Các bài toán hay và khó THPT có lời giải chi tiết

Bộ tài liệu về chuyên đề các bài tập Toán hay và khó bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp11, 12 file word đuôi docx đã được soạn tương đối đầy đủcó lời giải chi tiết tất cả các bài tập giúp giáo viên và học sinh tham khảo thuận lợi trong việc giảng dạy và học tập,nhằm nâng cao kiến thức,chuyên môn không phải mất thời gian để soạn mà tập trung vào công việc khác, tiết kiệm được thời gian, tiền của cho giáo viên. Đây là tài liệu tham khảo rất bổ ích.

HỆ THỐNG CÁC BÀI TẬP HAY VÀ KHÓ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾTCâu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Một cái ao hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có một

mảnh vườn hình tròn có bán kính 10 m Người ta muốn bắc một câu cầu từ bờ AB của ao đến

vườn Tính gần đúng độ dài tối thiếu l của cây cầu biết :

- Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm O ;

- Bờ AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A và có trục đối xứng là đường thẳng

OA ;

- Độ dài đoạn OA và OB lần lượt là 40 m và 20 m;

- Tâm I của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng AE và BC lần lượt 40 m và 30 m.

Bờ AB là một phần của Parabol ( )P y: = −4 x2 ứng với x∈[ ]0; 2

Vậy bài toán trở thành tìm MN nhỏ nhất với ( )

Câu 2: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số m∈ −[ 2018;2018] để hàm số y= x2 + −1 mx−1 đồng biến trên (−∞ + ∞; )

A 2017 B 2019 C 2020 D. 2018

Lời giải Chọn D

x

⇔ ≤

+ , ∀ ∈x ¡ ( )1 Xét ( ) 2

≤+ , x∀ ∈¡ ⇔ ≤ −m 1.Mặt khác m∈ −[ 2018;2018] ⇒ ∈ −m [ 2018; 1− ]

Vậy có 2018 số nguyên m thoả điều kiện.

Câu 3: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y= f x( ) liên tục

trên các khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới Hỏi số đường tiệm cận đứngcủa đồ thị hàm số 2( )

Dựa vào bbt ta thấy:

Đường thẳng y= ln 2 cắt đồ thị y= f x( ) tại 1 điểm

Đường thẳng y= − ln 2 cắt đồ thị y= f x( ) tại 1 điểm

x x x

y= f − +x −x nghịch biến trên khoảng ( )1;3

Câu 5: Tập tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình

Câu 7: Tập tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình

Câu 9: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

Câu 10: Cho hàm số y= − +x3 4x2+1 có đồ thị là ( )C và điểm M m( );1 Gọi S là tập hợp tất cả các giá

trị thực của m để qua M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị ( )C Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng

Câu 12: Cho hàm số y= − +x3 4x2+1 có đồ thị là ( )C và điểm M m( );1 Gọi S là tập hợp tất cả các giá

trị thực của m để qua M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị ( )C Tổng giá trị tất cả các

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C đi qua M m( );1 và có hệ số góc k là: y k x m= ( − )+1

Để qua M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị ( )C điều kiện là hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm x phân biệt

và một nghiệm khác 0 ; hoặc phương trình ( )3 có nghiệm duy nhất khác 0

Phương trình ( )3 có nghiệm x=0 khi và chỉ khi m=0 Khi đó, phương trình ( )3 trở thành

Vì phương trình f x( ) =2018 có ba nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số y= f x( )12018

Theo giả thiết, ta có ( ) (2 )2

x− + −y = ⇔x2+y2 =6x+2y−5.Đặt t= +x 2y+1, ta có t− =6 (x− +3) (2 y−1) ( 2 2) ( ) (2 )2

t t P

Câu 17: Cho hàm số f x( ) = x4−4x3+4x2+a Gọi M , m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

hàm số đã cho trên [ ]0; 2 Có bao nhiêu số nguyên a thuộc [−4; 4] sao cho M ≤2m?

Câu 18: Cho hàm số f x( ) = x4−4x3+4x2+a Gọi M , m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

hàm số đã cho trên [ ]0; 2 Có bao nhiêu số nguyên a thuộc [−4; 4] sao cho M ≤2m?

Hướng dẫn giải Chọn A

Xét hàm số g x( ) = −x3 4x3+4x2+a trên [ ]0; 2

g x′ = x − x + x; g x′( ) =0

012

x x x

 ⇒ − ≤ ≤ −4 a 2 Do đó: có 3 giá trị của a thỏa mãn.

Vậy có tất cả 7 giá trị thỏa mãn

Câu 19: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm cấp hai trên ¡ Biết f′( )0 =3, f′( )2 = −2018 và bẳng xét

-HẾT -dấu của f′′( )x như sau:

Hàm số y= f x( +2017)+2018x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x thuộc khoảng nào sau đây?0

A. (−∞ −; 2017) B. (2017;+∞) C. ( )0; 2 D. (−2017;0)

Câu 20: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm cấp hai trên ¡ Biết f′( )0 =3, f′( )2 = −2018 và bẳng xét

dấu của f′′( )x như sau:

Hàm số y= f x( +2017)+2018x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x thuộc khoảng nào sau đây?0

Hàm số y= f x( +2017)+2018x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 = −a 2017∈ −∞ −( ; 2017)

Câu 21: Cho hàm số y x= 2+m( 2018−x2 + −1) 2021 với m là tham số thực Gọi S là tổng tất cả các

giá trị nguyên của tham số m để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại đúng hai điểm

phân biệt Tính S

A. 960 B. 986 C. 984 D. 990

Câu 22: Cho hàm số y x= 2+m( 2018−x2 + −1) 2021 với m là tham số thực Gọi S là tổng tất cả các

giá trị nguyên của tham số m để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt Tính S

TH2: ( )* có 2 nghiệm trái dấu −(m− < ⇔ >3) 0 m 3( )1

( )* có 1 nghiệm dương trên khoảng 0≤ <t 2018nên ta xét GTLN của m với 0≤ <t 2018

x y x

+

=+ , ∀ ∈ x 0; 2018), ta có

x x

= −



⇔  =Lập BBT ta có

Câu 23: Chọn ngẫu nhiên hai số thực a b, ∈[ ]0;1 Tính xác suất để phương trình 2x3−3ax2+ =b 0 có tối

đa hai nghiệm

M a b khi xét trên hệ trục tọa độ Oab .

+) Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán Ta có Ω là tập hợp các điểm M a b sao cho a ,( );

[ ]0;1

b∈ và chính là các điểm thuộc hình vuông OACB trên hình vẽ, do đó Ω =S OACB =1.+) Ω( )A là tập hợp các điểm thuộc hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đồ thị b=1, b a= 3,0

a= (phần gạch chéo trên đồ thị) Xét phương trình hoành độ giao điểm a3 = ⇔ =1 a 1

Do đó ta có đồ thị của hàm số f x( ) = −x3 3x +1.

Suy ra đồ thị hàm số ( )C :y= f x( ) = x3−3 x +1

Số nghiệm của phương trình x3−3x + = −1 m 1 là số giao điểm của đồ thị ( )C và đường

thẳng :d y m= −1

Để phương trình x3−3x + = −1 m 1 có 6 nghiệm thì d cắt ( )C tại 6 điểm

0< − < ⇔ < <m 1 1 1 m 2 Vậy 1

2

a b

≤ −



 ≤ <

Câu 28: Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị f x′( ) như hình vẽ

Xét hàm số g x( ) =2f x( )+2x3−4x−3m−6 5 với m là tham số thực Điều kiện cần và đủ

để g x( ) ≤0, ∀ ∈ −x  5; 5 là

53

53

m≥ f − C 2 ( )0

3

53

Câu 29: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số tan 2

tan

x y

m m m

53

m≥ f − C. 2 ( )0

3

53

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có g x′( ) =2f x′( )+6x2−4; g x′( ) = ⇔0 f x′( ) = −3x2+2⇔ = ∨ = ±x 0 x 5

Ta thấy g x′( ) ≥0, ∀ ∈ −x  5; 5 nên hàm số g x đồng biến trên ( ) − 5; 5.

Câu 31: Cho hàm số y= f x( ) Hàm số y= f x′( ) có đồ thị như hình vẽ Biết phương trình f x′( ) =0

có bốn nghiệm phân biệt a , 0 , b , c với a< < <0 b c

Mệnh đề nào dưới đây đúng

Câu 33: Cho hàm số y= f x( ) Hàm số y= f x′( ) có đồ thị như hình vẽ Biết phương trình f x′( ) =0

có bốn nghiệm phân biệt a , 0 , b , c với a< < <0 b c

Mệnh đề nào dưới đây đúng

A. f a( ) > f c( ) > f b( ) B f a( ) > f b( ) > f c( )

Chọn A

Ta có bảng biến thiên

f(c) f(b)

f(0) f(a)

+

+

c b

Câu 34: Cho hàm số f x( ) = −x3 6x2 +9x Đặt f k( )x = f f( k− 1( )x ) với k là số nguyên lớn hơn 1 Hỏi

phương trình f5( )x =0 có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt ?

Lời giải Chọn A

0 0

4 4

f f

+ Xét hàm số g x( ) = f x( )−3 có g x′( ) = f x′( ) nên g x( ) đồng biến trên (0;+∞) và

g = − nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số f x( ) = −x3 6x2+9x xuống dưới 3 đơn vị tađược đồ thị hàm số y g x= ( ) Suy ra phương trình g x( ) =0 có 3 nghiệm dương phân biệtthuộc khoảng ( )0; 4 .

=



⇔  = + f2( )x = f f x( ( ) ) =0 ( )

( )

03

Câu 35: Cho hàm số y x= −3 3mx2+3(m2−1)x m− 3−m , với m là tham số Gọi A , B là hai điểm cực

trị của đồ thị hàm số và I(2; 2− ) Tổng tất cả các số m để ba điểm I , A , B tạo thành tam

giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 5 là

Câu 36: Cho hàm số y x= −3 3mx2+3(m2−1)x m− 3−m , với m là tham số Gọi A , B là hai điểm cực

trị của đồ thị hàm số và I(2; 2− ) Tổng tất cả các số m để ba điểm I , A , B tạo thành tam

giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 5 là

Giả sử A m( + −1; 4m−2); B m( − −1; 4m+2) Ta có AB=2 5, ∀ ∈m R.

Mặt khác, vì IAB∆ có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R= 5 nên từ sin· 2

AB

R AIB = suy ra

·

2

AB AIB

m m

Câu 37: Cho hàm số f x( ) = −x3 6x2+9x Đặt f k( )x = f f( k− 1( )x ) với k là số nguyên lớn hơn 1 Hỏi

phương trình f6( )x =0 có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt?

Câu 38: Cho hàm số f x( ) = −x3 6x2+9x Đặt f k( )x = f f( k− 1( )x ) với k là số nguyên lớn hơn 1 Hỏi

phương trình f6( )x =0 có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt ?

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Bài toán sẽ được giải quyết nếu tìm được số nghiệm của phương trình f k( )x =3

+ Phương trình f x( ) =3 có ba nghiệm thuộc ( )0;4

+ Phương trình ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )

1 2

Như vậy phương trình f2( )x =3 có 9 nghiệm thuộc (0; 4 )

+ Bằng quy nạp ta chứng minh được phương trình f k( )x =3 có 3k nghiệm thuộc (0; 4 )

Từ đó, số nghiệm của phương trình f k( )x =0 là

Bài toán tổng quát: Cho hàm số f x( ) = −x3 6x2+9x Đặt f k( )x = f f( k−1( )x ) với k là số

tự nhiên lớn hơn 1 Hỏi phương trình f n( )x =0 có bao nhiêu nghiệm?

a a b

0 0

4 4

f f

=



- Đồ thị hàm số f x( ) = −x3 6x2+9x luôn đi qua gốc tọa độ

- Đồ thị hàm số f x( ) = −x3 6x2+9x luôn tiếp xúc với trục Ox tại điểm ( )3;0 .

+ Xét hàm số g x( ) = f x( )−3 có g x′( ) = f x′( ) nên g x( ) đồng biến trên (0;+∞) và

g = − nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số f x( ) = −x3 6x2+9x xuống dưới 3 đơn vị tađược đồ thị hàm số y g x= ( ) Suy ra phương trình g x( ) =0 có 3 nghiệm dương phân biệtthuộc khoảng ( )0; 4 .

+ Tổng quát: xét hàm số h x( ) = f x( ) −a, với 0< <a 4

Lập luận tương tự như trên:

- h( )0 = − <a 0 và h( )1 >0; h( )4 <4

- Tịnh tiến đồ thị hàm số f x( ) = −x3 6x2+9x xuống dưới a đơn vị ta được đồ thị hàm số

=



⇔  = + f2( )x = f f x( ( ) ) =0 ( )

( )

03

trình f x( ) =a, với a∈( )0;4 lại có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( )0; 4 Do đóphương trình f2( )x =3 có tất cả 9 nghiệm phân biệt

Suy ra phương trình f3( )x =0 có 32+ +3 2 nghiệm phân biệt

f x =c, với c∈( )0;4 lại có 81 nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( )0; 4 .

Do đó phương trình f5( )x =3 có tất cả 81.3 nghiệm phân biệt

C y= + x + +x Gọi M(0;m là điểm nằm trên trục tung mà từ đó kẻ được)

ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị ( )C Biết tập hợp các giá trị của m là nửa khoảng (a b Giá; ]

C y= + x + +x Gọi M(0;m là điểm nằm trên trục tung mà từ đó kẻ được)

ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị ( )C Biết tập hợp các giá trị của m là nửa khoảng (a b Giá; ]

x x

+

′ = +

+ +

- Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M(0;m và có hệ số góc là ) k ⇒ ∆: y kx m= +

- Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

2

2

12

2

21

Dựa vào BBT ta thấy: phương trình ( )1 có nghiệm 1 1

a b

x x

O

x y

t x

−

= , khi x>1 ta có 0< <t 1 Xét hàm số ( ) 2

Từ đó ta thấy, phương trình ( )1 có hai nghiệm thực phân biệt khi 16− < < −m 11

Do đó có 4 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.