Viết phương trình các đường thẳng d1 ; d2 lần lượt là ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox và phép vị tự tâm I tỉ số k = 2.. Viết phương trình của đường tròn C3 là ảnh của đường tròn C q
Trang 1CÁC BÀI TOÁN ÔN TẬP KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG I:
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
( Có hướng dẫn giải )
CÁC BÀI TOÁN TỌA ĐỘ :
Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x;y) thành điểm M'(x+1; y ) Chứng minh F là 1 phép tịnh tiến
Hướng dẫn : - Tính được MM'=(1;0 - Lí luận để suy ra F là phép tinh tiến
Bài 2 : Phép biến hình F biến một điểm M(x;y) thành điểm M’(ax;y)
a).Với các điểm M1 (x1;y1), N1(x2;y2) Tìm ảnh M’1 , N’1 lần lượtc của M1, N1 qua F
b).Tìm a để F là phép dời hình.
c).Với các giá trị a tìm được ở câu b, xác định cụ thể tên của phép dời hình trong
các phép dời hình cơ bản đã học ứng với mỗi a tìm được
Hướng dẫn : b) a = ± 1
c) a = 1, F là phép đồng nhất a = -1, F là phép đối xứng trục Oy
Bài 3 : Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng có phương trình x + 2y – 3 = 0
và điểm A(1, 1)
a) Hãy tìm ảnh của điểm A và d qua O
b) Hãy tìm ảnh của d qua phép vị tự tâm A tỉ số 3
Hướng dẫn :
a) Khi lấy đối xứng qua Ox, mọi điểm M(x, y) biến thành điểm M’(x, -y).
Do đó, A biến thành A’(2, -1) và ảnh của đ/thẳng là đường thẳng có PT 2x + y +1 = 0
b) M(x, y) dbiến M’(x’,y’) d’ sao cho:
'
2 2 '
4 2 '
y y
x x
Từ đó, ta có 2x' y' 12 0
Bài 4 : Trong mặt phẳng Oxy, hãy viết phương trình ảnh của đường thẳng (d) : y
= 2x - 3 và parabol (P) y = x2 + x + 2 qua phép tịnh tiến theo vectơ v 3;0
Hướng dẫn :
2 3
Trang 2Gọi M(x; y) (d) y = 2x - 3 (1)
'
v
Thay vào (1), ta được : y’ = 2(x’ 3) 3 = 2x’ 9 KẾT LUẬN : y = 2x -9
2 2
Gọi N(x, y) (P) y x 2 x 2. (2)
' 3 ' 3
'
v
Thay vào (2), ta được : y’ = (x’ - 3)2 + x’ - 3 +2 = x’2 - 5x’ + 8 KẾT LUẬN : y =
x2 - 5x + 8
Bài 5 : Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 -2x - 4y - 4 = 0 Hãy tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục (d) : 2x - y + 1 = 0
Hướng dẫn : x2 y2 2x 4y 4 0 x 12y 22 9
C
có tâm I(1; 2) và bán kính R = 3
Gọi (d1) là đường thẳng qua I(1; 2) và vuông góc (d0)
(d1) có VTPT n 1; 2
(d1) : 1(x - 1) 2(y - 2) = 0 (d1) : x + 2y - 5 = 0
Gọi H là giao điểm của (d) và (d1)
3
;
5
x
x y
H
y
Gọi I' §d I Khi đó H là trung điểm II’
'
'
1
1 12
5
I
I
x
I Y
Vậy PT đường tròn cần tìm là : 1 2 12 2 9.
Bài 6 : Cho đường tròn (C) : (x + 3 )2 + y2 = 9 Hãy viết phương trình đường tròn (C’) qua phép quay tâm O(0; 0) , góc quay 2
Hướng dẫn :
Tìm tọa độ M x y' '; ' là ảnh của M x y ; qua phép quay Q0;
Đặt Ox,OM ; OM a.
Ta có : OM OM; ' y M
Trang 3
' os + os
y = a.sin y' = a.sin +
' os cos -sin sin ' sin cos os sin
x x''x c x os -y.sin.sin y osc
C : x 32 y2 9
C có tâm I 3;0; bán kính R = 3
0;
2
' 3 os - 0.sin 0
' 3.sin - 0 os 3
Phương trình đường tròn cần tìm C' :x2y 32 9
(Bài tập tự giải ) :
Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ v (1; 2) và đường tròn (C) có phương trình: x2 y2 4x 4y 1 0
1) Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Oy
2) Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến T v
Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình 3x -4y + 1 =
0, đường tròn (C ) có tâm I(1; -2) và đi qua điểm M(1; 0)
1) Viết phương trình đường tròn (C )
2) Viết phương trình các đường thẳng (d1) ; (d2) lần lượt là ảnh của (d) qua phép đối xứng trục Ox và phép vị tự tâm I tỉ số k = 2 Viết phương trình đường tròn (C1) , (C2) là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Ox và phép vị tự tâm I tỉ số k = 2
3) Viết phương trình của đường tròn (C3) là ảnh của đường tròn (C ) qua phép đồng dạng là hợp thành của phép vị tự tâm I tỉ số k = 2 và phép tịnh tiến theo vectơ OB với B(-1;3).
Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(3; 0) , B(0; 4) , C(-1; -2) Gọi A'B'C' là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm I(1; -2) tỉ số 2 Tính chu
vi và diện tích của tam giác A'B'C'
Hướng dẫn : Chu vi tam giác A'B'C' bằng 2 lần chu vi tam giác ABC
Diện tích tam giác A'B'C' bằng 4 lần diện tích tam giác ABC
CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THÔNG THƯỜNG :
Trang 4Bài 1 Cho tam giác đều ABC, tâm O, ba đường cao AA1,BB1,CC1 Hãy tìm xem
có những phép biến hình nào biến ABC thành chính nó
Hướng dẫn :
Phép đồng nhất - Phép đối xứng trục : DAA 1; DBB 1; DCC 1 - Phép quay :
Q(O, 120O); Q(O, 240O)
Bài 2 : Cho 2 đường tròn (O,R) và (O’,R) Tìm các phép dời hình biến (O) thành (O’)
Hướng dẫn + ( ) ( ' )
T
+ ĐI(O) = (O’) ( I là trung điểm của OO’
+ Đd(O) = (O’) ( d là đường trung trực của OO’)
Bài 3 Cho hai điểm A,B và đường tròn (O ) không có điểm chung với đường thẳng AB.Qua mỗi điểm M chạy trên (O ) dựng hình bình hành MABN.Chứng minh rằng điểm N thuộc một đường tròn xác định
Hướng dẫn : MN ABkhông đổi Suy ra : Phép tịnh tiến theo AB biến M thành N
Vì M chạy trên (O ) nên N chạy trên (O’) là ảnh của (O ) qua T AB
Bài 4 Cho đường tròn (O,R) đường kính AB.Một đường tròn (O’,R’) tiếp xúc với (O,R) và AB lần lượt tại C và D.Đường thẳng CD cắt (O,R) tại I Chứng minh rằng I là trung điểm của cung AB
Hướng dẫn :
-C là tâm vị tự của (O ) và (O’)
- D thuộc (O’),I thuộc (O ),C,D,I thẳng hàng nên ( , ')
R
R C
V biến O thành O’,I thành D
-OI song song với O’D nên OI vuông góc với AB
-Kết luận: I là trung điểm của cung AB
Bài 5 :
Cho tam giác ABC với trọng tâm G Gọi A', B', C' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB
a) Phép vị tự nào biến A thành A’; biến B thành B’; biến C thành C’.
b) Chứng minh tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trực tâm của
tam giác A',B',C'
c) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh GO GH
2
1
Hướng dẫn
Trang 5a) GA GA
2
1 ' V ( G; 21 ): A A'
Tương tự : V ( G; 21 ): B B' , C C'
Kết luận
b) Ta có OA' BC và BC // B'C' nên OA' B'C'
Tương tự cm OB' A'C' đpcm
c) Ta có V ( G; 21 ): ABC A'B'C'
H là trực tâm tam giác ABC, O là trực tâm tam giác A'B'C' nên V ( G; 12 ): H
O
Bài 6: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Hãy xác định hai điểm M thuộc (O1) và N thuộc (O2) sao cho A là trung điểm của MN
Hướng dẫn : - Nêu được cách xác định vị trí 2 điểm M và N - Vẽ hình đúng
KKKK
Bài 7 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) , bán kính khác nhau và tiếp xúc ngoài tại
A Từ A vẽ hai tia AM, AM’ vuông góc với nhau M (O) ,
)
'
(
M và A’ là giao điểm thứ hai của (O’) với đường nối tâm OO’
a) Chứng minh rằng AM//A’M’
b) Chứng minh đường thẳng MM’ đi qua tâm vị tự của hai đường tròn (O) và
(O’)
Hướng dẫn
90 ' ' ˆ '
A M
b) I là giao điểm MM’ và OO’ vì MA//M’A’ (cùng vuông góc với M’A) nên M AˆO M'Aˆ'O do đó OMA đồng dạng với O'M'A' và
' ' //
' ' ˆ
'
O
M do đó I là tâm vị tự ngoài của hai đường tròn
Bài 8 : Cho tam giác ABC, trung điểm M của BC di động trên đường tròn (O;R)
cố định
a) Vẽ ảnh tam giác A’B’C’ của tam giác ABC qua phép vị tự tâm A, tỉ số k =
2/3
b) Khi M di động trên (O;R), A cố định, trọng tâm G của tam giác ABC chạy
trên đường nào ?
Hướng dẫn
a) Vẽ đúng, đầy đủ
b) Chỉ ra phép vị tự tâm A, tỉ số k = 2/3 biến M thành G
Trang 6Kết luận G chạy trên đường tròn tâm O’, bán kính r = 2/3 R(là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép vị tự nói trên
Bài 9 :
Cho tam giác ABC, dựng ở ngoài tam giác ấy 2 hình vuông ABDE và BCKF Gọi P là trung điểm của cạnh AC, H là điểm đối xứng của D qua B, M là trung điểm của đoạn FH
a) Xác định ảnh của 2 vectơ AB và BP qua phép quay tâm B, góc 900
b) CMR DF = 2BP và DF vuông góc với BP
Hướng dẫn :
a) Ta có
0
90
;
) (
BH BA
BD BH BA
A H
Q B
900 và Q B900 BA BH
Vì Q B900 A H; Q B900 C F nên Q B900 AC HF
b) Vì P là trung điểm của AC nên theo tính chất
của phép quay, ta có ảnh của P qua phép quay trên là
trung điểm M của HF
BM BP
BM BP BM
BP
Q B900
mà
DP BM
BF BM
//
2
1
Do đó,
BP DF
DF BP
2 1
Bài 10 : Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’ Gọi C1 và C2 lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA’ và BB’
Chứng minh rằng : OC1C2 đều
Hướng dẫn :
Xét phép quay Q tâm O với góc quay bằng góc lượng giác OA OB; Rõ ràng
A
B
C H
P M
F
K D
E
O
1 A’
B’
B
C2
Trang 7
0;
0;
0;
' '
Do C1 : C2 lần lượt là trung điểm của AA’, BB’ nên Q 0; C1 C2
2
0
OG OC
OC C1 2 đều (đpcm)
Bài 11: Cho tam giác ABC Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF và gọi O, P, Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng
1/ Gọi D là trung điểm của AB Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân đỉnh D
2/ Chứng minh AO vuông góc với PQ và AO = PQ
Hướng dẫn :
1/ Phép quay Q( ,90 )C 0 biến MB thành AI, nên MB bằng và vuông góc với AI
DP song song và bằng nửa BM, DO song song và bẳng nửa AI
Suy ra DP bằng và vuông góc với DO
2/ Phép quay Q( ,90 )D 0 biến OA thành PQ
Suy ra OA bằng và vuông góc với PQ
Bài 12 Cho hai phép quay Q A và Q B có tâm quay là A và B ( phân biệt ) và có cùng góc quay 900 Gọi F là hợp thành của Q A và Q B , F' là hợp thành của Q B và
A
Q Hãy chứng tỏ F và F' là những phép đối xứng tâm và nêu rõ cách xác định tâm đối xứng của các phép đó
Hướng dẫn Lấy điểm O sao cho tam giác OAB là tam giác vuông cân với góc (AO,AB) = (BA,BO) = 45 0
Khi đó, Q A là hợp tành của hai phép đối xứng trục Đ AOvà Đ AB, còn Q B là hợp thành của hai phép đối xứng trục Đ AB và Đ BO Vậy F là hợp thành của bốn phép đối xứng trục theo thứ tự : Đ AO, Đ AB, Đ AB, Đ BO, tức cũng là hợp thành của hai phép đối xứng trục Đ AO và Đ BO Vì AO vuông góc với BO nên F là phép quay tâm O góc quay 180 0, tức là phép đối xứng qua điểm O Chú ý rằng có thể xác định điểm O bởi điều kiện :
Tam giác OAB vuông cân và (OB,OA) = 90 0
Tương tự , F' là phép đối xứng qua tâm O' , sao cho O'AB là tam giác vuông cân
mà (OA,OB) = 90 0
Bài 13 Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông BCMN và ACPQ có tâm O và O'
Trang 8a) Chứng minh khi cố định hai điểm A, B và cho điểm C thay đổi thì đường thẳng NQ luôn luôn đi qua một điểm cố định
b) Gọi I là trung điểm AB Chứng minh rằng IOO' là tam giác vuông cân
Hướng dẫn
a) Xét Q Q A, B lần lượt là các phép quay tâm A, B với góc quay ( AQ, AC) = (BC,
BN ) = 900
Hợp thành của hai phép đó là phép đối xứng qua điểm H xác định Vì phép đối xứng tâm H biến Q thành N nên H là trung điểm của đoạn thẳng NQ, tức là
đường thẳng NQ luôn đi qua điểm H cố định
b) Cách 1 : Gọi Q Q O, O' là các phép quay có góc quay 900 với tâm quay tương ứng
là O và O' thì phép hợp thành F của chúng biến B thành A, Nhưng vì F là phép đối xứng tâm , nên tâmđối xứng là trung điểm I của AB Suy ra tam giác IOO' vuông cân tại đỉnh I
Cách 2 : Phép quay tâm C góc quay 900 biến A thành P và biến M thành B Bởi vậy, ta có AM = PB và AM PB Chú ý rằng IO là đường trung bình của tam giác ABM và IO' là đường trung bình của tam giác APB nên suy ra IOO' là tam giác vuông cân
Bài 14 : Cho hình bình hành ABCD, hai đỉnh A, B cố định, đỉnh C chạy trên
một đường tròn (O) Tìm tập hợp điểm D
Hướng dẫn : Nêu được: tồn tại T ( C ) D
mà C ( O ) D ( O ' )
Bài 15: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD = a, DC = b, còn hai đỉnh A, B cố định Gọi I là giao điểm của hai đường chéo
1 Tìm tập hợp các điểm C khi D thay đổi
2 Tìm tập hợp các điểm I khi C và D thay đổi
Hướng dẫn :
1/ Chọn u DC
, với u cố định
Phép tịnh tiến theo u biến D thành C
Kết luận 2/ Chứng minh: AI AB AC
AB b
Kết luận
Trang 9Bài 16: Cho đường tròn (O;R) Một điểm A cố định thuộc đường tròn, B và C di động trên đường tròn sao cho góc BAC không đổi (00 < α < 1800),
a) Tìm tập hợp trung điểm M của BC khi α quay quanh điểm A
b) Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC khi α quay quanh điểm A
Hướng dẫn :
a).Vì α không đổi nên độ dài đoạn không đổi : BC = 2Rsinα Từ đó ta có: OM= Rcosα
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn (O,Rcosα)
G
M
O
A
b) Ta có: AM
3
2
( , ) 3
( )
A
Suy ra G đường tròn ảnh V )(O,Rcos ) (O,'R)
3
2 , A ( , với R cos
3
2 ' R , AO 3
2 ' AO
Bài 17: Cho đường tròn (O) có đường kính AB Gọi C là điểm đối xứng với A qua B và PQ là đường kính thay đổi của (O) khác đường kính AB Đường thẳng
CQ cắt PA và PB lần lượt tại M, N
a) Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ.
b).Tìm quỹ tích các điểm M, N khi đường kính PQ thay đổi.
Hướng dẫn : a)
- Chứng minh đúng QB//AP
- Từ đó chứng minh được Q là trung điểm của CM
- Chứng minh tương tự N là trung điểm của CQ
b)
- Tìm ra đúng phép vị tự V(C,2)(Q) (M)
- Lý luận đúng quỹ tích của điểm M
- Lý luận tương tự đưa ra đúng quỹ tích của N
Bài 18 Cho đường tròn (O) đường kính AB và đường thẳng d vuông góc với
AB tại B Với đường kinh MN thay đổi của đường tròn ( MN khác AB), gọi P và
Q lần lượt là giao điểm của d với các đường thẳng AM và AN Đường thẳng đi qua M, song song với AB cắt đường thẳng AN tại H
1) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác MPQ.
2) Chứng minh rằng ABMH là hình bình hành.
Trang 103) Tìm quĩ tích điểm H.
4) Tìm quĩ tích trực tâm tam giác NPQ.
Hướng dẫn : a) MH PQ QH, PM nên H là trực tâm tam giác MPQ
b) AB//HM và AH//BM nên ABMH là hình bình hành
c) Từ câu b) có MH BA
Suy ra : T BA biến M thành H Quỹ tích H là ảnh của (O) qua TBA - trừ hai điểm là ảnh của A và B
Nếu ta lấy điểm C sao cho A là trung điểm của BC, thì quỹ tích H là đường tròn đường kính AC trừ đi hai điểm A và C
d) Điểm N đóng vai trò hoàn toàn tương tự như điểm M , nên quĩ tích trực tâm của tam giác NPQ cũng trùng với quĩ tích điểm H
Bài 19 Cho đường tròn (O) và điểm I không nằm trên đường tròn đó Với mỗi điểm A thay đổi trên đường tròn , dựng hình vuông ABCD có tâm là I
1) Tìm quỹ tích điểm C.
2) Tìm quỹ tích mỗi điểm B và D.
3) Khi điểm I trùng với O, có nhận xét gì về ba quỹ tích nói trên ?
Hướng dẫn
1) Phép đối xứng tâm ĐI với tâm I biến điểm A thành điểm C Vậy quĩ tích C là đường tròn ( )O1 , ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng đó
2) Phép quay Q tâm I góc quay 2 biến điểm A thành điểm B và phép quay Q' tâm I góc quay 2 biến điểm A thành điểm D Suy ra quĩ tích B và D lần lượt là các đường tròn ( )O2 , ( )O3 : ảnh của đường tròn (O) qua các phép quay Q và Q' 3) Khi I trùng với O thì ( )O1 , ( )O2 , ( )O3 cũng trùng với (O) nên ba quĩ tích nói trên đều là đường tròn (O)
Bài 20 Cho hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau và cắt nhau tại A,B Một cát tuyến di động qua A cắt hai đường tròn đó lần lượt tại P và Q
a) Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn PQ.
b) I là trung điểm của đoạn PQ Tìm tập hợp của điểm M trên PQ sao cho :
2
k
, với k 1
c) Tìm tập hợp trọng tâm G của ABI
Hướng dẫn
a) Lập luận đến PBQ cân tại B Lập luận đến AIB 90 0 Kết luận, Vẽ hình
b)AI ( )
2
1
AQ
AP Suy ra AM k AI Kết luận, Vẽ hình
