Phương trình quy về bậc 2 bậc 3 bậc 4 - Phạm Thành Luân

Định tất các giá trị của tham số m để cho phương trình : Giả sử phương trình có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng.

Wan dé 4

PHUONG TRINH QUY VE BAC HAI

PHUONG TRINH BAC 3 - BAC 4

I KIEN THUC CAN NHO:

| PHUONG TRINH QUY VE BAC 2

Dạng 1: Phương trình trùng phương: axf +bx” +c=0 (a0)

Đặt t= x? (t>0) ta có phương trình : at? +bt+c=0

Dang 2: (x + a)(x+b)(x+c)(x+d) = k (k # 0)

Trong đó:a+b=c+d

Đặt t=(x+a)(x+b) với t>— oe ta có phương trình : — bì

tf +(cd—ab)t—k=0

Dạng 3: (x+a)* +(x +b)* =k(k #0)

Dat t=x+ thi x+a=t+a, x+b=t-a véi œ==—— dua vé

phương trình trùng phương : tt +120°t? +204 -k =0

(x-a)* +(x—b)4 =k(k#0) Dat t=x—-2%

Dang 4: ax! + bx? +cx? + bx +a=0 (a #0)

+ Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

1

+ Chia hai vế cho X” và dat t= › t >2

X

Ta có phương trình : at” +bt+c—2a=0

ax* + bx? +x” —bx +a=0 (a #0)

+ Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của phương trình :

23

+Chia 2 vé cho x? va dat t=x——ta duoc phương trình :

X

at +bt+c+2a=0

c (dy ax? + bx? +cx* +dx=c=0 trong đó a, c z 0Ö và £-(2)

a + Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm

+ Chia 2 vế cho x”, làm giống như trên

ax“+bx+c ax’ +b'x+c

+ Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm

+ Phương trình được viết : m + * =k

ax+—+b ax+—+b

Đặt t=ax+ “và phương trình được viết : 4 =k

Dang 6: eH

Điều kiện : “ >0 Đặt t=(x+a)

2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3:

a Đa thức :

Đa thức bậc n theo x (n eN) là biểu thức có dạng:

P(x) =agx" +a,x" | + 4a, xX+a„ với ao #0

Các số ag,ai an gọi là các hệ số

œ là một nghiệm của đa thức P(x) khi P(œ) = Định lý Bezout : P(œ) =0 © P(x) chia hết cho x - a

b Phương trình bậc 3:

ax? + bx? +cx +d =0 (a #0) Phương trình bậc 3 luôn luôn có nghiệm

Dinh ly Viete:

24

Nếu phương trình : ax”+bx” +cx+d=0 (az0)

Có 3 nghiệm xị, xạ, X: thì :

C

a

a

a

Cách giải -

+ Nếu biết một nghiệm x = xạ, ta phân tích:

(1) ©(x—xe)(Ax” +Bx+C)

(1)

=0 + Nếu biết một hệ thức giữa các nghiệm thì ta dùng định lý viete

+ Dùng hằng đẳng thức biến đổi thành phương trình tích số với các

phương trình có dang :

A3 +BỶ =(A+B) ©(A+B)Ỷ - A7 - BỶ =0>3AB(A + B) =0

H CÁC VÍ DỤ :

Vi du I:

Giải phương trình : (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3 (*)

Giải (9) ©(x+l(x+4)(x+2)(x+3)=3 (**)

Đặt t=(x+1)(x+4) =x” +5x+4 Điều kiện tà ——=-

(**) > (x? +5x +4)(x? +5x +6) =3

2 — = t=1 ha

x? +5x+3=0

A=13

Véit=1: x7 4+5x4+4=-lo

4

vả 5+ v13

2

5-13

xX =

2

Vi du 2:

Định m để phương trình : (x—3)(x+1)+4(x—3) x1 =m (1) có

x —

nghiém

Giải

()<©t+4t-m=0 (2)

Để (1) có nghiệm, điều kiện cần (2) có nghiệm

Ta có: A'=4+m>0O<>m>-4 Thử lại với m > -4, phương trình (1) cũng có nghiệm

Với m>-—4, phương trình (2) có nghiệm t = tọ thế vào (*) :

x+1 x—3

Ta có 3 trường hợp : tạ=0:3)<x=-—lI (nhận)

x >3 x >3

(x—3)(x+]=t§ x” —2x—(3+t9)=0

©=x=l+ 4+t§ nhận

©x=l-v4+t2 nhận

Tóm lại phương trình (1) có nghiệm khi m >—4

Ví dụ 3:

Định a sao cho phương trình :

x* —ax? —(2a41)x* +ax+1=0 (1)

Có 2 nghiệm khác nhau và lớn hơn 1

Giải Với x=0: (1) =1=0 vô nghiệm

Chia hai vé cho x’:

x? -ax-(Qatl)+2+—=0

xX xX

> il 1

S| xo +— |-al x-— —-(Qa+1)=0 (2)

t-vt? +4

xX, =

2

(2 =x? +4 -2)

X

khi t>O>x, >1

(2) ot? +2-at-(a+l)=0 St? -at+1-2a=0 (3)

Để (1) có 2 nghiệm khác nhau và lớn hơn 1 là (3) có 2 nghiệm thoả:

A>0_ la —4(1-2a)>0

0<t¡<t¿ ©4jP>0<4l-2a>0

S>0 a>0

©265~4<a<2

Ví dụ 4:

Định k để phương trình : xt —4x3 48x =k (*)

Có 4 nghiệm phân biệt

Giải (*) là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị:

y=x" ~4x?+8x va y=k

Khao sat su bién thién cla ham sO: y =x* —4x> +8x

.MXD:D=R

.y'=4x)—12x” +8=4(x— 1)” -2x—2)

x=l=y=5 Cho y'=0<>

x=l1+43—>y=-4

27

Bảng biến thiên:

y - 0 + 0 - 0 +

Từ bảng biến thiên để phương trình (*) có nghiệm phân biệt khi và chỉ kh: -4<k<5

Ví dụ 5:

Định a để phương trình : x? 42x? +2ax +a’ +2a+1=0 c6 nghiém Với mỗi a đó, gọi x„ là nghiệm bé nhất của phương trình Định a để x„

nhỏ nhất

Giải

Ta có : xỈ+2x”+2ax+a“+2a+1=0

©a”+2(x, +la+(x2+2x7+l)=0 (9

Để (*) có nghiệm © A'=(x„ +1)“ —(xŸ +2x2+I)>0

©(x,+1“-(x2 +“ >0

©(x„¿+l+x2 +l)(x„+l—xƒ—1)>0

© (xj +x,+2)(—x2 +x„)>0

&x,(-x, +1) 20 (vi x2 +x, +2>0 Vx,) @O0<x, <1

Vậy x„ nhỏ nhất là xạ = 0, thì (*) ©(a+ 1° =0«€©a=-l

Ví dụ 6:

Tìm điều kiện của a, b để phương trình xÌ+ax+b=0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

Giải

Gọi xạ, xạ, X: là 3 nghiệm phân biệt của phương trình cho, lập thành một cấp số cộng: xị+xa=2x; (*)

Định lý viete cho: x, + X5 Hx =-2=0 & 3x, =0 x, =0 28

Thay xạ = 0 vào phương trình : x° +ax+b=0 ta dudc: b=0

=xX +ax=0<>x(x“+a)=0< 2

x“+a=0 (**)

Để (**) có 2 nghiệm phân biệt và khác 0 © a<0

Vậy để phương trình cho có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số

cộng là :a<0,b=0

Ví dụ 7:

Biết phương trình xÌ+ px+q=0 cé6 3 nghiém x, X2, x3

Chứng minh : x; + x3 + Xã =3XIX¿X:

Giải

Vì xị, Xạ, x: là nghiệm của phương trình : xÌ+ px+q=0

Ta có :

x} + px; +q=0

2 + px, +q=0

Xã + px; +q=0

=> x; +x} +x} + p(X, +X +X3)+3q=0 (*)

Dinh ly viete cho: xX; +X, +X3= “AF O 5 XyXoX3= -= =-q

Thế vào (*) ta được:

x} + Xã + Xã —3XiXzaXs =Ũ © xỉ + x3 + x3 =3XIX¿Xa

Ví dụ 8:

Giả sử phương trình : x” -x” +ax+b=0 có 3 nghiệm thực phân biệt

Chứng minh rằng : a’ +3b>0

(Đại học quốc gia Hà Nội, khối A nim 1998)

Giải

Gọi xạ, Xạ, X: là nghiệm phân biệt của phương trình cho định lý viete

cho :

X1 +X) $X3 557 =]

C

XIÃ2 + X2X3 + X3Xy = A =a

D

X1XoX3 — ——— —b

A

Ta có : a CỐ : (X¡Xa +X¿zXa +XsXI)“ =(XIX;¿)“ +(XaX:)“ +(XzXI)“ +2XIX2X:a 2_— 2 2 2 19x x2

+2X/X2Xa + 2x3XX5

Sa’ = (X1 X95 } + (x;x3)“ + (x3x,)° + 2X)XoX3(Kj + Xo + X3) Sa’ = (X1 X95 } + (x;x3)“ + (x3x,)° —2b

=a“+2b=(xix¿)” +(x¿x:)“+(x¿x)Š ()

Ta có : x7 + vĩ >2xy y7 +z” >2yz

+

z?+x”>2zx

=.2(x7 +yˆ +z7)>2(xy + yz+zx) © x” +y” +z7 >xy+yz+7ZX (2)

Ấp dụng BĐT (2) ta có :

(XIX¿ “+ (X5X3 “+ (x3x,)° > XIXZX: + X2X3XI + X7XyXq

© (Xix¿)” +(XaX3)” +(XaXi)” >XiX¿Xz(Xi+X¿+X:)=—b (3)

Không có đẳng thức vì xị, xạ, x; đôi một khác nhau

(1) va 3) Sa? +2b>-b oa? +3b>0

Định m để phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt

x? —3mx? +2(m74+1)x-2m=0 (1)

Giai

(1) © (x —m)(x? —2mx +2) =0

x=m

f(x)=x”-2mx+2=0_ (2)

Để (1) có 3 nghiệm dương phân biệt © (2) có 2 nghiệm dương khác

m

m>0

P=2 >Ochién nhiên) 2m >0

S=2m>0

Vi du 10:

Gidi phuong trinh: x*-—4x=1 (*)

Giải (9) x44 (2x? +1) =x? +1) 44x41

© (x? +1)? =2(x+1)* =0

> (x? + V2x + V2 +1)(x? -J2x +1-V2)=0

x? +V2x+V2+1=0 VN

<>

x? -V2x+1-V2=06x,5 2s pea

Ví du II:

Cho phương trình : x? +x? -(m+2)x+m+1=0

Tìm các giá trị của m để phương trình có 3 nghiệm xạ, xạ, x; thỏa điều

kiện : xị< Xạ<< 2< X¿

Giải Đặt f(x)=xŸ+x” -(m+2)x+m+2

Điều kiện cần: Giả sử phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm xạ, xa, x; thỏa

dé bài, ta có: f(x) = (x —x))(K — X»)(x — x3) va

f2)<0<9-m<0<m>9

Điều kiện đủ: Giả sử ta có: m >9

f(0)=m+lI>0 và f(2) =9 —-m <0 >f(0).f(2)<0

Nếu tổn tại xạ e(0,2): f(x;) =0 (nghĩa là 0< xạ < 2 (1))

Vì lim x->+œ

=> Phương trình đã cho có l nghiệm x, €(2,m) sao cho f(x) = 0

(nghĩa là 2 < x: < m (2))

Vì lim,_._„ Í{x) = —=œ, nên tôn tạin < 0 mà f(n) < 0

—= f(0).f(n) <0 nên phương trình có nghiệm xị vớin<x:<0_ (3)

f(x) =+œ nên tổn tại m >2 mà f(m) >0 => f(2).f(m) <0

(1), (2), (3) —>xị <Xxaạ<2<X¿

Vaym>9

Vi du 12:

Giải phương trình :

Giải

Vì (3x + I)+(2x-3 )= 5x-2

Ap dụng hằng đẳng thức:

(A+B)? =A?4+B* +3AB(A +B)

1

x=——

(*) <2 3Gx +(x -3)(5x-2)=0 | 2x-3=0 | x=

x=—

5

32

4.11 Giải phương trình :

(x7 +3x—4)” +3(x7 +3x—4)=x+4

4.1 Định m để phương trình : x' -2(m +1)x” +2m+1=0 (ĐH Ngoại Thương —- Khối D Năm 2000)

có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng

II BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

4.12 Cho phương trình : x? +ax? +b=0 4.2 Định tất các giá trị của tham số m để cho phương trình : Giả sử phương trình có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng

xỶ +2(~2m)x” +(5— 7m)x + 2(m + 5) = 0 Chứng minh: 9a? — 100b =0

Có 3 phân biệt nhỏ hơn 1, biết rằng phương trình có 1 nghiệm không

phụ thuộc m

4.3 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình :

8x(2x* —1)(8x* —8x7 +1) =1

thỏa mãn điều kiện 0 < x< l

4.4 Giải phương trình: (x—243)°+(2x+A3)' =(@x-A3)”

4.5 Định m để phương trình : x? +3mx? —3x -3m+2=0

Có 3 nghiệm xị, x;, X3 VA Xp +X5 +X3 nho nhat

m

2

4.6 Định m để phương trình : x? + (x + 1)? =

x°+x+4+1]

Có 1 nghiệm duy nhất

4.7 Định a để phương trình sau có nghiệm:

x'+x?+2(a—2)x—a” +4a—3=0

4.8 Giải phương trình: 8xÌ—6x=l

4.9 Giải phương trình: x +xÌ—7x7—x+6=0

4.10 Giải phương trình: 12xŸ+4x” —17x+6=0

Biết phương trình có 2 nghiệm mà tích bằng —1

Giai Tom Tat

4.1 Đặt t=x” Phuong trinh da cho © t? —2(m+)t+2m+1=0 (1)

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt <> (l) có 2 nghiệm

dương phân biệt

A'=(m+1) -(2m+l1)>0

©+P=2m+lI>0

S=2(m+I)>0

=m>-=> vamz#0O (*)

Với điều kiện (*), (1) có 2 nghiệm tị, ty thoa O<t, <t,

Phương trình đã cho có 4 nghiệm :

Xịi=-Nfạ <X2a =-tị <X: = Jt, <x, = Jt,

X1, Xo, X3, X¿ lập thành một cấp số cộng

©2x;=Xx;¿ạ+†+X¿€©(¿=9Ll (2)

t) +t =2(m+1) (3) Định lý viete cho :

(2), (3), (4) 29m? ~32m-16=0 m=4vm=—— thda (*)

4.2 Phương trình đã cho có thể viết:

(—4x? —7x +2)m +(x? +2x? +5x4+10)=0 (1)

Vì phương trinh da cho cé 1 nghiém khéng phu thuéc m thi phudng

trình (1) vô định theo m

ea -Tx+2=0

<Ằ>x=-2<]

x? 42x? +5x+10=0

Phương trình đã cho

g(x) = x“ —4mx +m + 5 =Ô

35

A'=4m-m—5>0

xi <x¿ <1 1.g()=1—-4m+m+5>0

g(—2) #0 2<l

YCBT = |

g(-2) =44+8m+m+540

4.3 Vì xe [0.1] ,đặtx =cos(t, f€ bộ Phương trình đã cho < §cost(2 cos” t— 1)(8 cost t—8cos’ t+ l=1 (*) Với cos”t—l=cos” t

2

8cos* t-—8cos*t+1= [eee -| tu

=2cos”“2t—1=cosf t

(*) © 8cost.cos’ t.cos* t=1< 8cost.sint.cos” t.cos* t = sint

§t=t+k2r v 8t=n-t+k2nz t=

=> các nghiệm phương trinh: x= cos Vo xX= cosS

4.4 Vi (x —2V3) + (2x + V3) =3x-v3

Áp dụng hằng đẳng thức: (A+ B)? =A? +B? +3AB(A+B) Phương trình cho :

x =2V3

> 3(x —2V3)(2x + ¥3)3x -V3)=0 © x=

3 X=——

3

36

4.5 Ta có : (Xi +Xa +X3)° = x; + Xã +X2 + 2(X,X> + XoX3 + X3X,)

Định lý viete cho :

X, +X) +X3 =-— =-3m

A => Xj +X5 +x3 =9m~ +626 2 2 2_ 9.2

Dấu “= “ xảy ra ©m=0

Thử lại, với m = 0 phương trình cho trở thành :

x? —3x+2=0 &(x-I)(x* +x-2)=0 x, =x, =1,x3 =-3

Vay m=0

4.6.MXDD=R

Phương trình cho es +x4l)- ND +x+=m (1)

2 Đặt t=x”+x+l= x+1 4333

2 4 4

(1) @2t° -t=m KH

3\ 3 Đặt y=2t” —l, y'=2t cho ¬

Bảng biến thiên:

Bảng biến thiên cho, để phương trình có 1 nghiệm duy nhất m > g

4.7 Phương trình cho ©a“—2(x+2)-a—x"”—x”+4x+3=0

A'=(x? +1) a=xt24+x°41 | x?4+x4+3-a=0 (1)

x7 -x+a-l1=0 (2) (1) c6 A; =4a-11, (2)c6 A, =-4a45

a=x+2—x“-]

Phương trình cho có nghiệm <> A¡ >0v A2 >0©a> 7 vm<Š

4.8 8x3 —6x =1 © 4x ~3x=5 Œ9

Đặt x = cost

(*) © Acos* t—3cost => ©cos”t= cos = cos{ E20)

2x TT _1U 2m _ 5m

7t

—+—-—

9 3 9 739 309

=> nghiệm X= cose, X =cos—, x =cos—

9

7t

4.9 Phương trình cho ©(x— 1)(x +2x” —5x—6) =0

©(x—1)(x+l)(xŸ +x—6)=0«{€©x=+lvx=2vx=-3 4.10 Gọi xị, xa là 2 nghiệm có Xị, Xa = -Ï

Định lý viete cho: x; X2 X3 = a = = ©(-lXx: = = SX; =s Phương trình cho :

2

©lx-+ (12x? +10x -12)=0 @x=tvxe2vx=-2

x° +3x-4=t

A11 Dat t=x74+3x—-4 Tacé hé:

t7+3t=x+4

x°4+3x-t-4=0 |x*4+3x-t-4=0 (1)

t=x

S6=0x+1+4)70 |

=-x-4

.t=2:(1) ©x?+2x-4=0<©x=-+5

.t=—x—4:(I)© x” +4x=0«€©x=-4,x=0

Vậy nghiệm x =0, x =-4,x=-1 4+V5

4.12 Đặt œ=x” >0, Phương trình cho trở thành: œ7 +aœ+b=0 (® Phương trình cho có 4 nghiệm phân biệt © phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt :

A=a“-4b>0

a<0<b 0<ơ¡<ơ;ạ©4P=b>0 Se),

a” —4b>0

S=-a>0

Khi đó ta có: xị =—-.jdŒ¿ <X¿ =— Ja, <x; = Ja, <x, < Joy

XI,Xa,Xa,x„ hợp thành một cấp số cộng

©X;¿ +X¿ =2X: ©0¿ =9XỊ

Định lý viete:

c© <> 9} -— | =b © 9a‘* -100b=0

39