BD HSG phần hàm số

Bài mới Phần I : Lí thuyết 1 Khái niệm về hàm số khái niệm chung.. Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơn

II Kiểm tra bài cũ

III Bài mới

Phần I : Lí thuyết

1) Khái niệm về hàm số (khái niệm chung).

Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số.

3) Khái niệm hàm đồng biến và hàm nghịch biến.

Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x  .

a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) cũng

tăng lên thì hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm đồng biến.

(hàm số y = f(x) gọi là đồng biến trong khoảng nào đó nếu với mọi x 1 , x 2 trong khoảng đó sao cho x 1 < x 2 thì f(x 1 ) < f(x 2 ) ).

b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) giảm

đi thì hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm nghịch biến (hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến trong khoảng nào đó nếu với mọi x 1 , x 2

trong khoảng đó sao cho x 1 < x 2 thì f(x 1 ) > f(x 2 )).

4) Dấu hiệu nhận biết hàm đồng biến và hàm nghịch biến.

Hàm bậc nhất số y = ax + b (a  0).

- Nếu a > 0 thì hàm số y = ax + b luôn đồng biến trên .

- Nếu a < 0 thì hàm số y = ax + b luôn nghịch biến trên .

Phần II : Bài tập

Bài tập 1: Cho hàm số y =  2

2k x 1   kx(2x 1) 5x với tham số k    1

a) Chứng tỏ hàm số này là hàm số bậc nhất b) Với giá trị nào của k thì hàm số đó là hàm số đồng biến ?

Hớng dẫn: Biến đổi đa về dạng y 2k 1 x   4 2k   x  13k  4

a) Hàm số f(x) + g(x) là hàm số bậc nhất đồng biến b) Hàm số f(x) - g(x) là hàm số bậc nhất nghịch biến

Hớng dẫn: Học sinh cần tính tổng và hiệu của hai hàm số trên sau đó

xét dấu của hệ số a trong từng trờng hợp

Hớng dẫn:

f(- 3) = a 35  b 33  c 3  5

Bài tập 9: Hãy xác định dạng tam giác ABC và tính diện tích của tam

giác đó biết rằng:

a) A(3 ; - 1), B(- 1 ; - 3), C(2 ; - 4) b) A(- 2 ; 2), B(0 ; 3), C(1 ; 1)

Hớng dẫn: a) Tính khoảng cách và chứng minh tam giác ABC vuông

cân Diện tích: 1 CA.CB 5

2  (đơn vị diện tích) b) Tính khoảng cách và chứng minh tam giác ABC vuông cân Diện tích: 2,5 (đơn vị diện tích)

 Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :

- HS2: Nêu cách tính góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox

III Bài mới

Đồ thị của hàm hằng x = m (trong

đó y là biến, m  ) là một đờng thẳng luôn song song với trục Oy.

b) Đồ thị hàm số y = ax (a0) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các

điểm) luôn đi qua gốc toạ độ, đờng thẳng y = ax nằm ở góc phần t thứ I

và thứ III khi a > 0; đờng thẳng y = ax nằm ở góc phần t thứ II và thứ

IV khi a < 0

c) Đồ thị hàm số y = ax + b (a,b 0) là một đờng thẳng (hình ảnh tập

hợp các điểm) cắt trục tung tại điểm (0; b) và cắt trục hoành tại điểm (

b

a , 0).

2) Khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2 )

3) Hai điểm đối xứng với nhau trên mặt phẳng tọa độ

A đối xứng với B qua trục hoành  x1  x và y = - y2 1 2

A đối xứng với B qua trục tung  x1  x và y = y2 1 2

A đối xứng với B qua gốc O  x1  x và y = - y2 1 2

A đối xứng với B qua đờng thẳng y = x  x1  y và y = x2 1 2

A đối xứng với B qua đờng thẳng y = - x  x1  y và y = - x2 1 2

4) Điểm thuộc và không thuộc đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) và điểm M (x 0 ; y 0 )

Nếu y 0 = f(x 0 ) thì M (x 0 ; y 0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f(x)

Nếu y 0  f(x 0 ) thì M (x 0 ; y 0 ) không thuộc đồ thị hàm số y = f(x)

5) Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

Hai đờng thẳng y = ax + b (a  0) và y = a’x + b’ (a'  0)

+ Trùng nhau nếu a = a’, b = b’.

+ Song song với nhau nếu a = a’, bb’.

+ Cắt nhau nếu a a’ Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình

ax + b = a’x + b’ (gọi là phơng trình hoành độ giao điểm)

+ Vuông góc nếu a.a’ = -1 .

6) Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (a  0) và trục Ox

Giả sử đờng thẳng y = ax + b (a  0) cắt trục Ox tại điểm A.

Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (a  0) là góc tạo bởi tia Ax và tia AT (với T là một điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b có tung độ dơng).

- Nếu a > 0 thì góc  tạo bởi đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc tính theo công thức nh sau: tg   a (cần chứng minh mới đợc dùng).

Bài 2: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó cắt trục tung tại

điểm P có tung độ – 1 ; cắt trục hoành tại điểm Q có hoành độ bằng 3

b) Tính diện tích tam giác ABC

HD : a) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A và B:

y = 5 x 5

3 

Tọa độ điểm M thỏa mãn hàm số y = 5 x 5

3  => Ba điểm A, B, M thẳng hàng

Tọa độ điểm C không thỏa mãn hàm số y = 5 x 5

3  => Ba điểm A,

B, C không thẳng hàng b) Tính khoảng cách AB, BC, AC và chứng minh tam giác ABC vuông tại C (định lí đảo của Py-ta-go) => Diện tích bằng 8,5(đvdt)

Bài 4: Cho đờng thẳng (d): y = (m - 2)x – m + 4

CMR với mọi giá trị của m thì đờng thẳng (d) luôn đi qua một



Điểm cố định mà đờng thẳng luôn đi qua là (1 ; 2)

Bài 5: Cho các đờng thẳng (d): y = mx – 2(m + 2) với m  0

2



Bài 6: Cho các đờng thẳng

(d 1 ): y = - 2x + 3 (d 2 ): y = - 2x + m (d 3 ): y = 1 x 1

Bài 8: Cho điểm A(3 ; 2) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A và

vuông góc với OA Tính góc tạo bởi đờng thẳng (d) và trục Ox

Gọi  là góc tạo bởi đờng thẳng (d) và trục Ox =>  123 41'0

Bài 9: Cho ba đờng thẳng (d 1 ): y = - 3x (d 2 ): y = 2x + 5 (d 3 ): y = x + 4

CMR ba đờng thẳng này đồng quy

HD : Tìm giao điểm M của (d 1 ) và (d 2 ) là M(- 1 ; 3)

Tọa độ điểm M thỏa mãn y = x + 4 nên M thuộc (d 3 ) Vậy ba đờng thẳng này đồng quy

Bài 10: Tìm giá trị của m để ba đờng thẳng sau đồng quy

a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến.

b) Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số đi qua điểm A (3; 5) c) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn luôn đi qua với mọi giá trị của m.

d) Xác định m để đồ thị hàm số cắt 2 trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 (đơn vị diện tích)

a) Để hàm số y = (m - 1).x - 2 m - 3 luôn luôn nghịch biến với mọi giá trị của x  m - 1 < 0  m < 1

Vậy với m < 1 thì hàm số y = (m - 1).x - 2 m - 3 luôn luôn nghịch biến

với mọi giá trị của x.

b) Để đồ thị hàm số y = (m - 1).x - 2 m - 3 đi qua điểm A (3; 5)

Ta có : 5 = (m - 1).3 - 2 m - 3  3m - 3 - 2m - 3 = 5

m = 11

Vậy với m = 11 thì đồ thị hàm số y = (m - 1).x - 2 m - 3 đi qua điểm

A c) Giả sử đồ thị hàm số y = (m - 1).x - 2 m - 3 luôn luôn đi qua 1

điểm cố định M (x 0 ; y 0 ) với mọi giá trị của m

2 5

Vậy đồ thị hàm số y = (m - 1).x - 2 m - 3 luôn luôn đi qua 1 điểm

cố định M (x 0 = 2; y 0 = - 2) với mọi giá trị của m d) Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y = (m - 1).x - 2 m - 3 với các

2 m - 1 = 4

 2m +32  4.2 m - 1  4m2 12m  9 8 m - 1



2 2

2

 

IV Hớng dẫn về nhà

- Xem lại các bài đã chữa

- Giải bài tập sau: Cho hàm số y = mx - 2m +5

- Củng cố và khắc sâu các kiến thức về hàm số bậc nhất

- Nâng cao và phát triển thêm các kiến thức về hàm số bậc nhất

 Kĩ năng

- Rèn kĩ năng áp dụng kiến thức vào giải bài tập

- Rèn kĩ năng suy luận, trình bày bài giải

- HS1: Giải bài tập đã cho (câu a) về nhà ở buổi học trớc

- HS2: Giải bài tập đã cho (câu b) về nhà ở buổi học trớc

III Bài mới

c) m =  2

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm A (x ; y) trong đó x = m + 2; y

= 3m – 1 với m  R Tìm tập hợp các điểm A

HD: x = m + 2 => m = x – 2 => y = 3x – 7 Vậy tập hợp các điểm A là

đờng thẳng y = 3x – 7

Bài 3: Cho điểm A(0 ; - 1) và B (- 4 ; 3) Viết phơng trình đờng thẳng (d)

là đờng trung trực của AB Tính góc  tạo bởi đờng thẳng (d) với trục Ox

HD: - Lập phơng trình đờng thẳng AB đợc : y = - x – 1

- Gọi M là trung điểm AB => M(- 2 ; 1)

- Vì (d) là đờng trung trực của AB => (d) vuông góc với AB

=> (d) có dạng: y = x + m

- Vì (d) đi qua M nên tìm đợc m = 3 Phơng trình của (d) là:

y = x + 3 Gọi  là góc tạo bởi đờng thẳng (d) với trục Ox

- Tính đợc  = 45 0

(GV yêu cầu HS vẽ đồ thị hàm số để quan sát)

Bài 4: Cho hai điểm A(x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2 ) với x1  x , y2 1  y2 Chứng

minh rằng nếu đờng thẳng y = ax + b đi qua A và B thì:

HD: Vì hai điểm A, B thuộc đờng thẳng y = ax + b nên ta thay tọa độ

của hai điểm A, B vào hàm số Từ đó tính : y  y1  a( x  x )1 (1)

Bài 5: Cho đờng thẳng y = mx + m – 1 (m là tham số) (1)

a) Chứng minh rằng đờng thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố

định với mọi giá trị của m

b) Tính giá trị của m để đờng thẳng (1) tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2

Bài 7: Cho đờng thẳng d xác định bởi y = 2x + 11 Đờng thẳng d’ đối

xứng với đờng thẳng d qua trục hoành là:

A) y = - 2x + 11 B) y = - 2x – 11 C) y = 2x - 11 D) Đáp số khác

HD: Điểm đối xứng với điểm (x ; y) qua trục hoành là điểm (x ; - y)

Xét y = 2x + 11 thay y bởi – y ta đợc y = - 2x – 11 Vậy chọn (B)

Bài 8: Cho đờng thẳng d xác định bởi y = 2x + 4 Đờng thẳng d’ đối

xứng với đờng thẳng d qua đờng thẳng y = x là:

A) y = 1 x 2

2  B) y = x - 2 C) y = 1 x 2

2  D) y = - 2x - 4

HD: Điểm đối xứng với điểm (x ; y) qua đờng thẳng y = x là điểm

(y ; x) Xét y = 2x – 4, thay x bởi y và thay y bởi x ta có y = 1 x 2

2 

Vậy ta chọn (C)

Bài 9: Xác định đờng thẳng đi qua hai điểm A và B, biết rằng:

a) A(- 2 ; 0), B(0 ; 1) b) A(1 ; 4), B(3 ; 0) c) A(- 2 ; 2), B(1 ; 5) d) A(2 ; - 33), B(-1 ; 18)

HD:

a) y = 1 x 1

2  b) y = - 2x + 6 c) y = x + 4 d) y = - 17x + 1

Bài 10: Chứng minh rằng nếu một đờng thẳng không đi qua gốc tọa độ,

cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a, cắt trục tung tại

điểm có tung độ bằng b thì đờng thẳng đó có phơng trình là

Bài 11: Xác định các số nguyên a, b sao cho đờng thẳng y = ax + b đi

qua điểm A (4 ; 3), cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên dơng, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là một số nguyên dơng

HD: - Đờng thẳng này có giao điểm với Ox

nên a khác 0

- Giao điểm với Oy là (0 ; b), với Ox là (

b ;0 a

- Theo đề bài b và b

a

 là các số nguyên dơng và a là số nguyên

- Điểm (4 ; 3) thuộc đờng thẳng nên

- Với a = - 1, ta có đờng thẳng

y = - x + 7

- Với a = - 3, ta có đờng thẳng

y = - 3x + 15

Bài 12: Cho đờng thẳng y = (m - 2)x + 2 (d)

a) Chứng minh rằng đờng thẳng d luôn đi qua một điểm cố

định với mọi giá trị của m b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng d bằng 1

c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng d có giá trị lớn nhất.

đ-IV Hớng dẫn về nhà

- Xem lại các bài dã chữa

- Giải bài tập sau:

*) Bài tập 1: Cho các đờng thẳng

(d 1 ): y  4mx  m 5 với m    0 (d 2 ):  2  2

y  3m  1 x  m  4

a) CMR khi m thay đổi thì đờng thẳng (d 1 ) luôn đi qua một điểm A cố

định; đờng thẳng (d 2 ) luôn đi qua một điểm B cố định

- Tiếp tục củng cố và khắc sâu các kiến thức về hàm số bậc nhất

- Nâng cao và phát triển thêm các kiến thức về hàm số bậc nhất

 Kĩ năng

- Rèn kĩ năng áp dụng kiến thức vào giải bài tập

- Rèn kĩ năng suy luận, trình bày bài giải

- HS1: Giải bài tập 1 đã cho tiết trớc

- HS2: Giải bài tập 2 đã cho tiết trớc

III Bài mới

Bài 1: Cho các điểm A(7 ; 2), B(2 ; 8), C(8 ; 4) Xác định đờng thẳng d

đi qua A sao cho các điểm B, C nằm về hai phía của d và cách

M thuộc d nên

8 = a(2 +m) + b (2)

Bài 2: Tìm hệ số a > 0 sao cho các đờng thẳng y = ax - 1 , y = 1, y = 5 và

trục tung tạo thành một hình thang có diện tích bằng 8

HD: Kí hiệu ABCD là hình thang

cần tìm diện tích nh trên hình

vẽ Ta tính đợc C( 6 ;5

a ) D( 2 ;1

Bài 3: Xác định hệ số a và b để đờng thẳng y = ax + b cắt trục tung tại

điểm có tung độ bằng - 2 và song song với đờng thẳng OA, trong

có tung độ bằng - 2)

Bài 4: Xác định đờng thẳng đi qua O và song song với đờng thẳng AB

biết rằng a) A(- 1 ; 1) , B(- 1 ; 3) b) A(1 ; 5) , B(4 ; 3)

Lập phơng trình đờng thẳng qua A và song song với BC (d 1 )

Lập phơng trình đờng thẳng qua C và song song với AB (d 2 )

Tìm giao điểm D của (d 1 ) và (d 2 ) => D(4 ; 3)

*) Cách khác: Tìm trung điểm M của AC => D ?

Bài 6: Cho bốn điểm A(1 ; 4), B(3 ; 5), C(6 ; 4) và D(2 ; 2) Tứ giác

Bài 9: Cho đờng thẳng (m - 2)x + (m - 1)y = 1 (m là tham số) (1)

a) CMR đờng thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của tham số

b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đờng thẳng (1) là lớn nhất

HD: a) Điểm cố định (- 1 ; 1)

b) Giải tơng tự bài tập 3 (tiết trớc)

Kết quả: Khoảng cách từ O đến đờng thẳng (1) lớn nhất bằng

2 <=> m = 3

2

Bài 10: Tìm các điểm thuộc đờng thẳng 3x - 5y = 8 có tọa độ là các số

nguyên và nằm trên dải song song tạo bởi hai đờng thẳng y = 10

Bài 11: Đờng thẳng ax + by = 6 (a > 0, b > 0) tạo với các trục tọa độ một

tam giác có diện tích bằng 9 Tìm tích a.b = ?

HD: Gọi A, B là giao điểm của đờng thẳng với trục Ox, Oy Tính đợc

OA = 6

a , OB = 6

b Vì diện tích bằng 9 nên tìm đợc a.b = 2

Bài 12: Trong hệ trục tọa độ Oxy , lấy các điểm A, B sao cho A(1 ; 1) và

B(9 ; 1) Viết phơng trình của đờng thẳng d vuông góc với AB và chia tam giác OAB thành hai phần có diện tích bằng nhau

HD: - Gọi H là giao điểm của AB và Oy

- Ta tính đợc diện tích của tam giác OAB là 4 (đvdt)

- Gọi giao điểm của d với AB, OB,

Bài 13: Tìm các điểm nằm trên đờng thẳng 8x + 9y = - 79 , có hoành độ

và tung độ là các số nguyên và nằm bên trong góc vuông phần t thứ III

HD: Ta tìm nghiệm nguyên âm của phơng trình 8x + 9y = - 79

Có duy nhất một điểm là (-2 ; - 7)

Bài 14: Cho hai điểm A và B có tọa độ A(3 ; 17) và B(33 ; 193)

a) Viết phơng trình của đờng thẳng AB

b) Có bao nhiêu điểm thuộc đoạn thẳng AB và có hoành độ và tung độ là các số nguyên

HD:

a) (AB): y 88 x 3

15 5

b) Cần tìm nghiệm nguyên của phơng trình mà 3   x 33

Trớc hết tìm nghiệm nguyên của phơng trình, có kết quả dạng (15k + 3 ; 88k + 17) Do 3  15k  3  33 nên 0   k 2

=> k có ba giá trị là 0; 1 ; 2 Tơng ứng có ba điểm nguyên

Bài 15: Cho hàm số y = f(x) = 4 2

ax  bx  x 3( a , b là hằng số) 

Cho biết f(2) = 7 Tính f(-2)

Trớc hết tính f(2) - f(-2) = 4 => f(- 2 ) = 13

Bài 16: Trên mặt phẳng tọa độ cho các điểm A, B, C có tọa độ A(0 ; 4), B

(3 ; 4) và C(3 ; 0) Hãy tìm hệ số a sao cho đờng thẳng y = ax chia hình chữ nhật OABC thành hai phần, trong đó diện tích chứa

điểm A gấp đôi diện tích chứa điểm C

HD: a) y = |x + 1| - |x - 1|

Lập bảng xét dấu và vẽ đồ thị trong từng khoảng

b) Nhìn trên đồ thị , ta thấy

Min y = - 2 <=> x  1

Max y = 2 <=> x  1

Bài 18: Cho các điểm A(1 ; 4) và B(3 ; 1) Xác định đờng thẳng y = ax

sao cho A và B nằm về hai phía của đờng thẳng và cách đều ờng thẳng đó.

đ-HD: Kí hiệu đờng thẳng phải tìm là d Gọi AH

IV Hớng dẫn về nhà

- Xem lại các bài đã chữa, giải tiếp các bài tập sau

Bài tập 1 : Cho đờng thẳng (m + 2)x - my = - 1 (m là tham số)

a) Tìm điểm cố định mà đờng thẳng luôn đi qua Kết quả ( 1 ; 1

2 2

  ) b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc O đến đờng thẳng là lớn nhất Kết quả: Max = 2 m 1

2  

Bài tập 2 : Vẽ đồ thị hàm số y = 2 2

x  4x  4  x  4x  4 rồi dùng đồ thị tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y

Kết quả: Min y = - 4  x  2 và Max y = 4  x  2

Bài tập 3 : Cho các điểm A(2 ; 8) và B(4 ; 2) Xác định đờng thẳng y = ax sao cho A và B nằm về hai phía của đờng thẳng và cách đều đờng thẳng đó.

D/Bổ sung

*******************************

*) Hãy giữ phím ctrl và nhấn vào đờng link này - http://quanghieu030778.violet.vn/