GIAO AN BOI DUONG HOC SINH GIOI TOAN 8

- Biết đợc mối liên hệ giữa các phơng pháp và sử dụng hợp lý vào bài toán... - Thực hiện thành thạo dạng toán phân tích này.- Biết đợc mối liên hệ giữa các phơng pháp và sử dụng hợp lý v

- Biến đổi thành thạo các biểu thức nguyên

- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập

B Ph ơng tiện:

- GV: giáo án, tài liệu Casio

- HS: Máy tính Casio

C Nội dung bài giảng:

a – biển đổi biểu thức nguyên

II Bảng các hệ số trong khai triển (a + b) n Tam giác Pascal

bảng trên là tam giác Pascal, nó thờng đợc sử dụng khi n không quálớn Chẳng hạn, với n = 4 thì :

- [z3 - 3z2(x - y) + 3z(x - y)2 - (x - y)3] - [z3 + 3z2(x - y) + 3z(x - y)2+ (x - y)3]

= 6(x + y)2z - 6z(x - y)2 = 24xyz

Ví dụ 2: Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b) Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) x2 + y2; b) x3 + y3; c) x4 + y4; d) x5 + y5

Lời giải

a) x2 + y2 = (x + y)2- 2xy = a2- 2b

b) x3 + y3 = (x + y)3- 3xy(x + y) = a3- 3ab

c) x4 + y4 = (x2 + y2)2- 2x2y2 = (a2 - 2b)2- 2b2 = a4- 4a2b + 2b2d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x +y)

Hay: (a2- 2b)(a3- 3ab) = (x5 + y5) + ab2 ⇒ x5 + y5 = a5- 5a3b + 5ab2

§Æt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = S2- 2P; a3 + b3 = S3- 3SP V× vËy:

A = x3- 3(S2- 2P)x + 2(S3- 3SP) = (x3- S ) (3S x 3S ) (6Px 6SP)3 - 2 - 3 + = (x S)(x- 2+Sx S ) 3S (x S) 6P(x S)+ 2 - 2 - + -

8 a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y kh¸c 0 th× a b

x= y b) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by +cz)2 vµ x, y, z kh¸c 0 th× a b c

11 Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2

14 Cho a3- 3ab2 = 19 vµ b3- 3a2b = 98 H·y tÝnh: E = a2 + b2

15 Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2 TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:

a) x3 + y3; b) x4 + y4; c) x5 + y5; d) x6 + y6; e) x7 + y7; f) x8 +

y8; g) x2008 + y2008

C Nội dung bài giảng:

biển đổi phân thức hữu tỉ

Ví dụ 5:

a) Chứng minh rằng phân số 3n 1

5n 2

+ + là phân số tối giản ∀n∈N ;b) Cho phân số A n2 4

n 5

+

= + (n∈N) Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao cho phân số A cha tối giản Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó

Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5  29 ⇒ n + 5 = 29k (k ∈ N) hay n = 29k - 5

Theo điều kiện đề bài thì 0 ≤ n = 29k - 5 < 2009 ⇒ 1 ≤ k ≤ 69 hay

ờ + =ờ

ờ + =ở

ờ ờ

ờ ở

Do đó : 1 1 a b S;

++ = = 12 12 a22 2b2 S2 22P;

Đặt P(x) = S(x)- 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vợt quá

2 Do đó, P(x) chỉ có tối đa hai nghiệm

Nhận xét: P(a) = P(b) = P(c) = 0 ⇒ a, b, c là ba nghiệm phân biệtcủa P(x)

Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức làP(x) = 0 ∀x

Suy ra S(x) = 1 ∀x ⇒ đpcm

Ví dụ 9: Cho x 1 3

x+ = Tính giá trị của các biểu thức sau:

= + = +ỗ ữữ- = - =

b)

3 3

++

2n 12n 1

+

- . b) Chøng minh r»ng ph©n sè 78 2

n n 1

n n 1

+ + + + kh«ng tèi gi¶n víi mäi sè nguyªn d¬ng n

c) TÝnh tæng c¸c sè tù nhiªn n nhá h¬n 100 sao cho n2 5

n 1

+ + lµ ph©n sè cha tèi gi¶n

=+ + và

2

4 2

xN

-=+ ;

2 3 2

b) Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng a101 = 108

- Thực hiện thành thạo dạng toán phân tích này

- Biết đợc mối liên hệ giữa các phơng pháp và sử dụng hợp lý vào bài toán

f) x2- 5x- 24; g) 3x2- 16x + 5; h) 8x2+ 30x+ 7; i) 2x2- 5x- 12;k) 6x2- 7x- 20

Giải:

a) x2- 5x + 6 = x2- 2x- 3x + 6 = (x2- 2x)- (3x- 6) = x(x- 2)- 3(x- 2) =(x- 2)(x- 3)

b) 3x2- 8x + 4 = 3x2- 6x- 2x + 4 = (3x2- 6x)- (2x- 4) = 3x(x- 2)- 2) = (x- 2)(3x- 2)

2(x-c) x2 + 8x + 7 = x2 + x + 7x + 7 = (x2+ x) + (7x+ 7) = x(x+ 1) +7(x+ 1) = (x+1)(x+ 7)

d) x2- 13x + 36 = x2- x- 12x + 36 = (x2- 4x)- (9x- 36) = x(x- 4)- 4) = (x- 4)(x- 9)

9(x-e) x2 + 3x- 18 = x2- 3x + 6x- 18 = (x2- 3x) + (6x- 18) = x(x- 3)+ 3) = (x- 3)(x+ 6)

6(x-f) x2- 5x- 24 = x2 + 3x- 8x- 24 = (x2 + 3x)- (8x + 24) = x(x+ 8(x+3) = (x + 3)(x- 8)

3)-g) 3x2- 16x + 5 = 3x2- 15x- x + 5 = (3x2- 15x)- 5) = 3x 5)- 5) = (x- 5)(3x- 1)

(x-h) 8x2+ 30x+ 7 = 8x2 + 28x + 2x + 7 = (8x2 + 28x) + (2x + 7)

= 4x(2x + 7) + (2x + 7) = (2x + 7)( 4x + 1)

i) 2x2- 5x- 12 = 2x2- 8x+ 3x- 12 = (2x2-8x)+(3x-12) = 4) = (x- 4)(2x + 3)

i) 6x3- x2- 486x + 81; j) x3- 7x- 6; k) x3- 3x + 2; l)

x3- 5x2 + 3x + 9

m) x3 + 8x2 + 17x + 10; n) x3 + 3x2 + 6x + 4; p) x3- 2x- 4; q)2x3- 12x2 + 17x- 2

r) x3 + x2 + 4; s) x3 + 3x2 + 3x + 2; t) x3 + 9x2+ 26x + 24;

u) 2x3- 3x2 + 3x- 1; v) 3x3- 14x2 + 4x + 3; w) x4 +2x3 + x2 + x + 1

c) x3 + 5x2 + 8x + 4 = x3 + 3x2 + 3x + 1 + 2x2 + 2x + 3x + 3

= (x3 + 3x2 + 3x + 1) + (2x2 + 2x) + (3x + 3)= (x + 1)3 + 2x(x + 1)+ 3(x + 1)

= (x + 1)(x2 + 2x + 1 + 2x + 3) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x+ 2)2

d) x3- 7x + 6 = x3- x- 6x + 6 = (x3- x)- (6x- 6) = x(x2- 1)- 6(x- 1)

= x(x- 1)(x + 1)- 6(x- 1) = (x- 1)(x2 + x- 6) = (x- 1)[(x2- 2x) + 6)]

(3x-= (x- 1)[x(x- 2) + 3(x- 2)] (3x-= (x- 1)(x- 2)(x + 3)

e) x3- 9x2 + 6x + 16 = x3 + 3x2 + 3x + 1- 12x2- 12x + 15x + 15

= (x3 + 3x2 + 3x + 1)- (12x2 + 12x) + (15x + 15) = (x + 1)3- 12x(x+ 1) + 15(x + 1)

= (x + 1)(x2 + 2x + 1- 12x + 15) = (x + 1)(x2- 10x + 16)

= (x + 1)[(x2- 2x)- (8x- 16)] = (x + 1)[x(x- 2)- 8(x- 2)] = (x + 1)(x- 2)(x- 8)

a) (1 + x2)2- 4x(1- x2); b) (x2- 8)2 + 36; c) x4 + 4; d) x4 + 64;e) 64x4 + 1

f) 81x4 + 4; g) 4x4 + 81; h) 64x4 + y4; i) x4 + 4y4;k) x4 + x2 + 1

2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn thõa sè

chung

Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

a) x7 + x2 + 1; b) x7 + x5 + 1; c) x5 + x4 + 1; d) x5 + x + 1

e) x8 + x7 + 1; f) x5- x4- 1; g) x5 + x- 1; h) x10 + x5+ 1

Gi¶i:

a) x7 + x2 + 1 = x7- x4 + x4 + 2x2 + 1- x2 = (x7- x4) + (x4 + 2x2 +

1)-x2

= x4(x3- 1) + (x2 + 1)2- x2 = x4(x- 1)(x2 + x + 1) + (x2 + 1 + x)(x2 +1- x)

= (x8 + x7 + x6)- (x6 + x5 + x4) + (x5 + x4 + x3)- (x3 + x2 + x) + (x2 +

x + 1)

= x6(x2 + x + 1)- x4(x2 + x + 1) + x3(x2 + x + 1)- x(x2 + x + 1) + (x2+ x + 1)

= (x2 + x + 1)(x6- x4 + x3- x + 1)

f) x5- x4- 1 = x5- x4 + x3- x3 + x2- x- x2 + x- 1

= (x5- x4 + x3)- (x3- x2 + x)- (x2- x + 1) = x3(x2- x + 1)- x(x2- x + (x2- x + 1)

1)-= (x2- x + 1)(x3- x- 1)

g) x5 + x- 1 = x5- x4 + x3 + x4- x3 + x2- x2 + x- 1

= (x5- x4 + x3) + (x4- x3 + x2)- (x2- x + 1) = x3(x2- x + 1) + x2(x2- x +1)- (x2- x + 1)

= (x2- x + 1)(x3 + x2- 1)

h) x10 + x5 + 1 = x10- x7 + x7- x4 + x5 + x4 + x3- x3- x2- x + x2 + x + 1

= (x10- x7) + (x7- x4) + (x5 + x4 + x3)- (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)

= x7(x3- 1) + x4(x3- 1) + x3(x2 + x + 1)- x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

= x7(x- 1)(x2 + x + 1) + x4(x- 1)(x2 + x + 1)+ x3(x2 + x + 1)- x(x2 +

x + 1)+ (x2+ x + 1)

= (x2+ x + 1)(x8- x7 + x5- x4 + x3- x + 1)

III- Phơng pháp đổi biến

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128; b) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x+ 4)- 24

c) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2; d) (x2 + x)2 + 4x2 +4x- 12

e) x2 + 2xy + y2 + 2x + 2y- 15; f) (x + a)(x + 2a)(x +3a)(x + 4a) + a4

g) 6x4- 11x2 + 3; h) (x2 + x)2 + 3(x2 + x) + 2i) x2- 2xy + y2 + 3x- 3y- 10; j) (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x +20

k) x2- 4xy + 4y2- 2x + 4y- 35; l) (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x +8) + 16

= (y2- 17)2 + 8(y2- 17) = (y2- 17)(y2- 17 + 8) = (y2- 17)(y2- 9)

= (y + 17 )(y- 17)(y + 3)(y- 3) = (x + 5 + 17 )(x + 5- 17 )(x + 8)(x+ 2)

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x4 + 6x3 + 7x2- 6x + 1; b) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy +

yz + zx)2

IV- Phơng pháp xét giá trị riêng

Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của

đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa

số còn lại

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) P = x2(y- z) + y2(z- x) + z2(x- y)

b) Q = a(b + c- a)2 + b(c + a- b)2 + c(a + b- c)2 + (a + b- c)(b + a)(c + a- b)

c-Giải:

a) Giả sử thay x bởi y thì P = y y z2 ( − + ) y z y2 ( − ) 0 =

Nh vậy P chứa thừa số x- y

Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không

đổi (ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh bởi các biến x, y,z) Do đó nếu P đã chứa thừa số x- y thì cũng chúa thừa số y- z, z-

x Vậy P phải có dạng

P = k(x- y)(y- z)(z- x).Ta thấy k phải là hằng số(không chúa biến) vì

P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x- y)(y- z)(z- x)cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z Vì đẳng thức

đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng,chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0

ta đợc k = -1

Vậy P =- (x- y)(y- z)(z- x) = (x- y)(y- z)(x- z)

Các bài toán Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

- Thực hiện thành thạo dạng toán phân tích này.

- Biết đợc mối liên hệ giữa các phơng pháp và sử dụng hợp lý vào bài toán

Bớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f(x) = (x−a)p(x)

Để tìm p(x) thực hiện phép chia f(x) cho x - a

Bớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử nếu còn phântích đợc Sau đó viết kết quả cuối cùng cho hợp lí

Dạng 1: Tìm đa thức thơng bằng phơng pháp đồng nhất hệ

số(phơng pháp hệ số bất định), phơng pháp giá trị riêng , thựchiện phép chia đa thức

*Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây :

Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau: P(x) = Q(x) thì các hạng

tử cùng bậc ở hai đa thức phải có hệ số phải có hệ số bằng nhau

Ví dụ: P(x) =ax2 + 2bx− 3; Q(x) =x2 − 4x− p

Nếu P(x) = Q(x) thì ta có:

a = 1(hệ số của lũy thừa 2)

2b = - 4 (hệ số của lũy thừa bậc 1)

Vì đẳng thức (I) đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bấtkì : x= α

(α là hằng số) Sau đó ta đi giải phơng trình hoặc hệ phơngtrình để tìm các hệ số của các hạng tử trong các đa thức ( Đathức thơng, đa thức chia, đa thức bị chia, số d)

Ví dụ: Bài 1(Phần bài tập áp dụng)

Gọi thơng của phép chia A(x) cho x + 1 là Q(x), ta có:

) ( ).

1 ( 2 6

6 0

2 6

2

a

a a

a a

Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f(x) = x4 − 9x3 + 21x2 +x+k chiahết cho đa thức: g(x) = x2 −x− 2

Bài 5: Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn k để cho đa thức: f(k) =k3 + 2k2 + 15 chia hết chonhị thức: g(k) =k+ 3

Bài 6: Với giỏ trị nào của a và b thỡ đa thức: f(x) = x4 − 3x3 + 3x2 +ax+b chia hết cho

)(

( 2

3 ax bx c x a x b x c

Bài 12: Tìm các hằng số a, b, c sao cho ax3 +bx2 +cchia hết cho x+ 2, chia cho x2 − 1thì dư x+ 5.

Bài 13: Cho đa thức: P(x) =x4 +x3 −x2 +ax+b và Q(x) = x2 +x− 2 Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x)

Bài 14: Xác định a và b sao cho đa thức P(x) =ax4 +bx3 + 1 chia hết cho đa thức

2 )

- Thực hiện thành thạo dạng toán phân tích này.

- Biết đợc mối liên hệ giữa các phơng pháp và sử dụng hợp lý vào bài toán

- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập

B Ph ơng tiện:

- GV: giáo án, tài liệu Casio

- HS: Máy tính Casio

C Nội dung bài giảng:

Dạng 2: Phương phỏp nội suy NiuTơn

Phương phỏp:

Để tỡm đa thức P(x) bậc khụng quỏ n khi biết giỏ trị của đa thức tại n + 1 điểm

1 3

2

1 ,C ,C , ,C n+

C  ta cú thể biểu diễn P(x) dưới dạng:

) (

) )(

( )

)(

( ) (

2 2 18 25 9

18 25

7 25

2 2

1 1 0

=

⇔ +

=

=

b b

b b b

Vậy, đa thức cần tỡm cú dạng:

25 19 )

( ) 1 ( 18

b) Suy ra giỏ trị của tổng S = 1 2 3 + 2 3 5 +  +n(n+ 1 )( 2n+ 1 ), (n∈N* )

Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được :

36 ) 2 ( 5 3 2 ) 1 ( ) 2

(

6 ) 1 ( 3 2 1 ) 0 ( ) 1

(

0 ) 0 ( 0 ) 1 ( ) 0

(

, 0 ) 2 ( 0 ) 2 ( ) 1 (

P

P P

P

P P

P

P P

4 )(

3 )(

2 )(

1 ( ) 3 )(

2 )(

1 (

3 ) 2 )(

1 (

3 0

3 1

2 3 2 3 3 36

, 3 1

2 6

, 0 0

0

4 4

3 3

2 2

1 1 0

−

−

− +

b b

b b

b b b

Vậy, đa thức cần tìm có dạng:

2

1 ) 2 )(

1 ( ) 1 ( 2

1 ) 1 ( ) 1 ( 3 ) 1 ( 3

)

(x = x+ x+ x+ x x− + x+ x x− x− = x x+ 2 x+

P

(Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS)

Bài 5: cho đa thức P(x) =ax2 +bx+c, (a,b,c≠ 0 ) Cho biết 2a+ 3b+ 6c= 0 1) Tính a, b, c theo , ( 1 )

2

1 ), 0 ( P P

 không thể cùng âm hoặc cùng dương.

Bài 6: Tìm một đa thức bậc hai, cho biết:

1985 )

2 (

85 ) 1 (

19 ) 0 (

=

=

=

P P P

Ngày soạn: 27/03/2010

Tuần dạy: 30

Chuyên đề V: Tớnh chia hết với số nguyờn

A Mục tiêu:

Sau khi học xong chuyên đề học sinh có khả năng:

1.Biết vận dụng tính chất chia hết của số nguyên dể chứngminh quan hệ chia hết, tìm số d và tìm điều kiện chia hết

2 Hiểu cỏc bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh

3 Cú kĩ năng vận dụng các kiến thức được trang bị để giải toán

1 Chứng minh quan hệ chia hết

Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n∈N hoặc n ∈Z)a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n)thành tích trong đó có một thừa số là m

= n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6)

Ta lại có n3-7n – 6 = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1)-6(n+1)

- Tồn tại một bội số của 5 (nên A M 5 )

- Tồn tại một bội của 7 (nên A M 7 )

- Tồn tại hai bội của 3 (nên A M 9 )

- Tồn tại 3 bội của 2 trong đó có bội của 4 (nên A M 16)

Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau ⇒

A M5.7.9.16= 5040

Ví dụ 2: Chng minh rằng với mọi số nguyên a thì :

a/ a3 –a chia hết cho 3

* Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a5-a và tích của

5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5

Ta có:

a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5a (a3- 4a)(a2-1)

-= a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a M5

⇒ a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M5

Mà (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M5 ⇒ a5-a M5(Tính chấtchia hết của một hiệu)

c/ Khi chứng minh tính chia hết của các luỹ thừa ta còn sửdụng các hằng đẳng thức:

an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1) (HĐT8)

an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - …- abn-2+ bn-1)(HĐT 9)

- Sử dụng tam giác Paxcan:

Mỗi số trên một dòng (kể từ dòng thứ 2) đều bằng số liềntrên cộng với số bên trái của số liền trên.

- Nếu n chẵn thì A = BS17 + 1 – 1 = BS17 chia hết cho17

- Nếu n lẻ thì A = BS17 – 1 – 1 = BS17 – 2 Không chia hếtcho 17

Vậy biểu thức 16n – 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là sốchẵn, ∀ n ∈N

d/ Ngoài ra còn dùng phơng pháp phản chứng, nguyên lýDirichlê để chứng minh quan hệ chia hết

• VD 4: CMR tồn tại một bội của 2003 có dạng: 20042004….2004

= BS9 – 2 = BS9 + 7

Vậy 2100 chia cho 9 d 7

b/ Luỹ thừa của 2 gần với bội của 25 là 2 10 = 1024 =1025 – 1

Ta có:

2100 =( 210)10 = ( 1025 – 1 )10 = BS 1025 + 1 = BS 25 +1(theo nhị thức Niu Tơn)

Vậy 2100 chia cho 25 d 1

* VD2: Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994 khi viết trong hệthập phân

3 Tìm điều kiện chia hết

* VD1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hếtcho giá trị của biểu thức B:

Do đó Giá trị của A chia hết cho giá trị của B ⇔ n2 – n ∈

Ư(2)

⇔2 chia hếtcho n(n – 1)

⇔2 chiahết cho n

+ n2 – n + 1 = - 1 ⇔ n2 – n + 2 = 0 , không có giá trị của nthoả mãn

• VD 3: Tìm số tự nhiên n sao cho 2n - 1 chia hết cho 7

Ngày soạn: 04/04/2010

Tuần dạy: 31

Chuyên đề V: Tớnh chia hết với số nguyờn

C Mục tiêu:

Sau khi học tiếp chuyên đề học sinh có khả năng:

1.Biết vận dụng tính chất chia hết của số nguyên dể làm cácbài tập chứng minh quan hệ chia hết, tìm số d và tìm điềukiện chia hết

2 Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh

3 Cú kĩ năng vận dụng các kiến thức được trang bị để giải toán

a/ n3 + 6n2 + 8n chia hêt ch 48 với mọi số n chẵn

b/ n4 – 10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi số n lẻ

Giải

a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n+ 4) + 2(n + 4)]

= n(n+2)(n + 4)

Với n chẵn, n = 2k ta có:

n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k (k + 1)k + 2) M8

b/ n4 – 10n2 + 9 = n4 – n2 – 9n2 + 9 = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 –1)(n2 - 9)

= (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3)

Với n lẻ, n = 2k +1, ta có:

n4 – 10n2 + 9 = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + 1 – 3)( 2k + 1 +3) = 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) M16

Bài 2: Chứng minh rằng

a/ n6 + n4 -2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n

b/ 32n – 9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dơng n

Giải:

Ta có: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2+2)- (n2 +2)]

= n2(n2 + 2)(n2 – 1)

Ta lại có: 72 = 8.9 với (8,9) = 1

Xét các trờng hợp:

+ Với n = 2k⇒A = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k-1)(2k2 +1) M8

+ Với n = 2k +1 ⇒A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2 M8Tơng tự xét các trờng hợp n = 3a, n= 3a ± 1 để chứng minh AM9Vậy AM8.9 hay AM72

Bài 3: Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng a2 – 1chia hết cho 24

Giải: