D04 góc giữa hai mặt phẳng muc do 4

Từ A và D ta kẻ 2 đoạn vuông góc lên giao tuyến EF sẽ là chung một điểm H như hình vẽ.. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng cần tìm chính là góc giữa hai đường thẳng A H và D H.. Tỉ số di

Câu 43: [1H3-4.4-4] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình hộp

chữ nhật ABCD A B C D     có các cạnh AB2, AD3;AA4 Góc giữa hai mặt phẳng

AB D  và A C D   là  Tính giá trị gần đúng của góc ?

Lời giải Chọn D

Cách 1: Hai mặt phẳng AB D  và A C D   có giao tuyến là EF như hình vẽ Từ A và D

ta kẻ 2 đoạn vuông góc lên giao tuyến EF sẽ là chung một điểm H như hình vẽ Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng cần tìm chính là góc giữa hai đường thẳng A H và D H

Tam giác DEF lần lượt có 13

D B

D E    , 5

D A

D F    , 5

2

B A

EF 

Theo hê rông ta có: 61

4

DEF

S  Suy ra 2 305

10

DEF

S

D H

EF

Tam giác D A H  có:

29 cos

A HD

HA HD

     

Do đó A HD  118, 4 hay A H D H ,  180 118, 4 61, 6

Cách 2: Gắn hình hộp chữ nhật ABCD A B C D    vào hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó

0;0;0 ,

A B2;0;0 , D0;3;0 , C2;3;0 , A0;0; 4 , B2;0; 4 , D0;3; 4 , C2;3; 4 Gọi n1là véc tơ pháp tuyến của AB D  Có n1AB AD;   12; 8;6 

Gọi n2là véc tơ pháp tuyến của A C D   Có n2 A C A D  ;   12;8;6

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng AB D  và A C D  

1 2

1 2

29 cos

61

n n

n n

   Vậy giá trị gần đúng của góc  là 61, 6

Câu 50: [1H3-4.4-4] (Chuyên Long An - Lần 2 - Năm 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình

bình hành Góc tạo bởi mặt bên SAB với đáy bằng   Tỉ số diện tích của tam giác SAB và hình bình hành ABCD bằng k Mặt phẳng  P đi qua AB và chia hình chóp S ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau Gọi  là góc tạo bởi mặt phẳng  P và mặt đáy Tính cot

theo  và k

sin

k

C cot cot 5 1

sin

sin

k

Lời giải Chọn A

N M

D

B C

A S

Giả sử mặt phẳng  P cắt SD, SC lần lượt tại M , N Khi đó: MN CD//

SD  SD  

Ta có:

 

2

.

.

.

*

S MNB

S DCB

S ABM

S ABD

m

m







5 1 1



.

S ABM

M ABD



.

.

1

3

3

SAB

SAB

S ABM

ABD

S d M SAB S V

S d M ABD

 





1

.sin 2

ABD

ABCD

S

S

2 sin

k

 



Câu 41: [1H3-4.4-4] (THPT Mộ Đức 2 - Quảng Ngãi - 2017 - 2018 - BTN)Cho hình lăng trụ đều

ABC A B C   có tất cả các cạnh bằng nhau Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng AB C  và

A BC , tính cos

A 1

21

7

4

7

Lời giải

Chọn A

Giả sử cạnh của hình lăng trụ đều ABC A B C    có độ dài bằng a

Gọi M A B AB và N A C AC

Khi đó AB C   A BC MN

Kẻ A I MN IMN mà AA BC, BC MN// AAMN Vậy AI MN

Khi đó  AB C  , A BC  AI A I,  

Gọi J là trung điểm BC

3 2

a

2

A J  AA AJ  a 1 7

a

A I A J

Xét tam giác A IA có:

1 cos

AI A I AA

A IA

AI A I

7

Câu 42: [1H3-4.4-4] (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp

S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BCa, cạnh bên SA vuông góc với đáy,

3

SAa Gọi M là trung điểm của AC Tính côtang góc giữa hai mặt phẳng SBM và

SAB

21

2 7

Hướng dẫn giải Chọn A

M S

A

B

C

H

K

Kẻ AHSB và AKSM

Vì tam giác ABC vuông cân tại Bvà BCacùng với SAABC nên suy ra BM SAC

AC a

BM AM   Do đó BM AK

Từ BM AK và AKSM suy ra AKSBMAKSB

Từ AHSB và AKSB ta có AHKSB Do đó, góc giữa hai mặt phẳng SBM và

SAB bằng hoặc bù với góc AHK

Ta có:

SA AB

AH

SA AB



2

3

a a





3 2

a



SA AM

AK

SA AM





 2 2

2

2

2 3

2

a a

a a



21 7

a

Từ AHKSB ta có HKSB nên SHK SMB, do đó HK SK

MB  SB Mặt khác

2

SK SM SA SK SA2

SM

 

2

2 2

3

2 3

2

a

a a



  

3 14 7

a

2

SB SA AB  a;

Nên 3 14

14

HK SK

MB  SB  3 14

14

Trong tam giác AHK ta có:

cos

AHK

AH HK



7



Như vậy, góc giữa hai mặt phẳng SBM và SABlà  với cos 21

7

7



Bởi vậy: cot cos 3







Câu 40: [1H3-4.4-4] (Sở GD Cần Thơ-Đề 324-2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có

2

AB a, AD3a, AA 4a Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng AB D  và A C D   Giá trị

của cos bằng

A 29

27

2

137

169

Lời giải Chọn A

Gọi E,E' lần lượt là tâm của hình chữ nhật ADD A , A B C D   

Khi đó: EEDA C   AB D 

Dựng A H , D F lần lượt là đường cao của hai tam giác DA C , AB D 

Dễ thấy: A H ,D F ,EE đồng qui tại K và A K EE

D K EE



Hình chữ nhật DD C C  có: DC DD2D C 2 2 5a

Hình chữ nhật ADD A  có: A D  AD2AA2 5a

Hình chữ nhật A B C D    có: 2 2

13

A C  A B  B C   a

Suy ra: SDA C   61a2 2S DA C

A H

DC

 







305

10

Hoàn toàn tương tự ta có: 305

10

D K  a Trong tam giác A D K  có:

29 cos

A K D K A D x

A K D K

     

29

61

x



Câu 50 [1H3-4.4-4] [SGD SOC TRANG_2018_BTN_6ID_HDG] Cho hình chóp S ABCD có đáy là

hình vuông cạnh a, cạnh bên SAa và vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB và SD ,  là góc giữa hai mặt phẳng AMN và SBD Giá trị sin bằng

M

N

B

A S

2 2

7

1

3

Lời giải Chọn B

N

M

O

C

A

B

D

S

H

Gọi O ACBD, trong mặt phẳng (SAC), gọi KSOMN, suy ra K là trung điểm của

SO

Ta có AMN  SBDMN

Ngoài ra BD AC BD SAC

BD SA





 mà MN BD// nên MN SAC, suy ra MNAK Mặt khác SOBD nên SOMN hay KOMN

 chính là góc giữa KA và KO, suy ra sin sin AKO

Gọi H là hình chiếu của A lên SO

Xét tam giác SAO vuông tại A có AH là đường cao nên

2

2

3 2

a a

AH

a

Xét tam giác SAO vuông tại A có AK là đường trung tuyến nên

2 2

6 2

a a

AK



Xét tam giác AHK vuông tại H ta có

3

2 2 3

3 6 4

a AH AKO

AK a

Câu 50: [1H3-4.4-4] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C   

có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB3, AC4, 61

2

AA  Hình chiếu của B lên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh BC, M là trung điểm cạnh A B  Cosin của góc tạo bởi mặt phẳng AMC và mặt phẳng A BC  bằng

13

33

33 3157

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi H là trung điểmBC

5

BC AB AC 

Xét tam giác B BH vuông tại H: B H 2  BB2B H 2 3

Chọn hệ trục tọa độ OxyzcóA trùng với O như hình vẽ

VớiA0;0;0, B0;3;0,C4;0;0 2; ; 03

2

H 

  là trung điểmBC

3 2; ;3 2

B 

Do BB AACC 2; 3;3

2

A 

3

2

C  

2;0;3

2

AC  

  nên vectơ pháp tuyến MAC là nMAC  AM AC,  9

;12; 3

2

  

9

2; ; 3

2

A B    

3 2; ; 3 2

A C   

  nên vectơ pháp tuyến A BC  là nA BC   A B A C ,  

Gọi  là góc tạo bởi mặt phẳng AMC và mặt phẳngA BC 

   

cos

MAC A BC

MAC A BC

n n

2

2

9

2 9

2



 

 

= 33

-HẾT -Câu 47: [1H3-4.4-4] (Sở Quảng Bình - 2018 - BTN – 6ID – HDG)Cho

hình chóp S ABC có ABC vuông tại B, AB1,BC 3, SAC đều, mặt phẳng SAC vuông với đáy Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC Giá trị của cos bằng

65

65

65 65

Lời giải Chọn D

Gọi H M N, , lần lượt là trung điểm của AC AB BC, ,

SAC  ABCSH ABCSHHM SH, HN

ABC B

  HM HN

ABC B

  AC2SH  3

HM  BC ; 1 1

HN  AB

Chọn hệ trục tọa độ như sau: H0;0;0; S0;0; 3; 0; 3; 0

2

 ;

1

; 0; 0 2

N 

 ,

; ; 0

1

; 0; 0 2

BM

BS

   

;

3

2

BN

BS

  

   

1

n BM BS  

    

n BN BS  

     

 1 2

cos cos n n;

3

65 16

65

