D05 mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp đa diện muc do 3

Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết thể tích của tứ diện ABCD là 316 Gọi H là trung điểm BC.. Kẻ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đường thẳng này cắt AD tại

Câu 49 [2H2-3.5-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác cân với BAC120, ABACa Hình chiếu của D trên mặt phẳng ABC là trung điểm

BC Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết thể tích của tứ diện ABCD là

316

Gọi H là trung điểm BC

.3

A Vậy H là trung điểm AO

Kẻ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đường thẳng này cắt AD tại S với D là trung điểm

Từ trung điểm M của đoạn AD kẻ đường vuông góc với AD, cắt SO tại I

Dễ dàng có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Hai tam giác vuông SAO và SIM đồng dạng nên 3 7 21

438

M

O I

Câu 28: [2H2-3.5-3] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tam

giác đều có cạnh đáy bằng 6 và chiều cao h1 Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp đó là:

A S 9 B S 6 C S 5 D S 27

Lời giải Chọn A

Gọi O là tâm của ABC suy ra SOABC và SO h 1;

ISIAIBIC nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

S

A

B

C M

O

I H

Gọi H là trung điểm của SA, ta có SHI đồng dạng với SOA nên

33

    Vậy diện tích mặt cầu S mc 4R2 9

Câu 41: [2H2-3.5-3] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho lăng trụ tam giác

đều có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng b Tính thể tích của khối cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ

Gọi I I,  lần lượt là tâm hai đáy, O là trung điểm của II Khi đó ta có O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

Câu 34 [2H2-3.5-3] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABCD có đáy

ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy Biết SC tạo với mặt phẳng

ABCD một góc 45 Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

A S 8a2 B S 6a2 C S 12a2 D S 4a2

Lời giải Chọn D

O

M

I

C

Gọi I là trung điểm SC Do SACSBCSDC 90 nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

Ta có: SC ABCD,  SCA 45

Suy ra: SA ACa 2 Do đó bán kính mặt cầu 1

2

RIA SCa Diện tích mặt cầu: S4R2 4a2

Câu 28: [2H2-3.5-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABC có

SASBSCa và ASB 90 , BSC 60 , CSA120 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp S ABC là

2 a C.a2 D.4 3

3a

Lời giải Chọn A

Xét tam giác SAB theo định lí cosin ta có :

 là trục của mặt phẳng đáy ABC

Dựng mặt phẳng trung trực của SC cắt SO tại I  I là tâm mặt cấu ngoại tiếp chóp S ABC Xét SEI SOC g g SI SE  1

Thay vào  1 SI a vậy bán kính cầu ngoại tiếp chóp S ABC là a

 diện tích của mặt cầu ngoại tiếp chóp S ABC là 4 a 2

Câu 28 [2H2-3.5-3] (TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C   có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABa 3, BC2a, đường thẳng AC

tạo với mặt phẳng BCC B  một góc 30 Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng

I

M' C'

Dễ thấy trung điểm I của MM là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

2

a AH

Câu 45: [2H2-3.5-3] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABCD có

đáy là hình chữ nhật, ABa, ADa 2 Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCDlà trung

Gọi R và r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S BHD và tam giác BHD

3

1

2 2cos

2sin

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácBHD và M là trung điểm SH Mặt phẳng trung trực của SH cắt trục đường tròn ngoại tiếp tam giácBHD tại E Khi đó E là tâm mặt cầu cần tìm

Câu 48 [2H2-3.5-3] (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 8 Tuần HK1 - 2018 - BTN) Cho hình

chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC a Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABC Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh bên SB và SC Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A HKB là:

A

32

a



323

a



Lời giải Chọn B

Cách 1: Nhận xét : AKCAHC ABC 90 , nên 4 điểm A H K B, , , thuộc mặt cầu đường kính AC Bán kính 2

Cách 2: Dựng hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm AB

Tam giác AHB vuông tại H và MOHAB suy ra MO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác HAB

Tam giác AKCvuông tại K suy ra OAOK Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABCcó đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, ABBCa 3, SAB SCB  90 và khoảng cách từ

A đến mặt phẳng SBC bằng a 2 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a

A S 4a2 B S8a2 C S 12a2 D S 16a2

Lời giải Chọn C

Do A, B, C, H cùng thuộc một mặt phẳng nên ABHC là tứ giác nội tiếp Theo giả thiết

ABC là tam giác vuông cân tại B nên ABHC là hình vuông d A SBC ,  d H SBC ,  

21.C 22.A 23.D 24.A 25.D 26.D 27.A 28.B 29.D 30.A

31.A 32.A 33.C 34.B 35.D 36.C 37.A 38.A 39.A 40.D

Gọi M, N lần lượt là trung điểm CD và AB

 ; tương tự CDMN Suy ra MN là đường trung trực và là

đoạn vuông góc chung của AB và CD

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD thì I thuộc MN

Xét tam giác ANC vuông tại N có: CN AC2NA2  22a24a2 3 2a

Xét tam giác CMN vuông tại M có: MN CN2CM2  18a29a2 3a

Câu 32: [2H2-3.5-3] (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy

ABCD là hình chữ nhật, AB3, AD4 và các cạnh bên của hình chóp tạo với đáy một góc

60 Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho

O

C B

I

Gọi OACBD Do các cạnh bên của hình chóp tạo với đáy một góc 60 nên

SO ABCD hay SO là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

Gọi M là trung điểm của cạnh SB, trong mặt phẳng SBC kẻ đường thẳng quaM

và vuông góc với SB cắt SO tại I khi đó ta có IAIBICIDIS hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

Theo giả thiết ta có AB3, AD4 nên 5

 ,

5 32

2

5 32

Câu 30: [2H2-3.5-3] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình

chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD.Biết rằng ABa, và ASB 60 Tính diện tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

A

2132

a

S  

2133

a

S 

2112

a

S  

2113

a

S  

Lời giải

Chọn B

Gọi R R1, 2 là bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD và mặt bên SAB Gọi R

là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình

chóp đã cho biết ASB120

Gọi H là trung điểm AB, do SAB  ABC, tam giác ABC đều và tam giác

SAB cân tại S nên SH ABC và CH SAB

Gọi I và J là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và tam giác SAB Dựng đường thẳng Ix SH// và Jy CH// thì IxABC và JySAB nên Ix là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và Jy là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác

SAB Khi đó IxJyO thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp



Câu 43: [2H2-3.5-3] (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2017 - 2018 - BTN) Người ta đặt được

vào trong một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp

xúc với đáy của hình nón Bán kính đáy của hình nón đã cho là

 2a 2

Vậy bán kính hình nón là R2a 2

Câu 33: [2H2-3.5-3] (THPT Mộ Đức 2 - Quảng Ngãi - 2017 - 2018 - BTN)Trong không gian Oxyz,

cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có A3;1; 2 , C1;5; 4 Biết rằng tâm hình chữ nhật

A B C D    thuộc trục hoành, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

B A

Câu 46: [2H2-3.5-3] (Sở GD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABC có

cạnh bên SA vuông góc với đáy, ABa, BCa 2, SC2a và ASC 60 Tính bán kính

R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC

A

B

C O

Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Gọi H là tâm đáy thì SH là trục của hình vuông

ABCD Gọi M là trung điểm của SD, trong mp (SDH) kẻ đường trung trực của đoạn SD cắt SH

tại O thì OSOAOBOCOD nên O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Bán kính mặt cầu là RSO

SD R SH

 

Câu 11: [2H2-3.5-3] Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C    có ABa, góc giữa đường thẳng A C và

mặt phẳng AA B B   bằng 30  Gọi H là trung điểm của AB Tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A ABC

Ta có Tam giác ABC đều cạnh a CH AB và 3

2

a

CH  Suy ra CH ABC, nên

A C ABC ; A C A H ;  CA H  30

3.cot 30

a

S  

B

297.2

C

297.3

a

S  

D

297.5

a

S  

Lời giải Chọn A

Gọi H là trung điểm của BC 2

Gọi M là trung điểm AC , trong mp ABC 

vẽ đường trung trực AC cắt AH tại O  O

là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

Ta có cos 1 sin 1 cos 2 2

Trong AMO vuông tại M

23

924

2 2cos

B

C A

I

O N

H

C I

Gọi I là trung điểm của SA IAIBICIS I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Câu 18: [2H2-3.5-3] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C   

có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp lăng trụ đã .cho là

A

2

2 43

a h

  

23

a h



Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều

Gọi G G lần lượt là trọng tâm tam giác , ABC và A B C   Vậy GG là trục các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác đáy

Trong mặt phẳng AA G G  , kẻ đường trung trực d tại trung điểm M của AA và cắt GG tại '

Câu 26: [2H2-3.5-3] (THPT TRẦN PHÚ) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A

và B, ABBCa, AD2a, SAABCD và SAa 2 Gọi E là trung điểm của AD

Kẻ EK SD tạiK Bán kính mặt cầu đi qua sáu điểm S A B C E K, , , , , bằng:

C E K

B

Câu 35: [2H2-3.5-3] (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam

giác vuông cân tại B với ABBCa 3, góc SABSCB 90  và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng  a 2 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A 16 a 2 B 8 a 2 C 12 a 2 D 2 a 2

Lời giải Chọn C

Gọi D là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) Ta có: ABSA AB, SDAB(SAD)

AB AD

  Tương tự CB(SCD)BCDC Suy ra ABCD là hình vuông

Gọi H là hình chiếu của D trên SC DH (SBC)d A SBC( ,( )d D SBC( ,( )DH a 2

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SCD , ta có 12 12 1 2 SD a 6

Câu 1: [2H2-3.5-3] Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, SA vuông góc với đáy,

góc giữa mặt bên SBC và đáy bằng 60 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn D

Gọi H , M lần lượt là trung điểm BC, SA;

Câu 2: [2H2-3.5-3] Cho lăng trụ đứng ABC A B C   có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A ,

AB ACa, AA a 2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A BB C  là

A

243

a



B 4 a 2 C 12 a 2 D 4 3 a 2

Lời giải Chọn B

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A BB C  cũng là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng ABC A B C.    Gọi I I, lần lượt là trung điểm của BC và B C  Do tam giác ABC vuông cân đỉnh A nên

trung điểm O của IIlà tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng ABC A B C   

Bán kính mặt cầu là 1 2 2 1 2 2

2 2

R BC C C  a  a a Diện tích mặt cầu là 2

4 a Câu 3: [2H2-3.5-3] Cho hình chóp S.ABC có ABa AC,  2 ,a o

60

BAC , SAABC và 3

SAa Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng

2 cos 3

BC AB AC  AB AC Aa

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và  ABC tại O 

Trong mặt phẳng SA,, đường trung trực của SA cắt  tại I

Ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC, ta có r AO

Áp dụng đinh lý sin trong ABC ta có:

2sinBC  rAO  r a R r SA4  4a  R a2

Câu 4: [2H2-3.5-3] Cho hình chóp tam giác S ABC , đáy ABC là tam giác vuông tại A và BC4a

Cạnh bên SA3a và vuông góc với đáy Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình

chóp đó (Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu chứa đỉnh hình chóp và tất cả các đỉnh của

đa giác đáy của hình chóp, khối cầu tương ứng gọi là khối cầu ngoại tiếp hình chóp) bằng

Gọi H là trung điểm của BC, K là trung điểm của SA Qua H dựng đường thẳng

  ABC   SA Qua K dựng đường thẳng    SA   AH

Lúc đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp là I   

Xét tam giác IHA vuông tại H ta có:

Câu 5: [2H2-3.5-3] Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại A Biết

rằng AB AA a AC,  2 a Gọi M là trung điểm của AC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MA B C   bằng

Gọi O là trung điểm của A C 

Tam giác MA C  vuông cân tại M Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp MA C 

Câu 32: [2H2-3.5-3] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp) Cho  S là mặt cầu ngoại tiếp một hình tứ

diện đều cạnh 2a Tính bán kính Rcủa mặt cầu  S

S ABC là tứ diện đều nên SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC Trong mặt

phẳng SAO , kẻ đường trung trực d của cạnh SA , d cắt SO tại  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

2

.2

2

2 2

Câu 47 [2H2-3.5-3] (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Cho hình chóp S ABC

có đáy là tam giác ABC vuông tại B, AB3, BC4 Hai mặt phẳng SAB, SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, đường thẳng SC hợp với mặt phẳng đáy một góc 45 Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là:

Gọi I là trung điểm của SC thì IA IC IS

 S ngoại tiếp hình chóp S ABC

Vì SAABC nên SC,ABC SCA45

Ta lần lượt tính được: 2 2

5

AC AB BC  ; SA AC5; SCAC 2 5 2 Suy ra bán kính mặt cầu  S là 5 2

SC

R  Vậy thể tích khối cầu  S là

3

4 5 2 125 2

   

Câu 28 [2H2-3.5-3] (SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Cho hình chóp S ABC có tam giác

ABC đều cạnh a, SAABC, SAa Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng

S

Chọn D

Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC, dựng trục Gxcủa đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC, khi đó Gx SA// Trong mặt phẳng SAG dựng đường trung trực cạnh SA, cắt Gxtại I

Ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính là R SM2MI2

Câu 19: [2H2-3.5-3] (THPT Hồng Bàng - Hải Phòng - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABC có

đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên SBC và đáy bằng o

60 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng

A

3412

Lời giải Chọn D

Gọi M là trung điểm của BC thì AM BC (1) Mặt khác SAABC nên SABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BCSAM Do đó góc giữa SBC và ABC là góc SMA

giác ABC sao cho AHB120 Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S HAB , biết SH 4 3

Lời giải Chọn C

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB và r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB Áp dụng định lí sin trong tam giác AHB ta có 2

sin

AB

r AHB3

2sin

AB r

AHB

Qua O dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng AHB Gọi M là trung điểm của

SH Trong mặt phẳng SHO đựng đường trung trực của đoạn SH cắt dtại I Khi đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S HAB và có bán kính là

HI  OI HO    2 2

Câu 39: [2H2-3.5-3] (Lớp Toán - Đoàn Trí Dũng -2017 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC

là tam giác vuông cân tại A, AB ACa Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A

33

a

V  

C

32154

a

V 

D

354

a

V 

Lời giải Chọn B

Áp dụng công thức giải nhanh ta được

Câu 39 [2H2-3.5-3] (Đề thi lần 6- Đoàn Trí Dũng - 2017 - 2018)Cho hình chóp S ABC có đáy ABC

là tam giác vuông cân tạiA AB,  ACa Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chópS ABC

A

33

a

32154

a

V 

354

a

V 

Lời giải

Chọn B

+ Gọi H là trung điểm củaAB, ta có SH ABC

K là trung điểm của BC, suy ra K là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

G là trọng tâm tam giác SAB + Dựng hình chữ nhật HKIG, khi đó IK là trục của đáy, IG là trục của mặt bên suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

3 3

a

V  r  

Câu 34 [2H2-3.5-3] (TT Tân Hồng Phong - 2018 - BTN) Hình chóp tứ giác S ABCD

có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác SAB vuông cân tại S và tam giác SCD đều Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

Chọn B

J

H

K O I

B A

Theo cách dựng ở trên thì tứ giác IJKM là hình bình hànhMBJB

3

SI OKJ

AC và BAC 60 Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC Tính bán kính R

của mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, M , N

*Gọi K là trung điểm của ACsuy ra :AKABKC1

*Lại có BAC  60 ABK 60 ;KBC  30 ABC 90 1 

*Theo giả thiêt ANC 90 2 

KAKBKCKM KN AC

Câu 266 [2H2-3.5-3] [LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM -2017] Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác

vuông tại A, cạnh huyền BC6 cm , các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc 60 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là

Lời giải Chọn A

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC Gọi O là trung điểm của BC

Tam giác ABC vuông tại A, O là trung điểm của cạnh huyền BC, suy ra OA OB OC  (1) Xét các tam giác SHA,SHB,SHC có:

Từ  1 và  2 suy ra H trùng O Khi đó SH là trục đường tròn ngoại tiếp ABC

Trong SAH dựng trung trực của SA cắt SH tại I

Khi đó IAIBICIS Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

Câu 269 [2H2-3.5-3] [SỞ GD HÀ NỘI -2017] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh

2 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA3 Mặt phẳng   qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M , N, P Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP

 khối cầu đường kính AC là khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, dlà đường thẳng đi qua Hvà vuông góc với mặt phẳng (ABC), gọi   là mặt phẳng trung trực của SA, O là giao điểm củadvà   Khi đó O là tâm của hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC