Định lượng độ đan rối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm hai và bớt một photon chẵn

T½nh ch§t cõa to¡n tû dàch chuyºn.. Ti¶u chu©n an rèi HilleryZubairy.. Ti¶u chu©n Entropy tuy¸n t½nh... ành l÷ñng ë rèi theo ti¶u chu©n Entropy tuy¸n t½nh... Lþ do chån · t i Thæng tin l

BË GIO DÖC V€ €O T„O

LUŠN V‹N TH„C Sž VŠT LÞTHEO ÀNH H×ÎNG NGHI–N CÙU

HU˜, N‹M 2019

BË GIO DÖC V€ €O T„O

LUŠN V‹N TH„C Sž VŠT LÞTHEO ÀNH H×ÎNG NGHI–N CÙU

NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅCPGS.TS TR×ÌNG MINH ÙC

HU˜, N‹M 2019

LÍI CAM OAN

Tæi xin cam oan ¥y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæi, c¡c sè li»u v  k¸t qu£ nghi¶n cùu n¶u trong luªn v«n l  ho n to n trung thüc, ÷ñc c¡c çng t¡c gi£ cho ph²p sû döng v  ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trong b§t ký mët cæng tr¼nh nghi¶n cùu n o kh¡c.

Hu¸, th¡ng 09 n«m 2019 T¡c gi£ luªn v«n

Bòi Thà Thõy

þ, gióp ï, t¤o i·u ki»n cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n.

Hu¸, th¡ng 09 n«m 2019 T¡c gi£ luªn v«n

Bòi Thà Thõy

MÖC LÖC

Trang

Trang phö b¼a i

Líi cam oan ii

Líi c£m ìn iii

Möc löc 1

DANH MÖC CC Ç THÀ 3

MÐ †U 4

NËI DUNG 9

Ch÷ìng 1 CÌ SÐ LÞ THUY˜T 9

1.1 Tr¤ng th¡i k¸t hñp 9

1.1.1 Kh¡i ni»m 9

1.1.2 C¡c t½nh ch§t cõa tr¤ng th¡i k¸t hñp 12

1.1.3 Tr¤ng th¡i k¸t hñp ch®n v  l´ 16

1.2 T½nh ch§t cõa to¡n tû dàch chuyºn 19

1.3 C¡c ti¶u chu©n an rèi 22

1.3.1 Ti¶u chu©n an rèi HilleryZubairy 22

1.3.2 Ti¶u chu©n Entropy tuy¸n t½nh 23

1.4 Mæ h¼nh vi¹n t£i l÷ñng tû vîi c¡c nguçn rèi hai mode 26

1.5 Tr¤ng th¡i Bell vîi qu¡ tr¼nh vi¹n t£i l÷ñng tû 28

Ch÷ìng 2 KHƒO ST TNH CH‡T AN RÈI V€ ÀNH L×ÑNG Ë RÈI CÕA TR„NG THI HAI MODE K˜T HÑP SU(1,1) TH–M HAI V€ BÎT MËT PHOTON CHŽN 32

2.1 Tr¤ng th¡i hai mode k¸t hñp SU(1,1) th¶m hai v  bît mët

photon ch®n 322.1.1 Tr¤ng th¡i hai mode k¸t hñp SU(1,1) 322.1.2 Tr¤ng th¡i hai mode k¸t hñp SU(1,1) th¶m hai v  bît

mët photon ch®n 372.2 Kh£o s¡t t½nh ch§t an rèi theo ti¶u chu©n Hillery-Zubairy 402.3 ành l÷ñng ë rèi theo ti¶u chu©n Entropy tuy¸n t½nh 45Ch÷ìng 3 QU TRœNH VI™N TƒI L×ÑNG TÛ VÎI

TR„NG THI HAI MODE K˜T HÑP SU(1,1)

TH–M HAI V€ BÎT MËT PHOTON CHŽN 503.1 Qu¡ tr¼nh vi¹n t£i l÷ñng tû vîi nguçn rèi l  tr¤ng th¡i hai

mode k¸t hñp SU(1,1) th¶m hai v  bît mët photon ch®n 503.2 ë trung thüc trung b¼nh cõa qu¡ tr¼nh vi¹n t£i l÷ñng tû 54

K˜T LUŠN 61T€I LI›U THAM KHƒO 63PHÖ LÖC P.1

DANH MÖC CC Ç THÀ

ç thà 2.1 Sü phö thuëc cõa R v o r vîi q = 0 (÷íng m u

ä), q = 2 (÷íng m u xanh d÷ìng), q = 4 (÷íng

m u en) 45

ç thà 2.2 Sü phö thuëc cõa entropy tuy¸n t½nh M v o r vîi

gi¡ trà q = 1 (÷íng m u ä), q = 3 (÷íng m uxanh d÷ìng), q = 7 (÷íng m u xanh l¡) 48

ç thà 3.1 Sü phö thuëc cõa ë trung thüc trung b¼nh Fav v o

bi¶n ë k¸t hñp r ùng vîi gi¡ trà γ = 1.55 v  q = 0(÷íng m u ä), 2 (÷íng m u xanh l¡), q = 4(÷íng m u xanh d÷ìng) 59

ç thà 3.2 Sü phö thuëc cõa ë trung thüc trung b¼nh Fav v o

bi¶n ë k¸t hñp r ùng vîi gi¡ trà q = 0 v  γ = 1.55(÷íng m u ä); γ = 1.85 (÷íng m u xanh l¡);

γ = 2.45 (÷íng m u xanh d÷ìng) 60

MÐ †U

1 Lþ do chån · t i

Thæng tin li¶n l¤c l  nhu c¦u quan trång cõa con ng÷íi, còng vîi süph¡t triºn cõa khoa håc - k¾ thuªt, l¾nh vüc thæng tin li¶n l¤c công khængngøng ph¡t triºn Con ng÷íi khæng ngøng c£i ti¸n c¡c c¡ch thùc li¶n l¤c

cì b£n trong cuëc sèng m  cán muèn mð rëng li¶n l¤c ra ngo i vô trörëng lîn Sü ra íi cõa mët ng nh khoa håc mîi - thæng tin l÷ñng tû -ch½nh l  b÷îc ti¸n "câ t½nh c¡ch m¤ng" mð ra mët k¿ nguy¶n cæng ngh»mîi Nhªn mët cuëc gåi tø sao Häa s³ khæng cán xa víi khi m  gií ¥y,thæng tin l÷ñng tû cho ph²p thæng tin truy·n i vîi tèc ë cüc nhanh,

£m b£o ÷ñc t½nh ch§t v  câ t½nh b£o mªt tuy»t èi so vîi c¡ch thùctruy·n tin cê iºn vîi tèc ë truy·n tin th§p, t½nh b£o mªt ch÷a cao m chóng ta sû döng hi»n nay Ngo i ra, n¸u ¡p döng l½ thuy¸t thæng tinl÷ñng tû trong t½nh to¡n th¼ s³ cho ra íi mët th¸ h» m¡y t½nh l÷ñng tûvîi kh£ n«ng t½nh to¡n nhanh hìn c¡c si¶u m¡y t½nh v  ¥y ang l  t¥m

iºm nghi¶n cùu cõa c¡c cuëc thi quèc t¸ v· nghi¶n cùu m¡y t½nh l÷ñng

tû Möc ½ch quan trång nh§t cõa l½ thuy¸t thæng tin l÷ñng tû l  l m th¸

n o º t¤o ra, ành h÷îng v  sû döng rèi l÷ñng tû Vi»c xû l½ thæng tinl÷ñng tû l  mët v§n · mîi, rëng lîn v  câ t½nh kh¡i qu¡t Vi»c truy·nt£i thæng tin thæng qua vi»c sû döng t½nh ch§t an rèi ÷ñc gåi l  vi¹nt£i l÷ñng tû â l  mët qu¡ tr¼nh dàch chuyºn thæng tin công nh÷ vªtch§t tùc thíi, m  khæng ph£i dàch chuyºn qua khæng gian, ÷ñc thüchi»n b¬ng c¡ch gi£i m¢ mët vªt ð thíi iºm n y rçi gûi thæng tin ph¥n

tû tîi iºm kh¡c, nìi vªt s³ ÷ñc t¡i t¤o l¤i c§u tróc ban ¦u Vi¹n t£i

l÷ñng tû câ thº ÷ñc khai th¡c º l m cho m¡y t½nh l÷ñng tû, m¤ng l÷îivi¹n thæng trð n¶n nhanh v  m¤nh hìn º nghi¶n cùu vi¹n t£i l÷ñng tû,c¡c nh  khoa håc ang tªp trung kh¡i th¡c rèi l÷ñng tû, vi»c nghi¶n cùut½nh an rèi âng vai trá quan trång trong qu¡ tr½nh t¤o ra nguçn t inguy¶n rèi tø â t¼m ra nguçn rèi câ ë trung thüc trung b¼nh cao nh§t.

¥y l  mët trong nhúng h÷îng nghi¶n cùu mîi, h§p d¨n cõa ng nh Vªt

lþ lþ thuy¸t

V§n · thæng tin l÷ñng tû, m¡y t½nh l÷ñng tû khæng ch¿ ÷ñc c¡c

nh  khoa håc quan t¥m tr¶n th¸ giîi m  ¥y công l  mët · t i r§t

÷ñc chó þ ð Vi»t Nam Tø n«m 2011, håc vi¶n L¶ Thà Thu ¢ kh£o s¡tt½nh an rèi v  chuyºn và l÷ñng tû vîi tr¤ng th¡i k¸t hñp hai mode th¶mphoton [11]; n«m 2013, håc vi¶n L¶ Thà Thõy ¢ kh£o s¡t t½nh an rèi

v  vi¹n t£i l÷ñng tû vîi tr¤ng th¡i hai mode SU(1,1) [12]; n«m 2014, håcvi¶n Nguy¹n Thà Kim Thanh ¢ kh£o s¡t t½nh an rèi v  vi¹n t£i l÷ñng

tû vîi tr¤ng th¡i hai mode k¸t hñp èi xùng th¶m hai photon t½ch [10];n«m 2015, håc vi¶n Tr¦n Thà Thanh T¥m ¢ kh£o s¡t t½nh an rèi v vi¹n t£i l÷ñng tû vîi tr¤ng th¡i hai mode k¸t hñp th¶m hai photon ch®n[9]; n«m 2016, håc vi¶n L¶ Thà Mai Ph÷ìng ¢ nghi¶n cùu t½nh an rèi

v  vi¹n t£i l÷ñng tû vîi tr¤ng th¡i hai mode k¸t hñp SU(2) ch®n [8]; n«m

2017, håc vi¶n Cao Thà Thanh H  ¢ nghi¶n cùu ành l÷ñng ë rèi v vi¹n t£i l÷ñng tû vîi tr¤ng th¡i hai mode k¸t hñp th¶m hai photon t½chSU(2) l´ [3]; n«m 2017 câ nghi¶n cùu sinh °ng Húu ành vîi kh£o s¡tc¡c t½nh ch§t phi cê iºn v  vªn döng c¡c tr¤ng th¡i phi cê iºn v othæng tin l÷ñng tû trong luªn ¡n ti¸n s¾ vªt lþ [5]

Nhªn th§y c¡c kh£o s¡t v· tr¤ng th¡i an rèi v  vi¹n t£i l÷ñng tû

l  mët v§n · thó và, vîi nhúng ùng döng to lîn ¢ ÷ñc nhi·u t¡c gi£

nghi¶n cùu nh÷ng v¨n ch÷a câ · t i n o nghi¶n cùu v· ành l÷ñng ërèi v  vi¹n t£i l÷ñng tû vîi tr¤ng th¡i hai mode k¸t hñp SU(1,1) th¶mhai v  bît mët photon ch®n ÷ñc sü h÷îng d¨n cõa PGS.TS Tr÷ìngMinh ùc, tæi quy¸t ành chån · t i: ành l÷ñng ë rèi v  vi¹n t£il÷ñng tû vîi tr¤ng th¡i hai mode k¸t hñp SU(1,1) th¶m hai v  bît mëtphoton ch®n l m · t i luªn v«n cho m¼nh.

2 Möc ti¶u cõa · t i

Möc ti¶u nghi¶n cùu cõa · t i n y l  kh£o s¡t t½nh ch§t an rèicõa tr¤ng th¡i hai mode k¸t hñp th¶m hai v  bît mët photon SU(1,1)ch®n b¬ng ti¶u chu©n an rèi Hillery-Zubairy Sau â, chóng tæi sû döngtr¤ng th¡i n y l m nguçn rèi º thüc hi»n qu¡ tr¼nh vi¹n t£i l÷ñng tûmët tr¤ng th¡i k¸t hñp v  ¡nh gi¡ mùc ë th nh cæng cõa qu¡ tr¼nhvi¹n t£i thæng qua ë trung thüc trung b¼nh

4 Nhi»m vö nghi¶n cùu

Nëi dung · t i chõ y¸u tªp trung v o:

- Nghi¶n cùu lþ thuy¸t, ph¥n t½ch têng hñp c¡c ki¸n thùc li¶n quannh÷: tr¤ng th¡i k¸t hñp, c¡c ti¶u chu©n an rèi, mæ h¼nh vi¹n t£i l÷ñng

tû vîi c¡c nguçn rèi hai mode, tr¤ng th¡i Bell vîi qu¡ tr¼nh vi¹n t£il÷ñng tû

- Nghi¶n cùu ành l÷ñng ë rèi theo ti¶u chu©n Entropy tuy¸n t½nh

- p döng ti¶u chu©n an rèi Hillerry-Zubairy º nghi¶n cùu t½nh

an rèi cõa tr¤ng th¡i hai mode k¸t hñp th¶m hai v  bît mët photonSU(1,1) ch®n

- p döng mæ h¼nh vi¹n t£i: tåa ë, xung l÷ñng º thüc hi»n qu¡tr¼nh vi¹n t£i l÷ñng tû vîi nguçn rèi l  tr¤ng th¡i hai mode k¸t hñp th¶mhai v  bît mët photon SU(1,1) ch®n v  ÷a ra ë trung thüc trung b¼nhcõa qu¡ tr¼nh vi¹n t£i rçi kh£o s¡t tr¶n ç thà

t i nghi¶n cùu

- Ph÷ìng ph¡p t½nh sè v  sû döng ph¦n m·m Mathematica º v³

ç thà

- Ph¦n nëi dung gçm ba ch÷ìng:

Ch÷ìng 1: Tr¼nh b y cì sð lþ thuy¸t v· kh¡i ni»m, t½nh ch§t cõatr¤ng th¡i k¸t hñp, ÷a ra c¡c ti¶u chu©n kh£o s¡t t½nh ch§t an rèi,ti¶u chu©n ành l÷ñng ë rèi, mæ h¼nh vi¹n t£i l÷ñng tû mët tr¤ng th¡ik¸t hñp v  tr¤ng th¡i Bell vîi qu¡ tr¼nh vi¹n t£i l÷ñng tû

Ch÷ìng 2: Tr¼nh b y v· tr¤ng th¡i hai mode k¸t hñp th¶m hai v bît mët photon SU(1,1) ch®n, kh£o s¡t t½nh an rèi cõa tr¤ng th¡i n ytheo ti¶u chu©n Hillery-Zubairy, ành l÷ñng ë rèi cõa nâ theo ti¶u chu©nentropy tuy¸n t½nh

Ch÷ìng 3: Tr¼nh b y qu¡ tr¼nh vi¹n t£i l÷ñng tû vîi nguçn rèi l tr¤ng th¡i hai mode k¸t hñp th¶m hai bît mët photon SU(1,1) ch®n,

¡nh gi¡ sü th nh cæng cõa qu¡ tr¼nh vi¹n t£i b¬ng ë trung thüc trungb¼nh

- Ph¦n k¸t luªn tr¼nh b y v· c¡c k¸t qu£ ¤t ÷ñc cõa · t i v  c¡ch÷îng mð cõa · t i

NËI DUNG Ch÷ìng 1

CÌ SÐ LÞ THUY˜T

Nh¬m h¼nh th nh n·n t£ng ki¸n thùc cho vi»c nghi¶n cùu c¡cch÷ìng sau, ch÷ìng n y chóng tæi s³ tr¼nh b y chi ti¸t v· tr¤ng th¡i k¸thñp, tr¤ng th¡i Fork, tr¤ng th¡i k¸t hñp ch®n v  l´, to¡n tû dàch chuyºn.Ngo i ra, chóng tæi s³ tr¼nh b y ti¶u chu©n an rçi Hillery-Zubairy, ànhl÷ìng ë rèi theo ti¶u chu©n entropy tuy¸n t½nh, công nh÷ mæ h¼nh vi¹nt£i l÷ñng tû vîi c¡c nguçn rèi hai mode º ¡p döng v o vi»c kh£o s¡tt½nh an rèi, ành l÷ñng ë rèi v  vi¹n t£i l÷ñng tû vîi tr¤ng th¡i haimode k¸t hñp SU(1,1) th¶m hai v  bît mët photon ch®n

1.1 Tr¤ng th¡i k¸t hñp

1.1.1 Kh¡i ni»m

Tr¤ng th¡i k¸t hñp l  tr¤ng th¡i ùng vîi gi¡ trà th«ng gi¡ng nhänh§t suy ra tø h» thùc b§t ành Heisenberg v  ÷ñc ÷a ra n«m 1963bði Glauber v  Sudarshan, kþ hi»u l  vîi |αi l  mët sè phùc Tr¤ng th¡ik¸t hñp l  tr¤ng th¡i ÷ñc t¤o ra b¬ng c¡ch t¡c döng to¡n tû dàch chuyºnˆ

D(α) l¶n tr¤ng th¡i ch¥n khæng (l  tr¤ng th¡i m  t¤i â khæng câ h¤t

n o ÷ñc k½ch th½ch v  ÷ñc k½ hi»u |0i) cõa tr÷íng i»n tø, ngh¾a l 

trong â ˆD(α) = exp(αˆa+− α∗a)ˆ l  to¡n tû dàch chuyºn vîi ë dàchchuyºn α, vîi α = r exp (iϕ) l  tham sè k¸t hñp, r v  ϕ l¦n l÷ñt l  bi¶n

ë v  pha k¸t hñp, ˆa†, ˆa l¦n l÷ñt l  to¡n tû sinh, hõy h¤t boson cõatr÷íng i»n tø

Tø â tr¤ng th¡i k¸t hñp câ thº ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng

|αi = exp αˆa+− α∗ˆ
|0i

p döng çng nh§t thùc Baker - Hausdorff cho ˆA , ˆB l  hai to¡n tû b§t

exp αˆa+
= 1 + (αˆa

+)1! +

(αˆa+)22! + =

∞

X

n=0

(αˆa+)nn! ,

v 

exp (−α∗ˆa) = 1 + (−α

∗ˆa)1! +

(−α∗ˆa)22! + =

∞

X

n=0

(−α∗a)ˆ nn! ,vîi to¡n tû sinh h¤t ˆa† v  hõy h¤t ˆa tu¥n theo h» thùc giao ho¡n

ˆa, ˆa† = ˆaˆa†− ˆa†ˆa = 1, (1.3)[ˆa, ˆa] = ˆa†

(ˆ a + )n

√ n! exp

l  tr¤ng th¡i Fock Tr¤ng th¡i Fock |ni l  tr¤ng th¡i câ sè h¤t x¡c ành

v  nâ ÷ñc kh¡i qu¡t hâa l¶n tø tr¤ng th¡i ch¥n khæng |0i

ˆ

a |0i = 0,ˆ

do â ta câ thº khai triºn mët vectì b§t ký trong h» cì sð n y i·u n y

câ ngh¾a l  trong khæng gian Fock, c¡c tr¤ng th¡i k¸t hñp câ thº biºudi¹n d÷îi d¤ng

L§y li¶n hñp Hermite cõa biºu thùc (1.8) th¼ ta ÷ñc

hα| ˆa+ = α∗hα| (1.10)Nh÷ vªy tr¤ng th¡i k¸t hñp hα| ˆa+ câ chùa photon khæng x¡c ành v to¡n tû hõy khæng l m thay êi tr¤ng th¡i n y

1.1.2 C¡c t½nh ch§t cõa tr¤ng th¡i k¸t hñp

T½nh ch§t 1: Tr¤ng th¡i k¸t hñp |αi câ ph¥n bè sè h¤t tu¥n theoph¥n bè Poisson, ngh¾a l  sè h¤t trung b¼nh cõa tr¤ng th¡i k¸t hñp ch½nhb¬ng b¼nh ph÷ìng bi¶n ë k¸t hñp r, ngh¾a l 

α = r exp (iϕ) ,

(1.12)

do â

hˆni = hα |α∗α| αi = |α|2 = r2 (1.13)Ph¥n bè Poisson ch½nh l  x¡c su§t p(n) º t¼m th§y h¤t ð tr¤ng th¡i k¸thñp |αi l 

T½nh ch§t 2: Tªp hñp t§t c£ c¡c tr¤ng th¡i |αi l  mët tªp hñp õ

1π

v 

α = reiϕ,Chuyºn sang tåa ë cüc ta ÷ñc d2α = rdrdϕ, do â

Thay biºu thùc (1.16) v o (1.15), nh÷ vªy chóng ta ¢ chùng minh ÷ñct½nh ch§t 2

1π

Tø ành ngh¾a tr¤ng th¡i k¸t hñp |αi, chóng ta câ

β n

√ m! hn |mi

βn

√ m!δnm

÷a v o hai ¤i l÷ñng X, P khæng thù nguy¶n v  ÷ñc biºu di¹n thængqua hai to¡n tû t÷ìng ùng l  ˆX, ˆP ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau

ˆ

X =r mω

~ˆ

x, ˆP =

r

~

mωp,ˆ

trong â x v  p l  c¡c ¤i l÷ñng câ thù nguy¶n t÷ìng ùng vîi tåa ë v xung l÷ñng C¡c to¡n tû ˆX v  ˆP ÷ñc biºu di¹n thæng qua c¡c to¡n tûsinh, hõy photon cõa tr÷íng i»n tø d÷îi d¤ng

X²t ph÷ìng sai cõa ˆX

∆X2
α

=

D

α

ˆ

X2

ψE

c

2

(1.71)Mët qu¡ tr¼nh vi¹n t£i ÷ñc xem l  ho n h£o n¸u tr¤ng th¡i ¦u ra v tr¤ng th¡i ¦u v o l  nh÷ nhau Tuy nhi¶n, do t½nh ch§t an rèi khæng

ho n to n ð hai tr¤ng th¡i cõa Alice v  Bob, công nh÷ do vi»c o l÷íngn¶n tr¶n thüc t¸ Fav luæn câ gi¡ trà nhä hìn 1 º ti»n cho vi»c t½nhto¡n, ng÷íi ta ÷a v o ë trung thüc trung b¼nh Fav câ d¤ng nh÷ sau

Fav = R d2AF (A) ρ (A) = R |inhψ |ψ iout| d2A

= R

chψ| ˆD (B) ˆT (A) |ψic

1.5 Tr¤ng th¡i Bell vîi qu¡ tr¼nh vi¹n t£i l÷ñng tû

Vi»c o mùc ë rèi giúa hai mode a v  c l  mët b÷îc quan trång

v  khæng thº thi¸u trong qu¡ tr¼nh vi¹n t£i l÷ñng tû, nâ gióp cho b¶n

B x¡c ành thæng tin v· tr¤ng th¡i m  b¶n A thüc hi»n vi¹n t£i Tr¤ngth¡i Bell l  tr¤ng th¡i trüc giao n¶n s³ cho mùc ë an rèi cao nh§t, do

â vi»c thi¸t lªp tr¤ng th¡i Bell s³ l m cho mùc ë an rèi giúa tr¤ngth¡i c¦n vi¹n t£i v  tr¤ng th¡i l m nguçn cao nh§t, l m t«ng hi»u qu£cõa qu¡ tr¼nh vi¹n t£i Gi£ sû thæng sè c¦n o cõa tr÷íng a mode l 

c¡c trà ri¶ng cõa to¡n tû bi¶n ë trüc giao

ˆx||Xi = X||Xi, p||P i = P ||P i,ˆ

vîi k½ hi»u k i l  tr¤ng th¡i ri¶ng cõa to¡n tû C¡c tr¤ng th¡i ri¶ng

kP = 0i = lim

r→0|Sq.vac.pi , kX = 0i = lim

r→0|Sq.vac.xi (1.76)Mªt ë x¡c su§t o c¡c ¤i l÷ñng n y ph£i ÷ñc chu©n hâa, tø â c¦nph£i bä i h» sè er/2/√

e2r − 1, c¡c ph÷ìng tr¼nh tr¶n ÷ñc vi¸t l¤i nh÷sau

kP = 0i = √1

π limr→0

∞

ZdxGr(x) |xi =√1

π

∞

Z

dx |xi ,

dxei(xP −yX)|X + iyic|x + iP ia.

Sû döng t½nh ch§t chçng ch²o cõa c¡c tr¤ng th¡i v o |αic|βia, tr¤ng th¡isau khi o s³ l  (α + β)√

x + iy + X + iP

√2

c

×

... ch¿ sü hi»ndi»n cõa an rèi c¡c hằ hai mode  ữủc ữa Ơy Ơy chẵnh

Hillery-l cĂc bĐt ng thực phĂt sinh tứ viằc kim tra cĂc hằ thực bĐt nh.Xt hai mode trữớng i»n tø

ˆ

L1... β) ,n¶n

1.3 C¡c ti¶u chuân an rối< /h3>

1.3.1 Tiảu chuân an rối HilleryZubairy

Nôm 2006, Hillery v Zubairy ữa tiảu chuân an rối Zubairy Mởt lợp bĐt ng thực m vi phÔm... a+ lƯn lữủt l toĂn tỷ hừy v toĂn tỷ sinh cừa mode thựnhĐt, b v b+ lƯn l÷đt l  to¡n tû hõy v  to¡n tû sinh cõa mode thự hai. Tẵnh phữỡng sai cừa cĂc bián, sau õ ta cởng lÔi