tìm m để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước tiết 2

"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán 10 nângcaophầnlượnggiác dc ko ạ" họcsinhcógửinguyệnvọngđến page A.. HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT 1... Tính giá trị biểu thức P a b... Tính t

"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán 10 nângcaophầnlượnggiác dc ko ạ"

họcsinhcógửinguyệnvọngđến page

A LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP LÀM BÀI

I HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT

1 Đặt vấn đề

cx d



Tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng  ; 

+ D \ d

c

 2 ' ' ; ad bc

y f x m

cx d



2 Giải quyết bài toán

a) Hàm số đồng biến trên  ; 

0

;

ad bc

c d

d c

c

 



 







  



 





b) Hàm số nghịch biến trên  ; 

0

;

ad bc

c d

d c

 



 







  



 

BÀI GIẢNG: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MỘT KHOẢNG CHO TRƯỚC

(TIẾT 2) CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

MÔN TOÁN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM

Tương tự

Khi hàm số đơn điệu trên  ;  thì:

 ; 

 

Khi hàm số đơn điệu trên ; thì d  ;  d

     

Khi hàm số đơn điệu trên ; thì d  ;  d

     

II HÀM PHÂN THỨC BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT

 ;  ax2 bx c

y f x m

dx e



a Hàm số đồng biến trên  ; 

2

;

a x b x c x

e

d

 

 



 

 

a Hàm số nghịch biến trên  ; 

2

;

a x b x c x

e

d

 

 



 

 

III HÀM PHÂN THỨC CHỨA LƯỢNG GIÁC

 ;  au x    b

y f x m

cu x d



 ; trong đó u x sin , cos , tan , cot x x x x

Tìm m để hàm số đơn điệu trên khoảng  ; 

Cách 1: Tính đạo hàm trực tiếp

Chú ý đạo hàm hàm hợp: y' f '   u u x '

Dấu của 'y phụ thuộc vào tích dấu f ' u và u x' 

Cách 2: Đổi biến

Đặt tu x , với x ;  thì t D t t1; 2

+ Nếu t'u x'   0 x  ;  thì yêu cầu bài toán trở thành tìm m để y f t  đơn điệu cùng chiều đề bài

trên D

+ Nếu t'u x'   0 x  ;  thì yêu cầu bài toán trở thành tìm m để y f t  đơn điệu ngƣợc chiều đề bài trên D

B BÀI TẬP ÁP DỤNG

DẠNG 1: HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 1

2

x y





 đồng biến trên khoảng  ; 10

Giải

+ D \ 2 m

+ Ta có:

2 1 '

2

m y

x m



+ Hàm số đồng biến trên  ; 10

1

5 2

5

m m

m

m



    

 

+ Kết luận: 5 1

2

m

   

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y x m 2

x m

 



 nghịch biến trên khoảng 5;

Giải

+ D \ m

+ Ta có:

 2

2 2

y

x m



+ Hàm số nghịch biến trên 5;

5;

m

m



+ Kết luận: 1 m 5

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số 2

5

x y





 đồng biến trên nửa khoảng  ; 10

Giải

+ D \5m

+ Ta có:

5 2 '

5

m y

x m





+ Hàm số đồng biến trên  ; 10

2

2 5

2

m m

m

m



  

Do m  m 1

+ Kết luận: Có duy nhất 1 giá trị nguyên m thỏa mãn

Bài 4: Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số 20

1

mx y

x m





  nghịch biến trên nửa khoảng 0;

Giải

+ D \ 1 m

+ Ta có:

2

2

20 '

1

y

 



 

+ Hàm số nghịch biến trên 0;

 

2

1

m m

m m



Kết hợp m  m 2;3; 4

+ Kết luận: Có 3 giá trị nguyên m thỏa mãn

Bài 5: Tính tổng các giá trị nguyên của m để hàm số y mx 2m 3

x m



 đồng biến trên khoảng  1;3

Giải

+ D \ m

+ Ta có:

2

2

2 3

y

x m



+ Hàm số đồng biến trên  1;3

 

 

2

2 3 0 ' 0 1;3

1 1

1;3

3 3

m

m m

m m

m m

m m

  

  





Kết hợp m  m  0;1    S 0 1 1

+ Kết luận: S1

Bài 6: Biết rằng tập  a b; chứa tất cả các giá trị m thỏa mãn hàm số y mx 4m

x m





 nghịch biến trên khoảng

 0; 2 Tính giá trị biểu thức P a b

Giải

+ D \ m

+ Ta có:

2

2

4

y







+ Hàm số nghịch biến trên  0; 2

 

 

' 0 0; 2

0 0

0; 2

2 2

m

m m

m m

m m

m m

 

  

 



+ Vậy tập giá trị m thỏa mãn là  0; 4  a 0,b4

+ Kết luận: P4

Bài 7: Cho hàm số 2

8

y mx





 Tìm tập hợp S gồm tất cả các giá trị m thỏa mãn để hàm số đồng biến trên khoảng 1;

Giải

TH1: m0

Khi đó

8

x

y là hàm đồng biến trên , do đó đồng biến trên 1; Vậy m0 thỏa mãn

TH2: m0

+ D \ 8

m

+ Ta có:

2

2

8 2 '

8

m y

mx







+ Hàm số đồng biến trên 1;

8 8

8

1 1;

0

m

m m

m m

m

  



   

+ Kết hợp m  m 1

+ Kết luận: S  0;1

Bài 8: Cho hàm số

2 5

m x y mx





 Tính tổng tất cả các giá trị m nguyên để hàm số nghịch biến trên 3;

Giải

TH1: m0

Khi đó y5 là hàm hằng trên , do đó không thể nghịch biến trên 3; Vậy m0 bị loại

TH2: m0

+ \ 1

2

D

m

+ Ta có:

2

2

10 '

y

mx







+ Hàm số đồng biến trên 3;

1

1 1

6 3

3;

2

m

m m

m

 







+ Kết hợp m  m 1; 2;3; ;9

+ Kết luận: T 45

DẠNG 2: HÀM PHÂN THỨC BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT

Bài 9: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 2    

6 5 2 1 3

1

y

x



 nghịch biến trên 1;

Giải

+ D \ 1

+ Hàm số nghịch biến trên 1;    y' 0 x 1

2

2

1

x x

 

2

2

1;

7

1 2

min

x x

m g x





 

+ Xét hàm số   2 7

1 2

   

7 2 2

2

x



Yêu cầu bài toán 7

3

m

  

Kết luận: 7

3

m 

Bài 10: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 2  

2x 1 m x 1 m y

x m



 đồng biến trên 1;

Giải

+ D \ m

+ Hàm số đồng biến trên 1;    y' 0 x 1

2

x

 

1 1

m

 





Cách 1:

+ Xét hàm số   2 2

g x  x  mxm  m x

Ta có: g x' 4x4m4x m 4x 1 0

 

g x

 đồng biến trên 1;

Do đó         2

1;

3 2 2

1 1

1

m

m m

m m

m



  





Kết luận: m 3 2 2

Cách 2:

x      m m

Xét phương trình y'0 2 2  

2x 4mx m 2m 1 0 *

TH1: Hàm số đã cho ĐB trên   ' 0

 

2

2

2

2 1 0

1 0

1 0

1

m

m

  

TH2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x x 1, 2      ' 0 m 1

Hàm số đã cho ĐB trên 1;  x1 x2 1

11 2 2  1 2  1 2

2

2

2

1 0

2

2 1

2 1 0 2

2

2 1 4 2 0

2 2

3 2 2

6 1 0

3 2 2

3 2 2

x x x x

x x

m

m m

m m

m m

m

m m

m m















 











  

DẠNG 3: HÀM PHÂN THỨC CHỨA LƢỢNG GIÁC

Bài 11: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số tan 2

tan

x y

x m





 đồng biến trên 0;4



Giải

Cách 1: Đạo hàm trực tiếp

+ ĐK: tan xm

Khi 0; tan  0;1

4

x   x

+ Khi đó

cos tan

m y

x

x m

 



+ Hàm số đồng biến trên 0;

4



 

2

2 0

0;1

1

m m

m

m





+ Kết luận: 0

m

m





  

Cách 2: Đổi biến

+ Đặt ttanx, với 0;

4

x   

  thì t 0;1

+ Ta có   2

1

x



+ Khi đó hàm số đã cho trở thành 2  

, 0;1

t

t m



+ Yêu cầu bài toán  Tìm m để hàm số y f t  đồng biến trên  0;1

       2 0 2

1

m m

t m

m





  







+ Kết luận: 0

m

m





  

Bài 12: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số cos 2

2 cos

y

x m





 nghịch biến trên 3 2;

 

Giải

Cách 1: Đạo hàm trực tiếp

+ ĐK: cos

2

m

x

Khi ; cos 0;1 , sin 0

x  x  x

+ Khi đó

2 2

4 sin 4

m



+ Hàm số nghịch biến trên ;

3 2

 

 

4 0

1

m m

m



+ Kết luận: 2 0

m m

  



  

Cách 2: Đổi biến

+ Đặt tcosx, với ;

3 2

x   

  thì

1 0;

2

t  

+ Ta có '  sin 0 ;

3 2

t x   x x   

+ Khi đó hàm số đã cho trở thành 2, 0;1

mt

t m

+ Yêu cầu bài toán  Tìm m để hàm số y f t  đồng biến trên 0;1

2

 

 

4 0

2

1

m m

m m

t m

m

  







+ Kết luận: 2 0

m m

  



  

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y 2x 7

x m





 nghịch biến trên khoảng 2; Đáp số: 6

Bài 2: Biết tập  a b; chứa tất cả các giá trị thực của m để hàm số y mx 3

x m





 nghịch biến trên khoảng

 ; 2 Tính giá trị biểu thức P b a

Đáp số: P2 3

Bài 3: Biết tập  a b; chứa tất cả các giá trị thực của m thỏa mãn để hàm số

4

y





 đồng biến trên khoảng 1

;

2

  Tính giá trị biểu thức S a b

Đáp số: 3

2

S 

Bài 4: Cho tập hợp Sm : 100  m 100 Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S Tính xac suất để số m được

chọn thỏa mãn điều kiện hàm số y mx 3m 2

x m



 đồng biến trên khoảng 2;

Đáp số: 100

199

P

Bài 5: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên âm m thỏa mãn hàm số

3 16

m x y





 đồng biến trên 5; Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S Tính xác suất để số được chọn là số lẻ

Đáp số: 2

3

P

Bài 6: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y 2x 3m 2

x m



 nghịch biến trên khoảng  1; 2 Đáp số: m 2

Bài 7: Tính tổng S tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số 2 3

3 2

y



  đồng biến trên  ; 14 Đáp số: S  10

Bài 8: Tìm các giá trị thực của m để hàm số

3

y

x



 đồng biến trên khoảng 1; TXĐ: D \ 3

Ta có:   

2

'

3

y

x



2

3

x



Hàm số đã cho ĐB trên 1; y'  0 x 1

2 2

2 2

1;

2

3 16

4 4

m Min x

m

m



   

Vậy 4  m 4

Bài 9: Tìm các giá trị thực của m để hàm số

2

6 2 2

y

x



 nghịch biến trên khoảng 1;

Đáp số: 14

5

m 

Bài 10: Tìm các giá trị thực của m để hàm số 2  

2

y

x



 nghịch biến trên khoảng  0;1 TXĐ: D \ 2 

2

2

'

2

y

x



2

2

2

x



Hàm số đã cho NB trên  0; 1

 

 

 

2

2

2 0; 1

' 0 0; 1

4 4 3 0 0; 1

Xét hàm số   2

4 3

f x x  x trên  0; 1

Sử dụng Mode 7 ta được

Max x  x  

3

2

Vậy 3

2

m 

Bài 11: Tìm các giá trị thực của m để hàm số sin 2 1

sin 2

x y

x m





 đồng biến trên khoảng 0;4



Đáp số: m1

Bài 12: Tìm các giá trị thực của m để hàm số 2 cos 3

2 cos

x y

x m





 nghịch biến trên khoảng 0;3



Đáp số: m 3

Bài 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số cot 1

m cot 1

x y

x





 đồng biến trên khoảng 4 2;

 

Đáp số: m1

Bài 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số

2

2

sin 16

y





  nghịch biến trên khoảng 0;2



Đáp số: 7

Bài 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc 2022; 2022 thỏa mãn hàm số 1 4

1

y

 



  đồng biến trên khoảng  0;1

Đáp số: 4040