[TƯ DUY MỞ] CÔNG THỨC TÍNH NHANH TỈ SỐ THỂ TÍCH

d KHÓA HÌNH KHÔNG GIAN IM3BPlus c Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia LATEX.. v Youtube.Tư Duy Mở Tóm tắt nội dung Có lẽ dạng toán liên quan tới tỉ số thể tích khối chóp, khối lăng trụ đã khô

d KHÓA HÌNH KHÔNG GIAN IM3BPlus c

Hướng tới kì thi THPT Quốc Gia

LATEX Tư Duy Mở Reup nhớ ghi nguồn

h Group Cộng đồng tư duy mở toán lý

v Youtube.Tư Duy Mở

Tóm tắt nội dung

Có lẽ dạng toán liên quan tới tỉ số thể tích khối chóp, khối lăng trụ đã không còn quá xa lạ với các

em học sinh nữa, tuy nhiên trong bài viết này sẽ đề cập lại một lần nữa tới các công thức này kèm theo

chứng minh cụ thể từng công thức một.

| Dạng 1 Tỉ số thể tích trong khối chóp tứ giác

Phương pháp giải Trước tiên ta xét bài toán Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình

hành Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A0, B0, C0, D0

S

B0

A0

Khi đó ta có công thức sau

SA

Đặt SA

0

SA = x;

SB0

SB = y;

SC0

SC = z;

SD0

SD = t, khi đó ta được

VS.M N P Q = xyzt

4

1

1

1 t ã

Đây là 2 công thức quan trọng cần nhớ cách chứng minh

- Lời giải

Chứng minh công thức này ta sẽ dùng công thức tỉ số thể tích mà ta đã biết, ta có

VS.A0 B 0 D 0

VS0 ABD

= SA

0

SA.

SB0

SB.

SD0

SD;

VS.B0 C 0 D 0

VS0 BCD

= SB

0

SB.

SC0

SC.

SD0

V0

V 2

= SB

0

SB

SD0 SD

Å SA0

SC0 SC ã

Từ đây ta suy ra được

yt (x + z) = xz (y + t) ⇔ y + t

x + z

1

y +

1

t =

1

x +

1 z

Ta lại sử dụng kết quả này thế ngược lại biểu thức đã xây dựng ở trên, ta sẽ được công thức thứ 2 

| Dạng 2 Tỉ số thể tích trong khối lăng trụ

Phương pháp giải Trước tiên ta xét bài toán

Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có thể tích là V Mặt phẳng (α) cắt các cạnh AA0, BB0, CC0 lần lượt tại các điểm M, N, P Đặt M A

0

AA0 = x,N B

0

BB0 = y,P C

0

CC0 = z Gọi V1 là thể tích của khối đa diện

A0M N P C0B0 Khi đó thì ta có kết quả sau

1 VM.A 0 B 0 C 0 = x

3V

2 VM.P N B0 C 0 = 1

3(y + z)V

3 V1 = x + y + z

3 V Đây là công thức rất quan trọng cần phải nhớ.

- Lời giải

Gọi H, H0 là hình chiếu vuông góc của M và A trên mặt phẳng (A0B0C0)

Khi đó tam giác M H0A0 đồng dạng với tam giác AHA0, suy ra M H

0

M A0

AA0 Mặt khác

V = AH.SA0 B 0 C 0; VM.A0 B 0 C 0 = 1

3M H

0SA0 B 0 C ⇒ VM.A0B0C0

1 3

M H0

x

3 ⇒ VM.A0B0C0 =

x

Tương tự ta có VM.ABC = 1 − x

3 V ⇒ VM.BCC0B0 =

2

3V Gọi I là hình chiếu vuông góc của C trên cạnh B0B và J là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (CBB0C0), ta có SBCC0 B 0 = CI.CC0; SP N B0 C 0 = (P C

0+ N B0) CI

VM.P N B0 C 0

VM.BCB0 C 0 = M J.SBCC0B0

M J.SP N B0 C 0 = 1

2

P C0+ N B0

2(y + z)

Từ đây ta suy ra được

VM.P N B0 C 0 = 1

2(y + z) VM.BCB0C0 =

2

3.

1

2(y + z) V =

1

Từ (1), (2) ta suy ra V1 = x + y + z

Bài toán mở rộng Cho khối đa diện lồi M N P.M0N0P0 có các đỉnh nằm trên 3 cạnh bên của khối lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0

A0

B0

C0

A

C

B M

M0

N0

P

Khi đó ta có công thức tỉ lệ thể tích là

VM N P.M0 N 0 P 0

VABC.A0 B 0 C 0 = 1

3

Å M M0

AA0 +N N

0

BB0 +P P

0

CC0

ã

| Dạng 3 Tỉ số thể tích trong hình hộp

Phương pháp giải Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có thể tích là V Mặt phẳng (α) cắt các cạnh

AA0, BB0, CC0, DD0 lần lượt tại M, N, P, Q Đặt M A

0

AA0 = x;N B

0

BB0 = y;P C

0

CC0 = z;QD

0

DD0 = t Gọi V1 là thể tích của khối đa diện M N P Q.A0B0C0D0 Khi đó ta có kết quả

x + z

y + t

Sau đây ta sẽ đi tìm hiểu chứng minh cho công thức này

- Lời giải

Theo kết quả của dạng 1, ta có

VM N P.A0 B 0 C 0 = x + y + z

3 VABC.A0B0C0 =

x + y + z

VM P Q.A0 B 0 C 0 = x + z + t

3 VADC.A0B0C0 =

x + z + t

VM N Q.A0 B 0 C 0 = x + y + t

3 VABD.A0B0C0 =

x + y + t

VN P Q.A 0 B 0 C 0 = y + z + t

3 VBCD.A0B0C0 =

y + z + t

Do đó ta được

V1 = VM N P.A0 B 0 C 0+ VM P Q.A0 B 0 C 0+ VM N Q.A0 B 0 C 0+ VN P Q.A0 B 0 C 0 = x + y + z + t

Mặt khác ta lại có

M A0

AA0 +P C

0

CC0 = M A

0+ P C0

0

AA0;N B

0

BB0 + QD

0

DD0 = N B

0+ QD0

0

BB0 = 2OI

0

AA0

Như vậy thì ta được x + z = y + t, điều này suy ra trực tiếp dấu bằng thứ 2 và thứ 3 

Bài toán mở rộng Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0, một mặt phẳng (α) cắt 4 cạnh của hình hộp tại các điểm M, N, P, Q và một mặt phẳng (β) cắt 4 cạnh của hình hộp tại các điểm M0, N0, P0, Q0

A0

B0

D0

C0

C B

M

M0

N0 N

P0

P

Q0

Q x

y

z t

| Dạng 4 Tỉ số thể tích khối hộp trong trường hợp không phải là một mặt phẳng cắt ngang

Phương pháp giải Xét bài toán Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0có thể tích V , có 4 điểm M, N, P, Q nằm trên các cạnh AA0,BB0, CC0, DD0 Hãy tính theo V thể tích khối đa diện lồiABCD.M N P Q Chúng ta phải xét xem khối đa diện lồi ABCD.M N P Q có M, N, P, Q không đồng phẳng và 4 điểm này lồi theo cạnh M P hay N Q, từ đó ta tách thành hai khối lăng trụ lệch hợp lí

- Lời giải

Trường hợp 1 Nếu AM

AA0 + CP

CC0 > BN

BB0 + DQ

DD0, lúc này ta sẽ thấy rằng cạnh M P sẽ gồ lên bên trong khối đa diện ABCDM N P Q, khi đó ta sẽ tách khối đa diện này thành hai khối lăng trụ lệch theo cạnh M P

là BACN M P và DACQM P Áp dụng công thức tỉ lệ lăng trụ

VBAC.N M P

VBAC.B0 A 0 C 0 = 1

3

Å AM

AA0 + BN

BB0 + CP

CC0

ã

⇒ VBAC.N M P = V

6

Å AM

AA0 + BN

BB0 + CP

CC0

ã

VDAC.QM P

VDAC.D0 A 0 C 0 = 1

3

Å AM

AA0 + DQ

DD0 + CP

CC0

ã

⇒ VDAC.QM P = V

6

Å AM

AA0 + DQ

DD0 + CP

CC0

ã

A0

B0

D0

C0

C B

P Q

Suy ra thể tích khối đa diện ABCDM N P Q là

VABCDM N P Q= VBAC.N M P + VDAC.QM P = V

6

Å

2.AM

AA0 + 2.

CP

CC0 +

BN

BB0 +

DQ

DD0 ã

Trường hợp 2 Nếu AM

AA0 +

CP

CC0 <

BN

BB0 +

DQ

DD0, lúc này ta sẽ thấy rằng cạnh N Q sẽ gồ lên trong khối đa diện ABCDM N P Q, khi đó ta sẽ tách đa diện này thành hai khối lăng trụ lệch theo cạnh N Q là ABDM N Q

và CBDP N Q

A0

B0

D0

C0

C B

M

N

P Q

Tương tự ta cũng có thể tích khối đa diện ABCDM N P Q là

VABCDM N P Q= VABD.M N Q+ VCBD.P N Q= V

6

Å

2.BN

BB0 + 2.DQ

DD0 +AM

AA0 + CP

CC0

ã

CÁC KHÓA HỌC KHÁC DÀNH CHO 2K2-2K3 TẠI TƯ DUY MỞ

Tư duy mở luôn tự tin dẫn đầu về chất lượng với sự dẫn dắt của thầy Nguyễn Đăng Ái - một người thầy dày dặn kinh nghiệm với các bài giảng vô cùng hay Bên cạnh đó Tư Duy Mở cũng cung cấp tới các em những khóa học toàn diện hướng tới kì thi THPT Quốc Gia

1 IM2C - Công phá hàm số thế hệ C Tham khảo tại

https://tuduymo.com/course-online-detail/5ee50f7462532e2ca7d57b0c

2 IM3C - Công phá hình học không gian thế hệ C Tham khảo tại

https://tuduymo.com/course-online-detail/5ee50f7762532e2ca7d57b83

3 IM4C - Công phá logarit và hàm mũ thế hệ C Tham khảo tại

https://tuduymo.com/course-online-detail/5ee50f7a62532e2ca7d57c68

4 IM5C - Công phá tích phân thế hệ C Tham khảo tại

https://tuduymo.com/course-online-detail/5ee50f7762532e2ca7d57b9a

5 IM6C - Công phá Oxyz thế hệ C Tham khảo tại

https://tuduymo.com/course-online-detail/5ee50f7362532e2ca7d57b01

6 IM7C - Công phá số phức thế hệ C Tham khảo tại

https://tuduymo.com/course-online-detail/5ee50f7262532e2ca7d57aeb

7 IM8C - Kĩ năng và tư duy giải toán THPT cùng 2k3 Tham khảo tại

https://tuduymo.com/course-online-detail/5ee50f7662532e2ca7d57b5f

8 IM9C - Công phá đề thế hệ C Tham khảo tại

https://tuduymo.com/course-online-detail/5ee50f7362532e2ca7d57af6