Lũy Thừa Họ Iđêan Các Hàm Chỉnh Hình Và Sự Hội Tụ Của Hàm Green Đa Thức

Lời cam đoanTôi xin cam đoan nội dung trong luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giảitích với đề tài "Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàmGreen đa phức" được hoàn thàn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————————

LÊ THU TRANG

LŨY THỪA HỌ IĐÊAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH

VÀ SỰ HỘI CỦA CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————————

LÊ THU TRANG

LŨY THỪA HỌ IĐÊAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH

VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS DƯƠNG QUANG HẢI

Thái Nguyên - Năm 2017

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giảitích với đề tài "Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàmGreen đa phức" được hoàn thành bởi nhận thức của tôi, không trùng lặp vớiluận văn, luận án và các công trình đã công bố

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Người viết Luận văn

Lê Thu Trang

Lời cảm ơn

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học TháiNguyên dưới sự hướng dẫn của TS Dương Quang Hải Nhân dịp này tôi xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tình cùng những kinhnghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Sau Đại học, Ban chủnhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học TháiNguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và Viện Toán học đã giảng dạy vàtạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậyrất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn họcviên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã luônđộng viên, khích lệ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập,nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Người viết luận văn

Lê Thu Trang

với họ iđêan các hàm chỉnh hình 81.4 Sự hội tụ của họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm

Green đa phức kết hợp với họ iđêan các hàm chỉnh hình 151.5 Một số kết quả về sự hội tụ của hàm Green đa phức 19

2 Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm

2.1 Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình 262.2 Sự hội tụ của hàm Green đa phức 292.3 Một số trường hợp đặc biệt về sự hội tụ của hàm Green đa phức 37

Mở đầu

Hàm Green đa phức được giới thiệu và nghiên cứu đầu tiên bởi L Lempertnăm 1981 Cụ thể, hàm Green đa phức là nghiệm của bài toán cực trị được đặt

ra một cách tự nhiên đối với các hàm đa điều hoà dưới âm Từ đó, cho chúng

ta một dạng của bổ đề Schwarz, tức là có thể kiểm soát những modun của cáchàm chỉnh hình bị chặn mà cùng triệt tiêu tại một điểm cho trước Đặc biệt,trên một miền siêu lồi, Lempert đã chứng minh được rằng hàm Green đa phứcmột cực trùng với nghiệm của bài toán cực trị nhận được bằng cách nghiêncứu các đĩa giải tích đi qua điểm cực này Từ đó, hàm Green đa phức đóng vaitrò quan trọng trong lý thuyết thế vị phức Một số kết quả về hàm Green đaphức với các cực logarit trên miền siêu lồi và hàm Green đa phức với cực hữuhạn đã nhận được sự quan tâm và nghiên cứu bởi nhiều tác giả như: Lelong,Klimek, Demailly, Zaharjuta, E Amar, Thomas, Dan Coman,

Khi nghiên cứu về hàm Green đa phức, Lempert đã chỉ ra nó là nghiệm củatoán tử Monge - Ampère phức Tuy nhiên, vì toán tử Monge - Ampère phức

là không tuyến tính nên việc nghiên cứu toán tử này dẫn đến việc nghiên cứu

sự hội tụ của hàm Green đa phức với tập cực gồm hữu hạn điểm trên mộtmiền siêu lồi bị chặn trong Cn Vấn đề này đã được nhiều tác giả quan tâm

nghiên cứu như: Demailly, Lempert, Lelong, Magnusson, Rashkovskii, Láruson,Sigurdsson, Thomas và gần đây là Nguyễn Quang Diệu, Dương Quang Hải, Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi đã lựa chọn đề tài "Luỹ thừa họ iđêancác hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm Green đa phức".

Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu và nghiên cứu sự hội tụ của hàmGreen đa phức với tập cực gồm hữu hạn điểm cùng hội tụ về điểm gốc nhờ vàoviệc nghiên cứu sự hội tụ của họ iđêan lũy thừa các hàm chỉnh hình và sự hội

tụ của các hàm Green đa phức liên kết với họ iđêan này

Luận văn trình bày lại một số kết quả của các tác giả nêu trên, chủ yếu dựavào các tài liệu [2], [8] và [11] Các kết quả nghiên cứu được trình bày trongphạm vi 48 trang, trong đó có phần mở đầu, 2 chương nội dung, phần kết luận

và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: "Sự hội tụ của họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàmGreen đa phức kết hợp với một họ iđêan các hàm chỉnh hình" Luận văn trìnhbày các kiến thức cơ bản về hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dướicực đại, toán tử Monge - Ampère phức,hàm Green đa phức, họ iđêan các hàmchỉnh hình, một số kết quả về sự hội tụ của hàm Green đa phức

Chương 2: "Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm Green

đa phức" Đây là nội dung chính của luận văn Nội dung của chương này trìnhbày các kết quả về sự hội tụ của hàm Green đa phức với tập cực gồm hữu hạnđiểm cùng hội tụ về điểm gốc nhờ sự hội tụ của họ iđêan lũy thừa các hàmchỉnh hình và sự hội tụ của các hàm Green đa phức liên kết với họ iđêan này

Chương 1

Sự hội tụ của họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm Green đa phức kết hợp với một họ iđêan các

1.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 ChoX là một không gian tôpô, hàm u : X → [−∞, +∞)

được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi α ∈ R tập mở {x ∈ X :u(x) < α} là mở trong X

Định nghĩa 1.1.2 ChoΩ là một tập con mở trong Cn vàu : Ω → [−∞, +∞)

là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với −∞ trên bất kì thành phầnliên thông nào của Ω Hàm u được gọi là đa điều hòa dưới nếu với mỗi a ∈ Ω

và b ∈ Cn, hàm λ 7→ u(a + λb) là điều hòa dưới hoặc trùng −∞ trên mỗithành phần của tập hợp {λ ∈ Cn : a + λb ∈ Ω} Trong trường hợp này, ta viết

u ∈ P SH(Ω) (Ở đây ký hiệu P SH(Ω) là lớp hàm đa điều hòa dưới trong Ω).Mệnh đề 1.1.3 [6] Hàm đa điều hòa dưới thỏa mãn nguyên lý cực trị trongmiền bị chặn, tức là nếu Ω là một tập con mở liên thông bị chặn của Cn và

u ∈ P SH(Ω), thì u là hằng hoặc với mỗi z ∈ Ω,

u(z) < sup

ω∈∂Ω

lim

y→ω y∈Ω

sup u(y)

Định nghĩa 1.1.4 Cho Ω là một tập con mở trong Cn Giả sử u : Ω →R là

một hàm đa điều hòa dưới Khi đó, u được gọi là cực đại nếu với mọi tập concompact G ⊂ Ω và mọi hàm nửa liên tục v trên G sao cho v ∈ P SH(G) và

v ≤ u trên ∂G, ta có v ≤ u trên G

Ký hiệu M P SH(Ω) là tập hợp các hàm đa điều hòa dưới cực đại trên Ω.Cho một miền Ω ⊂ Cn Ký hiệu U b Ω là tập con compact tương đối trong

Ω

Định nghĩa 1.1.5 Một miền bị chặn Ω ⊂ Cn được gọi là miền siêu lồi nếutồn tại một hàm đa điều hòa dưới âm, liên tục ρ : Ω → (−∞, 0) sao cho với

dV,

với dV là độ đo thể tích trong Cn gọi là toán tử Monge-Ampère phức

Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên Ω, tức là phiếm hàm tuyếntính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C0(Ω) trên Ω,

C0(Ω) 3 ϕ 7→

ZΩ

ϕ(ddcum)n =

ZΩ

ϕdµ, ∀ϕ ∈ C0(Ω)

Hơn nữa, µ không phụ thuộc vào việc chọn dãy {um} như trên, ta ký hiệu

(ddcu)n = µ và gọi là toán tử Monge-Ampère phức của hàm u

Ω với tập cực S được xác định như sau:

GΩS(z) := sup{u(z) : u ∈ P SH−(Ω), u(z) ≤ log|z − a| + O(1), ∀a ∈ S},

trong đó, ký hiệu P SH−(Ω) là tập hợp tất cả các hàm đa điều hòa dưới âmtrên Ω

Hàm Green đa phức có một tính chất cơ bản sau đây (xem [6])

1 Hàm Green đa cực bất biến dưới nhóm các tự đồng cấu của Ω Tổng quáthơn, nếu Ω0 b Cm là một miền siêu lồi và nếu f : Ω 7→ Ω0 là một ánh xạchỉnh hình thì với mọi z, a ∈ Ω, ta có

GΩ{a}(z) ≥ GΩ{f (a)}(f (z)) =: f ∗ GΩ{a}0 (z)

Đặc biệt, nếu f là song chỉnh hình thì GΩ{a} = f ∗ GΩ{a}0

2 GΩ{a}(z) là hàm đa điều hòa dưới âm với cực tại a

3 GΩ{a} là hàm đa điều hòa dưới cực đại trên Ω\ {a}

4 Nếu Ω ⊂Cn là một miền siêu lồi thì hàm GΩ(z, a) := GΩ{a}x(z) là liên tụctrên Ω × Ω

Hơn nữa, hàm Green đa phức GS là một đa điều hoà dưới hàm âm trên Ω

nên GS thỏa mãn tính chất sau đây

Mệnh đề 1.2.2 Giả sử Ωlà miền siêu lồi bị chặn trong Cn, cho S = {a1, a2, , aN}

là một tập hữu hạn các điểm trong Ω Khi đó, ta có các bất đẳng thức sau

NXj=1

là một hàm trong họ các hàm Green được định nghĩa ở vế phải Do đó, ta cóbất đẳng thức trên

Tiếp theo, chúng ta có một số ví dụ về hàm Green đa phức trên các đa đĩađơn vị

Ví dụ 1.2.3 Trên song đĩa đơn vị D2 ⊂ C2, hàm Green đa phức với cực tại

ω = (a, 0), a ∈ C được xác định bởi

G{(a,0)}(z) := max



log

z1 − a

1 − az1

log

... tụ họ iđêancác hàm chỉnh hình.

1.4 Sự hội tụ họ iđêan hàm chỉnh hình hội tụ

hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình

1.4.1 Giới hạn họ iđêan hàm chỉnh hình

Giả... đầy họ iđêan hàm chỉnh hìnhTrong phần này, để nghiên cứu xảy đẳng thức Mệnh đề1.4.4 trên, tức hàm Green đa phức kết hợp với iđêan giới hạn củamột họ iđêan hàm chỉnh hình Ω với giới hạn họ hàmGreen... đó, e(I) = `(I)

I iđêan giao đầy

1.3.3 Hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hìnhKhái niệm hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan hàm chỉnh hình? ?ược đưa nghiên cứu Rashkovskii