Môđun đối bất biến qua tự đẳng cấu của phủ và ứng dụng

Tiếp theo, ta định nghĩa vành nửa hoàn chỉnh, trên thực tế, lớp vành nàyliên kết chặt chẽ với việc nghiên cứu về sự phân tích của tổng trực tiếp hữu hạncác môđun trao đổi.. Vành R được g

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯƠNG VŨ MINH TRIẾT

ĐỀ TÀI

MÔĐUN ĐỐI BẤT BIẾN

QUA TỰ ĐẲNG CẤU CỦA PHỦ

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS LÊ VĂN THUYẾT

Thành phố Huế - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứucủa riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứughi trong Luận văn là trung thực

Trương Vũ Minh Triết

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TS Lê Văn Thuyết,người Thầy đã tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình họctập tại lớp cao học cũng như quá trình hoàn thành Luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô khoa Toán trường Đại học Sư phạm

- Đại học Huế đã truyền đạt cho tôi những kiến thức bổ ích, làm nền tảng để tôihoàn thành Luận văn của mình

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các anh, các chị, các bạn cao học viên KhóaK26 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình đã luôn động viên, giúp đỡ tôi vượt quanhững khó khăn trong quá trình học tập, đặc biệt là trong quá trình hoàn thànhLuận văn

Trương Vũ Minh Triết

Mục lục

1.1 Môđun con cốt yếu và đối cốt yếu 6

1.2 Môđun địa phương và vành nửa hoàn chỉnh 8

1.3 Tính chất của môđun nội xạ và xạ ảnh 9

1.4 Môđun trao đổi 11

1.5 Vành chính quy (von Neumann) 16

1.6 Vành chính quy tự nội xạ phải 17

1.7 Cấu trúc khả nghịch của vành chính quy tự nội xạ phải 19

2 MÔĐUN TỰ ĐẲNG CẤU - ĐỐI BẤT BIẾN 24 2.1 Phủ xạ ảnh 24

2.2 Khái quát hóa khái niệm phủ 27

2.3 Tính chất của phủ 30

2.4 Môđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến 39

2.5 Vành hoàn chỉnh phải 46

2.6 Ứng dụng 48

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết môđun là một bộ phận của lý thuyết đại số kết hợp, đã vàđang được nhiều nhà toán học quan tâm Việc nghiên cứu lý thuyết môđun chođến ngày nay được phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trongnghiên cứu lý thuyết vành Một trong các hướng nghiên cứu vành là nghiên cứuđặc trưng vành qua tính chất của một lớp xác định nào đó các môđun trênchúng Vì thế ngày nay có khá nhiều lớp môđun được nghiên cứu Một trongcác hướng nghiên cứu của lý thuyết này là nghiên cứu môđun xạ ảnh, rồi tựa

xạ ảnh

Vào năm 1961, Johnson và Wong đưa ra khái niệm môđun tựa nội xạ Hainhà toán học đã chứng minh được định lý bất biến: M là môđun tựa nội xạ nếu

và chỉ nếu M là một môđun con bất biến hoàn toàn của E(M ) (bao nội xạ của

M), tức là, λM ⊇ M, với mọi λ ∈ End(E(M )R) Tiếp sau đó, Jain và Singh giớithiệu khái niệm môđun giả nội xạ vào năm 1967 Và đến năm 1969, Dickson vàFuller nghiên cứu về các môđun bất biến dưới các tự đồng cấu của bao nội xạ(tổng quát hóa khái niệm môđun tựa nội xạ) Mãi đến năm 2013, Lee và Zhoumới đưa ra khái niệm môđun bất biến dưới các tự đẳng cấu của bao nội xạ

Về lịch sử quá trình nghiên cứu các lớp môđun xạ ảnh, vào năm 1967, Wu vàJans giới thiệu khái niệm môđun tựa xạ ảnh (nếu M làM - xạ ảnh, thì M cũngđược gọi là tự – (hoặc tựa) xạ ảnh) và nghiên cứu một vài tính chất của cácmôđun này Họ đã chứng minh được rằng môđunM, có phủ xạ ảnh π : P −→ M

là môđun tựa xạ ảnh nếu và chỉ nếuKer(P ) bất biến dưới các tự đồng đồng cấucủa P

Sau đó, Mohamed, Singh và Muller đã nghiên cứu về môđun đối ngẫu tựaliên tục (môđun tựa rời rạc) và môđun đối ngẫu liên tục (môđun rời rạc) dướicác điều kiện(D 1 ), (D 2 )và(D 3 ) Chúng ta có thể xem xét các điều kiện(D 1 ), (D 2 )

và (D3) trên R - môđun phải M.

+ (D1) Với môđun con A bất kỳ của M, tồn tại phân tíchM = M1⊕ M2 saocho M1 ≤ A và A ∩ M2 là môđun con đối cốt yếu trong M2

+ (D2)Nếu với mọi môđun con N của M và M/N đẳng cấu với một hạng tửtrực tiếp của M, thì N là hạng tử trực tiếp của M

+ (D3) Nếu A, B là hai hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn M = A + B, thì

+R - môđun phảiM trên vành hoàn chỉnh phảiRvới phủ xạ ảnhf : P −→ M

là môđun tựa rời rạc khi và chỉ khi Ker(f ) bất biến dưới mọi tự đồng cấu lũyđẳng của P

Tiếp theo đó, vào năm 1976, L Bican giới thiệu khái niệm môđun giả xạảnh M là M - giả xạ ảnh thì nó được gọi là giả xạ ảnh Trong đó, môđun Mđược gọi là N - giả xạ ảnh nếu mọi môđun con A của M và với toàn cấu bất kỳ

g : N −→ M/A có thể nâng được đồng cấu f : N −→ M, nghĩa là biểu đồ saugiao hoán:

p : X −→ M được gọi là X - tiền phủ của môđun M với điều kiện X ∈ X và mỗi

với X0 ∈ X có thể bổ sung bởi một đồng cấu α : X0 −→ X để tạo thành một sơ

đồ giao hoán Ngoài ra, nếu sơ đồ

automor-Sau đó, vào năm 2015, P A Guil Asensio, D K T¨ut¨unc¨u và A K tava trong bài báo Modules invariant under automorphisms of their covers andenvelopes, Israel Journal of Mathematics, 206, 457-482, đã giới thiệu khái niệmmôđun X - tự đẳng cấu - đối bất biến Điều này chỉ ra vành tự đồng cấu củamôđun X - tự đẳng cấu đối bất biến là nửa vành chính quy

Srivas-Dựa chủ yếu vào hai bài báo trên và xuất phát từ định hướng của Thầyhướng dẫn GS.TS Lê Văn Thuyết, tôi đã chọn đề tài Môđun đối bất biến qua

tự đẳng cấu của phủ và ứng dụng để làm đề tài nghiên cứu cho Luận văn này.Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng, song Luận văn khó tránh khỏi sựthiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý từ quý Thầy (Cô) giáo cùng các anh,các chị, các bạn để Luận văn được hoàn thiện hơn

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Hầu hết các kiến thức trình bày trong chương này được trích dẫn từ các tàiliệu [1], [20], [31], Các kiến thức được trình bày trong chương này nhằm mụcđích tham khảo cho các nội dung của chương sau

Trong Luận văn này, vành R đã cho luôn được giả thiết là vành kết hợp cóđơn vị 1 6= 0 và mọi R - môđun được xét là môđun unita

Trong một ngữ cảnh cụ thể của Luận văn, nếu không có gì nhầm lẫn, khi

ta viết môđun M tức M là một R - môđun phải Tương tự, khi cho một đồngcấu giữa hai môđun và không nói gì thêm, ta hiểu đồng cấu đó là đồng cấu R -môđun phải Đối vớiR - môđun phải M, ta thường viết End(M ) để chỉ các vành

tự đồng cấu R - môđun phải của M

Ta sẽ nói rằng S là vành con của vànhR nếu (S, +) là nhóm con của (R, +),(S, ·) là nửa nhóm con của (R, ·), và S là vành Ta nói rằng vành con S là vànhcon unita của R nếu(S, ·) là nửa vị nhóm của (R, ·)

Linh hóa tử phải của môđun M sẽ được kí hiệu là r(M ) và linh hóa tử phảiphần tử m của M sẽ được kí hiệu là r(m)

Cho M là R - môđun, và N là môđun con của M; môđun M được gọi là bấtbiến hoàn toàn đối với M nếu với mọi tự đồng cấu f của M ta có f (N ) ⊆ N.Giao tất cả các môđun con cực đại của M được gọi là căn Jacobson của M và

ta kí hiệu nó là J (M ) Nếu J (M ) = 0 thì môđun M gọi là nửa đơn Jacobson;nên rõ ràng M/J (M )là nửa đơn Jacobson với mọi môđun M Nếu R là vành và

J (R) là iđêan cực đại, ta nói rằng R là vành địa phương

1.1 Môđun con cốt yếu và đối cốt yếu.

Trong mục này, ta nhắc lại một vài kiến thức về môđun cốt yếu và đối cốtyếu mà nó trở thành công cụ rất hữu ích cho các khảo sát sau này

Định nghĩa 1.1.1 (i) Một môđun con K của M là cốt yếu (lớn) trong M, kíhiệu: K ≤e M, trong trường hợp mọi môđun con L ≤ M,

K ∩ L = 0 suy ra L = 0.(ii)Một môđun conK củaM được gọi là đối cốt yếu (nhỏ) trong M, ký hiệu:

K  M, trong trường hợp với mọi môđun con L ≤ M,

Ví dụ 1.1.3 (a) Trong Z, chỉ có 0 là iđêan đối cốt yếu trong Z Tuy nhiên,mọi iđêan khác không trong Z đều là cốt yếu, vì cho hai iđêan khác không tùy

ý aZ, bZ thì 0 6= ab ∈ aZ∩ bZ.

(b) Mỗi môđun con xyclic trong QZ là đối cốt yếu trong QZ Thật vậy, cho

b0 = x(a0u) + x

0 (1 − 2a0t) ∈ A Từ đó suy ra a0

b0 ∈ A Vậy A =Q.

Tiếp theo, ta đưa ra định nghĩa về đơn cấu cốt yếu và toàn cấu đối cốt yếu

Định nghĩa 1.1.4 (i)Đơn cấuf : K −→ M được gọi là cốt yếu nếuIm(f ) ≤e M.(ii) Toàn cấug : M −→ N được gọi là đối cốt yếu nếu Ker(g)  M

Mệnh đề 1.1.5 Các mệnh đề sau là tương đương đối với môđun conK củaM:(i) K ≤e M,

(ii) Đồng cấu nhúng i : K −→ M là đơn cấu cốt yếu,

(iii) Với mọi môđun N và mọi h ∈ Hom(M, N )

Ker(h) ∩ K = 0 suy ra Ker(h) = 0.Theo kết quả về đồng cấu thì nếu f, h là đồng cấu, f h đơn cấu thì h là đơncấu Mặc khác

Hệ quả 1.1.6 Một đơn cấu f : L −→ M là cốt yếu nếu và chỉ nếu với mọi đồngcấu h nếu hf là đơn cấu thì h là đơn cấu

Đối ngẫu với Mệnh đề 1.1.5 và Hệ quả 1.1.6 ta có:

Mệnh đề 1.1.7 Các mệnh đề sau là tương đương đối với môđun conK củaM:(i) K  M,

(ii) Đồng cấu tự nhiên pK : M −→ M/K là toàn cấu đối cốt yếu,

(iii) Với mọi môđun N và mọi h ∈ Hom(N, M )

Im(h) + K = M suy ra Im(h) = M

Hệ quả 1.1.8 Một toàn cấu g : M −→ N là đối cốt yếu nếu và chỉ nếu với mọiđồng cấu h nếu gh là toàn cấu thì h là toàn cấu

Sau đây là các tính chất của môđun con cốt yếu và đối cốt yếu.

Bổ đề 1.1.12 Môđun con K ≤ M là cốt yếu trong M nếu và chỉ nếu với mỗi

0 6= x ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho 0 6= xr ∈ K

Từ đó ta có:

Mệnh đề 1.1.13 Cho K1 ≤ M1 ≤ M, K2 ≤ M2 ≤ M và M = M1⊕ M2, thì(i) K 1 ⊕ K 2  M 1 ⊕ M 2 ⇐⇒ K 1  M 1 và K 2  M 2

(ii) K 1 ⊕ K 2 ≤e M 1 ⊕ M 2 ⇐⇒ K 1 ≤e M 1 và K 2 ≤e M 2

1.2 Môđun địa phương và vành nửa hoàn chỉnh.

Trong mục này, ta sẽ đưa ra định nghĩa về môđun địa phương và vành nửahoàn chỉnh

MôđunM được gọi là môđun địa phương nếu nó xyclic vàM/J (M )là môđunđơn

Ta có thể chứng minh nếu e là phần tử lũy đẳng của vành R thì các phátbiểu sau tương đương:

(a) Vành eRe là vành địa phương,

(b) Môđun eRR là môđun địa phương,

(c) Môđun RRe là môđun địa phương

Tiếp theo, ta định nghĩa vành nửa hoàn chỉnh, trên thực tế, lớp vành nàyliên kết chặt chẽ với việc nghiên cứu về sự phân tích của tổng trực tiếp hữu hạncác môđun trao đổi

Vành R được gọi là vành nửa hoàn chỉnh nếu nó thỏa mãn một trong cácđiều kiện tương đương sau:

(a) Môđun RR là tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun địa phương,

(b) Môđun RR là tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun địa phương,

(c) Phần tử đơn vị của vành R là tổng hữu hạn của các lũy đẳng địa phươngtrực giao,

(d) Vành R/J (R) là vành nửa đơn và nếu x + J (R) là lũy đẳng của vànhR/J (R), thì tồn tại một phần tử lũy đẳng e ∈ R sao cho e − x ∈ J (R) (tức là cáclũy đẳng nâng được môđulô J (R), tuy nhiên, ta sẽ đưa ra định nghĩa chính xáctrong các mục sau)

1.3 Tính chất của môđun nội xạ và xạ ảnh.

Trong mục này, ta sẽ tổng quát hóa khái niệm môđun nội xạ và xạ ảnh.Cho môđun M và xét môđun N Lúc đó, ta nói rằng N là M - nội xạ nếu vớimọi môđun con M0 của M, mọi cấu xạf : M0 −→ N có thể mở rộng tới một cấu

xạ từ N tới M Ta nói rằng một môđun là tựa nội xạ nếu nó nội xạ với chínhnó

Tương tự, ta nói rằng môđunM làN - xạ ảnh nếu với mọi toàn cấug : N −→

N0 và mọi cấu xạ f : M −→ N0, tồn tại cấu xạ h : M −→ N sao chog ◦ h = f Tanói rằng một môđun là tựa xạ ảnh nếu nó xạ ảnh với chính nó

Cách tiếp cận này cho phép ta tổng quát một số tính chất của môđun nội

xạ và xạ ảnh với các lớp môđun khác

Định lý 1.3.1 Xét môđun M Lớp X gồm các môđun N sao cho M là N - nội

xạ đóng dưới các ảnh đồng cấu, các tổng trực tiếp và các môđun con

Lớp X gồm các môđun N sao cho M là N - xạ ảnh đóng dưới các môđuncon, các ảnh đồng cấu và các tổng trực tiếp hữu hạn

Ta nói rằng vành R là vành tự nội xạ phải nếu R là R - môđun phải nội xạ

Từ Định lý 1.3.1, ta có thể suy ra được tiêu chuẩn Baer, tuy nhiên, ta có thểphát biểu rộng hơn như sau:

Định lý 1.3.2 Nếu MR, NR là môđun nội xạ, và giả sử rằng NR chứa một bảnsao đẳng cấu của RR, thì M là môđun nội xạ Đặc biệt, R là tự nội xạ phải nếu

và chỉ nếu R là tựa nội xạ phải

Ta biết rằng mọi hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ (tương ứng xạảnh) là nội xạ (tương ứng xạ ảnh) và tích trực tiếp (tương ứng tổng trực tiếp)của các môđun nội xạ (tương ứng xạ ảnh) là môđun nội xạ (tương ứng xạ ảnh).Vậy, ta có tìm được tính chất tương tự đối với các môđun N - nội xạ không?Định lý sau cho thấy câu trả lời là có:

Định lý 1.3.3 Xét môđun N Tích trực tiếp M = Q

i∈I

Mi là N - nội xạ nếu vàchỉ nếu mỗi Mi là N - nội xạ Hạng tử trực tiếp của môđun N - nội xạ là môđun

f : M −→ N Lúc đó, M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của N và M là tựanội xạ

Cụ thể, nếu N không phân tích được, hoặc nếu f cốt yếu, thì f đẳng cấu

Phát biểu tương tự đúng trong trường hợp môđun N - xạ ảnh:

Định lý 1.3.5 Cho M là N - xạ ảnh và giả sử tồn tại toàn cấu g : N −→ M.Lúc đó, M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của N và do đó M là tựa xạ ảnh.Nếu N không phân tích được hoặc toàn cấu g đối cốt yếu, ta thu được g đẳngcấu

Từ định lý trên, ta thu được định lý sau đây:

Định lý 1.3.6 Nếu N0 là môđun con của N và N/N0 là N - xạ ảnh, thì N0 làhạng tử trực tiếp của N Đặc biệt, môđun xyclic xR là xạ ảnh nếu và chỉ nếutồn tại lũy đẳng e ∈ R sao cho r(x) = eR (nếu và chỉ nếu r(x) là hạng tử trựctiếp của RR)

Ví dụ 1.3.7 Trong M od −Z, Z/4Z là Z môđun tựa xạ ảnh nhưng không Z môđun phải xạ ảnh

-1.4 Môđun trao đổi.

Trong mục này, ta sẽ giới thiệu về môđun trao đổi Cụ thể, ta sẽ thấy rằngmôđun tựa nội xạ thỏa mãn tính chất trao đổi và một môđun MR có tính chấttrao đổi hữu hạn nếu và chỉ nếu vành R = End(MR) là vành trao đổi

Ta biết rằng nếu A, B và C là các môđun con của M sao cho C ≤ A, thì:

trong đó M ∼ = M0 và |I| ≤ τ, thì tồn tại Ni0 ≤ Ni sao cho

N = M0⊕ ( ⊕

i∈I

Ni0).Chú ý rằng trong trường hợp này ta có:

Ta nói rằng một môđun có tính chất trao đổi nếu môđun đó có tính chất τ

- trao đổi với mọi lực lượng τ Ta nói rằng môđun M có tính chất trao đổi hữuhạn nếu M có tính chất n - trao đổi với mọi lực lượng hữu hạn n

Bổ đề 1.4.1 Cho G, M0, P, N và (A i | i ∈ I) là các môđun sao cho

G = M0⊕ N ⊕ P = ( ⊕

i∈I

A i ) ⊕ P.Giả sử rằng

G/P = (M0+ P )/P ⊕ ( ⊕

i∈I

B i + P )/P,với Bi ≤ Ai với mọi i ∈ I; thì ta thu được

G = M0⊕ ( ⊕

i∈I

Bi) ⊕ P

Ta có thể suy ra một hệ quả của Bổ đề 1.4.1 như sau:

Định lý 1.4.2 ChoM là một môđun với tính chấtτ - trao đổi và choG, M0, P, N, (Ai |

i ∈ I) là các môđun sao cho |I| ≤ τ, M0∼= M và

G = M0⊕ N ⊕ P = ( ⊕

i∈I

Ai) ⊕ P.Khi đó, tồn tại Bi ≤ Ai sao cho Bi là hạng tử trực tiếp của Ai với mọi i ∈ I và

G = M0⊕ ( ⊕

i∈I

Bi) ⊕ P

Định lý tiếp theo cho ta thấy lớp các môđun τ - trao đổi đóng dưới các tổngtrực tiếp hữu hạn và các hạng tử trực tiếp.

Định lý 1.4.3 Cho M = M1⊕ M2 Lúc đó, M có tính chất τ - trao đổi nếu vàchỉ nếu M1 và M2 có tính chất τ - trao đổi

Dễ thấy, môđun hữu hạn sinh M có tính chất trao đổi nếu và chỉ nếu M làhạng tử trực tiếp của tổng trực tiếp các môđun hữu hạn sinh với tính chất traođổi hữu hạn

Bây giờ, ta muốn chỉ ra rằng với một môđun, tính chất trao đổi hữu hạntương đương với tính chất 2 - trao đổi

Định lý 1.4.4 Một môđun có tính chất trao đổi hữu hạn nếu và chỉ nếu môđun

đó có tính chất 2 - trao đổi

Định lý tiếp theo nói về tính chất trao đổi của môđun tựa nội xạ

Định lý 1.4.5 Cho M là một môđun tựa nội xạ Khi đó, M có tính chất traođổi

Ta nói rằng vành R có tính chất trao đổi nếu, với hai phần tử bất kỳ r1 và

r2 của R sao cho r1+ r2 = 1, thì tồn tại hai lũy đẳng e ∈ r1R, f ∈ r2R sao cho

trong Định lý 1.4.6(c) Kết quả tiếp theo cho ta sự nhất quán trong các thuậtngữ được sử dụng.

Định lý 1.4.7 Các mệnh đề sau là tương đương đối với vành R:

(a) Vành R là vành trao đổi,

(b) Môđun RR là môđun trao đổi (tương đương với điều kiện bên trái),(c) Nếu f1+ + fn = 1, với fi là các lũy đẳng, thì tồn tại các lũy đẳng trựcgiao ei, với i = 1, , n sao cho e1+ en = 1 và ei ∈ Rfi với mọi i (điều kiện nàyđối xứng trái phải),

(d) Mọi R - môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh là môđun trao đổi (điều kiệnnày đối xứng trái phải),

(e) Tồn tại vành con unita S của R sao cho S là vành trao đổi,

(f ) Vành R đẳng cấu với vành thương của một tích các vành trao đổi.Định lý 1.4.8 Các mệnh đề sau là tương đương với một R - môđun phải Mkhác không:

(a) Môđun M có tính chất trao đổi hữu hạn,

(b) Tồn tại sự phân tách tổng trực tiếp M = ⊕n

i=1

sao cho tất cả vành tự đồngcấu End(Mi) là vành trao đổi,

(c) Tồn tại các lũy đẳng trực giao e1, , en ∈ End(M ) sao cho

e1+ + en = 1

và eiEnd(M )ei là vành trao đổi với i = 1, , n

Cho vành R và I là iđêan hai chiều của R Ta nói rằng các lũy đẳng của Rnâng được môđulô I nếu, với phần tử lũy đẳngx + I ∈ R/I, thì tồn tại lũy đẳng

e ∈ R sao choe − x ∈ I Định lý tiếp theo chỉ ra rằng vành Rlà vành trao đổi nếu

và chỉ nếu R/J (R) là vành trao đổi và các lũy đẳng của R nâng được môđulô

J (R) Đây là kết quả đáng quan tâm và ta sẽ sử dụng nó chứng minh các kếtquả quan trọng trong chương tiếp theo

Định lý 1.4.9 Cho vành R Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương:(a) R là vành trao đổi,

(b) Tồn tại iđêan I ≤ J (R) sao cho R/I là vành trao đổi và các lũy đẳng cóthể nâng được môđulô I,

(c) Vành R/J (R) là vành trao đổi và các lũy đẳng của R nâng được môđulô

(b) Môđun M là tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun có các vành tự đồngcấu là vành nửa hoàn chỉnh,

(c) Vành End(M ) là vành nửa hoàn chỉnh

1.5 Vành chính quy (von Neumann).

Vành chính quy đóng vai trò nền tảng trong phần còn lại của Luận văn, nênbây giờ ta sẽ đưa ra và chứng minh một số kết quả sau

Ta nói rằng vành R là vành chính quy (von Neumann) nếu cho mỗi phần tử

a ∈ R, thì tồn tại a ∈ R sao cho a = axa Từ định nghĩa vành chính quy, ta sẽchứng minh định lý sau:

Định lý 1.5.1 Vành R là vành chính quy khi và chỉ khi mỗi iđêan phải hữuhạn sinh được sinh bởi một lũy đẳng

Chứng minh (<=)Giả sử mỗi iđêan phải hữu hạn sinh được sinh bởi một lũyđẳng Lấy a ∈ R, thì aR = eR với e là lũy đẳng của R Tức là, tồn tại x, x0 ∈ Rsao cho ax = e, ex0= a Khi đó ta có:

axa = ea = e2x0 = ex0= a,hay, vành R là vành chính quy

(=>) Giả giả rằng R là vành chính quy Dễ dàng chỉ ra rằng mỗi iđêan phảixyclic I = aR được sinh bởi một lũy đẳng Vì R là vành chính quy nên tồn tại

x ∈ R sao cho axa = a, suy ra axR = aR Để chứng minh mỗi iđêan phải hữuhạn sinh được sinh bởi một lũy đẳng, ta chỉ cần chứng minh nếu I được sinhbởi hai phần tử, thì I được sinh bởi một lũy đẳng

Thật vậy, giả sử I = x1R + x2R, thì tồn tại e1∈ R sao cho x1R = e1R và khi

đó I = e1R + (1 − e1)x2R Bây giờ, xét lũy đẳng e2∈ R sao cho (1 − e1)x2R = e2R

và đặt e3= e2(1 − e1) Khi đó, tồn tại x3 ∈ R sao cho e2 = (1 − e1)x2x3 Dễ dàngnhận thấy rằng e3e1 = 0, e1, e3 = 0, e2R = e3R và e3 là một lũy đẳng Vì vậy

I = e 1 R + e 3 R, e 1 + e 3 là một lũy đẳng và I = (e 1 + e 3 )R; hay, với e i r i ∈ e i R thì(e 1 + e 3 ) = e i r i = e i r i 

Từ Định lý 1.5.1, ta suy ra hệ quả căn Jacobson của một vành chính quy Rbằng không Thật vậy, nếu x ∈ J (R), thì xR = eR ⊆ J (R) với lũy đẳng e ∈ R,

nhưng (1 − e) khả nghịch, nên ta thu được e = 0 Bây giờ, ta chứng minh định

lý sau:

Định lý 1.5.2 Mọi vành chính quy đều có tính chất trao đổi

Chứng minh Định lý 1.5.1 chỉ ra vành chính quy thỏa mãn tính chất rằngnếu r1 và r2 là hai phần tử của S sao cho r1+ r2 = 1, thì tồn tại các lũy đẳng

e1 ∈ r1R và f ∈ r2R sao cho f + e = 1 

1.6 Vành chính quy tự nội xạ phải.

Trong mục này, chúng ta sẽ đưa ra một số kết quả về lý thuyết loại củacác vành chính quy tự nội xạ phải Sau đó, chúng ta sẽ phân tích cấu trúc khảnghịch của các vành này

Ta nói rằng R - môđun phải A là hữu hạn trực tiếp (directly finite) nếu Akhông đẳng cấu với bất kỳ hạng tử trực tiếp nào nào của nó Hay, ta nói rằng

A hữu hạn trực tiếp nếu với R - môđun phải B, A ∼ = A ⊕ B, thì B = 0 Nếu mộtmôđun không hữu hạn trực tiếp thì ta nói nó vô hạn trực tiếp (directly infinite)

Rõ ràng mọi môđun với chiều Goldie hữu hạn là môđun hữu hạn trực tiếp

Ta có thể chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 1.6.1 R - môđun phải A hữu hạn trực tiếp khi và chỉ khi với mọi

x, y ∈ EndR(A) sao cho xy = 1 thì yx = 1

Chứng minh Giả sử với mọi x, y ∈ EndR(A) sao cho xy = 1, yx = 1 Nếu

A không hữu hạn trực tiếp thì A = B ⊕ C với B ∼ = A qua đẳng cấu y1 và xét

y = ιB◦y1 Bây giờ, ta xác định môđun tự đồng cấux : A −→ Asao chox|B = y−11

và x|C = 0 Khi đó, ta thu được xy = 1 nhưng yx 6= 1

Bây giờ, ta chứng minh nếu tồn tại hai tự đồng cấux, y củaA sao choxy = 1

và yx 6= 1 thì A không hữu hạn trực tiếp Chú ý rằng yx là lũy đẳng và yxy = y

Ta có sự phân táchA = yx(A)⊕(1−xy)(A)vày(A) ⊆ yx(A)(tức làyxa(a) = y(a))

Suy ra y(A) = yx(A) và ta chỉ cần chứng minh y là đơn cấu, tuy nhiên điều này

dễ thấy vì y(a) = 0 kéo theo xy(a) = 1(a) = 0 

Từ Bổ đề 1.6.1, ta đưa ra định nghĩa sau:

Ta nói rằng vành R là hữu hạn trực tiếp nếuxy = 1 kéo theo yx = 1 với mọi

x, y ∈ R

Ta nói rằng lũy đẳng e trong vành R là aben (abelian) nếu vành eRe aben(tức là các lũy đẳng của eRe là tâm của eRe) Ta nói rằng lũy đẳng e của vành

R là hữu hạn trực tiếp nếu vành eRe hữu hạn trực tiếp Bây giờ, giả sử vành

R là vành chính quy tự nội xạ phải Khi đó, ta nói lũy đẳng e ∈ R trung thành(faithful) nếu 0 là lũy đẳng tâm duy nhất của R trực giao với e

Vành chính quy tự nội xạ phải được gọi là vành vô hạn tinh (purely infinite)nếu nó không chứa lũy đẳng tâm hữu hạn trực tiếp nào khác không

Bây giờ, ta đưa ra các thuật ngữ sau Giả sử R là vành chính quy tự nội xạphải:

(a) Vành R là loại I nếu R có lũy đẳng aben trung thành

Vành R là loại If nếu R là loại I và R hữu hạn trực tiếp

Vành R là loại I∞ nếu R là loại I và R vô hạn tinh

(b)Vành Rlà loạiII nếuR có lũy đẳng hữu hạn trực tiếp trung thành nhưngkhông có các lũy đẳng aben khác không

Vành R là loại IIf nếu R là loại II và R hữu hạn trực tiếp

Vành R là loại II∞ nếu R là loại II và R vô hạn tinh

(c) Vành R là loại III nếu nó không chứa các lũy đẳng hữu hạn trực tiếpkhác không

Định lý sau đưa ra đặc trưng của các vành chính quy tự nội xạ phải

Định lý 1.6.2 Vành chính quy tự nội xạ phải là tích trực tiếp duy nhất củacác loại vành If, I∞, IIf, II∞, III

Ta sẽ sử dụng Định lý 1.6.2 để đưa ra các sự phân tích khác của vành chính

quy tự nội xạ phải, nhưng trước khi đưa ra chúng, ta cần giới thiệu một vài địnhnghĩa và các kết quả khác.

Ta nói rằng ma trậnM = (ri,j)trên vànhR là ma trận đường chéo nếuri,j = 0với mọi i 6= j Vành R được gọi là vành các ước sơ cấp nếu mọi ma trận trên Rtương đương với một ma trận chéo

Bổ đề 1.6.3 Cho vành R là vành chính quy tự nội xạ phải không chứa các lũyđẳng aben khác không Khi đó, tồn tại các lũy đẳnge1, e2, sao chon(enR) ∼ = R R

(ở đây n(enR) là tổng trực tiếp của n lần enR)

Bổ đề 1.6.4 Với R là vành chính quy tự nội xạ phải thì các điều kiện sau tươngđương:

(a) Vành R là vành vô hạn tinh,

(b) Môđun nRR đẳng cấu với một môđun con của RR,

(c) Với mọi số nguyên dương n ta có nRR ∼= R

R,(d) E(R(ℵ0 )

Bây giờ, chúng ta có đủ tất cả các công cụ để chứng minh kết quả sau Bổ

đề này đưa ra phân tích cho phép chúng ta thảo luận về vành chính quy tự nội

xạ phải mà mỗi phần tử của nó là tổng của hai phần tử khả nghịch

Bổ đề 1.7.1 Cho S là vành chính quy tự nội xạ phải Khi đó, S = T1× T2,trong đó T1 là một vành tự nội xạ phải chính quy aben và T2 là một vành tự nội

xạ phải chính quy mà mọi phần tử của nó là tổng của hai phần tử khả nghịch.Chứng minh Theo Định lý 1.6.2, ta có thể biểu diễn

S = R1× R2× R3× R4× R5,trong đó R1 là loại If, R2 là loại I∞, R3 là loại IIf, R4 là loại II∞ và R5 là loạiIII Bây giờ ta đặt P = R2× R4× R5; hay ta có thể viết S = R1× R3× P, trong

ta thu được P là vành các ước sơ cấp Hơn nữa, trong M2 (P ), mọi phần tử A

có thể được viết dưới dạng tổng hai phần tử khả nghịch Thật vậy, tồn tại haiphần tử khả nghịch B, Q của M2 (P ) sao cho BAQ là ma trận chéo có dạng

R3 ∼= End

R 3 (R3) ∼ = End(2(e 2 R3)) ∼ =M2 (e2R3e2)

Vì M2 (e2R3e2) là vành các ước sơ cấp, nên mỗi phần tử của vành này là tổngcủa hai phần tử khả nghịch Do đó, mỗi phần tử trong vành R3 là tổng của haiphần tử khả nghịch

Hơn nữa, vành e2R3e2 là vành chính quy (vì với mỗi phần tử eae ∈ R, tồn tại

x ∈ R sao cho

eae = eaexeae = (eae)(exe)(eae),

tự nội xạ phải, nên theo Bổ đề 1.6.5, ta thu được R1 ∼=Q

Mn(Sn), trong đó Sn

là các vành chính quy tự nội xạ phải aben, và điều này chứng tỏ rằng mỗi phần

tử trong M n (S n ) là tổng của hai phần tử khả nghịch với n ≥ 2 Hay, ta có thểbiểu diễn

P × Q

n≥2

Mn (S 2 ) × R 3 = T 2 và T 1 = S 1.Vậy, ta kết luận S = T1× T2, trong đó T1 là một vành tự nội xạ phải chínhquy aben vàT 2 là một vành tự nội xạ phải chính quy mà mọi phần tử của nó làtổng của hai phần tử khả nghịch 

Định lý tiếp theo sử dụng trong việc chứng minh một tính chất quan trọngcủa môđun X - tự đẳng cấu đối bất biến ở chương sau

Định lý 1.7.2 Cho S là vành chính quy tự nội xạ phải và R là vành con của

S Giả sử rằng R ổn định dưới phép nhân trái bởi các phần tử khả nghịch của

S Khi dó, R cũng là vành chính quy

Ngoài ra, R = R1× R2, trong đó R1 là một vành chính quy aben và R2 là mộtvành chính quy tự nội xạ phải bất biến dưới phép nhân trái bởi các phần tử trong

S

Chứng minh Theo Bổ đề 1.7.1, ta cóS = T1× T2, trong đó T1 là vành tự nội

xạ chính quy aben và mỗi phần tử trong vành T 2 là tổng của hai phần tử khả

nghịch Vì R là vành con của S nên ta có thể viết R = R1× R2, trong đó R1 làvành con của T1 và R2 là vành con của T2.

Theo giả thiết, tất cả các phần tử khả nghịch trong S thì khả nghịch trong

R Bây giờ, chọn phần tử bất kỳ t2∈ T2 thì ta có thể biểu diễn t2 = φ + ψ, trong

đó φ, ψ khả nghịch trong T2 Suy ra, 1T1× φ và 1T1× ψ khả nghịch trong S Hay,

(1T1 × φ) ◦ (1R1 × 1R2) ∈ R và (1T1 × ψ) ◦ (1R1 × 1R2) ∈ R,

từ đó ta thu được, φ ◦ 1R2 ∈ R2 và ψ ◦ 1R2 ∈ R2 Khi đó ta có thể biểu diễn:

t2= t2◦ 1R2 = (φ ◦ 1R2) + (ψ ◦ 1R2) ∈ R2,điều này chứng tỏ rằng T2 ⊆ R2, tức là T2= R2

Cụ thể, ta có thể suy ra T2 ⊆ R, nên T2 là một iđêan chính quy của R Vìmọi vành chính quy aben là vành chính quy khả nghịch [10, Corollary 4.2], tức

là, nếu x ∈ T 1, thì tồn tại khả nghịch u ∈ T 1 sao cho x = xux Hơn nữa, u + 1T2khả nghịch trong S, nên nó cũng khả nghịch trong R Điều này chứng tỏ rằngR/T2 là vành chính quy Vậy, vì T2 là một idean chính quy và R/T2 là một vànhchính quy, nên theo [10, Corollary 1.3], ta suy ra R là vành chính quy

Tiếp theo, vì R = R1× R2, nên R1 và R2 cũng là vành chính quy Vì mọi lũyđẳng của R1 là lũy đẳng của T1 và T1 là vành chính quy aben, nên mọi lũy đẳngcủa R1 là tâm của T1, suy ra các lũy đẳng đó là tâm của R1 Do đó, R1 là vànhchính quy aben Mặc khác, ta đã chứng minh được R2 = T2, tức là, R2 là vànhchính quy tự nội xạ phải bất biến dưới phép nhân trái bởi các phần tử trong S



Ta sẽ kết thúc mục này bằng cách chỉ ra một số hệ quả thú vị của các định

lý trên

Mệnh đề 1.7.3 Cho S là vành chính quy tự nội xạ phải và R là vành con của

S Giả sử rằng R ổn định dưới phép nhân trái bởi các phần tử khả nghịch của

S Nếu R không có các ảnh đẳng cấu tới Z2, thì R = S

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh rằng mọi phần tử của S là tổng của haiphần tử khả nghịch (Vì khi đó,R ổn định dưới phép nhân trái bởi các phần tửkhả nghịch củaS Gọi 1R là đơn vị của vành R, ta suy ra được s = s · 1R ∈ R vớimỗi s ∈ S Do đó, R = S.) Thật vậy, giả sử rằng Z2 là một ảnh đồng cấu của Squa đồng cấu vành φ Suy ra, φ |R: R −→Z2 cũng là đồng cấu vành, mâu thuẫnvới giả thiết Do đó, mỗi phần tử củaS là tổng của hai phần tử khả nghịch theo[18, Theorem 1] 

Ta có thể nhìn nhận vấn đề trên theo một quan điểm khác Giả sử n là đặctrưng của vành S và tập U (S) = {s ∈ S|s khả nghịch} Bây giờ, ta xét ảnh củanhóm đại số Zn [U (S)] trong S qua cấu xạ gởi tất cả các phần tử của U (S) tươngứng với các phần tử trong S, và ta gọi nó là vành S0 Khi đó, vành S0 bất biếndưới phép nhân trái (hoặc phải) bởi các phần tử khả nghịch của S và S0 là tậptất cả các phần tử củaS có thể viết thành tổng hữu hạn các phần tử khả nghịch

Bổ đề 1.7.4 Cho S là vành chính quy tự nội xạ phải và n là đặc trưng củavành S Khi đó, S0 là một vành chính quy

Hệ quả 1.7.5 Cho S là vành chính quy tự nội xạ phải và n là đặc trưng củavành S Nếu S không có các ảnh đẳng cấu tới Z2, thì S = S0 Đặc biệt, trườnghợp này đúng nếu n > 2 và 2- n

Chứng minh Từ Mệnh đề 1.7.3, ta có thể suy ra ngay S = S0 Bây giờ, tachứng minh phần còn lại của hệ quả Nếu Z2 là một ảnh đồng cấu của S quacấu xạ φ và xét cấu xạ tự nhiên:

Z i > S.

Khi đó, ta thu được f = φ ◦ i là một đồng cấu vành, nhưng ta lại có 2Z+ nZ⊆ Ker(f ) nên Ker(f ) =Z, vô lý 

Chương 2

MÔĐUN TỰ ĐẲNG CẤU - ĐỐI BẤT BIẾN

Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số kiến thức về phủ xạ ảnh, sau đó

ta khái quát hóa khái niệm phủ trước khi đưa ra các tính chất của phủ Tiếptheo, ta thảo luận về môđun đối ngẫu tự đẳng cấu - bất biến và cuối cùng tanói tới vành hoàn chỉnh phải

2.1 Phủ xạ ảnh.

Trước hết, ta nhắc lại một số kiến thức về phủ xạ ảnh

Định nghĩa 2.1.1 Cho M là R - môđun phải Toàn cấu p : P −→ M được gọi

là phủ xạ ảnh (hoặc bao xạ ảnh) đối với M nếuP là môđun xạ ảnh cònp là toàncấu đối cốt yếu

Tuy nhiên, khác với trường hợp bao nội xạ, không phải mọi môđun đều cóphủ xạ ảnh Dĩ nhiên có thể thấy r2 : Z −→ Z2 là toàn cấu tự nhiên, nhưngKer(r2) = 2Z Z, vì 2Z+ 3Z=Z nhưng 2Z6=Z.

Mệnh đề 2.1.2 Cho M là R - môđun phải Giả sử p : P −→ M là phủ xạ ảnhcủa M Nếu Q là xạ ảnh và q : Q −→ M là toàn cấu thì Q có phân tích

Q = P0⊕ P ”,sao cho

(i) P0 ' P,

(ii) P ” ≤ Ker(q),

(iii) (q |P0 ) : P0−→ M là một phủ xạ ảnh đối với M

Chứng minh Do Q xạ ảnh nên ta có giản đồ giao hoán sau:

Ta cóplà toàn cấu đối cốt yếu và ph = q là toàn cấu nên theo Hệ quả 1.1.8, h

là toàn cấu Vì P là xạ ảnh nên h là chẻ ra, nghĩa là tồn tại đơn cấu g : P −→ Qsao cho hp = 1P và từ đó Q = Im(g) ⊕ Ker(h) Đặt P0 = Im(g) và P ” = Ker(h)

Ta có ngay (i) do g là đơn cấu Ngoài ra, (ii) đúng vì ph = q Ta có,

M = q(Q) = q(Im(g) ⊕ Ker(h)) = q(Im(g)) = q(P0),

Chứng minh Theo tính chất xạ ảnh của P, thì tồn tại đồng cấu h : P −→ Qsao cho p ◦ h = q Ta chú ý rằng Ker(P )  P và Ker(Q)  Q Từ đó ta cóKer(h)  P và h là toàn cấu Hơn nữa,Qxạ ảnh nênh là toàn cấu chẻ ra, nghĩa

là Ker(h) là hạng tử trực tiếp của P và do đó Ker(h) = 0 Vậy h là một đẳngcấu 

Ta nói rằng một môđun M, với phủ xạ ảnh (P, p), là môđun tự đồng cấu đối bất biến nếu với tự đồng cấu f bất kỳ nào của P, thì tồn tại một tự đồngcấu g của M sao cho p ◦ f = g ◦ p

-Ta nói rằng một môđun M, với phủ xạ ảnh (P, p), là môđun tự đẳng cấu đối bất biến nếu với tự đẳng cấu f bất kỳ nào của P, thì tồn tại một tự đồngcấu g của M sao cho p ◦ f = g ◦ p

-Tương tự như trường hợp nội xạ, ta có mệnh đề sau:

Định lý 2.1.4 Phủ xạ ảnh của môđun M là một tự đồng cấu - đối bất biến nếu

và chỉ nếu M là môđun tựa xạ ảnh

Như đã nói ở trên, bao nội xạ và phủ xạ ảnh có một sự khác biệt cơ bản:trong khi bao nội xạ tồn tại tại với mọi môđun thì phủ xạ ảnh không phải lúcnào cũng tồn tại Do đó, chúng ta không thể hy vọng rằng sẽ có một sự tương

tự hoàn toàn về tất cả các kết quả mà chúng ta đã chứng minh trong trườnghợp nội xạ sang trường hợp xạ ảnh mà không đòi hỏi thêm một số tính chất đặcbiệt nào cho vành R

Ví dụ 2.1.5 Z/4Z là một Z - môđun tựa xạ ảnh nhưng không phải Z - môđun

xạ ảnh Chú ý rằng Z/4Z không có phủ xạ ảnh (vì Z không thể phân tích được;

cụ thể hơn, phủ xạ ảnh duy nhất có thể trong trường hợp này có thể là (Z, π4),trong đó π4 là phép chiếu tự nhiên của Z trên Z/4Z, nhưng π4 không phải làmột toàn cấu đối cốt yếu)

Tiếp theo, chúng ta đi khái quát hóa khái niệm phủ