Tài liện ôn thi tốt nghiệp TNPT năm 2013 - 2014 (hay)

Nhiều thầy cô gặp khó khăn khi tiến hành ôn thi tốt nghiệp THPT môn toán cho học sinh, đặc biệt là giáo viên trẻ. Xin chia sẻ với quý thầy cô tài liệu ôn thi cho lớp 12 cơ bản và nâng cao

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang 1

Chủ đề 1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I.Định nghĩa: Cho hàm số y f x( )xác định trên D, với D là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng 1.Hàm số y f x( )được gọi là đồng biến trên D nếu x x1, 2D x, 1x2 f x( )1  f x( 2)

2.Hàm số y f x( )được gọi là nghịch biến trên D nếu x x1, 2D x, 1x2 f x( )1  f x( )2

II.Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f x( )có đạo hàm trên khoảng D

1.Nếu hàm số y f x( ) đồng biến trên D thì f x'( )0, x D

2.Nếu hàm số y f x( ) nghịch biến trên D thì f x'( )0, x D

III.Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

1.Định lý 1 Nếu hàm số y f x( )liên tục trên đoạn a b và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít , nhất một điểm c( , )a b sao cho: f b( ) f a( ) f c b a'( )(  )

2.Định lý 2 Giả sử hàm số y f x( )có đạo hàm trên khoảng D

1.Nếu f x'( )0, x D và f x '( ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số đồng biến trên D 2.Nếu f x'( )0, x D và f x '( ) 0chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số nghịch biến trên D 3.Nếu f x'( )0, x D thì hàm số không đổi trên D

2 310

y x

11.y = x + cosx trên khoảng (0;) 12 y= sin2x - 3 x trên khoảng (0;

2

)

13.y= x.tanx trên khoảng ( ;

Dạng 1.Xét chiều biến thiên của hàm số y f x( )

Dạng 2 Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

9.Tìm m để hàm số y= 4mx3-6x2+(2m-1)x+1 tăng trên (0;2)

10.Tìm m để hàm số y=

2

6 22

x

 giảm trên [1;  ) 11.Tìm m để hàm số y=mx4 -4x2+2m-1 giảm trên (0;3)

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang 3

Chủ đề 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I.Định nghĩa: Cho hàm số y f x( )xác định trên D   và x0D

1.x được gọi là một điểm cực đại của hàm số 0 y f x( ) nếu tồn tại một (a,b) chứa điểm x sao cho 0

( , )a b D và f x( ) f x( ),0  x ( , ) \a b  x0 Khi đó f x được gọi là già trị cực đại của hàm số và ( )0

( ; ( ))

M x f x được gọi là điểm cực đại của hàm số

2.x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số 0 y f x( ) nếu tồn tại một (a,b) chứa điểm x sao cho 0

( , )a b D và f x( ) f x( ),0  x ( , ) \a b  x0 Khi đó f x được gọi là già trị cực tiểu của hàm số và ( )0

( ; ( ))

M x f x được gọi là điểm cực tiểu của hàm số

3.Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số

II.Điều kiện cần để hàm số có cực trị : Giả sử hàm số y f x( )có cực trị tại x Khi đó, nếu 0 y f x( ) có đạo hàm tại điểm x thì 0 f x'( )0  0

III.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị :

1.Định lý 1 (Dấu hiệu 1 để tìm cực trị của hàm số )

Giả sử hàm số y f x( )liên tục trên khoảng (a,b) chứa điểm x và có đạo hàm trên các khoảng 0

( ,a x ) và ( , )x b Khi đó :

+ Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x thì hàm số đạt cực tiểu tại 0 x 0

+ Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x thì hàm số đạt cực đại tại 0 x 0

2.Định lý 2 (Dấu hiệu 2 để tìm cực trị của hàm số )

Giả sử hàm số y f x( )có đạo hàm trên khoảng (a,b) chứa điểm x ,0 f x'( )0  và f(x) có đạo hàm cấp 0hai khác 0 tại điểm x Khi đó: 0

+ Nếu f ''( )x0  thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0 x 0

+ Nếu f ''( )x0 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0

PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN

*Phương pháp1 (Quy tắc 1)Tìm cực trị của hàm số y f x( )

1.Tìm tập xác định của hàm số 2.Tính f x'( ) và giải phương trình f x '( ) 0 tìm nghiệm thuộc tập xác định 3.Lập bảng biến thiên



2

3 31

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

*Phương pháp 2 (Quy tắc 2)Tìm cực trị của hàm số y f x( )

1.Tìm tập xác định của hàm số 2.Tính f x'( ) và giải phương trình f x '( ) 0 tìm nghiệm ( x i  i 1, 2,3 ) thuộc tập xác định 3.Tính f ''( ) và ''( )x f x i

Tìm m để các điểm cực đại ,cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=x+2

VD5: Cho hàm số y= x3-3x2-mx+2 Tìm m để

a Hàm số có cực đại ,cực tiểu trong khoảng (0;2)

b Hàm số có cực đại ,cự tiểu và các điểm cực đại ,cực tiểu cách đều đường thẳng y=x-1

a CMR hàm số có cực đại cực tiểu với mọi m

b Xác định m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ssong với đthẳng (d) y = 2x

Dạng 2.Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị thõa mãn điều kiện cho trước

Dạng 3 Một số bài toán liên quan đến điểm cực trị của đồ thị hàm số

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang 5

a Tìm m để hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía khác nhau của trục tung

b Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu

 .Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời các

điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O ( A – 2007)

VD11.Cho hàm số y f x( ) mx 1

x

   Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ điểm cực tiểu

của đồ thị hàm số đền tiệm cận xiên bằng 1

 (Cm) CMR với mọi m (Cm) luôn có cực đại cực tiểu và

khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 20 ( B – 2005)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho OA=BC; trong đó O là gốc tọa độ , A

là điểm cực trị thuộc trục tung, B,C là hai điểm cực trị còn lại ( B – 2011)

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

Chủ đề 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I.Định nghĩa: Cho hàm số y f x( )xác định trên D  

1.Nếu tồn tại một điểm x0D sao cho f x( ) f x( ),0  x D thì số M  f x( )0 được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D, ký hiệu ax ( )

Bài toán 1.Nếu D( , )a b thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:

1.Tìm tập xác định của hàm số 2.Tính f x'( ) và giải phương trình f x '( ) 0 tìm nghiệm thuộc tập xác định 3.Lập bảng biến thiên

4.Kết luận Bài toán 2 Nếu Da b,  thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:

1.Tìm tập xác định của hàm số 2.Tính f x'( ) và giải phương trình f x '( ) 0 tìm nghiệm x x1, 2 thuộc tập xác định 3.Tính f a( ), ( ), (f x1 f x2) ( )f b

Bài toán 3.Sử dụng các bất đẳng thức thông dụng như : Cauchy, Bunhiacốpxki, …

Bài toán 4.Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình, tập giá trị của hàm số

2 2

9.y f x( ) 1 s inx  1cosx 10.y f x( ) 2 cos 2x c osx-3

11.y 2x 1x x2 x 2 12.y2 sin cosx xsinxcosx

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang 7

VD1 Cho hàm số y x22x a 4.Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên 2,1đạt GTLN

( ) sin os sin cos

y f x  x c xm x x.Tìm m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 VD3 Cho hàm số cos 1

cos 2

k x y

x





 .Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn -1

VD4 Tìm các giá trị của tham số a,b sao cho hàm số ( ) a +b2

VD5.Cho hàm số y f x( ) 2x24x2a1với  3 x4.Xác định a để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất

VD1 Một tấm tôn hình vuông cạnh bằng a Người ta phải cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc để gò thành một bể chứa hình hộp chữ nhật không nắp, cạnh hình vuông cắt đi bằng bao nhiêu thì bể có thể tích lớn nhất ĐS Cạnh hình vuông cắt đi bằng

6

a

VD2 Tìm các kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất nội tiếp đường tròn bán kính R cho trước

ĐS.Các kích thước của hình chữ nhật là R 2(hình vuông)

VD3 Trong các khối trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hãy xác định khối trụ có thể tích lớn nhất

4

h

r R VD4 Cho đường (C) có phương trình x2y2 R2.Hãy tìm các điểm H trên (C) sao cho tiếp tuyến tại đó cắt hai trục tọa độ tại A và B có độ dài đoạn AB nhỏ nhất

VD5 Tìm hình thang cân có diện tích nhỏ nhất ngoại tiếp đường tròn bán kính R cho trước

VD6 Cho x2y2  Tìm Max, Min của biểu thức 1

2 2

xy y P

Dạng 2.Tìm GTLN,GTNN của hàm số có chứa tham số

Dạng 3.Ứng dụng của bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

2.Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng (d):y y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị (C) của hàm số y f x( ) nếu

3.Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng (d) yax b a ( 0) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị (C) của đồ thị hàm số y f x( ) nếu

Chú ý: Cách tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f x( )

Đường thẳng (d) yax b a ( 0)là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f x( ) khi và chỉ khi

2 3( )

Dạng 2 Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số

Ví dụ 1.Tìm giá trị của tham số m sao cho:

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang 9

Dạng 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1.Bài toán 1 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x( ) có đồ thị (C) tại một điểm

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M x y( ,0 0)( )C có dang : yy0  f x'( )(0 xx0)

Trong đó f x được gọi là hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm '( )0 M x y ( ,0 0)

2.Bài toán 2 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x( ) có đồ thị (C) có hệ số góc k cho trước

1.Gọi M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có ( ,0 0) M( )C  y0  f x( )0

Phương trình tiếp tuyến có dạng y f x( )0  f x'( )(0 xx0)2.Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng k nên f x'( )0  , giải PT k f x'( )0  tìm được k x0 y0

3.Kết luận

Chú ý: Nếu hai đường thẳng song song thì hai hệ số góc bằng nhau Nếu hai đường thẳng vuông góc thì tích hai hệ số góc bằng -1

3.Bài toán 3 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x( ) có đồ thị (C) đi qua một điểm (A x A,y A)

1.Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A với hệ số góc k

d: yk x( x A)y A (1) 2.d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương tình sao có nghiệm

PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Ví dụ 1 Cho hàm số y f x( )4x36x24x có đồ thị (C) 1

a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A có hoành độ là 2

b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) 4x  y 1 0 c.Chứng minh rằng trên (C) không tồn tại hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có tung độ bằng 3

b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với góc phần tư thứ hai

c.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0, -2)

b Tiếp tuyến song song với đường thẳng :xy 3 0

c Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 4x y 100

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

a.Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phan biệt A(0,1), B, C

b.Tìm m để các tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau

Ví dụ 3.Cho hàm số y f x( )x33x2 9x (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết 5tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

 có đồ thị (C) Tìm trên (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ thị hàm

số tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và tâm đối xứng của đồ thị hàm số

  có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :

a Tiếp tuyến song song với đường thẳng x2y 2 0

b Tiếp tuyến tạo với :y 2x một góc 450

Dạng 2.Viết phương trình tiếp tuyến thõa điều kiện cho trước

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang 11

a Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB

b Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi

c Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

Ví dụ 15 Cho hàm số 1

x y x

Phương pháp: Giả sử ta cần biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) đi qua ( A x A,y A)

1.Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A với hệ số góc k

d: yk x( x A)y A (1) 2.d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương tình sao có nghiệm

Ví dụ 1.Cho hàm số y f x( )x33 (C)x Tìm trên đường thẳng x = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số

d Viết phương trình tiếp của (C) đi qua gốc tọa độ O

e Tìm điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến với (C) tại M còn cắt (C) tại hai điểm A và B sao cho A

là trung điểm của MB

f Tìm điểm M trên trục tung sao cho qua M có thể kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Ví dụ 6.Cho hàm số y f x( )x33x2 có đồ thị (C) Tìm những điểm trên trục Ox sao cho từ đó có thể kẻ 4được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Ví dụ 7.Cho hàm số y f x( ) x33x22x có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng 1 y2x1 các điểm kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Ví dụ 8.Cho hàm số y f x( )x33x2 có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng 2 y 3x2các điểm kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị (C)

Ví dụ 10.Cho hàm số y f x( )x33x2 có đồ thị (C).Tìm các điểm thuộc trục hoành mà từ đó có thể kẻ được

ba tiếp tuyến đến đồ thị (C), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Dạng 3.Biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

a.Viết phương trình tiếp tuyến  tại giao điểm của (C) và trục Oy

b.Tìm m để  chắn trên hai trục Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 8

Chủ đề 6 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.Giao điểm của hai đồ thị Cho hàm số y f x( ) có đồ thị (C và hàm số 1) yg x( ) có đồ thị (C 2)

+ Hai đồ thị (C và 1) (C cắt nhau tại điểm 2) M x y( ;0 0)( ;x y0 0)là nghiệm của hệ phương trình

( )( )

+Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C và 1) (C 2)2.Sự tiếp xúc của hai đường cong Cho hai hàm số y f x( ) và yg x( ) có đồ thị lần lượt là (C và 1)

2

(C và có đạo hàm tại điểm ) x 0

+Hai đồ thị (C và 1) (C tiếp xúc với nhau tại một điểm chung 2) M x y nếu tại điểm đó chúng ( ,0 0)

có chung cùng một tiếp tuyến Khi đó điểm M được gọi là tiếp điểm

+Hai đồ thị (C và 1) (C tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm 2)

( ) ( )'( ) '( )

g Chứng minh rằng với mọi m, (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

h Giả sử (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm A và B Tìm m để độ dài đoạn AB nhỏ nhất

Ví dụ 2.Cho hàm số 3 2

( ) 6 9 6 (C)

y f x x  x  x Định m để đường thẳng (d):ymx2m4 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

Ví dụ 3.Cho hàm số y f x( ) x42(m2)x22m (3 C m) Định m để đồ thị (C m)cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng

Ví dụ 4.Định m để đồ thị hàm số y f x( ) x3mx2m cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt 1

Ví dụ 5.Cho hàm số y f x( )x4(3m2)x23m có đồ thị (C m).Tìm m để đường thẳng y = - 1 cắt đồ thị (C m)tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2 ( Khối D – 2009)

Ví dụ 6.Cho hàm số y f x( )x33x2 (C) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1,2) với hệ 4

số góc k (k>-3) đều cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của AB

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang 13

 có đồ thị (C) Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = m cắt

đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA vuông góc với OB (Với O là gốc tọa độ )







a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho

b Tìm k để đường thẳng ykx2k1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho khoảng cách

từ A và B đến trục hoành bằng nhau ( Khối D – 2011)

Chủ đề 7 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHẦN I PHƯƠNG PHÁP

Các bước chính khi tiến hành khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y f x( )

1 Tìm tập xác định của hàm số

2 Tính giới hạn và tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số (Nếu có)

3 Tính đạo hàm y’ và giải phương trình y’ = 0

4 Lập bảng biến thiên

5 Nêu kết luận về tính biến thiên và cực trị của hàm số

6 Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số (Đối với hàm bậc ba và hàm trùng phương )

7 Tìm các điểm đặc biệt thuộc đồ thị hàm số

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

Ví dụ 4 Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a

2

1( )

2 Cách đều hai tiệm cận của đồ thị hàm số

3 Cách đều hai điểm A(0;0) và B(2;2)

4 Tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất

Ví dụ 5.Cho hàm số y f x( )x33x2 6

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Khi a thay đổi biện luận số nghiệm phương trình: x33x26 a

y f x  x  mx  m xm m

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 (C1)

b Tìm k để phương trình x33x2k33k2 0 có ba nghiệm phân biệt

c Viết phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị của đồ thị hàm số (C1)

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng : a f x( ) a g x( ) (1)

Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì (1) f x( )g x( )

Nếu cơ số a thay đổi (có chứa biến hoặc chứa tham số) thì

0(1)

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang 15

Bài 1 : Giải các phương trình sau

Đặt ta f x( ),t với a và 0 f x( ) thích hợp để đưa phương trình biến số x đã cho về phương trình mới với biến

t, giải phương trình này tìm t (nhớ so điều kiện t > 0) rồi từ đó tìm x

Bài 1 : Giải các phương trình sau

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

Dạng 3 : Phương pháp lôgarit hóa

Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng sau :

Chú ý : Phương pháp này thường áp dụng cho các phương trình chứa phép nhân, chia giữa các hàm số mũ

VD Giải các phương trình sau

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang 17

Dạng 4 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất)

Đưa phương trình đã cho về dạng f x( )g x( ) (*)

 Bước 1 : Chỉ ra x là một nghiệm của phương trình (*) 0

 Bước 2 : Chứng minh f x( ) là hàm đồng biến, g x( ) là hàm nghịch biến hoặc f x( ) là hàm đồng biến, ( )

g x là hàm hằng hoặc f x( ) là hàm nghịch biến, g x( ) là hàm hằng Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm

 

Ta có : 2 32 1

x x

g x'( )  1 0  x R

Suy ra g x( ) là hàm nghịch biến trên R Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là x 1 Vậy pt (1) có 2 nghiệm là x0;x1

Bài 1 : Giải các phương trình sau

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang 19

Bài 2 : Giải các phương trình sau

2 log (4 x 2).log 2 1x  (ĐH Huế-1999) ĐS : 2

3 log (2 x23x2) log ( 2 x27x12) 3 log 32 (ĐH Quốc Gia HN-1998) ĐS : 0;-5

4 2 log92xlog3x.log ( 23 x 1 1) (ĐH Thủy Lợi-1998) ĐS : 1; 4

5 log2xlog3xlog2x.log3x (ĐH Đông Đô-1999) ĐS : 1; 6

6 log5xlog3xlog 3.log 2255 9 (ĐH Y Hà Nội-1999) ĐS : 3

7 log (4 x1)2 2 log 2 4xlog (8 x4)3 (ĐH Bách Khoa HN-2000) ĐS : 2; 2 2 6

8 log2 3( x2 1 x)2log2 3( x2 1 x) 6 (ĐH Y Thái Bình-1998) ĐS : 4 3

9 log (9 2 5 6)2 1log 3 1 log3 3

8 log 2 2log 4x  2x log 2x8 ĐS : 2

9 log (33 x1).log (33 x13)6 ĐS : log 10;log3 328

13 log4(log2x) + log2(log4x) = 2 (đặt t= log x ) 4

Bài 2 : Giải các phương trình sau

2 log (22 x1) 6 log 2 x 1 2 0 (Cao Đẳng -2008) ĐS : 1; 3

3 4 log9x log 3x  3 (ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ TPHCM-1998) ĐS : 3; 3

log (x1) log (x1) 25 (ĐH Y HN-2000)

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

2 log ( x x)log x (ĐH Kiến Trúc TPHCM-1991) ĐS : 16

Bài 2 : Giải các phương trình sau

1 x log (9 2 )2  x 3 (ĐH Huế-2000) ĐS : 0; 3

2 log5xlog (7 x2) (ĐH Quốc Gia HN-2000) ĐS : 5

3 log7xlog (3 x2) (ĐH Thái Nguyên-2000) ĐS : 49

Dạng 4 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất)

Đưa phương trình đã cho về dạng f x( )g x( ) (*)

 Bước 1 : Chỉ ra x là một nghiệm của phương trình (*) 0

 Bước 2 : Chứng minh f x( ) là hàm đồng biến, g x( ) là hàm nghịch biến hoặc f x( ) là hàm đồng biến, ( )

g x là hàm hằng hoặc f x( ) là hàm nghịch biến, g x( ) là hàm hằng Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm

Cách 2 :

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang 21

Đưa phương trình đã cho về dạng f u( ) f v( ), rồi chứng minh f là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến trên D) Từ đó suy ra f u( ) f v( )uv

Bài 1 : Giải các phương trình sau

Bài 2 : Giải các phương trình sau

1 log22x(x1) log2x 6 2x (ĐH Đông Đô-1997) ĐS : 1; 2

CHUYÊN ĐỀ:HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT

Bài 1 : Giải các hệ phương trình sau :

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

Bài 1 : Giải các bất phương trình sau :

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang 23

1

2 2

3 2.2x3.3x 6x1 ĐS : x 2

CHUYÊN ĐỀ : BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

I PHƯƠNG PHÁP

 Nếu a 1 thì loga f x( )loga g x( ) f x( )g x( ) 0

 Nếu 0a1 thì loga f x( )loga g x( )0 f x( )g x( )

Tổng quát :

0log ( ) log ( ) ( ) 0; ( ) 0

II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Giải các bất phương trình sau :





Tài liệu ôn tập thi TN THPT

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang 25

x

dx e

4 sin 3xdx3 , Biết: F(

2

)=2 ; 5.sin 3xdx4 , Biết: F(

2

)=2 ; 6  2 35 4

x x

203

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

II.2.1 Bài tập áp dụng: Tính các tích phân sau:

2 x x 4 x 5

dx x

  

1 2 0

2

4 5

x dx

dx x

sin 3xdx



2 5 0





3 2

2 0

1 osos

1 cot x dx

tan xdx



 ; 14

3 2

0

sin

1 os

x dx

II.3.Phương pháp đổi biến số:

3.1 Đổi biến số loại I :     '  

b

a

f u x u x dx



B1: Đặt: u=u(x) và lấy vi phân hai vế

B2: Đổi cận: Khi :x=a =u(a); x=b=u(b)

2 3

0 (1 )

x dx x



 ; 4

3 2



 ; 10

1 3 2

0 1

x dx

e dx e



 ; 20

tanx 4 2 0

1 4

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang 27

3.2 Đổi biến số loại II :  

b

a

f x dx



B1: Đặt: x=u(t) và lấy vi phân hai vế

B2: Đổi cận: Khi :x=a =u(a); x=b=u(b)

2 1

4 2x dx 

 ; 3

3 2

2 3 0

(1  x dx )

2

2 0

8

3 2

3 x

dx x



3 2



 ; 2

6 2

2

1 2

x dx x



 ; 3

6 2 2

2

1 2

x dx x



2 2 2

2 3

0 (1 )

x dx x

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

1

3  x dx

 ; 3

1 2

0 1

x dx

x 

 ; 4

3 2 2

1 3

x dx x



3

2 2 1

1 (3 ) dx

2 3

2 2

1 4

 (hoặc ta đặt x2 làm nhân tử chung và đưa x2 ra ngoài, rồi đặt t a



;2

1

2 1

2

4

x dx x



2 2

4

x dx x



1 2 1 3

dx x

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang 29

9  

2

2 0

2 xexdx

 ; 3

1

2 0

(1 3 )  x e dxx

 ; 4

1 2 0

(1 3  x  2 )2 x xdx

1

2 2 0

2

ln(x x dx)

2 2

 ; 10

2 2 1

ln

e

x dx x

0

3 sin2xx dx





* Chú ý: Khi gặp tích phân dạng này thì ta phải tính tích phân từng phần hai lần (với cùng một cách đặt)

III TÍCH PHÂN CHỨA HÀM HỮU TỈ:

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

 Với P(x), Q(x) là các hàm đa thức, khi đó ta có các trường hợp sau:

+ Nếu bậc P(x)  bậc Q(x) thì ta lấy P(x) chia cho Q(x)

Muốn tìm các hệ số trong các đẳng thức trên thì ta thực hiện đồng nhất thức

Tích phân hàm số phân thức mà mẫu thức là đa thức bậc hai:

Dạng 1: Tính tích phân dạng tổng quát sau: I 2 dx  a 0 

Tài liệu ôn tập thi TN THPT

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang 31

B c

bx ax

b ax A c bx ax

n mx

2

) 2 (

+) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:

+)Ta có I= 





dx c bx ax

B dx

c bx ax

b ax A dx

c bx ax

n mx

b ax A

3 2( 1)

x 

2 5

2 1( 2)

1( 2)

x 

 ;13

3 4 6 1

11

x dx x







IV TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:

*Các công thức lượng giác thường vận dụng:

2

a b a b  a b

1sin sin cos( ) cos( )

2

a b a b  a b

1sin cos sin( ) sin( )

2

a b a b  a b

4 Công thức tính sinx, cosx, tanx, cotx theo

tan2

 ; cosx =

2 2

11

t t



 tanx = 2 2

1

t t

 ; cotx =

2

12

t t

