Landi g an introduction to noncommutative spaces and their geometry ( 1997 208s)

Any commuta-tiveC -algebra can be realized as theC -algebra of complex valued functionsover a locally compact Hausdor space.. The commutative algebraCM of continuous functions on acompac

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per il loro amore e la loro pazienza

These notes arose from a series of introductory seminars on noncommutativegeometry I gave at the University of Trieste in September 1995 during the XWorkshop on Dierential Geometric Methods in Classical Mechanics It wasBeppe Marmo's suggestion that I wrote notes for the lectures

The notes are mainly an introduction to Connes' noncommutative beautiful but bewildering landscape of Connes' theory The main dierencefrom other available introductions to Connes' work, notably Kastler's papers 86] and also the Gracia-Bonda and Varilly paper 130], is the emphasis onnoncommutative spaces seen as concrete spaces

ge-Important examples of noncommutative spaces are provided by mutative lattices The latter are the subject of intense work I am doing incollaboration with A.P Balachandran, Giuseppe Bimonte, Elisa Ercolessi,Fedele Lizzi, Gianni Sparano and Paulo Teotonio-Sobrinho These notes arealso meant to be an introduction to this research There is still a lot of work

noncom-in progress and by no means can these notes be considered as a review of erything we have achieved so far Rather, I hope they will show the relevanceand potentiality for physical theories of noncommutative lattices

1 Introduction: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1

2 Noncommutative Spaces and Algebras of Functions: : : : : : : 72.1 Algebras : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72.2 Commutative Spaces: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 112.3 Noncommutative Spaces: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 132.3.1 The Jacobson (or Hull-Kernel) Topology : : : : : : : : : : : : 142.4 Compact Operators: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 182.5 Real Algebras and Jordan Algebras: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19

3 Projective Systems of Noncommutative Lattices: : : : : : : : : : 213.1 The Topological Approximation: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 213.2 Order and Topology : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 233.3 How to Recover the Space Being Approximated : : : : : : : : : : : : 303.4 Noncommutative Lattices: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 353.4.1 The SpacePrimAas a Poset : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 363.4.2 AF-Algebras: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 363.4.3 From Bratteli Diagrams to Noncommutative Lattices : 433.4.4 From Noncommutative Lattices to Bratteli Diagrams : 453.5 How to Recover the Algebra Being Approximated : : : : : : : : : : 563.6 Operator Valued Functions on Noncommutative Lattices : : : : 56

4 Modules as Bundles : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 594.1 Modules : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 604.2 Projective Modules of Finite Type: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 624.3 Hermitian Structures over Projective Modules: : : : : : : : : : : : : : 644.4 The Algebra of Endomorphisms of a Module: : : : : : : : : : : : : : : 664.5 More Bimodules of Various Kinds : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67

5 A Few Elements of K -Theory: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 695.1 The GroupK0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 695.2 TheK-Theory of the Penrose Tiling : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 735.3 Higher-OrderK-Groups: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 78

6 The Spectral Calculus : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 83

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 836.2 The Dixmier Trace : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 846.3 Wodzicki Residue and Connes' Trace Theorem : : : : : : : : : : : : : 896.4 Spectral Triples : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 936.5 The Canonical Triple over a Manifold: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 946.6 Distance and Integral for a Spectral Triple: : : : : : : : : : : : : : : : : 986.7 Real Spectral Triples: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 996.8 A Two-Point Space: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1016.9 Products and Equivalence of Spectral Triples : : : : : : : : : : : : : : 102

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1057.1 Universal Dierential Forms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1057.1.1 The Universal Algebra of Ordinary Functions : : : : : : : : 1107.2 Connes' Dierential Forms: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1107.2.1 The Usual Exterior Algebra : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1127.2.2 The Two-Point Space Again : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1167.3 Scalar Product for Forms: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 118

8 Connections on Modules: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1218.1 Abelian Gauge Connections: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1218.1.1 Usual Electromagnetism: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1238.2 Universal Connections : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1238.3 Connections Compatible with Hermitian Structures: : : : : : : : : 1278.4 The Action of the Gauge Group: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1288.5 Connections on Bimodules: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 129

9 Field Theories on Modules: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1319.1 Yang-Mills Models: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1319.1.1 Usual Gauge Theory: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1349.1.2 Yang-Mills on a Two-Point Space: : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1359.2 The Bosonic Part of the Standard Model : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1379.3 The Bosonic Spectral Action: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1399.4 Fermionic Models: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1459.4.1 Fermionic Models on a Two-Point Space : : : : : : : : : : : : 1469.4.2 The Standard Model: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1479.5 The Fermionic Spectral Action: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 147

10 Gravity Models: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14910.1 Gravity a la Connes-Dixmier-Wodzicki : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14910.2 Spectral Gravity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15110.3 Linear Connections : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15510.3.1 Usual Einstein Gravity: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15910.4 Other Gravity Models: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 160

11 Quantum Mechanical Models on Noncommutative Lattices163

A Appendices: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 167A.1 Basic Notions of Topology: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 167A.2 The Gel'fand-Naimark-Segal Construction: : : : : : : : : : : : : : : : : 170A.3 Hilbert Modules: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 173A.4 Strong Morita Equivalence: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 179A.5 Partially Ordered Sets : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 182A.6 Pseudodierential Operators: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 184

References: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 189

Index: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 197

1 Introduction

tative (and/or quantum) geometry both in mathematics and in physics

In A Connes' functional analytic approach 32], noncommutative C algebras are the `dual' arena for noncommutative topology The (commuta-tive) Gel'fand-Naimark theorem (see for instance 65]) states that there is

-a complete equiv-alence between the c-ategory of (loc-ally) comp-act H-ausdorspaces and (proper and) continuous maps and the category of commutative(not necessarily) unital1C -algebras and -homomorphisms Any commuta-tiveC -algebra can be realized as theC -algebra of complex valued functionsover a (locally) compact Hausdor space A noncommutativeC -algebra willnow be thought of as the algebra of continuous functions on some `virtualnoncommutative space' The attention will be switched from spaces, which

in general do not even exist `concretely', to algebras of functions

Connes has also developed a new calculus, which replaces the usual ential calculus It is based on the notion of a real spectral triple (AHDJ)where A is a noncommutative -algebra (indeed, in general not necessarily

dier-a C -algebra), H is a Hilbert space on which A is realized as an algebra

of bounded operators, andD is an operator on H with suitable propertiesand which contains (almost all) the `geometric' information The antilinearisometryJ onHwill provide a real structure on the triple With any closed

n-dimensional Riemannian spin manifoldM there is associated a canonicalspectral triple withA=C1(M), the algebra of complex valued smooth func-tions onMH=L2(MS), the Hilbert space of square integrable sections ofthe irreducible spinor bundle overM andD the Dirac operator associatedwith the Levi-Civita connection For this triple Connes' construction givesback the usual dierential calculus onM In this case J is the composition

of the charge conjugation operator with usual complex conjugation

Yang-Mills and gravity theories stem from the notion of connection (gauge

or linear) on vector bundles The possibility of extending these notions to therealm of noncommutative geometry relies on another classical duality TheSerre-Swan theorem 123] states that there is a complete equivalence betweenthe category of (smooth) vector bundles over a (smooth) compact space and

1 A unitalC -algebras is aC -algebras which has a unit, see Sect 2.1

mutative algebras and module morphisms The space;(E) of (smooth) tions of a vector bundle E over a compact space is a projective module of

sec-C(M) of (smooth) functions over M and any

C(M)-module can be realized as the module of sections ofsome bundle overM

With a noncommutative algebra A as the starting ingredient, the

(ana-A.2One then develops a full theory of connections which culminates in the def-inition of a Yang-Mills action Needless to say, starting with the canonicaltriple associated with an ordinary manifold one recovers the usual gauge the-ory But now, one has a much more general setting In 38] Connes and Lottcomputed the Yang-Mills action for a spaceMY which is the product of

a Riemannian spin manifold M by a `discrete' internal space Y consisting

of two points The result is a Lagrangian which reproduces the StandardModel with its Higgs sector with quartic symmetry breaking self-interactionand the parity violating Yukawa coupling with fermions A nice feature ofspaceMY consists of two sheets which are at a distance of the order of theinverse of the mass scale of the theory Dierentiation onMY consists ofdierentiation on each copy ofM

in theY direction A gauge potentialAdecomposes as a sum of an ordinarydierential partA(1 0) A(0 1)which gives the HiggsQuite recently Connes 36] has proposed a pure `geometrical' actionwhich, for a suitable noncommutative algebra A (noncommutative geom-etry of the Standard Model), yields the Standard Model Lagrangian cou-pled with Einstein gravity The groupAut(A) of automorphisms of the al-gebra plays the r^ole of the dieomorphism group while the normal subgroup

Inn(A)Aut(A) of inner automorphisms gives the gauge transformations.Internal uctuations of the geometry, produced by the action of inner auto-morphisms, give the gauge degrees of freedom

A theory of linear connections and Riemannian geometry, culminating

in the analogue of the Hilbert-Einstein action in the context of tative geometry has been proposed in 26] Again, for the canonical tripleone recovers the usual Einstein gravity When computed for a Connes-Lottspace M Y as in 26], the action produces a Kaluza-Klein model whichcontains the usual integral of the scalar curvature of the metric on M, a

noncommu-MY

2 In fact, the generalization is not so straightforward, see Chapter 4 for a betterdiscussion

gravity-electromagnetism consisting of the usual gravity term, a kinetic termAlgebraicK-theory of an algebraA, as the study of equivalence classes of

A, provides analogues of topological variants of the `corresponding virtual spaces' On the other hand, cyclic coho-mology provides analogues of dierential geometric invariants.K-theory andcohomology are connected by the Chern character This has found a beautifulapplication by Bellissard ... spacePrimAof an algebraAwithits natural Jacobson topology Examples of such spaces turn out to be relevant

Gel''fand-in an approximation scheme to `contGel''fand-inuum'' topological spaces. ..

1 Introduction< /h3>

tative (and/ or quantum) geometry both in mathematics and in physics... the c-ategory of (loc-ally) comp-act H-ausdor spaces and (proper and) continuous maps and the category of commutative(not necessarily) unital1C -algebras and -homomorphisms Any commuta-tiveC