D07 hai đường chéo nhau (mượn mặt phẳng) muc do 3

S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với mặt phẳng ABCD và SOa.. Khoảng cách giữa SC và AB bằng Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnhAB CD, ; H là hình

Câu 28.[1H3-5.7-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a Gọi M là trung điểm của CD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM

Gọi O là tâm của tam giác BCD

Qua C kẻ đường thẳng d song song với BM

2

222

3

112

a a

Câu 1 [1H3-5.7-3] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Cho hình tứ diện OABC có đáy

OBC là tam giác vuông tại O, OBa, OCa 3 Cạnh OA vuông góc với mặt phẳng OBC, 3

OAa , gọi M là trung điểm của BC Tính theo a khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM

Trong mặt phẳng OBC dựng hình bình hành OMBN, kẻ OIBN

M O

B C A

H

Kẻ OHAI Nhận xét OM//ABN nên khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM bằng khoảng cách giữa đường thẳng OMvà mặt phẳng ABN, bằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng

ABN Suy ra hd O ABN ,  OH

Tam giác OBI có OBa, o

Câu 29: [1H3-5.7-3] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp

S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với mặt phẳng

ABCD và SOa Khoảng cách giữa SC và AB bằng

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnhAB CD, ; H là hình chiếu vuông góc của O trên

Tam giác SON vuông tại O nên 12 12 12 12 12 52

54

a OH a

Câu 31 [1H3-5.7-3] (TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S ABC

có đáy là tam giác vuông cân tại B, ABa Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và SBC bằng 60 Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và

Góc giữa hai mặt phẳng ABC và SBC là góc SBA 60 Do đó SAa.tan 60 a 3

Dựng D sao cho ABCD là hình vuông Dựng AESD tại E

Câu 49 [1H3-5.7-3] (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 8 Tuần HK1 - 2018 - BTN) Cho hình

chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B AB, 3 , a BC4 a Cạnh bên SA vuông

góc với đáy Góc tạo bởi giữa SC và đáy bằng 60 Gọi M là trung điểm của AC, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM

5 , 5 3

AC a SA a

Gọi N là trung điểm BC AB//SMNd AB SM , d A , SMN 

Dựng AHMN tại H trong ABC

Dựng AKSH tại K trong SAH

Gọi O O,  lần lượt là tâm của hai mặt đáy.Khi đó tứ giác COO C là hình bình hành và

C H CC C O  a a  a

2 55

a

C H

Câu 24: [1H3-5.7-3] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy

ABCD là hình chữ nhật có AB2a, AD4a, SAABCD, cạnh SC tạo với đáy góc

Lấy K trên AD sao cho AKa thì MN // SBK AC2a 5

a AH

ABC A B C   có đáy là tam giác vuông và ABBCa, AA a 2, M là trung điểm của

BC Tính khoảng cách d của hai đường thẳng AM và B C

Lời giải Chọn C

C

B A

C' B'

a d

Câu 39: [1H3-5.7-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABCD

có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SAa Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là

Lời giải Chọn A

B A

Theo bài ra thì A ABD là tứ diện đều cạnh bằng a Khoảng cách giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ diện A ABD là EF

Ta có:

2 2

Câu 44: [1H3-5.7-3] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG-LẦN

2-2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD2a, SAABCD, 3

2

SA a Tính khoảng cách giữa BD và SC

O

F

E S

A

C D

12

Câu 43: [1H3-5.7-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình

lập phương ABCD A B C D     cạnh bằng a Gọi K là trung điểm DD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A D

Gọi M là trung điểm BB Ta có: CK//A M CK//A MD 

Khi đó: d CK A D ,  d CK ,A MD  d C A MD ,   

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Chọn A

Hạ SHABCD, vì ABSM nên ABMH do đó MH cắt CD tại trung điểm

N của CD Từ đó suy ra góc giữa SCD và ABCD bằng SNH 60

O' I

Gọi I là trung điểm của BC, và O là giao điểm của MI và BD, khi đó SMI

Vậy   2

;3

d SM AC  HK 2 3

Câu 20: [1H3-5.7-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C   

có ABC là tam giác vuông cân, ABACa, AA h a h , 0 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB, BC

Cách 1

Dựng hình bình hành A B C E   Khi đó EC vừa song song vừa bằng với ABA B  nên

ABC E là hình bình hành Suy ra AE BC//  hay BC//AB E  chứa AB

Ta có: d AB BC , d BC ,AB E  d C ,AB E   Do A C  cắt AB E  tại trung điểm

Gọi H là trung điểm BC, theo giả thiết A H ABC

Vì ABC là tam giác đều nên AHBC Vậy BCA AH BCAA

Gọi M là trung điểm AB, N là trung điểm MB Ta có CMAB, NH là đường trung bình

a HK

Câu 47: [1H3-5.7-3] (SGD Hà Nam - Năm 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có độ dài

cạnh bên bằng a 7, đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABa, ACa 3 Biết hình chiếu

vuông góc của A trên mặt phẳng ABC là trung điểm của BC Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và B C  bằng

Gọi H là trung điểm của BC

Câu 46: [1H3-5.7-3] (Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Trong không gian cho hai đường thẳng

chéo nhau d và , vuông góc với nhau và nhận ABa làm đoạn vuông góc chung ,

Ad B Trên d lấy điểm M, trên  lấy điểm N sao cho AM2a, BN4a Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BI là

Ta có, MA(ABN) suy ra MAAN

NB ABM suy ra NBBM

Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN là trung điểm I của MN

Gọi F là trung điểm của AN suy ra IF AM// do đó

d AM BI d AM BIF d A BIF và IF(ABN)

Gọi H là hình chiếu của A lên BF, P đối xứng với B qua F suy ra ABNPlà hình chữ nhật

Câu 37: [1H3-5.7-3] (THPT Mộ Đức 2 - Quảng Ngãi - 2017 - 2018 - BTN)Cho hình chóp S ABC có

đáy ABClà tam giác đều cạnh bằng 1, cạnh bên SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm của SA (hình vẽ bên cạnh) Biết hai đường thẳng CM và SB hợp nhau một góc 45, khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SB bằng bao nhiêu?

A C

B

M

N H

Gọi N là trung điểm cạnh AB nên MN SB// CM SB,   CM MN, CMN

Ta có CNAB, CNSA suy ra CNSAB hay CNNM

THI THỬ – THPT MỘ ĐỨC 2 – QUẢNG NGÃI

GV giải: Đặng Thanh Quang – CÂU 38 – 39

Câu 13 [1H3-5.7-3] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lập phương

Câu 44: [1H3-5.7-3] (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lập

phương ABCD A B C D     có cạnh bằng a Gọi K là trung điểm của DD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK, A D

Cách 1:

Trong ADD A : Gọi OADA D ; HIKAD; I là trung điểm của A D 

Ta có IK AD// AD//IKCd CK A D ,   d A D IKC  ,  d D IKC ,  

CD ED





2 2

2 2

.88

a a a a

Câu 44: [1H3-5.7-3] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho hình chóp

M D

B

S H

Vẽ đỉnh D của hình bình hành ABCD Khi đó, AB DC AB SDC

Do đó d AB SC( ; )d AB ;SDC d A SDC ;   Gọi M là trung điểm CD, vì ACD đều nên CDAMmà

CDSACDSAMSCD  SAM Kẻ AHSM tại H Suy ra

Câu 35: [1H3-5.7-3] (Sở GD và ĐT Cần Thơ - 2017-2018 - BTN) Cho hình chóp S ABCD có đáy là

hình vuông cạnh a, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD bằng 60 Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và

Ta có: SB ABCD;  SB AB; SAB 60 SAAB.tan 60 a 3

SBC là mặt phẳng chứa SC và song song với AD nên:

Câu 35: [1H3-5.7-3] (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông

cạnh a, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD bằng 60 Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và ADbằng:

SBC là mặt phẳng chứa SC và song song với AD nên:

Câu 37: [1H3-5.7-3] (Sở GD Cần Thơ-Đề 323-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông

cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc giữa SCD và ABCD bằng o

60 Gọi M là trung điểm của cạnh AB Biết rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABCD nằm trong hình vuông ABCD Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC là

N

M

C B

,

5154

a

Câu 20: [1H3-5.7-3] (THPT Hồng Bàng - Hải Phòng - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABCD

có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, góc giữa đường thẳng

SC và mặt phẳng ABCD bằng o

45 Biết rằng thể tích khối chóp S ABCD bằng

3

23

a

Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng

Đặt cạnh của hình vuông ABCD là x, x0

Vì SAABCD nên suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD là góc SCA

Qua B dựng đường thẳng d song song với AC, qua A dựng đường thẳng d song song với

BD Gọi K là giao điểm của d và d Ta có AC//SKB

Do đó d AC SB , d AC SKB ,  d A SKB ,  

Trong mặt phẳng SAK dựng AH vuông góc với SK tại H (1)

Vì ACBD nên suy ra AKKB (2) Mặt khác SAABCD nên SAKB (3)

Từ (2) và (3) suy ra KBSAK Do đó ta có KBAH (4)

Từ (1) và (4) suy ra AHSKB Vậy AHd A SKB ,  

Gọi I là giao điểm của AC và BD

Ta có tứ giác AKBI hình chữ nhật nên AKBI

2

a a

Câu 29 [1H3-5.7-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AD2AB2a , cạnh SA

vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SB tạo với mặt phẳng đáy  ABCD một góc 60° 

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng

Câu 2 [1H3-5.7-3] Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a , gọi M là trung

điểm củaAB, tam giác A CM cân tại '  A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết thể tích lăng trụ bằng

3

34

a

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và CC

Hoặc các em có thể tính như sau:

Ta có BA BM BN, , đôi một vuông góc với nhau

Câu 5 [1H3-5.7-3] Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có ACa BC, 2 ,a ACB120 và đường

thẳng A C tạo với mặt phẳng ABB A  góc 30 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ,

Câu 8 [1H3-5.7-3] Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SAABCD Gọi M là

AH  AS AB  

Câu 10 [1H3-5.7-3] Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC, đáy ABC tam

giác vuông tại B có ABa, BCa 3 Biết

SA AE



Câu 11 [1H3-5.7-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , SAABCD Gọi M là

trung điểm của cạnh CD, biết SAa 5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BM là

Câu 12 [1H3-5.7-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD, các

đường thẳng SA AC, và CD đôi một vuông góc với nhau; SAACCDa 2 và 2

AD BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD

Gọi I là trung điểm của ADAIBC AI, / /BC và CIAD

Do đó ABCI là hình vuông suy ra ABAD

Câu 13 [1H3-5.7-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có

ABa , BCa, CDa 6, SAa 2 Khi SAABCD thì khoảng cách giữa AD và SC

,3

Câu 15 [1H3-5.7-3] Hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C Có CAa, CBb,

cạnh SAh vuông góc với đáy Gọi D là trung điểm cạnhAB Khoảng cách giữa hai đường



Câu 17 [1H3-5.7-3] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và SA vuông góc

với mặt phẳng ABC  ABACSA2a Gọi I là trung điểm củaBC . Tính theo a

khoảng cách giữa hai đường thẳngSI AC,

C A

O

C' B'

Câu 46: [1H3-5.7-3] [SGD_QUANG NINH_2018_BTN_6ID_HDG] Cho hình chóp S ABCD có đáy

ABCD là vuông cạnh 2a, hình chiếu của S trên mặt đáy trùng với điểm H thỏa mãn 2

5

BH BD Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AD

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SC biết SH2a 13

x

x

P

I N

D A

H

D

C B

SH HC



 a 2 Vậy d MN SC ;  19 2

13

a

Câu 46: [1H3-5.7-3] [SDG PHU THO_2018_6ID_HDG] Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác

đều cạnh bằng2a Gọi I là trung điểm củaAB Biết hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC)

là trung điểm của CI, góc giữa SA và mặt đáy bằng 600 (tham khảo hình vẽ dưới đây) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CI bằng

Câu 41: [1H3-5.7-3] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy là

tam giác vuông tại A, ABa, BC2a Gọi M,N,P lầ lượt là trung điểm của AC,

CC,A B và H là hình chiếu của A lên BC Tính khoảng cách giữa MP và NH

Vì A B BA  là hình bình hành nên P cũng là trung điểm của AB Do đó MP B C//  Mặt phẳng

BCC B  chứa NHvà song song với MP nên

BC

2

a a a

a

D 2

a

Lời giải Chọn C

E O

A B

S

K

Gọi O là tâm hình vuông S ABCD , suy ra SO ABCD

Đặt SO x Ta có

3 2

Câu 254 [1H3-5.7-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a Cạnh bên

SA vuông góc với đáy, góc SBD 600 Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB

a

D 5.5

a

Lời giải Chọn D

E

O

A S

D 5.5

a

Lời giải Chọn C

E

I B

Xét tam giác IAC, ta có DE AC (do cùng vuông góc với CI) và có D là trung điểm của

AI nên suy ra DE là đường trung bình của tam giác Suy ra 1

.2

DK

D D DE Chọn C

Câu 258 [1H3-5.7-3] Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD

A 21.

14

a

B 2 2

a

C 21 7

a

D a.

Lời giải Chọn C

E

F I

O

D

C

B A

S

K

Gọi I là trung điểm của AD nên suy ra SI AD SI ABCD

Kẻ Ax BD Do đó d BD SA, d BD SAx, d D SAx, 2d I SAx,

Câu 48: [1H3-5.7-3] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình

lăng trụ tam giác đều ABC A B C    có ABa, AA b Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AA, BB (tham khảo hình vẽ bên) Tính khoảng cách của hai đường thẳng B M và CN

N M

C'

B' A'

C

B A

N M

C'

B' A'

C

B A

Ta có NAC//B M nên d B M CN  , d B M  ,NAC d B ,NAC d B NAC ,   Gọi K là trung điểm của AC, kẻ BHNK tại H

Khi đó ACBN nên ACBNK, suy ra ACBH, từ đó d B NAC ,  BH

Xét tam giác NBK vuông tại B,

3

Câu 48: [1H3-5.7-3] (SGD Bắc Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABCD có đáy

ABCD là vuông cạnh a, SA2a và vuông góc với ABCD Gọi M là trung điểm của SD

Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB và CM

C B

2a

D S

C B

a



Câu 17: [1H3-5.7-3] (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình

lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông, BABCa, cạnh bên

Gọi N là trung điểm BB nên MN B C// 

d AM B C d B C AMN

  d C AMN ;   d B AMN ;   Gọi H là hình chiếu của

B lên AMN, do tứ diện B AMN là tứ diện vuông đỉnh B nên 12 12 12 12

Câu 2411 [1H3-5.7-3] [sai 5.6 chuyển thành 5.7] Cho hình chóp S ABCD có SAABCD, đáy

ABCD là hình chữ nhật với ACa 5và BCa 2 Tính khoảng cách giữa SD và BC

a

Lời giải Chọn D

Ta có: BC //SAD  d BC SD ; d BC SAD ;  d B SAD ;  

Câu 45: [1H3-5.7-3] (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABCD có

cạnh bằng bên bằng nhau và bằng 2a, đáy là hình chữ nhật ABCD có AB2a, ADa Gọi

K là điểm thuộc BC sao cho 3BK2CK0 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và

Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của BC, N là trung điểm của CD

Ta có SOABCD và 2 2 11

2

a

SO SB OB  Chọn hệ trục tọa độ Oxyzsao cho OMOx, ONOy, OSOz