D09 - Điều kiện để hàm số có cực trị, kèm giả thiết (theo x) - Muc do 3

Hỏi có mấy giá trị của m?. Hỏi có bao nhiêu số thực m để hàm số có cực trị và các điểm cực trị của đồ thị hàm số đều thuộc các trục tọa độ... Đây là Parabol có cực tiểu.. số nguyên m để

Câu 43: [2D1-2.9-3] (THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Biết rằng đồ thị hàm

2

f x  x  mx  x có giá trị tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền là 7 Hỏi có mấy giá trị của m?

Lời giải Chọn D

1

y x x mx , 2

y  x mx   1

 Để hàm số có cực trị thì  1 phải có hai nghiệm phân biệt

Điều này tương đương với  0 2

4 0

m

2

m m





   

 Gọi hai nghiệm của  1 là x1, x2 Khi đó, ta có 1 2

1 2 1

x x



Độ dài hai cạnh của tam giác vuông đó là x1 , x2 Theo bài ra ta có phương trình:

2 2

1 2 7

1 2 2 1 2 7

2 7

m

9

m

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 22: [2D1-2.9-3] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Biết m0 là giá

trị của tham số m để hàm số yx33x2mx1 có hai điểm cực trị x x1, 2 sao cho

2 2

1 2 1 2 13

x x x x  Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A m0  1;7 B m07;10 C m0  15; 7  D m0   7; 1

Lời giải Chọn C

TXĐ: D

2

3 6

y  x  x m

y   x  x m  ;    9 3m Hàm số có hai điểm cực trị      0 m 3

Hai điểm cực trị x x1; 2 là nghiệm của y 0 nên: 1 2 2; 1 2

3

m

x x  x x 

1 2 1 2 13 1 2 3 1 1 13

x x x x   x x  x x 

4 m 13 m 9

      Vậy m0    9  15; 7 

Câu 43 [2D1-2.9-3] (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hàm số

3 2

3 4 3

x

y ax  ax Để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn

2

  thì a thuộc khoảng nào ?

2

  B

7 5;

2

  C a   2; 1 D 7; 3

2

a   

Lời giải Chọn B

Đạo hàm : 2

y x  ax a, y  0 x22ax3a0  1

Hàm số có hai cực trị x1,x2 khi y 0 có hai nghiệm phân biệt         0 a 3 a 0

Khi đó x1,x2 là nghiệm pt  1 , theo định lý Viet : 1 2

1 2

2



2

2





4 12

a

Câu 36: [2D1-2.9-3] (THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Cho hàm số

ymx  m x  Hỏi có bao nhiêu số thực m để hàm số có cực trị và các điểm cực trị của đồ thị hàm số đều thuộc các trục tọa độ

Lời giải Chọn C

Tập xác định D , xét m0 thì y  x2 1, khi đó hàm số có một cực đại nằm trên Oy Xét m0 3  

y  mx  m x, y 0 2

0 1 2

x m x

m







 



Hàm số có ba cực trị khi 1 0

2

m m

1

m m





   

 Khi đó

1 2

m y

m

2 4

m

 

Ycbt    m 2 0  m 2

Câu 47: [2D1-2.9-3] (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm tất cả các giá

trị thực của tham số m để hàm số 3 2 2 1

3

m

y x  x mx có 2 điểm cực trị thỏa mãn

C Đ C T

x x

Lời giải Chọn D

4

y mx  x m Hàm số có 2 điểm cực trị y0 có 2 nghiệm phân biệt

2

0

m m







0

m m





   

Căn cứ vào dạng của đồ thị hàm số bậc 3, để hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn x C Đx C T thì

0

m  2

Từ  1 và  2 suy ra giá trị m cần tìm là 0 m 2

Câu 2: [2D1-2.9-3] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Biết a

b (trong đó

a b

là phân số tối giản và a, b *) là giá trị của tham số m để hàm số

 

2 3 1

y x mx  m  x có 2 điểm cực trị x1, x2 sao cho x x1 22x1x21 Tính giá trị biểu thức 2 2

S a b

Lời giải Chọn A

Tập xác định: D

y  x  mx m  Hàm số có hai điểm cực trị

0



13m 4 0

2 13 13

2 13 13

m

m













 





Theo định lý Viet thì 1 2

2

1 2 3 1







Ta có x x1 22x1x21 2

3m 1 2m 1

3m 2m 0

0 2 3

m m









 

 Chỉ có giá trị 2

3

m thỏa điều kiện, khi đó Sa2b2 2232 13

Câu 47: [2D1-2.9-3](Sở GD và ĐT Cần Thơ - 2017-2018 - BTN) Giá trị của tham số msao cho hàm

số yx33x2mx1 có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn x12x22 3là

2

2

m 

Lời giải Chọn B

Ta có 3

3 6

y  x  x m

Hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn x12x22 3 khi và chỉ khi y 0 có hai nghiệm

phân biệt x x1, 2 và

 2

1 2 1 2

0

y



 







36 12 0 2

3

m m





 



3 2

m

Câu 43: [2D1-2.9-3] (Sở GD Cần Thơ-Đề 323-2018) Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số

yx  x  m x m  đạt cực trị tại các điểm x1 và x2 thỏa mãn x1  1 x2 là

A ;1 B 1; C  1; 2 D ; 2

Lời giải Chọn A

y  x  x m ; y 0 2

Hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 thỏa mãn x1  1 x2  phương trình  * có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn x11x2 1 0  

1 2 1 2

1 0

m

x x x x





 

   



2

1 1

m

m m





   

Câu 41: [2D1-2.9-3] (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Với tham số m, đồ thị của hàm số

2 1

x mx y

x





 có hai điểm cực trị A, B và AB5 Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A m2 B 0 m 1 C 1 m 2 D m0

Lời giải Chọn B

Ta có D \ 1 và có đạo hàm là

2 2 2 1

y

x

 

Để hàm số có hai điểm cực trị ta phải có 1 0

m m

 



   

Gọi hai hoành độ cực trị là x1 và x2 ta có 1 2

1 2

2

x x



Khi đó điểm A x 1, 2x1m và B x 2, 2x2m

4 4 5 5

4

Câu 48: [2D1-2.9-3] (THPT Hồng Bàng - Hải Phòng - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hàm số

yx mx  m  m x Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm x x1, 2 sao cho x x1 2 0

A m  ;0  3; B m  ;0  3;

Lời giải Chọn D

y  x  mx m  m

Để hàm số đạt cực trị tại hai điểm x x1, 2 sao cho x x1 2 0 thì y 0 có hai nghiệm phân biệt

1, 2

x x thỏa x x1 2 0 c 0

a

3 0

Câu 23: [2D1-2.9-3](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Có bao nhiêu số nguyên

m để hàm số yx33x2mx4 có hai điểm cực trị thuộc khoảng 3;3 

Lời giải Chọn B

Ta có 2

3 6

y  x  x m

Hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng 3;3 khi và chỉ khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2  3;3

2

3x 6x m 0

    có hai nghiệm phân biệt x x1, 2  3;3

2

3 6

   có hai nghiệm phân biệt x x1, 2  3;3

Xét hàm số   2

3 6

f x  x  x

Ta có f x 6x6; f x   0 x 1

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có   3 m 9

Vậy m   2; 1;0; ;8

Câu 45: [2D1-2.9-3] (THPT Chuyên Quốc Học Huế-Lần 3-2018-BTN) Cho hàm số

m

f x x m x mx với m là tham số thực Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng 20;18 sao cho đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm cùng

một phía đối với trục hoành?

Lời giải Chọn D

( ) 3 3 1 3

f x  x  m x m, f  x 0 x 1

 



Hàm số có cực trị thì m 1

Đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm cùng một phía đối với trục hoành

4

Suy ra m0 và m 1

Vậy trong khoảng 20;18 có 18 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán

1

3

y mx  m x  m x với m là tham số Tổng bình phương tất cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn 2x1x2 2 bằng

A 34

10

73

52

9

Lời giải Chọn D

y mx  m x m

Để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn 2x1x2 2 thì  

 

1 2

2x x 2 2



 





Mặt khác ta có 1 2    

3 2

m

Từ  2 và  3 ta có x1 2

m



1

2

3

m





 

 



(thỏa  * )

Vậy 2 4 52

2

 

Câu 36: [2D1-2.9-3] [SGD NINH BINH _ 2018 _ BTN _ 6ID _ HDG] Có bao nhiêu giá trị của tham

số thực m để hàm số 1 3 2  2 

3 2018 3

y x x  m  x có hai điểm cực trị x1, x2 sao cho biểu thức P x x1 2 2 2 x21 đạt giá trị lớn nhất?

Lời giải Chọn C

TXĐ: D Ta có 2 2

y x  x m 

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi y 0 có hai nghiệm phân biệt

2



Ta có P x x1 2 2 2 x21  x x1 22x2x12  2

Theo Định lý Viet 1 2

2

1 2

2 3

x x

x x m





1 2 2 2 1 2 9

P x x  x x   m  Khảo sát hàm số   2

9

f m  m  trên 2; 2 ta được

2;2

max f m 9

  khi m0

Câu 45 [2D1-2.9-3] (CHUYÊN VĨNH PHÚC)Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm

số 1 3 2

1 3

y x mx   x m có 2 cực trị x1, x2 thỏa mãn 2 2

1 2 4 1 2 2

x x  x x 

A m0 B m2 C m 1 D m 3

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có y'x22mx1

Phương trình x2 2mx 1 0 có ac0nên có hai nghiệm trái dấu Suy ra có hai nghiêm phân biệt

Theo Viet ta có: 1 2

1 2

2 1

x x



Do đó x12x22 4x x1 2 2  2

1 2 2 1 2 2

4m 2 2 m 1 m 1

tham số m để hàm số ymx4m6x21 có đúng một điểm cực tiểu

Lời giải Chọn D

Vậy m0 nhận

TH2: m0

3

y  mx  m x, 2

0

2

x

x

m







 



Để hàm số có đúng một cực tiểu thì:

0 6 0 2 0 6 0 2

m m m m m m













0 6 0 6

m m m m











0

m m

 



Kết hợp với trường hợp 1 thì m6

Vì m nguyên không âm nên m0;1; 2;3; 4;5;6

Câu 1004: [2D1-2.9-3] [TT Tân Hồng Phong-2017] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

  4  2  2

Lời giải Chọn B

f x  mx  m  x x mx  m  

 

2 2 0

2

f x x m





Suy ra m0  1 thỏa yêu cầu bài toán

0

1 0

m

m

m m



Từ  1 và  2 suy ra 0 m 1

Lời giải Chọn D

TH1: m  0 y 6x21 Đây là Parabol có cực tiểu Vậy m0 nhận

TH2: m0

3

y  mx  m x, 2

0

2

x

x

m







 



Để hàm số có đúng một cực tiểu thì:

0 6 0 2 0 6 0 2

m m m m m m













0 6 0 6

m m m m











0

m m

 



Kết hợp với trường hợp 1 thì m6

Vì m nguyên không âm nên m0;1; 2;3; 4;5;6

số nguyên m để hàm số có ba điểm cực trị, trong đó có đúng 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại?

A 3 B 4 C 5 D 2

Lời giải Chọn D

y  mx  m 

5 0 0

m m m



 





3

5 0 0

m

 



Nên m1 hoặc m2

hình bên

Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y f x m có ba điểm cực trị là

Lời giải Chọn C

Nhận xét: Đồ thị hàm số y f x m gồm hai phần:

·Phần 1 là phần đồ thị hàm số y f x m nằm phía trên trục hoành;

·Phần 2 là phần đối xứng của đồ thị hàm số y f x m nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành

Dựa vào đồ thị của hàm số y f x  đã cho hình bên ta suy ra dạng đồ thị của hàm số

 

y f x m

Khi đó hàm số y f x m có ba điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số y f x m và trục hoành tại nhiều nhất hai điểm chung

1 0 1

Cách 2: Ta có

     2

y f x m  f x m ;      

 

f x f x m y

f x m

 



Để tìm cực trị của hàm số y f x m, ta tìm x thỏa mãn y 0 hoặc y không xác định

2

f x



 

 

Dựa vào đồ thị ta có  1 có hai điểm cực trị x x1, 2 trái dấu Vậy để đồ thị hàm số có 3 cực trị thì  2 có một nghiệm khác x x1, 2



Câu 1015: [2D1-2.9-3] [Chuyên ĐH Vinh-2017] Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số

2 1

yax x  có cực tiểu

A   1 a 2 B   1 a 1 C 0 a 1 D   2 a 0

Lời giải Chọn B

Tập xác định: D

Ta có:

2 1

x

y a

x

  



+ ĐK cần: Hàm số có cực trị khi phương trình y 0 có nghiệm

1

x

x

 

 2  2

1

0

f x

  ; lim   1

   Bảng biến thiên:

Do đó: Phương trình y 0 có nghiệm thì có nghiệm duy nhất x0 khi và chỉ khi   1 a 1

+ ĐK đủ: Ta có:

 2  2

1

0

y

  với mọi x Suy ra:y x0 0 nên x0 luôn là điểm cực tiểu với mọi a  1;1

Vậy   1 a 1

Chú ý:

2

a  , 3

2

a ta cũng được đáp án A

+ Chỗ điều kiện đủ ta có thể dùng duy tắc 1 để kiểm tra x0 là điểm cực tiểu như sau:

Hàm số có điểm cực tiểu x khi y đổi dấu từ âm sang dương khi qua nghiệm x

Ta có:

2 2

1 1

x a x y

x

 

x a x   x a x  a x nên hệ số bậc cao

nhất của x a x 21 là hệ số dương

Suy ra: y đổi dấu từ âm sang dương khi qua nghiệm x0

Do đó: x0 là điểm cực tiểu với mọi a  1;1

Lời giải Chọn A

y x  x có 1 cực trị Vậy m0 thỏa mãn

Với m0, hàm số đã cho là hàm số bậc ba nên hoặc có hai cực trị, hoặc không có cực trị Vậy 0

Câu 1017: [2D1-2.9-3] [Chuyên ĐH Vinh-2017] Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số

2 1

yax x  có cực tiểu

A   1 a 2 B   1 a 1 C 0 a 1 D   2 a 0

Lời giải Chọn B

Tập xác định: D

Ta có:

2 1

x

y a

x

  



+ ĐK cần: Hàm số có cực trị khi phương trình y 0 có nghiệm

1

x

x

 

 2  2

1

0

f x

  ; lim   1

   Bảng biến thiên:

Do đó: Phương trình y 0 có nghiệm thì có nghiệm duy nhất x0 khi và chỉ khi   1 a 1

+ ĐK đủ: Ta có:

 2  2

1

0

y

  với mọi x Suy ra:y x0 0 nên x0 luôn là điểm cực tiểu với mọi a  1;1

Vậy   1 a 1

Chú ý:

2

a  , 3

2

a ta cũng được đáp án A

+ Chỗ điều kiện đủ ta có thể dùng duy tắc 1 để kiểm tra x0 là điểm cực tiểu như sau:

Hàm số có điểm cực tiểu x khi y đổi dấu từ âm sang dương khi qua nghiệm x

Ta có:

2 2

1 1

x a x y

x

 

x a x   x a x  a x nên hệ số bậc cao

nhất của x a x 21 là hệ số dương

Suy ra: y đổi dấu từ âm sang dương khi qua nghiệm x0

Do đó: x0 là điểm cực tiểu với mọi a  1;1

Câu 50: [2D1-2.9-3] (THPT AN LÃO-HẢI PHÒNG-Lần 3-2018-BTN) Cho hàm số

1

3

y mx  m x  m x với m là tham số Tổng bình phương tất cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn x12x2 1 bằng

A 25

22

8

40

9

Lời giải Chọn D

y mx  m x m

Để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn x12x2 1 thì  

 

1 2



 





Mặt khác ta có 1 2    

3

m

x x

m



Từ  2 và  3 ta có x2 2 m

m



2

2 2 3

m m









 



thỏa mãn  * Vậy tổng bình phương các giá trị của m là:

2

2 2 40 2

 

Câu 43: [2D1-2.9-3] (Sở GD-ĐT Cần Thơ -2018-BTN) Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số

3 2

yx  x  m x m  đạt cực trị tại các điểm x1 và x2 thỏa mãn x1  1 x2 là

A ;1 B 1; C  1; 2 D ; 2

Lời giải Chọn A

y  x  x m ; y 0 2

Hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 thỏa mãn x1   1 x2  phương trình  * có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn x11x2 1 0  

1 2 1 2

1 0

m

x x x x





 

   



2

1 1

m

m m





   

Câu 43: [2D1-2.9-3] (Sở Quảng Bình - 2018 - BTN – 6ID – HDG)Số nguyên bé nhất của tham

số m sao cho hàm số y x32mx25 x 3 có 5 điểm cực trị là:

Lời giải Chọn B

y x  mx  x  có 5 điểm cực trị  hàm số   3 2

y f x x  mx  x

có hai điểm cực trị dương

Ta có   2

f x  x  mx

 

y f x có hai điểm cực trị dương

0 0 0

S P



 





 



2

4 15 0 4

0 3 5 0 3

m m









 



15 4

m

Do đó giá trị nguyên bé nhất của tham số m sao cho hàm số 3 2

y x  mx  x  có 5 điểm cực trị là 2

Câu 50 [2D1-2.9-3] (THPT THÁI PHIÊN-HẢI PHÒNG-Lần 4-2018-BTN) Cho hàm số

1

3

y mx  m x  m x với m là tham số Tổng bình phương tất cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn 2x1x2 2

A 52

34

10

73

16

Lời giải Chọn A

2

y mx  m x m

Hàm số có hai cực trị

0

m





  

0

m





 



0

2 6 2 6

;

m m





     



Theo Vi-et, ta có: 1 2    

1

m

x x

m



2

m

x x

m



Từ giả thiếtx2  2 2x1 Thay vào  1 , ta được: 2 x1 2m 2

m



m

m



Thay vào  2 , ta được: 2 2 m 4 3m 6

2

4m 8 3m 6m

3m 10m 8 0

2 4 3

m m









 



Vậy tổng bình phương tất cả các giá trị của mlà: 2 4 52

2

 

- HẾT -