D01 bài tập tổng hợp nón trụ cầu muc do 3

Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY... 33536 Gọi thể tích khối trụ tròn xoay khi quay hình vuông ABCD quanh trục BC là V1.. Gọi thể tích khối n

Y

Câu 463: [2H2-4.1-3] (MINH HỌA L2) Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5

được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của

hình vuông còn lại (như hình vẽ) Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi

quay mô hình trên xung quanh trục XY

Cách 1 :

Khối tròn xoay gồm 3 phần:

Phần 1: khối trụ có chiều cao bằng 5, bán kính đáy bằng 5

2 có thể tích 2

Câu 7123 [2H2-4.1-3] (THPT THÁI PHIÊN HP -2017) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng

1 m Gọi M là trung điểm của AB, N thuộc cạnh BC thỏa mãn NC2NB Gọi V là thể tích khối tròn xoay khi quay đa giác ADCNM quanh trục BC Tính V

33536

Gọi thể tích khối trụ tròn xoay khi quay hình vuông ABCD quanh trục BC là V1

Gọi thể tích khối nón tròn xoay khi quay tam giác MBN quanh trục BC là V2

2 2

Câu 7144 [2H2-4.1-3] (Sở GDĐT Lâm Đồng lần 04 -2017) Cho hình trụ tròn xoay, đáy là 2 đường

tròn  C tâm O và  C’ tâmO’ Xét hình nón tròn xoay có đỉnh O’ và đáy là đường tròn  C Xét hai mệnh đề sau:

(I) Nếu thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều O AB’ thì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuôngABB A’ ’

(II) Nếu thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông ABB A’ ’ thì thiết diện qua trục của hình nón là tam giác O AB’ vuông cân tạiO’

Hãy chọn câu đúng

A Cả 2 sai B Chỉ (I) C Chỉ (II) D Cả 2 Câu đúng

Lời giải Chọn A

Gọi O AB’ là thiết diện qua trục của hình nón

’ ’

BB A là thiết diện qua trục của hình trụ

Xét (I): Nếu O AB’ là tam giác đều, ABa thì O O’  3

Y

Xét (II): Nếu ABB A’ ’ là hình vuông, ABa, thì:OO’ a: Sai ( tam giác vuông thì đường trung

tuyến bằng nửa cạnh huyền)

Như vậy O AB’ không phải là tam giác vuông cân tại O’: (II) sai

Câu 463: [HH12.C2.4.D01.c] (MINH HỌA L2) Cho hai hình vuông có cùng cạnh

bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm

của hình vuông còn lại (như hình vẽ) Tính thể tích V của vật thể tròn xoay

khi quay mô hình trên xung quanh trục XY

Cách 1 :

Khối tròn xoay gồm 3 phần:

Phần 1: khối trụ có chiều cao bằng 5, bán kính đáy bằng 5

2 có thể tích 2

Câu 7123 [HH12.C2.4.D01.c] (THPT THÁI PHIÊN HP -2017) Cho hình vuông ABCD có cạnh

bằng 1 m Gọi M là trung điểm của AB, N thuộc cạnh BC thỏa mãn NC2NB Gọi V là thể tích khối tròn xoay khi quay đa giác ADCNM quanh trục BC Tính V

33536

Gọi thể tích khối trụ tròn xoay khi quay hình vuông ABCD quanh trục BC là V1

Gọi thể tích khối nón tròn xoay khi quay tam giác MBN quanh trục BC là V2

2 2

Câu 7144 [HH12.C2.4.D01.c] (Sở GDĐT Lâm Đồng lần 04 -2017) Cho hình trụ tròn xoay, đáy là 2

đường tròn  C tâm O và  C’ tâmO’ Xét hình nón tròn xoay có đỉnh O’ và đáy là đường tròn  C Xét hai mệnh đề sau:

(I) Nếu thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều O AB’ thì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuôngABB A’ ’

(II) Nếu thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông ABB A’ ’ thì thiết diện qua trục của hình nón là tam giác O AB’ vuông cân tạiO’

Hãy chọn câu đúng

A Cả 2 sai B Chỉ (I) C Chỉ (II) D Cả 2 Câu đúng

Lời giải Chọn A

Gọi O AB’ là thiết diện qua trục của hình nón

’ ’

BB A là thiết diện qua trục của hình trụ

Xét (I): Nếu O AB’ là tam giác đều, ABa thì O O’  3

Xét (II): Nếu ABB A’ ’ là hình vuông, ABa, thì:OO’ a: Sai ( tam giác vuông thì đường trung

tuyến bằng nửa cạnh huyền)

Như vậy O AB’ không phải là tam giác vuông cân tại O’: (II) sai

Câu 21: [2H2-4.1-3] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Cho tam giác vuông cân ABC có

2

M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC(như hình vẽ) Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trục AI, với I là trung điểm PQ

A

3116

a

356

a

V  

3118

a

31724

a

Lời giải Chọn D

Câu 42 [2H2-4.1-3] (THPT Kinh Môn - Hả i Dư ơ ng - 2018 - BTN) Cho tam giác ABC

vuông tạ i A có BC2a, ACa Quay tam giác này quanh trụ c AB, ta đư ợ c mộ t hình nón đỉ nh B Gọ i S1 là diệ n tích toàn phầ n củ a hình nón đó và S2 là diệ n tích

mặ t cầ u có đư ờ ng kính AB Khi đó, tỉ số S1

S là:

A 1

2

32

S

2

23

S

21

S

2

12

S

S 

Lời giải Chọn C



Diện tích toàn phần của hình nón 2 2

Câu 49: [2H2-4.1-3] (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho hình nón có thiết diện qua

trục là tam giác đều Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của khối cầu nội tiếp và nội tiếp hình nón đã cho Tính 1

M I

A

S

Giả sử cạnh của tam giác đều SAB bằng 1

Gọi thiết diện qua trục hình nón là tam giác đều SAB

Gọi I là trọng tâm tam giác đều SAB, khi đó I là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón

Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình nón là 1 4 3 4 3

Câu 47: [2H2-4.1-3] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lầ n 2 - 2018 - BTN) Cho hình

vuông ABCD cạ nh a Gọ i N là điể m thuộ c cạ nh AD sao cho AN2DN

I N

A N

Sau khi quay tứ giác ANKB quanh trục BK ta được khối tròn xoay gồm một khối nón và khối trụ có chung đáy (hình vẽ)

3

1 2

76

a

V  V V  

Câu 47: [2H2-4.1-3] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lầ n 2 - 2018) Cho hình vuông

thành khi quay tứ giác ANKB quanh trụ c BK bằ ng

I N

A N

Sau khi quay tứ giác ANKB quanh trục BK ta được khối tròn xoay gồm một khối nón và khối trụ có chung đáy (hình vẽ)

3

1 2

76

a

Câu 42: [2H2-4.1-3] [Chuyên Nguyễn Quang Diệu - Đồng Tháp - 2018 - BTN] Ông An đặt hàng cho

một cơ sở sản xuất chai lọ thủy tinh chất lượng cao X để làm loại chai nước có kích thước phần không gian bên trong của chai như hình vẽ, đáy dưới có bán kính R5cm, bán kính cổ chai r2cm, AB3cm, BC6cm, CD16cm Tính thể tích V phần không gian bên trong của chai nước

A V 490cm3 B V 412cm3 C V 464cm3 D V 494cm3

Lời giải Chọn A

Thể tích khối trụ bán kính đáy là R chiều cao CD là:

1

.3

Câu 37: [2H2-4.1-3] (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình nón có

chiều cao h Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón theo h

r

r' O'

O S

Câu 40: [2H2-4.1-3] (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình nón  N có

bán kính đáy r20(cm), chiều cao h60(cm)và một hình trụ  T nội tiếp hình nón  N

(hình trụ  T có một đáy thuộc đáy hình nón và một đáy nằm trên mặt xung quanh của hình nón) Tính thể tích V của hình trụ  T có diện tích xung quanh lớn nhất?

2R đối xứng nhau qua tâm

khối cầu, một người thợ khoan xuyên tâm khối cầu Người thợ đã khoan bỏ đi phần hình trụ có trục của nó trùng với trục hình cầu; mặt cắt của hình trụ vuông góc với trục hình trụ là một hình

4R3

Thể tích khối trụ bị khoan đi là

2

3 2

A 10 lần B 20 lần C 24 lần D 12 lần

Hướng dẫn giải Chọn C

Câu 15: [2H2-4.1-3] Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật Biết rằng hộp chứa vừa khít ba

quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau Phần không gian còn trống trong hộp chiếm:

Thể tích của ba quả bóng bàn:

3 2

Phần không gian còn trống trong hộp chiếm:

3 3 3

3 1

d d V

Câu 16: [2H2-4.1-3] Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao Người ta đặt quả

bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng 3

4 chiều cao của nó Gọi V1, V lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó: 2

Gọi r1 là bán kính quả bóng, r2 là bán kính chiếc chén, h là chiều cao chiếc chén

Theo giả thiết ta có h2r1 r1 2h và 1

16

V B hr h h 1

2

8.9

V V

nhau (khối nón đỉnh A, đỉnh B và đáy là đáy của hình trụ)

Câu 18: [2H2-4.1-3] Cho tam giác đều ABC cạnh 1 và hình vuông MNPQ nội tiếp trong tam giác

ABC (M thuộc AB, N thuộc AC, P , Q thuộc BC). Gọi S là phần mặt phẳng chứa các điểm thuộc tam giác ABC nhưng không chứa các điểm thuộc hình vuông MNPQ. Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay S quanh trục là đường thẳng qua A vuông góc với BC là

Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay S quanh trục là đường thẳng AH bằng hiệu thể tích

khối nón khi quay tam giác ABC và thể tích khối trụ khi quay hình vuông MNPQ quanh trục

Câu 19: [2H2-4.1-3] Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao là 15cm, đường kính đáy là 6cm, lượng

nước ban đầu trong cốc cao 10cm Thả vào cốc nước 5 viên bi hình cầu có cùng đường kính là

2cm Hỏi sau khi thả 5 viên bi, mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu cm ? (Kết quả

làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số)

A 4,81cm B 4, 25cm C 4, 26cm D 3,52cm

Lời giải Chọn C

Câu 20: [2H2-4.1-3] Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có

dạng hình nón Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy phần ốc quế Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng 75% thể tích

kem đóng băng ban đầu Gọi h và r lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế Tính tỉ

+ Thể tích khối cầu (thể tích kem ban đầu) 4 3

Câu 21: [2H2-4.1-3] Cho hình thang ABCD có A  B 90 , ABBCa, AD2a Tính thể tích

khối tròn xoay sinh ra khi hình thang ABCD quay quanh CD

A

3712

a



376

a



Lời giải Chọn B

Khối nón đỉnh D , trục CD có chiều cao CDa 2, bán kính đáy CAa 2 nên có thể tích

3 2

3 2

3

7 26

a

Câu 22: [2H2-4.1-3] Cho hai tấm tôn hình chữ nhật đều có kích thước 1,5 m 8 m  Tấm tôn thứ nhất

được chế tạo thành một hình hộp chữ nhật không đáy, không nắp, có thiết diện ngang là một hình vuông (mặt phẳng vuông góc với đường cao của hình hộp và cắt các mặt bên của hình hộp theo các đoạn giao tuyến tạo thành một hình vuông) và có chiều cao 1, 5 m; còn tấm tôn thứ hai được chế tạo thành một hình trụ không đáy, không nắp và cũng có chiều cao 1, 5 m. Gọi V1, V 2

theo thứ tự là thể tích của khối hộp chữ nhật và thể tích của khối trụ Tính tỉ số 1

2

V V

A 1

2

.3

V V



2

.4

V V



2

.2

V V



2

V

V 

Lời giải Chọn B

Thiết diện ngang của hình hộp chữ nhật là hình vuông  Hình hộp có đáy là hình vuông cạnh



Câu 44 [2H2-4.1-3] (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Một hình thang

cânABCD có đáy nhỏ AB1, đáy lớn CD 3, cạnh bên BCAD 2 Cho hình thang

ABCD quay quanh AB ta được khối tròn xoay có thể tích là:

Câu 48: [2H2-4.1-3] (Lớp Toán - Đoàn Trí Dũng -2017 - 2018) Bên trong mộ t khố i trụ có

mộ t khố i cầ u nộ i tiế p khố i trụ như hình vẽ bên Gọ i V1 là thể tích củ a khố i trụ và V2 là thể tích củ a khố i cầ u Tính tỷ số 1

V

2

43

V

22

V

23

V

V 

Lời giải Chọn A

Ta giả sử bán kính của mặt cầu là R1, khi đó bán kính trụ cũng là R1 và chiều cao trụ

Câu 36: [2H2-4.1-3] [SGD_QUANG NINH_2018_BTN_6ID_HDG] Cho hình nón có bán kính đáy

bằng 6, chiều cao bằng 8 Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón Tính bán kính mặt cầu đó

Lời giải Chọn D

Đường phân giác của góc SOA cắt SO tại I  I là tâm mặt cầu cần tìm, bán kính rIO



   r 3

Câu 37: [2H2-4.1-3] (THPT Chu Văn An - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN)Bạn An có một cốc

giấy hình nón có đường kính đáy là 10cm và độ dài đường sinh là 8cm Bạn dự định đựng một viên kẹo hình cầu sao cho toàn bộ viên kẹo nằm trong cốc (không phần nào của viên kẹo cao hơn miệng cốc) Hỏi bạn An có thể đựng được viên kẹo có đường kính lớn nhất bằng bao nhiêu?

S

B A

Gọi  P là mặt phẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy của hình nón Khi đó  P

cắt hình cầu (viên kẹo) theo thiết diện là đường tròn lớn Viên kẹo có đường kính lớn nhất khi

và chỉ khi đường tròn lớn là đường tròn nội tiếp tam giác SAB

Nửa chu vi tam giác SAB là p13

13

Câu 272 [2H2-4.1-3] [CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH-2017] Cho hình thang cân ABCD có đáy

nhỏ AB1, đáy lớn CD3, cạnh bên AD 2 quay quanh đường thẳng AB Tính thể tích

V của khối tròn xoay tạo thành

Chọn C

Theo hình vẽ: AHHD1

Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng thể

tích khối trụ có bán kính rAH1, chiều

cao CD3 trừ đi thể tích hai khối nón bằng

nhau (khối nón đỉnh A, đỉnh B và đáy là đáy của hình trụ)

Câu 286 [2H2-4.1-3] Cho hình cầu tâm O, đường kính 2R và hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu

Hãy tìm kích thước của hình trụ khi nó có thể tích đạt giá trị lớn nhất

Gọi h và r là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ Bài toán quy về việc tính h và r phụ thuộc

V r hđạt giá trị lớn nhất

Câu 287 [2H2-4.1-3] Cho hình cầu  S tâm O, bán kính R Hình cầu  S ngoại tiếp một hình trụ tròn

xoay  T có đường cao bằng đường kính đáy và hình cầu  S lại nội tiếp trong một nón tròn xoay  N có góc ở đỉnh bằng 60 Tính tỉ số thể tích của hình trụ  T và hình nón  N

6

T N

V

3

T N

V

2

T N

V

Lời giải Chọn A

Bài toán quy về hình nón tâm O ngoại tiếp hình vuông ABCD và nội tiếp tam giác đều SEF

mà EF/ /AB Vì OAB là tam giác vuông cân nên AB BC R 2.Suy ra

Như vậy, đường cao của tam giác SEF là SH3OH3R

Trong tam giác EOH (vuông tại H, EOH30) Ta có:

63

T N

R V

Giả sử 2x là chiều cao hình trụ (0 x R) (xem hình vẽ)

Câu 290 [2H2-4.1-3] Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất

nội tiếp trong hình nón theo h

Gọi r R, theo thứ tự là bán kính đáy hình nón và khối trụ cần tìm O là đỉnh của hình nón, I

là tâm của đáy hình nón, J là tâm của đáy hình trụ và khác I OA là một đường sinh của hình

R

B

2 33281

 R

C

33281

R

D

2 36481

 R

Lời giải Chọn C

Kí hiệu bán kính đáy hình nón là x, chiều cao hình nón là y0  x R, 0  y 2R Gọi SS'

là đường kính của mặt cầu ngoài tiếp hình nón thì ta có

Chọn B

Xét mặt phẳng chứa trục của hình nón, mặt phẳng này cắt hình nón theo tam giác cân SAB và cắt mặt cầu nội tiếp hình nón theo đường tròn bán kính r và hình tròn này nội tiếp tam giác cân SABh.79b

Kí hiệu bán kính đáy hình nón là x, chiều cao hình nón là y x  0,y 2r thì

.2

V   r , tức là V2 đạt giá trị bé nhất khi và chỉ khi

24

Câu 5: [2H2-4.1-3] [CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3] [2017]Tính thể tích của vật thể tròn xoay

khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF

Lời giải Chọn A

Câu 7: [2H2-4.1-3] [CHUYÊN BẮC GIANG][2017] Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là 2R,

độ dài đường sinh là R 17 và hình trụ có chiều cao và đường kính đáy đều bằng 2R, lồng vào nhau như hình vẽ.Tính thể tích phần khối trụ không giao với khối nón

Lời giải Chọn D

Câu 8: [2H2-4.1-3] [CHUYÊN KHTN L4] [2017] Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay  H ,

một mặt phẳng chứa trục của  H cắt  H theo một thiết diện như trong hình vẽ bên Tính thể tích của  H (đơn vị cm3)

A V H 23 B V H 13 C  

413

H

D V H 17

Lời giải Chọn C

63

Câu 5: [2H2-4.1-3] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 - 2017 - 2018) Trong mặt phẳng cho góc

,

Ox Oy lần lượt tại A B, Trong  P lấy điểm M sao cho AMB 90 Mệnh đề nào sau đây

là đúng ?

A Điểm M chạy trên một mặt cầu B Điểm M chạy trên một mặt nón

Lời giải Chọn B

+) Xét mặt phẳng  P tại một vị trí cụ thể thì tập hợp các điểm M là đường tròn đường kínhAB, chứa trong mặt phẳng  P

+) Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy Khi mặt phẳng  P thay đổi, luôn vuông góc Ot thì tập hợp các điểm M là mặt nón đỉnh O, trục Ot với Ox Oy, là các đường sinh

Câu 37: [2H2-4.1-3] (THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa- Lần 1- 2017 - 2018 - BTN) Cho lục giác

đều ABCDEF có cạnh bằng 4 Quay lục giác đều đó quanh đường thẳng AD Tính thể tích

V của khối tròn xoay được sinh ra

A V 16 B V 128 C V 32 D V 64

Lời giải Chọn D

Quay lục giác đều đó quanh đường thẳng AD ta thu được hai khối nón và một khối trụ

Vậy thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay lục giác đều đó quanh AD là V 64

Câu 46: [2H2-4.1-3] (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình

thang ABCD vuông tại A và D, ADCDa, AB2a Quay hình thang ABCD quanh đường thẳng CD Thể tích khối tròn xoay thu được là:

A

353

a



373

a



343

a



Lời giải Chọn A

A

B

C

D E

F

O

O