D01 các bài toán tổng hợp về hàm số muc do 4

Khi M di chuyển trên  C thì Mz luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây?. Người ta muốn bắc một câu cầu từ bờ AB của ao đến vườn.. Tính gần đúng độ dài tối thiếu l của cây cầu biết: - Hai

Câu 48 [2D1-9.1-4] (THPT Kinh Môn 2 - Hải Dương - 2018 - BTN) Gọi  T là tiếp tuyến của

đồ thị hàm số 1  

2

x

x





 tại điểm có tung độ dương, đồng thời  T cắt hai tiệm cận của  C lần lượt tại A và B sao cho độ dài AB nhỏ nhất Khi đó  T tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn C

 2

1

2

y

x

 

0 0

1

; 2

x

x



Phương trình tiếp tuyến:

 2 0 0

0 0

1 1

2 2

x

x x





Ta có tiệm cận đứng: d1:x 2 và tiệm cận ngang: d2:y1

  1

A T d nên tọa độ điểm Alà nghiệm của hệ:

0 0 2

0

0 2

0

1

2

2

2 2

x

x x

  2

B T d nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:

0 0

1 1

2 2

1 1

x

x x

y y



 



2 2

0

0

2

2

x

2 2

0

4

2

x

AB min bằng 8 0

0

1 3

x x

 



   

 Vì y0 0 x0  3 Suy ra A2; 3, B4; 1 nên ta có phương trình AB: yx 3 2   y x 5

M ABOx nên tọa độ điểm Mlà nghiệm của hệ:

5

0

y x

y

 



 



5 0

x y

 



  

 M5; 0

NABOy nên tọa độ điểm Nlà nghiệm của hệ:

5

0

y x

x

 



 



0 5

x y





  

 N 0; 5 Vậy SOMN  1.5.5

2 12,5

Câu 33: [2D1-9.1-4] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Gọi  C là đồ thị của hàm số

2

yx  x , M là điểm di động trên  C ; Mt Mz, là các đường thẳng đi qua M sao cho

Mt song song với trục tung đồng thời tiếp tuyến tại M là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng Mt Mz, Khi M di chuyển trên  C thì Mz luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây?

A 0 1

1;

4

M  

1 1;

2

M  

  C M01;1 D M01;0

Lời giải Chọn A

Gọi tọa độ điểm M là:   2

0; 0 1

M x x  Phương trình đường thẳng Mz có dạng:    2  2

yk xx  x  kx y kx  x   Phương trình đường thẳng Mt là: xx0  x x0 0

Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng Mt Mz, là:

 2

0

2

1 0

kx y kx x

x x

k

 2

0

2

1 0

kx y kx x

x x

k



y k k  xkx x k   x  Mặt khác tiếp tuyến tại M là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng Mt Mz, nên:

 

 

2

1

1

2

(*)

Thay (*) vào phương trình đường thẳng Mz ta có:

0

1

2

x   k k  ta có:

Mz kx y kx  x    y kx k k x   x 

0

1

2

x   k k  ta có:

Mz kx y kx  x    y kx k k x   x 

Do đó phương trình đường thẳng Mz: 1

4

ykx k

Gọi M0x y0; 0 là tọa độ điểm cố định mà Mz luôn đi qua ta có: 0 0 1

4

y kx    k k

Vậy Mz luôn đi qua điểm cố định 0 1;1

4

M  

 

Câu 46 [2D1-9.1-4] (SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA-2018) Một cái ao hình ABCDE , ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính 10 m  Người ta muốn bắc một câu cầu từ bờ AB của ao đến vườn Tính gần đúng độ dài tối thiếu l của cây cầu biết:

- Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại

điểm O ;

- Bờ AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A và có trục đối xứng là đường thẳng OA ;

- Độ dài đoạn OA và OB lần lượt là 40m và 20m;

- Tâm I của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng AE và BC lần lượt 40m và 30m

Lời giải

:

Chọn A

Gán trục tọa độ Oxy sao cho A Oy

B Ox





 

 cho đơn vị là 10 Khi đó mảnh vườn hình tròn có phương trình     2 2

C x  y  có tâm I 4;3

Bờ AB là một phần của Parabol   2

P y x ứng với x 0; 2

Vậy bài toán trở thành tìm MN nhỏ nhất với  

 

 







Đặt trường hợp khi đã xác định được điểm N thì MNMIIM, vậy $MN$ nhỏ nhất khi

MNMI IM N; M ; I thẳng hàng

Bây giờ, ta sẽ xác định điểm N để $IN$ nhỏ nhất

 

; 4

N x x

IN  x  x 2  2  22

8 17

IN x x x

Xét   4 2

f x x x  x trên  0; 2   3

f x x x

  0

f x   x 1,3917 là nghiệm duy nhất và 1,3917 0; 2

Ta có f 1,39177, 68 ; f  0 17 ; f  2 13

Vậy giá trị nhỏ nhất của f x  trên  0; 2 gần bằng $7,68$ khi x1,3917

Vậy minIN  7, 682, 77 IN 27, 7m MNINIM27, 7 10 17, 7  m

Câu 37: [2D1-9.1-4] [THPT TRẦN QUỐC TUẤN - Lần 1- 2018] Cho hàm số

y x m x m m x m có đồ thị  C và đường thẳng d y: 4x8 Đường thẳng d cắt đồ thị  C tại ba điểm phân biệt có hoành độ x x x1, 2, 3 Tìm giá trị lớn nhất Pmax

của biểu thức Px13 x23 x33

A Pmax 16 26 B Pmax 16 2 8 C Pmax 23 6 2 D Pmax 24 6 2

Lời giải Chọn B

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị  C là:

x  m x  m  m x m  x

2 0

x mx m x

 

 



Để đường thẳng d cắt đồ thị  C tại ba điểm phân biệt  * có ba nghiệm phân biệt

 1

 có hai nghiệm phân biệt khác 2

  2

2

0

m

m

m

m

 

           



Khi đó d cắt đồ thị  C tại ba điểm phân biệt có hoành độ x x x1, 2, 3, giả sử x3  2, x x1, 2 là

hai nghiệm của phương trình  1 Theo định lý Vi - et, ta có: 1 2

2

1 2

2



 

Px x x x x   x x x x x x 

x x  x x x x  m m m

2m 4m 6m 12 8 4m 24m 8

Đặt:   3

f m   m  m trên 2; 2,   2

f m   m   f m    0 m 2 Vậy Pmax  f  2 16 2 8

Câu 44: [2D1-9.1-4] (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số

 

y f x có đạo hàm   2  2

f x x x x Khi đó hàm số  2

y f x nghịch biến trên

khoảng nào?

A 2; 2 B  ; 3 C 3; 0 D 3;

Lời giải

Chọn B

Ta có  2

y f x    2 2

y x  f x

2

y xf x Mặt khác   2  2

f x x x x nên  2   2 2 2  2 2

y xf x  x x x  x 

Do đó 5    2 2

y  x x x x x

Ta có bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số  2

y f x nghịch biến trên khoảng  ; 3 và  0;3

Câu 41: [2D1-9.1-4] (THPT Yên Lạc_Trần Phú - Vĩnh Phúc - Lần 4 - 2018 - BTN) Cho hàm số

 

f x có đạo hàm là hàm số f x trên Biết rằng hàm số y fx 2 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng nào?

A ; 2 B 1;1 C 3 5;

2 2

  D 2;

Lời giải Chọn B

Từ đồ thị hàm số y fx 2 2 ta suy ra đồ thị hàm số y fx2 (đường màu đỏ) bằng cách tịnh tiến xuống dưới 2 đơn vị

Suy ra đồ thị hàm số y f x (đường màu xanh) bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số

 2

y f x sang trái 2 đơn vị

Do đó hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng 1;1

Câu 46: [2D1-9.1-4] (THPT Chu Văn An - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN)Hình vẽ dưới đây là

đồ thị của hàm số y f x 

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số mđể hàm số y f x  1 m có 5 điểm cực trị ?

Lời giải Chọn C

+ Đồ thị của hàm số y f x  1 m được suy ra từ đồ thị  C ban đầu như sau:

- Tịnh tiến  C sang phải một đơn vị, sau đó tịnh tiến lên trên (hay xuống dưới) m đơn vị

Ta được đồ thị  C :y f x  1 m

- Phần đồ thị  C nằm dưới trục hoành, lấy đối xứng qua trục Ox ta được đồ thị của hàm

số y f x  1 m

Ta được bảng biến thiên của của hàm số y f x  1 m như sau

Để hàm số y f x  1 m có 5 điểm cực trị thì đồ thị của hàm số  C :y f x  1 m

phải cắt trục Ox tại 2 hoặc 3 giao điểm

+ TH1: Tịnh tiến đồ thị  C :y f x  1 m lên trên Khi đó

0

m m m





  



  



  

+ TH2: Tịnh tiến đồ thị  C :y f x  1 m xuống dưới Khi đó 0

m m





  

   m 2 Vậy có ba giá trị m nguyên dương

Câu 31: [2D1-9.1-4] (SGD Bắc Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN)Có bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số m  10;10 để hàm số y mx33mx2(3m2)x 2 m có 5 điểm cực trị?

Lời giải Chọn C

  2

1

x

mx mx m





Yêu cầu bài toánphương trình f x 0 có ba nghiệm phân biệtphương trình  1 có hai nghiệm phân biệt khác 1 2  

m m m

m m m



 

Vì m nguyên và m  10;10 nên m1; 2; ;10

Câu 41: [2D1-9.1-4] (THPT Phan Đăng Lưu - Huế - Lần I - 2017 - 2018) Một người cần đi từ khách

sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10 km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C nhất là 40 km Người đó có thể

đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ bên) Biết kinh phí đi đường thủy là 5 USD/km, đi đường bộ là 3 USD/km Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? (AB40 km,BC10 km)

A

B

C

D

km

15 km

Lời giải Chọn B

Tổng kinh phí đi từ A đến C là    2 2

f x x  x 

f x  x x  x

3 5

x

f x



f x



  0

2

x

  Bảng biến thiên

Câu 76: [2D1-9.1-4] [CHUYÊN THÁI BÌNH – L4] Phương trình sin 2

2017 x sinx 2 cos x có bao nhiêu nghiệm thực trong 5 ; 2017  ?

Lời giải Chọn D

Ta có

y   x    x  x 

2017 1 2 0 2

y      

y     

Bảng biến thiên:

Vậy trên 0; 2 phương trình 2017sinx sinx 2 cos 2 x có đúng ba nghiệm phân biệt

Ta có y  0, nên trên 0; 2 phương trình 2017sinx sinx 2 cos 2 x có ba nghiệm phân biệt là 0, , 2 

Suy ra trên 5 ; 2017  phương trình có đúng 2017    5 1 2023 nghiệm

Câu 40: [2D1-9.1-4] (PTNK Cơ Sở 2 - TPHCM - 2017 - 2018 - BTN) Cho   3 2

f x x  x  x Phương trình f f x   1 1 f x 2 có số nghiệm thực là

Lời giải Chọn A

Đặt t f x 1 3 2

t x x x

Khi đó f f x   1 1 f x 2 trở thành:

  1 1

f t   t

  2

1

t

f t t t

 



1

t

 



 



 

 

1 2 3

1 2; 1 1;1 1; 6

t

t t

t t

t t

 



    



    



  



 

  2

3

1;1 5; 6

t t

t t

  



 

 

Vì   3 2

g t  t t  t ; g   2 7; g  1 4; g 1  10; g 5  14; g 6 25 Xét phương trình 3 2

tx  x  x là pt hoành độ giao điểm của

Ta có

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

+ Với t  t2  1;1, ta có d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt, nên phương trình có 3 nghiệm

+ Với t t3  5;6 , ta có d cắt (C) tại 1 điểm, nên phương trình có 1 nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm

1

+ ∞

y

– ∞

7 6 3

 

1

7 6 3

 

0

+ ∞

Câu 41: [2D1-9.1-4] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Có bao nhiêu giá trị

8sin x m 162sinx27m có nghiệm thỏa mãn 0

3

x 

  ?

Lời giải Chọn A

Đặt t2sinx, với 0

3

x 

  thì t 0; 3 Phương trình đã cho trở thành  3 3

t m  t m Đặt 3

u t m 3

t u m

Khi đó ta được  

3 3

27 3





Xét hàm số   3

27

f v  v v liên tục trên có nên hàm số đồng biến

Do đó  *  u 3t 3

3

t t m

    1 Xét hàm số   3

3

f t  t t trên khoảng  0; 3

có   2

f t  t  ; f t   0 t 1 (vì t0)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình  1 có nghiệm khi

Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán

Câu 43: [2D1-9.1-4] (Chuyên Quang Trung - BP - Lần 4 - 2017 - 2018) Cho hàm số

1

x y

x





 có đồ thị  C Một tiếp tuyến bất kỳ với  C cắt đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của  C lần lượt tại A và B, biết I 1; 2 Giá trị lớn nhất của bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB là

Lời giải Chọn B

Đồ thị  C có tiệm cận đứng x1, tiệm cận ngang y2

 2

4

1

x



Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ x0 là

2

4

0 1

x 

Tọa độ điểm 0

0

1;

1

x A x

 , B2x01; 2 Tam giác IAB vuông tại I có IA IB 16

Gọi p là nửa chu vi tam giác IAB Ta có

S r

p



IA IB

IA IB IA IB



IA IB

IA IB IA IB





16



Đẳng thức xảy ra khi IAIB4 hay x0 3

Câu 41: [2D1-9.1-4] (THPT Phan Chu Trinh - ĐăkLăk - 2017 - 2018 - BTN) Cho cấp số nhân  b n

thỏa mãn b2 b1 1 và hàm số   3

3

f x x  x sao cho flog 2 b2   2 flog 2 b1  Giá trị nhỏ nhất của n để b n 5100 bằng:

Lời giải Chọn A

Xét hàm số   3

3

f x x  x

Có   2

f x  x  , f x 0   x 1

Mặt khác, ta có b1b2 1

Đặt alog2b2 log2b1 b 0

Ta có: 3 3

a  a b  b  1 Nếu b1  a b 1 3 3

a a b b

     1 vô nghiệm

Nếu 0 b 1 3

2 b 3b 0

a a

Suy ra a1  b 0

Khi đó

0 1 1 2

b b







1 100

2n 5

n

b 

Vậy giá trị nhỏ nhất của n là 234

y



2

0

2



