Matroid và ứng dụng của nó trong bài toán chặn trên cho chỉ số chính quy của tập các điểm béo

LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quảnghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PGS.TS PHAN VĂN THIỆN

Thừa Thiên Huế, năm 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quảnghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng

và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác

Huế, ngày 5 tháng 9 năm 2019

Học viên thực hiện

Trần Đức Khoa

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS.TS.Phan Văn Thiện Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, độngviên, giúp đỡ của thầy; sự tận tình giảng dạy, hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi của cácthầy cô trong Khoa Toán, Phòng Đào tạo Sau đại học - Trường ĐHSP - Đại học Huế.Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và tập thể lớp Cao học ToánĐại Số và lý thuyết số K26 - Trường ĐHSP Huế đã động viên giúp đỡ tôi trong quátrình học tập và làm luận văn này

Do đây là lần đầu tiên thực hiện công việc nghiên cứu, nên trong luận văn khôngtránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy,

cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn Em xin chân thành cảm ơn!

Huế, ngày 5 tháng 9 năm 2019

Học viên thực hiện

Trần Đức Khoa

MỤC LỤC

Chương 1 Các khái niệm cơ bản 4

1.1 Khái niệm matroid 4

1.1.1 Định nghĩa matroid 4

1.1.2 Matroid vòng 5

1.1.3 Cơ sở của matroid 6

1.1.4 Hạng của matroid 7

1.1.5 Bao đóng của matroid 7

1.1.6 Matroid đối ngẫu 9

1.2 Chỉ số chính quy của tập điểm béo 10

1.2.1 Vành phân bậc và môđun phân bậc 10

1.2.2 Hàm Hilbert và đa thức Hilbert 11

1.2.3 Vành tọa độ xác định bởi một tập điểm 12

1.2.4 Chỉ số chính quy của một tập điểm béo 13

Chương 2 Ứng dụng của matroid 15 2.1 Các kết quả về chặn trên cho chỉ số chính quy của tập các điểm béo trước kết quả của Uwe Nagel và Bill Trok [24] 16

2.1.1 Một số kết quả trước năm 1996 16

2.1.2 Giả thuyết Ngô Việt Trung và một số kết quả đạt được 17

2.2 Ứng dụng của matroid trong bài báo của Uwe Nagel và Bill Trok [24] 19

2.2.1 Matroid phân hoạch 19

2.2.2 Kỹ thuật quy nạp 20

2.2.3 Ứng dụng của matroid trong bài toán chặn trên cho chỉ số chính

quy của tập các điểm béo 21

MỞ ĐẦU

Lý thuyết matroid được giới thiệu lần đầu bởi Hassler Whitney vào năm 1935 vàđược B L Van Der Wearden đưa ra ngay sau đó một cách độc lập, tên matroid xuấtphát từ việc nghiên cứu tính độc lập của các cột trong ma trận

Lý thuyết matroid nghiên cứu về sự gắn kết của cấu trúc hình học mang tính chấttrừu tượng với cấu trúc hình học mang tính cụ thể Mặc dù ra đời khá muộn nhưng việcnghiên cứu matroid đã phát triển và trở thành một lý thuyết hoàn chỉnh và có nhiềuứng dụng với lý thuyết đồ thị

Từ năm 1961 đến nay, việc tìm chặn trên cho chỉ số chính quy của một tập điểmbéo là vấn đề đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm Để tìm ra được chặn trêntốt cho chỉ số chính quy của một tập điểm béo tùy ý là vấn đề khó, vì vậy người tathường giải bài toán chặn trên này cho tập các điểm béo có những điều kiện nào đó.Năm 1996, N V Trung đã đưa ra giả thuyết về chặn trên cho chỉ số chính quy củatập điểm béo tùy ý trong Pn, giả thuyết này đã tổng quát được các kết quả nghiên cứutrước đó

Giả thuyết: Cho Z = m1P1+ · · · + msPs là tập điểm béo trong Pn Khi đó

đã vận dụng lý thuyết matroid để chứng minh giả thuyết của N.V.Trung là đúng trongtrường hợp tổng quát và giải quyết bài toán chặn trên cho chỉ số chính quy của tập cácđiểm béo một cách hiệu quả

Trong luận văn này chúng tôi trình bày lại khái niệm matroid và các tính chất của

nó, sau đó chúng tôi nghiên cứu cách sử dụng matroid để giải bài toán chặn trên chochỉ số chính quy của tập các điểm béo của Uwe Nagel và Bill Trok [24]

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được trình bàytrong 2 chương như sau:

Chương 1 Các khái niệm cơ bản

Chương 2 Ứng dụng của matroid trong bài toán chặn trên cho chỉ số chính quy củatập các điểm béo

Trong chương 1, chúng tôi trình bày khái niệm matroid và chỉ số chính quy của tậpđiểm béo Trong chương 2, chúng tôi trình bày các kết quả về chặn trên cho chỉ số chínhquy của tập các điểm béo trước kết quả của Uwe Nagel và Bill Trok; tiếp theo chúngtôi trình bày tường minh ứng dụng của matroid trong bài báo của Uwe Nagel và BillTrok [24] Đây là kết quả chính của luận văn

Do thời gian và năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏinhững thiếu sót Chúng tôi rất mong nhân được sự góp ý, giúp đỡ của quý thầy cô vàbạn đọc

Chương 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Chương này trình bày một số khái niệm và ví dụ cơ bản về matroid như: matroidvòng; hạng của matroid; bao đóng của matroid; matroid đối ngẫu Các khái niệm đượcđưa ra sau đây dựa trên các tập con độc lập của tập nền E

Quy ước chung của chương:

Khi loại bỏ một phần tử e ra khỏi tập X, tôi sử dụng kí hiệu X − {e}, tức là

X − {e} = X \ {e} Với các tập hợp X, Y ta ký hiệu X − Y = X \ Y = {x ∈ X : x /∈ Y }

Ký hiệu V (r, F ) là một không gian vectơ r−chiều trên trường F , với r là một số tựnhiên

Các khái niệm, ví dụ cơ bản được trình bày trong chương này có trong tài liệu thamkhảo [1], [4], [14], [25], [26]

1.1.1 Định nghĩa matroid

Định nghĩa 1.1.1 ([25, trang 8]) Một matroid M là một cặp (E, I) gồm tập hữu hạn

E và họ I các tập con của E thỏa mãn các điều kiện sau:

Tên matroid được đặt bởi Whitney (1935) vì một lớp ví dụ cơ bản của các đối tượngnhư vậy phát sinh từ ma trận theo cách sau.

Mệnh đề 1.1.1 ([25, Mệnh đề 1.1.1]) Cho E là tập hợp gồm các nhãn cột của ma trận[A]mxn trên trường F và gọi I là tập các tập con X của E mà các cột có nhãn X là độclập tuyến tính trong không gian vectơ V (m, F ) Khi đó (E, I) là một matroid

Matroid thu được như trên từ ma trận A được gọi là matroid vectơ của A và được

ký hiệu là M [A]

1.1.2 Matroid vòng

Một tập phụ thuộc tối tiểu của một matroid M được gọi là một vòng của M vàchúng ta ký hiệu tập các vòng của M là C hoặc C(M )

Một vòng của M có n phần tử được gọi là một n-vòng

Các phần tử của tập I(M ) là tập con của E(M ) và nó không chứa phần tử của

C(M ) Do đó matroid được xác định duy nhất bởi các tập vòng C của nó

Bây giờ chúng tôi giới thiệu một số tính chất của C Ta có tính chất sau:

Bổ đề 1.1.2 ([25, Bổ đề 1.1.3]) Tập các vòng C của một matroid có các tính chất sau:C(1i) ∅ /∈ C

Mệnh đề 1.1.4 ([25, Hệ quả 1.1.5]) Cho tập hữu hạn E và C là họ các tập con của

E Khi đó C là tập các vòng của matroid M trên E khi và chỉ khi thỏa mãn các điềukiện sau:

C(1i) ∅ /∈ C

1.1.3 Cơ sở của matroid

Cho matroid M = (E, I) Ta gọi một tập độc lập lớn nhất trong M là cơ sở của

M Xét họ không rỗng B có phần tử là các tập con độc lập lớn nhất của E trong M

Vì các phần tử của B là các tập độc lập nên B là họ các tập độc lập của M hay B là

họ các cơ sở của M

Bổ đề 1.1.6 ([25, Bổ đề 1.2.1]) Nếu B1, B2 là cơ sở của matroid M thì |B1| = |B2|

Bổ đề 1.1.7 ([25, Bổ đề 1.2.2]) Nếu M là một matroid và B là tập hợp các cơ sở của

nó thì B thỏa mãn các điều kiện sau:

B(1i) B 6= ∅

B(2i) Nếu B1 và B2 là cơ sở của B và x ∈ B1− B2 thì có một phần tử y ∈ B2− B1sao cho (B1− {x}) ∪ {y} ∈ B

Điều kiện B(2i) là một trong những tiên đề đổi cơ sở của lý thuyết matroid

Định lý 1.1.8 ([25, Định lý 1.2.3]) Cho tập E và B là hợp các tập con của E thỏamãn điều kiện B(1i) và B(2i) Gọi I = {I ⊆ B|B ∈ B} Khi đó (E, I) là một matroid

có B là hợp các cơ sở của nó

Bổ đề 1.1.9 ([25, Bổ đề 1.2.4]) Các phần tử của B có cùng lực lượng

Hệ quả 1.1.10 ([25, Hệ quả 1.2.6]) Cho B là một cơ sở của matroid M Nếu e ∈E(M ) − B, thì B ∪ {e} chứa một vòng duy nhất C(e, B) Hơn nữa, e ∈ C(e, B)

Chúng ta gọi C(e, B) là vòng cơ bản của e đối với B

Mệnh đề 1.1.11 ([25, Mệnh đề 1.2.8]) Cho M là một matroid đồ thị Khi đó M ∼=

M (G) với G liên thông

1.1.4 Hạng của matroid

Cho matroid M = (E, I) Hàm số

r : 2E −→ N

X 7−→ r(X)gọi là hàm hạng của M thường được viết là rM Ngoài ra chúng ta thường viết r(M )thay cho r(E(M )) là hạng của matroid M

Ta thấy, r có tính chất sau:

R(1i) Nếu X ⊆ E thì 0 ≤ r(X) ≤ |X|

R(2i) Nếu Y ⊆ X thì r(Y ) ≤ r(X)

Hơn nữa, ta có bổ đề sau:

Bổ đề 1.1.12 Hàm hạng r của matroid M trên tập E thỏa mãn điều kiện sau:

R(3i) Nếu X và Y là các tập con của E, thì

r(X ∪ Y ) + r(X ∩ Y ) ≤ r(X) + r(Y )

Định lý 1.1.13 ([25, Định lý 1.3.2]) Cho tập hợp E và hàm số r : 2E −→ N thỏamãn các điều kiện R(1i) − R(3i) Gọi I là hợp các tập con X của E mà r(X) = |X|.Khi đó (E, I) là một matroid có hàm hạng r

Bổ đề 1.1.14 ([25, Bổ đề 1.3.3]) Cho tập E và hàm r : 2E −→ N thỏa mãn điều kiệnR(2i), R(3i) Nếu X và Y là các tập con của E sao cho, ∀y ∈ Y − X, r(X ∪ y) = r(X)thì r(X ∪ Y ) = r(X)

Mệnh đề 1.1.15 ([25, Mệnh đề 1.3.5]) Cho M là một matroid với hàm hạng r và giả

sử X ⊆ E(M ) Khi đó:

(i) X độc lập khi và chỉ khi |X| = r(X);

(ii) X là một cơ sở khi và chỉ khi |X| = r(X) = r(M );

(iii) X là một vòng khi và chỉ khi X 6= ∅ và ∀x ∈ X, r(X − {x}) = |X| − 1 = r(X)

1.1.5 Bao đóng của matroid

Trong không gian vectơ V , vectơ v nằm trong bao của {v1, v2, , vm} nếu các khônggian con sinh bởi {v1, v2, , vm} và {v1, v2, , vm, v} có cùng số chiều

Cho M là một matroid tùy ý có tập nền E và hàm hạng r Đặt

Bổ đề 1.1.19 ([25, Bổ đề 1.4.5]) Giả sử X ⊆ E và x ∈ E Nếu X ∈ I nhưng X ∪{x} /∈

I, thì x ∈ Cl(X)

Hệ quả 1.1.20 ([25, Hệ quả 1.4.6]) Cho một tập hợp E, một ánh xạ Cl: 2E → 2E làmột toán tử đóng của một matroid trên E khi và chỉ khi nó thỏa mãn các điều kiện sau:CL(1i) Nếu X ⊆ E, thì X ⊆ Cl(X)

CL(2i) Nếu X ⊆ Y ⊆ E, thì Cl(X) ⊆ Cl(Y )

CL(3i) Nếu X ⊆ E, thì Cl(Cl(X)) = Cl(X)

CL(4i) Nếu X ⊆ E, x ∈ E và y ∈ Cl(X ∪ {x}) − Cl(X) thì x ∈ Cl(X ∪ {y}).Toán tử đóng Cl(X) của X trong matroid M thỉnh thoảng cũng được ký hiệu là

ClM(X) hoặc X

Nếu X = Cl(X) thì X được gọi là một phẳng hoặc là một tập đóng của M Mộtsiêu phẳng của M là một phẳng hạng r(M ) − 1 Một tập con X của E(M ) là một tậpđóng của M nếu Cl(X) = E(M ).

Bổ đề 1.1.21 ([24, Bổ đề 1.4.8]) Giả sử M là một matroid và X ⊆ E(M ) Nếu x ∈Cl(X), thì Cl(X ∪ {x}) = Cl(X)

Mệnh đề 1.1.22 ([25, Mệnh đề 1.4.11]) Cho C là tập các vòng của một matroid M ,thì C thỏa mãn điều kiện sau:

C0(3i) Nếu C1, C2 là các phần tử của C, e ∈ C1∩ C2 và f ∈ C1− C2, thì tồn tại phần

tử C3 của C sao cho f ∈ C3 ⊆ (C1∪ C2) − {e}

Hệ quả 1.1.23 ([25, Hệ quả 1.4.12]) Cho C là hợp các tập con của tập E Khi đó

C là tập các vòng của một matroid trên E khi và chỉ khi C thỏa mãn các điều kiệnC(1i), C(2i) và C0(3i)

Định lý 1.1.24 ([25, Định lý 1.4.14]) Cho tập hợp E Hàm r: 2E → N là hàm hạngcủa một matroid trên E khi và chỉ khi nó thỏa mãn các điều kiện sau:

R0(1i) r(∅) = 0

R0(2i) Nếu X ⊆ E và x ∈ E thì r(X) ≤ r(X ∪ {x}) ≤ r(X) + 1

R0(3i) Nếu X ⊆ E và x, y ∈ E sao cho r(X ∪ {x}) = r(X ∪ {y}) = r(X) thì r(X ∪{x} ∪ {y}) = r(X)

1.1.6 Matroid đối ngẫu

Trong phần này, chúng tôi định nghĩa đối ngẫu của một matroid và nêu lên một sốtính chất cơ bản của nó

Định lý 1.1.25 ([25, Định lý 2.1.1]) Cho M là một matroid, đặt

B ∗(M ) = {E(M ) − B : B ∈ B(M )}

Khi đó B ∗(M ) là tập các cơ sở của một matroid trên E(M )

Bổ đề 1.1.26 ([25, Bổ đề 2.1.2]) Tập hợp B các cơ sở của một matroid M thỏa mãnđiều kiện sau:

B∗(2i) Nếu B1, B2 ∈B và x ∈ B2− B1, khi đó ∃y ∈ B1− B2 sao cho (B1− {y}) ∪{x} ∈B

Mệnh đề 1.1.27 ([26, Mệnh đề 3.3]) Cho G là đồ thị có tập cạnh E(G) Khi đó tậpcác liên kết của G là tập các vòng của một matroid trên E(G).

Bổ đề 1.1.28 ([25, Bổ đề 2.1.10]) Cho I và I∗ là các tập con phân biệt của E(M ) saocho I độc lập và I∗ đối độc lập Khi đó M có một cơ sở B và một đối cơ sở B∗, sao cho

I ⊆ B, I∗ ⊆ B∗ và B, B∗ phân biệt

Mệnh đề 1.1.29 ([25, Mệnh đề 2.1.9]) Với các tập con X của tập nền E của matroid

M , ta có: r∗(X) = |X| − r(M ) + r(E − X)

Trong phần này, chúng tôi ký hiệu Pn := PnK là không gian xạ ảnh n−chiều trêntrường đóng đại số K, R = K[x0, x1, , xn] là vành đa thức theo các biến x0, x1, , xnvới hệ tử trên K Các vành được xem xét trong luận văn là các vành giao hoán có đơn

vị 1 6= 0

Các khái niệm và định lý sau đây được tìm thấy trong [1], [3], [10], [23] và nhiềucuốn sách khác về Hình học đại số hay Đại số giao hoán

1.2.1 Vành phân bậc và môđun phân bậc

Định nghĩa 1.2.1 Vành S được gọi là vành phân bậc nếu S thỏa mãn hai điều kiệnsau:

i) S = ⊕

d∈Z

Sd, là tổng trực tiếp của các nhóm aben Sd.ii) Với mọi d, e thì SdSe ⊆ Sd+e

Mỗi phần tử s ∈ Sd được gọi là phần tử thuần nhất bậc d Nếu Sd = 0 với mọi

d < 0 thì S được gọi là phân bậc dương

Ta có thể thấy vành đa thức R = K[x0, x1, , xn] là một vành phân bậc dương với

Định nghĩa 1.2.3 Cho Y là tập con bất kì của Pn.

Iđêan I(Y ) = h{f ∈ R|f là đa thức thuần nhất và f (P ) = 0, ∀P ∈ Y }i được gọi làiđêan thuần nhất của Y trong R

Định lý 1.2.1 Cho I là một iđêan của vành phân bậc S, các điều kiện sau tương đương:1i) I thuần nhất

2i) Bất kì a ∈ I thì các thành phần thuần nhất ak của a cũng thuộc I(k ∈ Z)

3i) S/I là vành phân bậc với phân bậc {(S/I)k}k ∈ Z, trong đó {(S/I)k := (Sk+ I)/I.Định nghĩa 1.2.4 Cho S là một vành phân bậc, một S−môđun M được gọi là môđunphân bậc nếu M thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

1i) M = ⊕

n∈Z

Mn trong đó Mn là các nhóm aben

2i) Với mọi m, n ∈ Z thì SnMm ⊆ Mm+n

Các phần tử của Mn được gọi là phần tử thuần nhất bậc n

Từ định nghĩa trên thì vành R = K[x0, x1, , xn] là một vành phân bậc nên R làmột R−môđun phân bậc với R = ⊕

d≥0

Rd

1.2.2 Hàm Hilbert và đa thức Hilbert

Định nghĩa 1.2.5 Một đa thức số là một đa thức P (z) ∈ Q[z] sao cho P (n) ∈ Z với

Định nghĩa 1.2.7 Đa thức PM xác định trong định lý trên được gọi là đa thức Hilbertcủa M

Định lý 1.2.3 Cho M 6= 0 là một R−môđun phân bậc hữu hạn sinh có chiều là d thì

đa thức Hilbert PM(t) có bậc d − 1 và được viết dưới dạng:

PM(t) =

d−1

P

i=0

(−1)iei t+d−i−1d−i−1
, với e0, , ed−1 ∈ Z

1.2.3 Vành tọa độ xác định bởi một tập điểm

Định nghĩa 1.2.8 Cho f là một đa thức thuần nhất của vành R = K[x0, x1, , xn].Tập

Z(f ) = {P ∈ Pn|f (P ) = 0}

được gọi là tập các không điểm của f

Định nghĩa 1.2.9 Cho T là một tập các phần tử thuần nhất của vành R = K[x0, x1, , xn].Tập

Z(T ) = {P ∈ Pn|f (P ) = 0, ∀f ∈ T }được gọi là tập các không điểm của T

Định nghĩa 1.2.10 Một tập con Y của Pn gọi là một tập đại số nếu tồn tại một tập

Định nghĩa 1.2.12 Cho X = {P1, , Ps} là tập hợp các điểm phân biệt trong Pn và

℘1, , ℘s là các iđêan thuần nhất của R xác định bởi các điểm P1, , Pstương ứng Cho

m1, , ms ∈ N∗, đặt I = ℘m1

1 ∩ ∩ ℘m s

s Khi đó, tập X cùng với iđêan I được gọi là tập

s điểm béo trong Pn, ký hiệu là

Z = m1P1+ + msPs.Đây chính là tập điểm béo của các siêu mặt trong R có số bội mi tại mỗi Pi, i =

1, , s

Nếu m1 = m2 = = ms= 2 thì Z được gọi là tập điểm kép trong Pn

Vành tọa độ của Z là A := R/I được gọi là vành tọa độ thuần nhất của Z Vành

1.2.4 Chỉ số chính quy của một tập điểm béo

Định nghĩa 1.2.14 Xét tập điểm béo Z = m1P1 + + msPs có vành tọa độ thuầnnhất là A Do R là một vành phân bậc nên A = R/I cũng là một vành phân bậc,

A = ⊕

t≥0

AtXét hàm Hilbert của A

HA(t) =dimKAt.Người ta chứng minh được rằng hàm Hilbert HA(t) =dimKAt tăng chặt cho đếnkhi nó đạt được số bội e0 = ⊕s

Sau đây là một số khái niệm về đối đồng điều địa phương

Cho R là vành giao hoán có đơn vị và a là iđêan của R Ta có

(1i) Với mỗi R−môđun M ta định nghĩa Γa(M ) = S