Toán lớp 7: Bài giảng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

BÀI GIẢNG – LUYỆN TẬP QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC – ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU 1.. Trong các đường bất kì kẻ từ A có những đường tạo với d một góc nhọn, và tạo với d một góc vuông.. AH đ

BÀI GIẢNG – LUYỆN TẬP QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC – ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU

1 Lý thuyết

Ví dụ : Cho một đường thẳng d và một điểm A nằm ngoài đường thẳng d Trong các đường bất kì kẻ từ

A có những đường tạo với d một góc nhọn, và tạo với d một góc vuông

AH được gọi là đường vuông góc

AB và AC được gọi là đường xiên

BH là hình chiếu của BA trên d

CH là hình chiếu của CA trên d

*Ta có AH là đoạn thẳng ngắn nhất : AHAB; AHAC( quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường vuông góc luôn nhỏ hơn đường xiên)

*Nếu ABACthì HBHC ( đường xiên nào kẻ từ điểm A cố định xuống đường thẳng d nhỏ hơn thì hình chiếu của nó nhỏ hơn hình chiếu của đường xiên còn lại Và hình chiếu của đường xiên nào nhỏ hơn thì đường xiên đó nhỏ hơn)

2 Bài tập

Bài tập 1:

ABC

 ; A 90 ; DAB; EAC Chứng minh rằng DEBC

Giải

Ta có: BA là hình chiếu của BE trên BA

DA là hình chiếu của DE trên BA

Mà DABADAB

D

  ( định lý quan hệ đường xiên hình chiếu ) 1

Ta có: AE là hình chiếu của BE trên AC

AC là hình chiếu của BC trên AC

Mà EACAEAC

BE BC

  ( định lý quan hệ đường xiên hình chiếu ) 2

Từ  1 và  2 DEBC

Bài tập 2:

ABC

 ; C  B 90 ; AHBC; HBC;DAH

a) So sánh HB, HC

b) So sánh DBC và DCB

c) So sánh ADB và ADC

Giải

a) So sánh HB, HC

BH là hình chiếu của BA trên BC

CH là hình chiếu của CA trên BC

Ta có C B ABAC( quan hệ giữa cạnh và góc đối

diện trong tam giác)

  ( quan hệ giữa đường xiên hình chiếu)

b) So sánh DBC và DCB

Ta có: HBHC( chứng minh trên )

DB là đường xiên có hình chiếu là BH

CD là đường xiên có hình chiếu là CH

  ( định lý quan hệ đường xiên hình chiếu )

Mà trong DBC có DBDC

DCBDBC ( quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)

c) So sánh ADB và ADC

Ta có : D1B2 90 ;D4 C2 90 ( định lý về quan hệ góc ngoài của tam giác)

Có C2 B2 ( chứng minh trên) D4 D1

ADB A C

Bài tập 3:

ABC

 ; A 90 ; AH BC; HBC;HCHBAB; HBE; HBHE

a) Chứng minh A CE cân

b) Chứng minh ABEđều

c) Chứng minh C  30

Giải

a) Chứng minh A CE cân

Xét ABH và AEH có:

AH chung

90

HBHE ( giả thiết)

E

    ( c.g.c)

E

   1

Ta có: HCHBAB( giả thiết)

   2

Từ  1 và  2 AEEC

E

A C

  cân tại E

b) Chứng minh ABEđều

Theo câu a) EA AB ABE cân tại A

Trong ABE có BE1 C A1 ( góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó)

Lại có A CE cân  B E1 C A12C

Mà B C  90

   

C

  ( chứng minh câu c)

60

B

  

ABE

  đều

Bài tập 4:

ABC

 ; B 90 ; C 90 ; MBC;BH AM H( AM); CK AM K AM

Tìm M để BH CK lớn nhất

Giải

Ta có : BHBM; CKCM( quan hệ đường

xiên đường vuông góc)

Đẳng thức có khi : BM AM và CM AM

Điều này xảy ra khi AM BC

Như vậy vị trí của M chính là chân đường vuông

góc kẻ từ A xuống thì BHCK đạt giá trị lớn

nhất

Bài tập 5:

ABC

 ;dựng đường thẳng d qua B cắt AC sao cho các khoảng cách từ A và C đến D là bằng nhau

Giải

AH CK

A C ( sole trong)

90

H K  

    ( g.c.g)

M là trung điểm của AC