Phương trình tham số và phương trình xấp xỉ của đường cong đại số hữu tỷ phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————o0o——————– NGUYỄN THỊ THU TRANG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH XẤP XỈ CỦA ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ HỮU TỈ PHẲNG LUẬN VĂN TH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

———————o0o——————–

NGUYỄN THỊ THU TRANG

PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH XẤP XỈ CỦA ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ HỮU TỈ PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

Huế, tháng 11 năm 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

———————o0o——————–

NGUYỄN THỊ THU TRANG

PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH XẤP XỈ CỦA ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ HỮU TỈ PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

TS TRẦN QUANG HÓA

Huế, tháng 11 năm 2019

1.4.1 Định nghĩa kết thức của hai đa thức 181.4.2 Tính chất của kết thức 191.5 Đường cong đại số trong mặt phẳng 211.5.1 Không gian affine và đường cong đại

số trong mặt phẳng affine 211.5.2 Không gian xạ ảnh và đường cong đại

số trong mặt phẳng xạ ảnh 221.5.3 Mầm của đường cong đại số 23

2 Đường cong đại số hữu tỉ phẳng và phương

trình tham số của nó 252.1 Đường cong đại số hữu tỉ phẳng 262.2 Tham số hóa một số họ đường cong 282.2.1 Tham số hóa các đường cong bậc hai 282.2.2 Tham số hóa các đường cong bậc bậc ba 292.2.3 Tham số hóa của đường cong bậc d có

điểm bội d − 1 30

3 Phương trình xấp xỉ của đường cong đại số

hữu tỉ phẳng 323.1 Tìm phương trình xấp xỉ của đường cong đại

số hữu tỉ bằng kết thức 333.2 Tìm phương trình xấp xỉ của đường cong đại

số hữu tỷ bằng µ-cơ sở của đường cong phẳng 343.2.1 µ-cơ sở của đường cong phẳng 353.2.2 Phương trình xấp xỉ của đường cong

phẳng 373.2.3 Thuật toán tìm µ-cơ sở và phương trình

xấp xỉ của đường cong đại số hữu tỉphẳng 37Kết luận 42Tài liệu tham khảo 45

Ank Không gian affine n-chiều trên k

k[x1, , xn] Vành đa thức n biến x1, , xn

k(x1, , xn) Trường các hàm hữu tỉ theo biến x1, , xn

hf1, , fsi Iđêan sinh bởi f1, , fs

∂f

deg(f ) Bậc của đa thức f

deg(C) Bậc của đường cong đại số C

gcd(f, g) Ước chung lớn nhất của f và g

det(M ) Định thức của ma trận vuông M

genus(C) Mầm của đường cong đại số C

LT(f ) Phần tử dẫn đầu của đa thức f

LV(v) Vectơ hệ số dẫn đầu của vectơ đa thức v

multP(C) Bội của điểm P trên C

Res(f, g, x) Kết thức của hai đa thức f và g ứng với biến x

Sing(C) Tập các điểm kỳ dị của đường cong C

Syl(f, g, x) Ma trận Sylvester của hai đa thức f và g ứng với biến x

Syz(I) Môđun của các syzygy của iđean I

LỜI NÓI ĐẦU

Đường cong đại số là một đối tượng nghiên cứu cơ bảntrong hình học đại số Các đường cong đại số hữu tỉ có thểbiễu diễn bằng một vài cách khác nhau, chẳng hạn như biểudiễn tham số và biểu diễn xấp xỉ Biểu diễn tham số là mô

tả một đường cong đại số hữu tỉ như là ảnh đóng của mộtánh xạ hữu tỉ, trong khi đó biểu diễn xấp xỉ mô tả nó nhưtập nghiệm của một hệ phương trình đa thức Chẳng hạn,đường tròn đơn vị trong mặt phẳng có thể cho dưới dạng

x2+ y2 = 1, cũng có thể biểu diễn như là tập hợp các điểm

M (x, y) trong mặt phẳng với (x, y) = (1+t2t2,1−t1+t22), với t ∈ R

Cả hai cách biểu diễn này đều có vai trò quan trọng trongthiết kế đồ họa các đối tượng hình học bằng công cụ máytính Mỗi cách biểu diễn có những thuận lợi riêng tùy thuộcvào vấn đề chúng ta cần giải quyết Chẳng hạn, nếu chúng

ta muốn vẽ một đường cong hữu tỉ trên màn hình máy tính

thì sử dụng biểu diễn tham số của nó tốt hơn nhưng nếuchúng ta muốn biết xem một điểm cho trước có nằm trênđường cong đó không thì biểu diễn xấp xỉ giúp ta dễ dàngxác định hơn, cũng như xác định giao của hai đường cong thìmột đường biểu diễn tham số và đường còn lại biểu diễn xấp

xỉ giúp ta dễ dàng xác định giao của chúng hơn Vì vậy, việctìm một biểu diễn xấp xỉ của đường cong khi biết biểu diễntham số và ngược lại là một vấn đề cơ bản và quan trọngtrong lý thuyết cũng như trong ứng dụng và được nghiên cứurộng rãi bởi nhiều nhà khoa học, đặc biệt các nhà hình họcđại số và hình học mô hình Do đó, tôi chọn đề tài luận văn:

"Phương trình tham số và phương trình xấp xỉ củađường cong đại số hữu tỉ phẳng" để tìm hiểu sâu hơn

về vấn đề này

Khi xem xét một đường cong đại số, chúng ta cần xemxét xem chúng nằm trong một mặt phẳng hay không? Nếuđường cong C nằm trong một mặt phẳng thì chúng ta nói

C là đường cong đại số phẳng Tuy nhiên, một đường congtrong không gian nhiều chiều luôn có thể chiếu một cách songhữu tỉ vào một đường cong phẳng, nghĩa là tồn tại một phépchiếu từ đường cong trong không gian nhiều chiều vào đườngcong phẳng Sử dụng phép chiếu này và ánh xạ ngược của

nó, chúng ta có thể thu về nghiên cứu đường cong phẳng Do

đó, Luận văn này chỉ nghiên cứu các đường cong đại số hữu

tỉ phẳng, tức là tập hợp các điểm M (a, b) trong mặt phẳngsao cho f (a, b) = 0, trong đó f ∈ k[x, y] là một đa thức haibiến trên một trường số k

Đường cong phẳng có thể xét trong mặt phẳng affine

A2k hoặc trong mặt phẳng xạ ảnh P2

k Thật vậy, nếu đườngcong C ⊂ A2k được xác định bởi một đa thức f ∈ k[x, y] cóbậc tổng d, thì

cũng biểu diễn chính đường cong C

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương này hệthống một số kiến thức về vành đa thức nhiều biến, iđêantrong vành đa thức, kết thức của hai đa thức, đa tạp đại sốaffine và đa tạp đại số xạ ảnh Đặc biệt, chúng tôi giới thiệumột số khái niệm liên quan đến đối tượng nghiên cứu chính

của Luận văn là đường cong đại số affine và đường cong đại

số xạ ảnh

Chương 2: Đường cong đại số hữu tỉ phẳng vàphương trình tham số của nó Chương này trình bàymột cách có hệ thống về phương pháp tham số hóa đườngcong đại số hữu tỉ phẳng: chúng tôi nghiên cứu một số tínhchất của đường cong đại số hữu tỉ và đưa ra một số phươngpháp tham số hóa một số họ đường cong đặc biệt

Chương 3: Phương trình xấp xỉ của đường congđại số hữu tỉ phẳng Chương này trình bày một số phươngpháp tìm phương trình xấp xỉ của đường cong đại số hữu tỉphẳng: sử dụng kết thức của hai đa thức từ phương trìnhtham số và sử dụng µ-cơ sở của đường cong đại số

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số kết quả

cơ bản và cần thiết để sử dụng trong các chương sau Cụthể, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản liên quanđến vành đa thức một biến hoặc nhiều biến trên một trường,iđêan trong vành đa thức, phép chia Euclid trong vành đathức, đa thức bất khả quy và phân tích đa thức thành tíchcác đa thức bất khả quy, kết thức của hai đa thức và đườngcong đại số trong mặt phẳng Tài liệu tham khảo chính củachương này là [1, 2, 4, 5, 8]

1.1 Vành đa thức nhiều biến

1.1.1 Vành đa thức nhiều biến

Trong mục này, chúng ta nhắc lại định nghĩa và một sốtính chất cơ bản của vành đa thức n biến x1, x2, , xn với

hệ số trong một trường tùy ý k Chúng ta bất đầu với địnhnghĩa đơn thức

Định nghĩa 1.1.1 Một đơn thức trong x1, , xn là mộttích dạng

Để cho đơn giản, với mỗi α = (α1, , αn) là một bộ

n số nguyên không âm, chúng ta viết xα = xα1

1 xα2

2 · · · xα n

n Khi α = (0, , 0), thì ta viết xα = 1 Ta ký hiệu |α| =

α1+ · · · + αn là bậc của đơn thức xα

Định nghĩa 1.1.2 Một đa thức trong x1, , xn với hệ sốtrên k là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn (với hệ số trong k)

của những đơn thức Mỗi đa thức f sẽ được viết dưới dạng

x1, , xnvới hệ số trên trường k được kí hiệu là k[x1, , xn]

Hai đa thức bằng nhau: Hai đa thức f =P

βaxa Khi đó phép nhân hai

đa thức được định nghĩa như sau:

Mệnh đề 1.1.3 Tập hợp k[x1, , xn] với hai phép toáncộng và nhân lập thành một vành giao hoán có đơn vị, tagọi là vành đa thức theo các biến x1, , xn với hệ số trêntrường k.

1.1.2 Iđêan trong vành đa thức

Định nghĩa 1.1.4 Một tập con I ⊂ k[x1, , xn] là mộtiđêan nếu nó thỏa mãn:

1.2 Phép chia Euclid trong vành đa

Mệnh đề 1.2.2 Với mọi đa thức f, g ∈ k[x], ta đều có

deg(f g) = deg(f ) + deg(g)

deg(f + g) ≤ max{deg(f ), deg(g)}

Mệnh đề 1.2.3 (Thuật toán chia Euclid) Cho k là mộttrường và 0 6= g ∈ k[x] Khi đó, mọi đa thức f ∈ k[x] có thểviết dưới dạng

Hệ quả 1.2.4 Cho k là một trường và 0 6= f ∈ k[x] là một

đa thức bậc n Khi đó f có nhiều nhất n nghiệm trong k

Hệ quả 1.2.5 Cho k là một trường Khi đó mọi iđêan Itrong k[x] đều là iđêan chính, nghĩa là tồn tại f ∈ I sao cho

I = (f ) Hơn nữa, nếu I = (g), thì f = cg, c ∈ k

Định nghĩa 1.2.6 Ước chung lớn nhất của hai đa thức

f, g ∈ k[x] là một đa thức h thỏa mãn:

(i) h là ước của f và g

(ii) Nếu p là một đa thức khác và là ước của f và g thì p

1.3 Đa thức bất khả quy và phân

số của các gi nếu cần

Trong mục này, chúng tôi định nghĩa kết thức của hai

đa thức và một số tính chất của nó Các kết quả này được

sử dụng trong chương 4, áp dụng kết thức của hai đa thức

để tìm phương trình xấp xỉ của đường cong đại số hữu tỉphẳng

1.4.1 Định nghĩa kết thức của hai đa thức

Trước khi định nghĩa kết thức, chúng ta cần kết quảsau

Định nghĩa 1.4.1 Cho hai đa thức f, g ∈ K[x] bậc dương.Giả sử f, g có dạng

thức của ma trận Syl(f, g, x).

Res(f, g, x) = det(Syl(f, g, x))

Chúng ta thường ký hiệu Res(f, g) nếu không gây nhầm lẫn

gì về biến x của hai đa thức f và g

và chỉ khi Res(f, g) = 0

Để kết nối giữa kết thức và lý thuyết khử biến, đầu tiên

ta xét ví dụ sau: Xét hai đa thức f = xy−1 và g = x2+y2−4

Ta xem f và g là các đa thức theo biến x với hệ số là các đathức theo y Khi đó

Res(f, g, x) = y4− 4y + 1

Tổng quát hơn, nếu f, g là hai đa thức trong k[x, y] vớibậc dương theo biến x Khi đó, ta xem f và g là đa thức theobiến x với hệ số là các đa thức theo y và do đó Res(f, g, x)

là một đa thức theo y Nói cách khác, Res(f, g, x) khử biếnx

Định lý 1.4.5 Cho f, g ∈ k[x] là hai đa thức bậc dương.Khi đó, tồn tại hai đa thức A, B ∈ k[x] sao cho

ở đây ai, bi ∈ k[x2, , xn] và ta định nghĩa kết thức của f và

g tương ứng với biến x1 là định thức của ma trận Syl(f, g, x1)được xác định như trong Định nghĩa 1.4.1 Các tính chất củakết thức trong n biến cũng tương tự trường hợp một biến.Định lý 1.4.6 Cho f, g ∈ k[x1, , xn] có bậc dương theobiến x1 Khi đó

(i) Res(f, g, x1) là iđêan khử biến thứ nhất x1, tức là

Định nghĩa 1.5.2 Một đường cong đại số phẳng C ⊂ A2

k

là tập hợp

C = {(a, b) ∈ A2

k | f (a, b) = 0},trong đó 0 6= f (x, y) ∈ k[x, y]

1.5.2 Không gian xạ ảnh và đường cong đại

số trong mặt phẳng xạ ảnh

Ký hiệu Pn

k là tập tất cả các đường thẳng đi quađiểm (0, , 0) trong An+1k Ta thấy rằng, mỗi điểm x =(x0, x1, , xn) 6= (0, 0, , 0) xác định duy nhất một đườngthẳng như vậy và hai điểm x, y xác định cùng một đườngthẳng khi và chỉ khi tồn tại một số λ sao cho x = λy Trongkhông gian affine An+1k , ta định nghĩa x ∼ y khi và chỉ khitồn tại λ ∈ k sao cho x = λy Như thế

Pnk = An+1k / ∼được hiểu là tập tất cả các lớp tương đương của các điểm

An+1k Ta nói Pnk là không gian xạ ảnh n-chiều trên k

bội Đa thức F được gọi là đa thức định nghĩa của C.Bậc của C là deg(C) = deg(F ).

1.5.3 Mầm của đường cong đại số

P trên C là multP(C)

Điểm P được gọi là điểm đơn trên C nếu multP(C) =

1 Nếu multP(C) = r > 1 thì ta nói điểm kỳ dị với bội

r trên C; Tập hợp các điểm kỳ dị của đường cong đại số Cđược ký hiệu Sing(C)

Định nghĩa 1.5.6 Giả sử C là một đường cong đại số và

d = deg(C) Khi đó, mầm của C, ký hiệu genus(C), được

xác định bởi

genus(C) = 1

2

h(d − 1)(d − 2) − X

P ∈Sing(C)

multP(C)(multP(C) − 1)i

Chương 2

Đường cong đại số hữu

tỉ phẳng và phương trình tham số của nó

Biểu diễn tham số và biểu diễn xấp xỉ là hai biểu diễn

cơ bản của các đường và mặt trong thiết kế đồ họa với trợgiúp máy và mô hình hình học Tìm biểu diễn xấp xỉ củađường cong từ biểu diễn tham số được gọi là vấn đề xấp xỉhóa và ngược lại tìm biểu diễn tham số từ biểu diễn xấp xỉđược gọi là vấn đề tham số hóa Đây là hai vấn đề cơ bảntrong Hình học đại số cổ điển Trong chương này, chúng tôi

trả lời câu hỏi: các đường cong nào là hữu tỉ? Nếu C là đườngcong hữu tỉ, làm thế nào để tìm phương trình tham số củanó?

Định nghĩa 2.1.1 Một đường cong affine C ⊂ A2kđược địnhnghĩa bởi đa thức f (x, y) = 0, được gọi là hữu tỉ (hay tham

số hóa được) nếu tồn tại hai hàm hữu tỉ χ1(t), χ2(t) ∈ k(t)sao cho:

(a) Hầu hết t0 ∈ k ( hầu hết các phần tử trong t0 ∈ knhưng trừ một số hữu hạn phần tử trong k), các điểm(χ1(t0), χ2(t0)) ∈ C

(b) Hầu hết mọi điểm (x0, y0) ∈ C đều tồn tại t0 ∈ k saocho (x0, y0) = (χ1(t0), χ2(t0))

Trong trường hợp này, (χ1(t), χ2(t)) được gọi là tham sốhữu tỉ affine của C Phương trình f (x, y) = 0 được gọi làphương trình xấp xỉ của đường cong C Ta nói tham

số hữu tỉ (χ1(t), χ2(t)) là rút gọn nếu χi(t) = χi,1 (t)

χ i,2 (t) vàgcd(χi,1, χi,2) = 1 với mọi i = 1, 2

Định nghĩa 2.1.2 Một đường cong xạ ảnh C ⊂ P2k đượcđịnh nghĩa bởi đa thức thuần nhất F (x, y, z) = 0, được gọi

là hữu tỉ (hay tham số hóa được) nếu tồn tại ba đa thức

χ1(t), χ2(t), χ3(t) ∈ k[t] sao cho gcd(χ1, χ2, χ3) = 1

(a) Hầu hết t0 ∈ k ( hầu hết các phần tử trong t0 ∈ knhưng trừ một số hữu hạn phần tử trong k), các điểm(χ1(t0) : χ2(t0) : χ3(t0)) ∈ C

(b) Hầu hết mọi điểm (x0 : y0 : z0) ∈ C đều tồn tại t0 ∈ ksao cho (x0 : y0 : z0) = (χ1(t0) : χ2(t0) : χ3(t0))

Trong trường hợp này, (χ1(t), χ2(t), χ3(t)) được gọi là tham

số hữu tỉ xạ ảnh của C Phương trình F (x, y, z) = 0 đượcgọi là phương trình xấp xỉ của đường cong C

Ví dụ 2.1.3 Đường cong C ⊂ P2 được định nghĩa bởi đathức F (x, y, z) = x3+ y3− z3 không hữu tỉ

Định lý 2.1.4 Mọi đường cong hữu tỉ đều bất khả quy

Định lý 2.1.5 Một đường cong C là hữu tỉ nếu và chỉ nếugenus(C) = 0

2.2 Tham số hóa một số họ đường

cong

2.2.1 Tham số hóa các đường cong bậc hai

Mệnh đề 2.2.1 Mọi đường cong xạ ảnh bậc hai bất khả quy

C được định nghĩa bởi đa thức

F (x, y, z) = f2(x, y) + f1(x, y)z,trong đó fi là các đa thức thuần nhất bậc i theo x, y Khi đó,

C là hữu tỉ và một phép tham số hóa hữu tỉ của nó là:

P(t) = (−f1(1, t), −t.f1(1, t), f2(1, t))

Thuật toán tham số hóa đa thức bậc hai:

Cho đa thức định nghĩa F (x, y, z) của một đa thức bậchai bất quả quy C, thuật toán tìm một tham số hóa của Cnhư sau:

Bước 1: Xác định một điểm (a : b : 1) ∈ C

Bước 2: Đặt G(x, y) := F (x + a, y + b, 1) Phân tích

G(x, y) = G2(x, y) + G1(x, y)

Bước 3: Một tham số hóa của C là:

P(t) = −G1(1, t)+a.G2(1, t), −t.G1(1, t)+b.G2(1, t), G2(1, t)

2.2.2 Tham số hóa các đường cong bậc bậc

ba

Hệ quả 2.2.2 Một đường cong bậc ba bất khả quy là hữu tỉ

nếu và chỉ nếu nó chứa điểm bội hai

Thuật toán tham số hóa học đường cong bậc ba:

Cho đa thức định nghĩa F (x, y, z) của một conic bất

quả quy C, thuật toán tìm một tham số hóa của C như sau:

2.2.3 Tham số hóa của đường cong bậc d

có điểm bội d − 1

Định lý 2.1.5 suy ra kết quả sau

Hệ quả 2.2.3 Mọi đường cong bất khả quy bậc d có mộtđiểm bội d − 1 đều hữu tỉ Hơn nữa, trong trường hợp này Cchỉ có duy nhất một điểm kỳ dị

Định lý 2.2.4 Cho C là đường cong xạ ảnh bất khả quy bậc

d định nghĩa bởi đa thức

Chương 3

Phương trình xấp xỉ của đường cong đại số hữu tỉ phẳng

Trong chương này, chúng ta trình bày hai phương pháphiệu quả hơn để tìm phương trình xấp xỉ F (x, y) của C.Phương pháp đầu tiên là sử dụng kết thức của hai đa thức

và phương pháp thứ hai là sử dụng µ-cơ sở

x = χ1(t) = a(t)b(t),

y = χ2(t) = d(t)c(t),

(3.1)

ở đây a(t), b(t), c(t), d(t) ∈ k[t] thỏa mãn gcd(a, b) = gcd(c, d) =

1 Ta viết f (t, x) = xb(t) − a(t) và g(t, y) = yd(t) − c(t), thì

f, g ∈ k[t, x, y]

Định lý 3.1.1 Cho C là một đường cong hữu tỉ affine chobởi tham số (3.1) Khi đó, tồn tại số nguyên dương r và đathức bất khả quy F (x, y) ∈ k[x, y] sao cho

F (x, y)r = Res(f, g, t)

Hơn nữa, F (x, y) là phương trình xấp xỉ của C

Ví dụ 3.1.2 Tìm phương trình xấp xỉ của đường congfolium của Descartes cho bởi tham số

x = 3t

1 + t3 và y = 3t

2

1 + t3