D02 các bài toán tiếp tuyến (có tham số) muc do 3

Tính tổng các phần tử của S... Xác định m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến  C sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox.. 0 Thế k vào phương trình thứ nhất, ta đ

Câu 3: [2D1-7.2-3] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Cho hàm số 1

2

x y x





 có đồ thị

 C và đường thẳng d y:    2x m 1 (m là tham số thực) Gọi k1, k2 là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của d và  C Khi đó k k1 2 bằng

Lời giải

Chọn B

Ta có

 2

x

Hoành độ giao điểm của d và  C là nghiệm của phương trình:

2 1

2

x

x

          

  1 ( luôn có hai nghiệm phân biệt)

Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình  1 thì

1 2

1 6 2 1

3 2 2







Khi đó hệ số góc  

1

1 2

k y x

x



2

1 2

k y x

x





Nên

3

6 4 2

k k

m m

Câu 13: [2D1-7.3] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG-LẦN

2-2018) Cho hàm số 3 2

yx  x  mx m Có bao nhiêu giá trị thực của m để đồ thị tiếp xúc với Ox

Lời giải Chọn B

Vì hàm số đã cho là hàm số bậc ba nên đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành khi

phương trình 3 2

x  x  mx  m có hai nghiệm phân biệt

1 3

m x

phân biệt ( 1

3

x không thỏa mãn phương trình)

Đặt   3 3 2 1

1 3

f x

x



2

1 3

f x

x

 , f x 0 có đúng 1 nghiệm

0 1,565

x 

Bảng biến thiên

-∞

f(x0)

-∞

+∞

-∞

f(x)

-1/3

Dựa vào bảng biến thiên, chỉ có 1 giá trị của m thỏa mãn bài toán

Câu 41: [2D1-7.2-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Với giá trị nào của

m thì đường thẳng y2x m tiếp xúc với đồ thị hàm số 2 3

1

x y x







2

m   C m 2 D m 2 2

Lời giải Chọn D

Đường thẳng y2x m tiếp xúc với đồ thị hàm số 2 3

1

x y x





 khi và chỉ khi hệ phương trình sau có

nghiệm:

 

2

1

2

1 1

2

1 1

x

x x

x x

x x







Ta có    2 1 2

      

Với 2 1

2

x  thay vào  2 ta được m 2 2

Với 2 1

2

x   thay vào  2 ta được m2 2

Do đó, giá trị cần tìm của m là : m 2 2

Câu 12: [2D1-7.2-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Gọi S là tập tất cả các giá trị thực

của tham số m sao cho đường thẳng d y: mx m 3 cắt đồ thị   3 2

C y x  x  tại ba điểm phân biệt A, B, I1; 3  mà tiếp tuyến với  C tại A và tại B vuông góc với nhau Tính tổng các phần tử của S

Lời giải

Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C và  d : 2x33x2 2 mx m 3

      (*)

Để đường thẳng  d cắt đồ thị  C tại ba điểm phân biệt thì phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt 2

2x x m 1 0

     có hai nghiệm phân biệt x1

2

0 2.1 1 m 1 0

 



 

   



9 8 0

m m



 



 

 



Do tiếp tuyến với  C tại A và tại B vuông góc với nhau nên k k1 2  1

Với k1 là hệ số góc tiếp tuyến với  C tại A, k2 là hệ số góc tiếp tuyến với  C tại B

Ta có 2

y  x  x  2 

1 6 1 6 1

Do k k1 2  1 nên  2  2 

6x 6x 6x 6x  1  2  

36 x x 36x x x x 36x x 1 0

Theo định lý vi-et ta có 1 2

1 2

1 2 1 2

m

x x

  





khi đó ta có

2

2

6

6

m

m

  







  







Vậy 3 5 3 5 1

Câu 34: [2D1-7.2-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Q Trị - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Tìm tham số

m để đồ thị hàm số yx3m3x23m2x2m tiếp xúc với trục Ox

A m2; m1 B m2; m1 C m2; m1 D m 2; m1

Lời giải

Chọn B

y x x  m xm

Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục Ox Hệ phương trình sau có nghiệm 0

0





  



y y

2 2



 

 

2 2

2 0

1 2

x

m x

  

    





    



 







 2

2 1 1 2

x m m x

 



 





 





   





2 2 1 1

x m x m

 



 





 

 





Vậy m2 hoặc m1 đồ thị hàm số tiếp xúc Ox lần lượt tại các điểm A 2;0 , B 1;0

* Tổng quát: Đồ thị hàm số bậc ba có điểm chung với trục Ox tại điểm A a ;0 và tiếp xúc với

Ox thì ta có cách giải tổng quát:

+ Phân tích yxa Ax2BxC

+ Đồ thị hàm số tiếp xúc Ox Phương trình Ax2BxC0 có nghiệm kép hoặc nhận

xa làm nghiệm

Câu 36: [2D1-7.2-3] (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số

2

x b y

ax





 ab 2 Biết rằng a và b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A1;2 song song với đường thẳng d: 3x  y 4 0 Khi đó giá trị của a3b bằng

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có

 2

2 2

ab y

ax

 

 

 2

2 1

2

ab y

a

 





Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 3x  y 4 0 nên:y 1  3

 2

2

3 2

ab a

 

Mặt khác A1; 2 thuộc đồ thị hàm số nên 2 1

2

b a



 

    b 2a 3 Khi đó ta có

 2

2

3 2

ab a

   

2 a 2a 3 3a 12a 12

         , a2

2

5a 15a 10 0

1

a loai a





  

Với a    1 b 1 a 3b 2

Câu 37: [2D1-7.2-3] [SGD NINH BINH _ 2018 _ BTN _ 6ID _ HDG] Có bao nhiêu giá trị nguyên

dương của tham số m để trên đồ thị hàm số   1 3 2  

3

m

C y x mx  m x có hai điểm nằm về hai phía của trục tung mà tiếp tuyến của  C m tại hai điểm đó cùng vuông góc với đường thẳng  d :x2y 5 0?

Lời giải Chọn C

Ta có 2

y x  mx m Đường thẳng d có hệ số góc 1

2

k   Gọi M x y 0 ; 0   C

Tiếp tuyến của  C tại M vuông góc với d nên

2 2

YCBT * có hai nghiệm trái dấu 2 5 0 5

2

Do m nguyên dương nên m 1 hoặc m 2

Câu 2281 [2D1-7.2-3] Tìm m để   3 1  2

3 2

m

x

C y  m x  mx tiếp xúc với đường thẳng y  1

0; ; 2 3

m 

2 4; ;6 3

m 

  C m0; 4;6 D 2

0; ;6 3

m 

 

Lời giải Chọn D

 C m tiếp xúc đường thẳng y 1 tại điểm có hoành độ x0 khi hệ sau có nghiệm x0

3

2 0

2

1 ( 2) 2 1 1 ( )

3 2

( 2) 2 0 ( )

x









Ta có: ( ) b     x0 2 x0 m

Thay x0 2 vào  a ta được: 2

3

m Thay x0  m vào  a ta được:

3 2

6

m

 C m tiếp xúc đường thẳng y 1 0; ;62

3

 .

Câu 2291 [2D1-7.2-3] Cho hàm số 1 3 2

( 1) (4 3 ) 1 3

y mx  m x   m x có đồ thị là  C m Tìm các giá

trị m sao cho trên đồ thị  C m tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng  d :x2y 3 0

A m12 hoặc 2

3

m B m0 hoặc m1 C m1 hoặc 1

3

m D m0 hoặc 2

3

m

Lời giải Chọn D

 d có hệ số góc 1

2

  tiếp tuyến có hệ số góc k 2 Gọi x là hoành độ tiếp điểm thì:

y  mx  m x  m  mx  m x  m  

Theo bài toán, phương trình   có đúng một nghiệm âm

Nếu m0 thì        2x 2 x 1 (không thỏa)

Nếu m0 thì dễ thấy phương trình   có 2 nghiệm là x1 hay x 2 3m

m



Do đó để   có một nghiệm âm thì 2 3m 0 m 0

m

hoặc 2

3

m

Câu 2292 [2D1-7.2-3] Cho hàm số 1 3 2

( 1) (4 3 ) 1 3

y mx  m x   m x có đồ thị là  C m Tìm các giá

trị m sao cho trên đồ thị  C m tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng  d :x2y 3 0

A 0;1 1 2;

m   

m   

C 0;1 1 8;

m   

m   

Lời giải Chọn D

Ta có: 2

2( 1) 4 3

y mx  m x  m; : 1 3

d y  x Theo yêu cầu bài toán  phương trình y 2 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt

mx  m x  m có đúng 2 nghiệm dương phân biệt



0 0 0 0

m

S P





  



 



 





1 0

2

m m

  





  



Vậy, với 0;1 1 2;

m   

    thỏa mãn bài toán.

Câu 2303 [2D1-7.2-3] Tìm m để đồ thị hàm số

2

1 1

y x

 



 tiếp xúc với parabol

2

yx m

A m 2 B m0 C m 1 D m3

Lời giải Chọn C

Hai đường cong đã cho tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x khi hệ phương trình: 0

2

2

0 0

2

0 2 0

1

(1) 1

2

2 (2) ( 1)

x

x x









có nghiệm x 0

(2)x (2x 5x 4)  0 x 0 thay vào  1 ta đượcm 1 Vậy m 1 là giá trị cần tìm

Câu 2304 [2D1-7.2-3] Tìm m để đồ thị hai đồ thị hàm số 3 2

1 (C) :ymx  (1 2 )m x 2mx và

3 2

(C ) :y3mx 3(1 2 ) m x4m2 tiếp xúc với nhau

m m 

B 1, 8 6

m m 

C 5, 3 6

m m 

D 1, 3 6

m m 

Lời giải Chọn D

1

(C và ) (C2) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x khi hệ phương trình sau có nghiệm 0 x : 0







2

2 (1 2 ) (3 8 ) 4 2 0 (1)

6 2(1 2 ) 3 8 0 (2)



 

Ta có: 2

(1)(x 1)(2mx  (1 4 )m x 4m2)0 0

2

1

x





 Với x0 1 thay vào  2 , ta có: 1

2

m

 Với 2

2mx  (1 4 )m x 4m 2 0 (*) ta có :

0 2

0

1

4

x

x

m







 



(m0 vì m0 hệ vô nghiệm)

Thay 0 1 4

4

m x

m



 vào (*) ta được:

(1 4 ) (1 4 )

m

12

m m 

là những giá trị cần tìm

Câu 2309 [2D1-7.2-3] Cho hàm số 2

1

x y x





 có đồ thị là  C và điểm A0;m Xác định m để từ A

kẻ được 2 tiếp tuyến đến  C sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục

Ox

A

1 1 3

m m







  

1 2 5

m m







  

1 1

m m





  

1 2 3

m m







  



Lời giải Chọn D

Cách 1: Gọi điểm M x y( ;0 0)( )C Tiếp tuyến  tại M của  C có phương trình:

0 0 2

2 3

x





2



2

       (với x0 1)

2

(m 1)x 2(m 2)x m 2 0

       (*)

Yêu cầu bài toán (*) có hai nghiệm a b, khác 1 sao cho

0

m

m m



Vậy

1 2 3

m m







  

 là những giá trị cần tìm

Cách 2: Đường thẳng d đi qua A , hệ số góc k có phương trình: ykxm

d tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

0

0 0

2 0

2 1 3

( 1)

x

x

k x





 



có nghiệm x 0

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được:

2

1 ( 1)

Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

' 3( 2) 0

2

1

m

m

m



 





   



Khi đó tọa độ hai tiếp điểm là: M x y1( ;1 1), M x y2( ;2 2)với x x là nghiệm của (*) và 1, 2

;

Để M M1, 2 nằm về hai phía Ox thì 1 2 1 2

1 2

y y

x x x x

Áp dụng định lí Viet: 1 2 2( 2); 1 2 2

m

m



Kết hợp với  i ta có

2 3 1

m m

  





 



là những giá trị cần tìm

Câu 2310 [2D1-7.2-3] Tìm tham số m để đồ thị   3 2

C y  x m x  mx m của hàm số tiếp xúc với trục hoành

A 0;1;4

3

m 

  B m0;1; 2 C 1; 2;4

3

m 

  D

4 0;1; 2;

3

m 

 

Lời giải Chọn D

 C tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ x 0 khi hệ

2





Giải hệ  A

2

0

2 2

2

( )

x

A





Hoặc

2

2





 Thay x0 2 vào  1 ta được 4

3

m

Hệ

Trừ hai phương trình  1 và  3 , vế với vế ta được: ( 2) 0 0

2

m

m

     



Thay 0

2

m x

m

 

 vào  1 , ta được:

2

2

0

m

          Vậy 0;1; 2;4

3

m 

 .

Câu 2311 [2D1-7.2-3] Gọi  C m là đồ thị của hàm số yx4(m1)x24m Tìm tham số m để  C m

tiếp xúc với đường thẳng  d :y3 tại hai điểm phân biệt

A 1

3

m m





 

1 16

m m





 

2 13

m m





 

1 13

m m





 



Lời giải Chọn D

 C m tiếp xúc với  d tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

3

( 1) 4 3 (1)

4 2( 1) 0 (2)





nghiệm x 0

Giải hệ  A , (2)x0 0 hoặc 2

0

1 2

m

x  

Thay x0 0 vào (1) ta được 3

4

m

Thay 02 1

2

m

x  

vào (1) ta được

m

2

Khi 3

4

m thì  C m tiếp xúc với  d tại chỉ một điểm  0;3 nên 3

4

m không thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Khi m1 thì 2

x  x   , suy ra  C m tiếp xúc với  d tại hai điểm (1;3)

Khi m13 thì x02  7 x0   7,suy ra  C m tiếp xúc với  d tại hai điểm  7;3

Vậy các giá trị m cần tìm là m1;m13

Câu 2315 [2D1-7.2-3] Tìm tham số m để đồ thị hàm số  : 2

1

m

x

 



 với m0 cắt trục hoành

tại 2 điểm phân biệt A B, sao cho tiếp tuyến tại 2 điểm A B, vuông góc với nhau

5

3

5

7

m 

Lời giải Chọn A

Hàm số cắt trục hoành thại hai điểm phân biệt A B, có hệ số góc là 2 1

1

x k x







Ta có:

 

2

2

1

y

x

 

 , đặt   2

g x x  x m  Theo bài toán, g x 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

Theo đề, tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau tức k k A B  1, tìm được 1

5

m 

Câu 41: [2D1-7.2-3] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm

số 3

3

yx  x có đồ thị  C và điểm A a ; 2 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a

để có đúng ba tiếp tuyến của  C đi qua A Tập hợp S bằng

3

S     

2

; 2 3

S  

Lời giải

Chọn C

Giả sử  là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc là k, khi đó phương trình đường thẳng 

là yk x a   2

Để  là tiếp tuyến của  C

thì hệ phương trình    

 

3 2

3 3 2





 

Thay  2

vào  1

ta được 3  2   

x  x x  x a 

1 0

x

 



Để từ A kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị  C

thì phương trình  *

có hai nghiệm phân biệt

1

x 

  2  

0



 

 

1

a

 



 



1 2 3 2

a a a

 





  



 

Vậy

   

2

3

S     

Câu 43: [2D1-7.2-3] (SGD - Bắc Ninh - 2017 - 2018 - BTN) Gọi S là tập các giá trị của tham số m

để đồ thị hàm số 4 2

yx  x  m có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox Tìm tổng các phần tử của S

Lời giải Chọn B

M x x  x  m là tiếp điểm

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M có dạng: 3

k x  x

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với trục Ox thì

0 0 0

0

1

x

x







  



Tại A0;m2 thì phương trình tiếp tuyến là  d1 : y m 2

Tại B1;m3 thì phương trình tiếp tuyến là  d2 : y m 3

Tại C1;m3 thì phương trình tiếp tuyến là  d3 : y m 3

Theo đề, chỉ có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox nên: 2 0 2



Vậy S 2;3 do đó ta chọn phương án B

Câu 36: [2D1-7.2-3] (PTNK Cơ Sở 2 - TPHCM - 2017 - 2018 - BTN) Cho đồ thị

C yx  x  x và điểm A m ; 10  Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của m để

có đúng 2 tiếp tuyến của  C qua A Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng

5

2

Lời giải Chọn C

Gọi d là đường thẳng qua A m ; 10  có hệ số góc k

Suy ra d y: k x m  10

d là tiếp tuyến của  C khi hệ phương trình sau có nghiệm

2







Thế k vào (1), ta được 3   2

2x  3m3 x 6mx9m200 (*)

Để có đúng 2 tiếp tuyến của  C qua A thì phương trình (*) có 2 nghiệm

Suy ra đồ thị hàm số   3   2

f x  x  m x  mx m có 2 cực trị, trong đó có 1 cực trị thuộc trục hoành

Ta có   2  

f x  x  m x m

0

f x



Khi đó 12 3 21 02

m





7 4 4

1 21 2

m m m









 



 

 



Vậy 7; 4; 1 21

S    

  Suy ra

4

T       19

4



Câu 46: [2D1-7.2-3] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số

 

yx  x  m x m có đồ thị là  C m Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị  C m vuông góc với đường thẳng :y3x2018

3

3

m 

Lời giải Chọn C

Ta có 2

y  x  x m 

2

3

3

  , dấu " " xảy ra

2 3

x

 

Tiếp tuyến d của  C m có hệ số góc nhỏ nhất là 7

3

m Bài ra d   nên 7

.3 1 3

m

    

Vậy m2

1

x y x





 có đồ thị  C và điểm

 0;

A a Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của a trong đoạn 2018; 2018 để từ điểm A

kẻ được hai tiếp tuyến đến  C sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành?

Lời giải Chọn C

Đường thẳng d đi qua điểm A 0;a , hệ số góc k có phương trình: ykx a

Để d là tiếp tuyến của  C thì hệ phương trình

 2

2 1 3 1

x

kx a x

k x



 

 









có nghiệm

Do từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến  C nên phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt khác 1

 

1

2

1

a

a a

a

 

      



 2

1 1

2

; 1

x

M x

x

2 2 2

2

; 1

x

N x

x

  với x1, x2 là nghiệm của  1

1

a

a



 , 1 2

2 1

a

x x a





 Hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành khi

0 1

0

a

a



Kết hợp điều kiện  2 suy ra

2 3 1

a a

  





 nên trên đoạn 2018; 2018 số giá trị nguyên của a

thỏa yêu cầu bài toán là 2018

Câu 6: [2D1-7.2-3] (THPT Sơn Tây - Hà Nội - 2018 – BTN – 6ID – HDG) Cho hàm số

yx  x  m x m  C m Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để từ điểm M 1; 2

kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với  C m Tổng tất cả các phần tử của tập S là? :

A 4

81

3

217 81

Lời giải Chọn D

Ta có: 2  

y  x  x m Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M 1; 2 là: ykx k 2

Điều kiện tiếp xúc của  C m và tiếp tuyến là: