến trên

0 ' 0

0

a

b) Hàm số nghịch biến trên

0 ' 0

0

a

Chú ý: Nếu hệ số của a có chứa m thì phải xét thêm một trường hợp a0 xem khi đó giá trị m tìm được

thay vào có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không?

BÀI GIẢNG: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN R HOẶC TRÊN TỪNG

KHOẢNG XÁC ĐỊNH CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

MÔN TOÁN LỚP 12

THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM

Ta nhớ chỉ thỏa mãn khi a b 0, c0c0

II HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT

Điều kiện để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định

 ;  ax b

y f x m

cx d



 2

y f x m

cx d



a) Hàm số đồng biến trên từng khoảng của D

y x D ad bc

b) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng của D

y x D ad bc

III MỘT SỐ HÀM KHÁC

1 Hàm phân thức bậc hai/ bậc nhất

2

2 2

;

ax bx c

y f x m

dx e

a x b x c

y f x m

dx e





a) Hàm số đồng biến trên từng khoảng của D

2

b) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng của D

2

2 Hàm số chứa lƣợng giác

 ; 

y f x m chứa lượng giác sin , cos x x

Yêu cầu bài toán: y' f 'x m; 0 0  x

Có thể đặt ẩn phụ tsin , cos x x t a b; 

Đưa yêu cầu bài toán về một trong các dạng:

+ g t m đúng với mọi      

;

a b

t a b  g t m

+ g t m đúng với mọi      

;

a b

t a b  g t m

B BÀI TẬP ÁP DỤNG

DẠNG 1: HÀM ĐA THỨC BẬC BA

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2 4 3

3

y x mx  x đồng biến trên

Giải

+ Hàm số đã cho xác định trên R

+ y'x22mx4

+ Hàm số đã cho đồng biến trên R y'  0 x

2

1 0 0

luon dung a

m m

 



+ Kết luận: Vậy m  2;2 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2  

3

y  x  x  m x giảm trên

Giải

+ Hàm số đã cho xác định trên R

+ y'  x2 4x2m1

+ Hàm số đã cho nghịch biến trên R y'  0 x

1 0

luon dung a

m m

 





+ Kết luận: Vậy ; 5

2

  thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y2x33mx26mx2 đồng biến trên

Giải

+ Hàm số đã cho xác định trên R

+ y'6x26mx6m

+ Hàm số đã cho nghịch biến trên R y'  0 x 2

0

2

1 0 0

luon dung a

m

 



Do m  m 0;1; 2;3; 4;5

+ Kết luận: Vậy m0;1;2;3;4;5 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 4: Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  x3 3mx23m x2 1 nghịch biến trên

Giải

+ Hàm số đã cho xác định trên R

+ Hàm số đã cho nghịch biến trên R y'  0 x 2 2

' 0 m m 0 2m 0 m 0

+ Kết luận: Vậy có duy nhất một giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 5: Cho 3   2

ymx  m x  mx Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m nguyên thuộc

[-2022;20222] để hàm số đồng biến trên R Tìm số phần tử của S

Giải

+ Hàm số đã cho xác định trên R

y  mx  m x m

+ Hàm số đã cho đồng biến trên R y'  0 x

2

TH1: Xét a  0 m 0

Khi đó (1): 2x  0 x 0 không thỏa mãn x 

Vậy m0 loại

TH2: Xét a  0 m 0

Khi đó    2 2

0 0

1

m a







0

1

1

m m

m m

m











 



Kết hợp giả thiết

1,

1; 2; ; 2022 2022; 2022

m m



Kết luận: Có tất cả 2022 giá trị m thỏa mãn

Bài 6: Cho 1  3   2  

3

y m x  m x  m x Tìm giá trị m nguyên lớn nhất để hàm số đã cho

nghịch biến trên

Giải

+ Hàm số đã cho xác định trên R

y  m x  m x m 

+ Hàm số đã cho nghịch biến trên R y'  0 x

TH1: Xét a   0 m 2

Khi đó (1):    10 0 x (luôn đúng)

Vậy m 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH2: Xét a   0 m 2

2 0

1

m a

 





2

2

m

m m

 



Tổng kết 2 trường hợp ta có m 2 Vậy giá trị m nguyên lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là m 2

Bài 7: Cho  2  3   2

y m  x  m x  x Tính tổng S các giá trị m nguyên thỏa mãn để hàm số đã cho

nghịch biến trên khoảng  ; 

Giải

+ Hàm số đã cho xác định trên R

y  m  x  m x

+ Hàm số đã cho nghịch biến trên R y'  0 x

TH1: Xét a   0 m 1

+ Với m 1  1 : 1 0   x (luôn đúng)

1

m

  thỏa mãn

1 1 : 4 1 0

4

TH2: Xét a   0 m 1

2

1 0 0

1

m a



1 1

2

m m

m

  



  

Tổng kết 2 trường hợp ta có 1 1

2 m

Vậy có 2 giá trị m nguyên thỏa mãn là m0,m1

Kết luận: S  0 1 1

DẠNG 2: HÀM PHÂN THỨC

Bài 8: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y mx 4

x m





 nghịch biến trên từng khoảng xác định

Giải

+ Hàm số đã cho xác định trên \ m

+

2

2

4

' m

y

x m





+ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

2

' 0

y x D

+ Kết luận: Vậy m  2;2 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 9: Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số 2

1

mx y

x m





  đồng biến trên từng khoảng xác định

Giải

+ Hàm số đã cho xác định trên \m1

2

'

y

+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

2

' 0

y x D

+ Do m  m 0,m1

+ Kết luận: Vậy m0,m1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 10: Tìm số giá trị m nguyên thuộc 10;10 để hàm số 1

2

mx y mx





 nghịch biến trên các khoảng xác

định

Giải

2

Vậy m0 bị loại

* Xét m0, khi đó:

+ TXĐ: D \ 2

m

 

 

+

'

y

+ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

' 0

y x D

Vậy m0

* Tổng kết 2 trường hợp: m0

+ Kết hợp giả thiết

0

10;10

m

m m



  

+ Do m nên 1  m 9 Có 9 giá trị m

+ Kết luận: Vậy có 9 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 11: Tìm số giá trị m nguyên để hàm số 1

2

x m y

mx

 



 đồng biến trên các khoảng xác định

Giải

2

x

là hàm đồng biến trên R

Vậy m0 thỏa mãn yêu cầu bài toán

* Xét m0, khi đó:

m

2

'

y

+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

2

' 0

y x D

Vậy 2  m 1, m0

* Tổng kết 2 trường hợp:   2 m 1

+ Kết hợp giả thiết 2 m 1 m 1, m 0

m

  



 

+ Kết luận: Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 12: Tìm m để hàm số 2  

x m x m y

x m



 đồng biến trên các khoảng xác định của nó

Giải

+ TXĐ: D \ m

+

2

' x mx m m

y

x m



+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

 

2 2

' 0

' 0

  

+ Kết luận: Vậy m1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

DẠNG 3: HÀM LƢỢNG GIÁC

Bài 13: Tìm m để hàm số ysinxmxc nghịch biến trên R (c là hằng số)

Giải

+ TXĐ: D

+ y'cosx m

+ Hàm số nghịch biến trên R y'  0 x

cos

1

m

 

+ Kết luận: Vậy m1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 14: Tìm m để hàm số y x mcosx đồng biến trên R

Giải

+ TXĐ: D

+ y' 1 msinx

+ Hàm số đồng biến trên R  y'  0 x

 

TH1: Với m0 thì (*) luôn đúng

TH2: Với m0 thì   1

m

1

m

TH3: Với m0 thì   1

m

1

m

+ Kết luận: Vậy   1 m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Cách 2:

+ Hàm số đồng biến trên R  y'  0 x

1 msinx 0 x

Đặt tsin ,x t  1;1

Yêu cầu bài toán g t  1 mt   0 t  1;1

Do đồ thị hàm số yg t ,t  1;1 là một đoạn thẳng nên yêu cầu bài toán

 

 

m

g

 



+ Kết luận: Vậy   1 m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 15: Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b dể hàm số y2x a sinx b cosx đồng biến trên R

Giải

+ TXĐ: D

+ 'y  2 acosx b sinx

Ta có: 2 a2b2 y' 2 a2b2

+ Hàm số đồng biến trên R  y'  0 x

2 2

2 2

4

Kết luận: Vậy a, b thỏa mãn a2b2 4

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 3 2  

yx  x  m x m đồng biến trên R

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 3 2  2  2

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 1  3   2  

3

y m x  m x  m x luôn tăng trên

R

   

Bài 4: Cho hàm số 3 2  

y  x mx  m x Tìm tất cả các giá trị m nguyên để hàm số nghịch biến

trên R

Đáp số:    9 m 3

Bài 5: Cho hàm số 1 3 2  

3

y  x  mx  m x Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m nguyên để hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó Tính tổng các phần tử của S

Đáp số: m  1;0;1; 2 Tổng = 2

Bài 6: Cho hàm số 3 2  

3

m

y x  x  m x m Tìm giá trị m nhỏ nhất để hàm số đồng biến trên Đáp số: m1

Bài 7: Cho hàm số 1  3   2  

3

y m x  m x  m x Tìm các giá trị thực m để hàm số đồng biến

trên tập xác định

Đáp số: 1

3

m

Bài 8: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 1

2

x y





 đồng biến trên từng khoảng xác định

Đáp số: 1

2

m 

Bài 9: Cho hàm số y mx 4m

x m





 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên

từng khoảng xác định Tìm số phần tử của S

Đáp số: 0  m 4 3 giá trị

Bài 10: Cho hàm số m 1x 20

y

x m



 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch

biến trên từng khoảng xác định Tìm tổng các phần tử của S

Đáp số: -4

Bài 11: Cho hàm số y 4 5m mx

x m



 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m  10;10 để hàm

số nghịch biến trên từng khoảng xác định Tính tổng các phần tử của S

Đáp số: -10

Bài 12: Tìm các giá trị thực của m để hàm số

2

1 1

x mx y

x



 nghịch biến trên các khoảng xác định

Đáp số: m0

Bài 13: Tìm các giá trị thực của m để hàm số ysin 2x mx c  đồng biến trên

Đáp số: m2

Bài 14: Tìm các giá trị thực của m để hàm số     2

y m x m x m  m giảm trên

Đáp số: 7 13

6  m 10

Bài 15: Tìm các giá trị thực của m để hàm số ymsinxcosxm1x đồng biến trên

Đáp số: m0