Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các dạng bài tập

Cơ sở thực tế: Trong vài năm trở lại đây, các trường PTTH, PTTH chuyên… đang ra sửc thi tuyến, chọn lọc học sinh và trong các đề thi vào lớp 10 THPT, PTTH chuyện trong các đề thi tuyến h

UBng QUẬN HOÀNG MAI

TRƯƠNG THCS THỊNH LIỆT

TIN BÀI: Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các dạng bài tập

Phần I: ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn để tài:

1 Cơ sở lí luận:

Trong giai đọạn hiện nay, khi mà khoa học, kinh tế, công nghệ thông tin

trện thế giới đang phát triến mạnh mẽ, nước ta Vẫn đang chú trọng tìm kiếm nhân tài thì thế hệ trẻ, các em học sinh càng phải nỗ lực nhiều trong trong việc tìm kiếm kiến thửc, học thật giỏi để bổ sung nhân tài cho đất nước

Môn Tọán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triến hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng Và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở

bậc tiếu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái

độ cần thiết để tiếp tục lện THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các

lĩnh Vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiếu biết nhất định về Toán học.

Chương trình Tọán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo

Viện tổ chửc cho học sinh họạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng Mặt

khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viện cần phải hình thành cho học sinh những kiến thửc cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ

2 Cơ sở thực tế:

Trong vài năm trở lại đây, các trường PTTH, PTTH chuyên… đang ra sửc

thi tuyến, chọn lọc học sinh và trong các đề thi vào lớp 10 THPT, PTTH chuyện

trong các đề thi tuyến học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện các bài toán bậc hai

có ứng dụng hệ thửc Vi-ét khá phổ biến Trong khi đó nội dung và thời lượng

về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dang

Thế nhưng đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túng không giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em không

biết cách đọc thêm sách tham khảo nên không ứng dụng hệ thửc Vi ét để giải.

Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các

em học sinh, giúp các em biết Vận dụng hệ thức Vi-e’t để giải các bài tọán bậc

hai Góp phần giúp các em tự tin hơn trọng các kỳ thi tuyển Đó là lý do tôi chọn

để tài: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét đễ giãi các dạng bài tập”

II Mục đích nghiên cứu:

Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài tọán bậc hai có ửng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS đặc biệt là học sinh lớp 9

Từ đó các em có thể tự tin làm tốt các bài tọán bậc hai trọng các kỳ thi học sinh

Giỏi, tuyền sinh vào các trường PTTH, PTTH chuyền

Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thửc nhiều hớn nữa, không chỉ

bài tọán bậc hai mà cả các dạng tọán khác

III Đối tượng nghiên cứu, khảo sát thực nghiệm:

Nghiền cửu học sinh đang học lớp 9 ở trường THCS

Nghiên cửu các ửng dụng của hệ thửc Vi-ét, trọng môn đại số lớp 9, tìm hiều các bài tọán bậc hai có ửng dụng hệ thửc Vi-ét

IV Phương pháp nghiên cứu:

Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ nghiên cửu, tôi sử dụng các phương

pháp nghiên cửu sau:

- Phươngpháp nghỉên cứu tài lỉệu:

Tôi đã nghiên cửu và lựa chọn ra 11 dạng bài toán bậc 2 có ửng dụng hệ

thửc Vi-ét

- Phương pháp phỏng vấn, đỉều tra:

Tôi hỏi điều tra học sinh sau 2 tiết dạy thực nghiệm với các câu hỏi sau:

@: Em thích các bài tọán bậc hai có ửng dụng hệ thửc Vi-ét không?

@: Em hãy phân chia các dạng bài tập theo các nhóm ửng dụngcủa hệ thửc

Vi ét ?

ủ: Tìm m để Parbol (P):y = x2 và đường thẳng (d): y = x —m + 3 cắt nhau tại

2 điềm có tung độ lần lượt là yi và y; thỏa mãn: yi2 + yz2 = 1

%: Không giải phương trình, hãy nhấm nghiệm của các phương trình sau:

a/x²+ Jỉx—Jỉ -1=0 b/ x² + 5x + 6 = 0

@: Cho phướng trình: x2 — 3x + m = 0, với m là tham số, có hai nghiệm xi ,

x; (x1 > x2) Tính giá trị biếu thức A = (xl- x2)² theo m.

- Phươngpháp thực nghỉệm sưphạm:

Sau khi sắp xếp thành 11 nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tôi đã thực

hiện lện lớp hướng dẫn học sinh các ứng dụng trên

PHẨN 11: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Cơ sở lý luận:

Mục tiêu của giáo dục THCS “Nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển

những kết quả của giáo dục tiểu học, có trình độ học vấn THCS và những hiều

biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp, học nghề họặc đi vào cuộc sống lao

động”

Để khắc phục mục tiêu trện, nội dung chương trình THCS mới được thiết

kế theo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực

hành bảo đảm vừa sửc, khả thi, giảm số tiết học trện lớp, tăng thời gian tự học

và hoạt động ngoại khóa

Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết về hệ thửc Vi ét và ửng dung; 1 tiết lý thuyết : học sinh được học đinh lý Vi-ét và ửng dung hệ thửc

Vi-ét đề nhấm nghiệm của phương trình bậc hai một ấn, lập phướng trình bậc hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúngl tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa học

Theo chương trình trện, học sinh được học Đinh lý Vi-ét nhưng không có nhiều tiết học đi sâu khai thác các ửng dung của hệ thửc Vi-ét nện các em nắm

và vận dung hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt Là giáo viện tôi cần phải bồi dưỡng và

hướng dẫn học sinh tự học thệm kiến thửc phần này đề tìm ra các phướng pháp giải phù hợp với từng ửng dung bài tập

II Tình hình thực tế:

1 Thực trạng :

Nhiều năm cộng tác tại Trường THCS đặc biệt đối với trường nằm trên địa bàn kinh tế còn nhiều khó khăn, điều kiện học tập chưa đầy đủ, nhiều em không có thời gian học ở nhà, nhiều gia đình chưa quan tâm đến việc học của con em, vấn

đề Xã hội hoá giáo duc chưa ngang tầm với giai đoạn hiện nay Nên chất lượng

học tập vẫn chưa được cao, số học sinh bị hổng kiến thửc còn nhiều, nhiều em còn có tâm lý sợ môn toán học Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mửc đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở

sự học tập ở nhà Các bài toán về hệ thửc Vi ét và ửng dụng rất quan trọng như

đã nệu phần trước, song qua thực tế giảng dạy nhiều năm tội thấy với học sinh

đại trả các em còn lười làm bài tập, khi nhìn thấy để dài hoặc hơi khác một chút

là ngại đọc đề, ngại phân tích đề, đặc biệt là với dạng toán có lời văn Cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiếm tra, bài thi của HS thì đa số HS chưa nắm

chắc phương pháp giải, chưa vận dụng biến đỗi một cách linh hoạt sáng tạo vào từng bài cụ thể dẫn đến việc áp dụng vào các dạng toán khác còn gặp nhiều khó

khăn, lúng túng

2 Kết quả của thực trạng

Từ thực trạng trện chất lượng học qua bài kiểm tra 15 phút học kỳ II năm học

2017— 2018 như sau:

III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

Qua thực tế khi chưa nghiên cứu theo đề tài này học sinh gặp nhiều sai

sót trong quá trình giải toán, hay sai nhất trong cách trình bày lời giải, học sinh

còn lúng túng chưa biết cách biến đổi Vì vậy để rèn kỹ năng cho các em nắm chắc kiến thửc trong quá trình dạy tội đã phân ra các ửng dung tương ửng với các phần bài tập

1 Các giải pháp thực hiện

1.1 Hệ thống lại kiến thức lý thuyết.

Giúp các em nắm vững kiến thửc và khắc sâu phần lý thuyết đã học

1.2 Phân loại dạng các ứng dụng bài tập

- Ứng dung 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của phượng trình bậc hai một

- Ứng dung 2: Dùng hệ thửc Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương trình bậc hai

một ấn cho biết trước một nghiệm

- Ứng dung 3: Nhấm nghiệm của phượng trình bậc hai một ấn

- Ứng dung 4: Lập phượng trình bậc hai

- Ứng dụng 5: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

- Ứng dụng 6: Tính giá trị của biều thửc đối Xửng giữa các nghiệm mà không giải phương trình

- Ứng dụng 7: Tìm hệ thửc liện hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số

- Ứng dụng 8: Tìm giá trị tham số của phướng trình thỏa mãn biểu thửc chửa nghiệm

- Ứng dung 9: Xác đinh dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

- Ứng dụng 10: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thửc nghiệm

- Ứng dung 11: Một vài ửng dung khác của hệ thức Vi-ét.

2 Các biện pháp tổ chức thực hiện

2.1 Biện pháp 1: Hệ thổng lại kiến thức lý thuyết

Để việc dạy học đạt hiệu quả GV phải vận dụng các phượng pháp củng

cố, kiếm tra đánh giá để kiếm tra mửc độ nhớ lý thuyết và khả năng vận dụng của học sinh Tôi đã áp dụng thông qua kiềm tra bài cũ, làm bài tập về nhà, đưa

ra câu hỏi gợi mở khi làm bài tập Ngoài ra khi áp dụng các bài toán khó hợn đòi hỏi các em phải nhớ một số kiến thức đã học ở lớp 8 như: Các hẳng đẳng thức đáng nhớ, các phép biến đổi

Định lí Vì-ét: Nếu xl, X2 là hai nghỉệm cúa phương trình ax2 + bx + c = 0 (

ầ

a

x1 + x2

=-a #0) thì

XIXZ _—

a

Áp dụng:

* Nhờ đinh lí Vi-ét, nếu biết trước một nghiệm của phướng trình bậc hai thì có

thể suy ra nghiệm kia

* Nếu phướng trình ax² + bx + c = 0 (a 7²0) có a + b + c = 0 thì phương trình có

mọt nghiem la X1 = 1, con nghiem kia la X; = —

a

* Nếu phướng trình ax² + bx + c = 0 (a 7²0) có a - b + c = 0 thì phướng trình có

' A \ \ ' A ' \ c

mọt nghiem la X1 = - 1, con nghiem kia la X; = - —

a

Ả ~ Á '7 ~ u + V IS + ~ Á ! \ ~ ~ A ’7

* Neu hai so u, v thoa man thi hai so đo la hai nghiem cua phướng

u.v =

trình x² — sx + P = 0 (Điều kiện để có hai số u, v là s² - 4P 2 0)

2.2 Biện pháp 2: Phân loại các bài tập

Ứng dụng 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một Trước khi áp dụng đinh lí Vi-ét, ta cần kiềm tra điều kiện xem phương trình bậc hai một ấn có hai nghiệm hay không (Tức là kiếm tra a +0, A 20 ( A' zo) có thỏa mãn không)

Ví du 1 (Bài 25/SGK-Trang 52): Tính tổng và tích hai nghiệm của các phương

trình: a) 2X2- 17x+1=0 b) 25x²+10x+1=0

@

a)2x²- 17x+ 1 =O(a=2 =0,b=-17,c=1)

Ta có: A =( - 17)² - 4.2.1 =281> 0 3 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x;.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: X1 + X2 =- - =-, Xl.X2 =- =-

b)25x²+10x+1=0(a=25 i0,b=2b’ =10,c=1)

Ta có: Ạ' =5² - 25.1 =0 ² Phương trình có hai nghiệm xl, x;.

Theo hệ thửc Vi-ét, ta có: X1 + X2 =- Ê =- E =- 3, Xl.X2 =Ệ =L

Ví du 2 (Bài 30/SGK-Trang 54): Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm,

rội tính tổng và tích các nghiệm theo m:

Giãi

a) x²—2x+m=O(a=l =O,b=2b’ =-2,c=m).

Ta có: A'=(-1)2 - l.m =1- m

Đề phương trình có nghiệm <= A' 20 @ 1- m 20 @ m 51

Với m 51 , phượng trình có hai nghiệm xi, X2

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: X1 + X2 =- — =2, X1.X2 =— =m

b) x²+2(m- l)x+m²=O(a=i =0,b=2b’=(m- 1),c=m).

Tacó: A'=[-(m- I)]Z- 1.m2 =m²- 2m+1- m² =1- 2m.

Đề phương trình có nghiệm @ A' 20 @ 1- 2m 20 @ m 53

Với m 53, phượng trình có hai nghiệm xi, x;

x1 + x2 =- Ê =ụ =2(1- m), xl.x2 =ỉ =m— =m2

Đây là dạng toán nhận biết cơ bản nhất mà bất kì đối tượng học sinh nào cũng

phải làm được

Ứng dụng 2: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương trình bậc hai một ẫn cho biết trước một nghiệm

Giả sử phương trình ax² + bx + c = 0 (a 7²0) cho biết một nghiệm Xl = m Tìm

nghiệm còn lại x; ?

Ta làm như sau: Dùng hệ thửc Vi-ét XI + X; = - — Thay xl = m vào hệ

a

thửc, ta có x2 =- —- X1 —- —- m hoặc ta dùng hệ thửc XIX2 =—

Ví du 1 (Bài 39/SBT-Trang 44):

a) Chửng tỏ rằng phướng trình 3x2 + 2x - 21 = 0 có một nghiệm là -3 Hãy tìm nghiệm kia

b) Chửng tỏ rằng phương trình -4x2 - 3x + 115 = 0 có một nghiệm là 5 Tìm

nghiệm kia

ổ

a) xl = - 3 là một nghiệm của phương trình 3x2 + 2x - 21 = 0.

Vì 3(-3)² + 2.(-3) - 21 = 27 — 6 — 21 = 0.

Cách 1 :Theo hệ thửc Vi-ét, ta có:

x +x =-—=—àx =—-x =—-(-3)=3-—=—

Cách 2: Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

xl.x2=—I—I-7=>x2=(-711x1=(-711(-31=—

b) xl = 5 là một nghiệm của phương trình -4x2 - 3x + 115 = 0.

Vì -4.52—3.5+ 115 =- 100— 15 +115=0

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

xl.x2 =—=T=>xz= T :xl= T :5——

Ví du 2: a) Phướng trình x2 - 2px + 5 =0 Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai

b) Phượng trình x2 + 5x + q =0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ

hai

c) Cho phướng trình : x2 - 7x +q =0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11 Tìm q và hai nghiệm của phượng trình

@

a) Thay xt =2 vào phướng trình ban đầu ta được : 4- 419 +5 =0 = P =ẫ

5 5

T ừ xtxz =5 suy ra xz IỈl ²3

c) Vì vai trò của xi và x; bình đẳng nện theo đề bài giả sử xi - xz =ll

x1 - x2 =11 {xl =9

<I> => =xx =-18

Theo Vi-et ta có xl + x2 ²7 =>

x1 + x2 =7

Ứng dụng 3: Nhẫm nghiệm của phương trình bậc hai một ẫn

Ví du 1: Ví dụ 1 (Bài 26/SGK-Trang 53): Dùng điều kiện a + b + c = 0

hoặc a — b + c = 0 đề tính nhấm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a)3sx²-37x+2=o b)x²-49x-so=o

Giải

a) Nhận thấy phướng trình có a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0

Do đó phướng trình có một nghiệm là xl = 1, Xz = - 23“

a c) Nhận thấy phướng trình có a - b + c = 1 - (-49) + (-50) = 0

Do đó phương trình có một nghiệm là xl = - 1, x; = -3 =— % =50

a

Ví du 2: (Bài 27/SGK-Trang 53, Bài 38/SBT-Trang 44):

Dùng hệ thửc Vi-ét đề tính nhấm nghiệm của mỗi phương trình:

Gìãì

a) Ta thấy A =(— 7)2 - 4.1.12 =1 > 0 Do đó phương trình có hai nghiệm

XI va X² oa man xl.x2 =12 =3.4 xl.x2 =12 =3.4

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm xt = 3 và X2 = 4

b) Ta thấy Ạ' =32 - 1.8 =l > 0 Do đó phượng trình có hai nghiệm xi và Xz

C)

thỏa mãn 1X1~X2 28 :(-2).(- 4) x,.x, =8 =( -2).(-4)

Vậy phướng trình đã cho có hai nghiệm xt = - 2 và x; = - 4.

Nhận xét: Đối với những phương trình có dạng như trong 2 ví dụ thì giải

phương trình bằng nhấm nghiệm là nhanh gọn hớn việc vận dung cộng thửc nghiệm (cộng thức nghiệm thu gọn)

Ứng dụng 4: Lập phương trình bậc hai

1 Lập phương trình bậc hai khi biểt hai nghiệm xl;x2

Ví dul: Cho xl 23; x2 =2 lập một phương trình bậc hai chửa hai nghiệm trên

S =x1 + x2 =5 Theo hệ thửc Vi-et ta có vậy xl;x2 là nghiệm của phướng trình

P =xlx2 =6

có dạng:

x²- Sx+P =0hayx²- 5x+6=0

\V1du 2 ChOXI—Ỹ, X2—l+Jẫ

Hãy lập phượng trình bậc hai có nghiệm: xi; x;

GiaiTaco Xt— 2 , X2_1+J3_ 11+JỂ11-Ỉ3—1

Nen xl.xZ— 2 1+ 7-3 = 2

X1+Xz——2 +1+JỂ — 2 + 2 _JỂ

Vậy phướng trình có hai nghiệm xl; x; là: x2 -JỂ x +ẳ = 0 hay 2x²-2JỂ x+1 = 0

2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thửc chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước:

3 V í du : Cho phướng trình : x² - 3x + 2 =0 có 2 nghiệm phân biệt xl;x2,

Không giải phương trình trện, hãy lập phượng trình bậc 2 có ấn là y thoả mãn :

y1=x2 +_ và 3²2 le +—

Cách 1: + Tính trực tỉếp ylạyọ bằng cách: Tìm nghỉệm xl:,x2 cúa phương trình đã cho rồi thay vào bỉểu thức tỉnh yl ;yg

Phương trình x² — 3x+2 =O có a+b+c =l+C- 3)+2 =0 nện phượng trình có hai nghiệm là xl =lgx2 =2

-x+L -2+l -3 -x+L -l+l— -ẫ

+ LậPPhưong trình bậc hai bỉết hai nghỉệm y, ;y2 (dạng 2:14

3 9

S =yl +y2 =3+-—-2 2

3 9 P=JÌ1JÌ2 =3.—= —2 2

+ A A , 9 9

Phương trinh can lạp co dạng: y² - Sy +P =0 hay Ý - ỉy +Ĩ =O

(hoặc 2y2 - 9y+9 =0)

Cách 2: Không tỉnh yi ;y2 mà áp dụng Định lí Vỉ-et tínhS =yt +y2;P =ytyg sau

đó lập phương trình bậc hai có các nghỉệm là ytặyọ Theo đinh lí Vi-et ta có:

(x2 +L).(xl+ị)lex2 +1+1+ =2+1+1+lzẵ

S =yt +yz =sz +—+xt +- =(xt +xz)+ —+— =(xt +xz)+ể =3+—=-Phương trinh

can lạp co dạng: y² - Sy+P =0 hay Ý - ỉy +Ĩ =O

(hoặc 2y2 - 9y+9 =0)

Nhận xét: Cách 1 chỉ thích hợp khi phương trình ban đầu có nghiệm xlặxg là hữu tỉ do đó còn cách 2 có thể tính toán cho mọi trường hợp

- Ứng dụng 5: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Ví dụ 1 (Bài 28/SGK-Trang 53): b) u + v = 2, u.v = 9

@

a) Ta có u+v= 32, u.v =231

Do đó u và v là 2 nghiệm của phướng trình: x2 - 32x + 231 = 0.

A =(-32)² - 4.231 =100›0:› JẨ =J1oo =10

Phượng trình có hai nghiệm phân biệt: X1 =

Vậyu=21,v= 11 hoặcu=ll,v=2l

b) Tacóu+v=2,uv=9

Do đó u và v là nghiệm của phướng trình: x2 - 2x + 9 = 0.

A =( - 2)2 - 49 =- 32 < 0 => Phương trình vô nghiệm

Vậy không tồn tại cặp u, v nào thỏa mãn điều kiện trện

Ví dụ 2: Tìm các cạnh của hình chữ nhật, biết chu vi bằng 30m và diện tích của

hình chữ nhật bằng 54m².

@

Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là u và v, (cm; u, v > 0)

Vì chu vi của hình chữ nhật bằng 30m, nện ta có phương trình:

2.(u+v)=30 ® u+v= 15 (1)

Vì diện tích của hình chữ nhật bằng 54m², nện ta có phương trình:

u.v = 54 (2)

u+v=15

Từ (1) và (2), ta có hệ phướng trình: 1uv _54 Do đó u, v là 2 nghiệm của

phương trình bậc hai: x² -15x + 54 = 0 Ta có Ạ =(-15)2 - 4.54 =9 › o

² phướng trình có 2 nghiệm XI 16; X; ²9.

Vậy hình chữ nhật có hai cạnh là ôm và 9m

Ví dụ 3 Giải các hệ phướng trình sau:

b)

Gỉáỉ

Do đó x và (-y) là nghiệm của phương trình: t² — lOt - 24 = 0.

Ta có Ạ =(-10)² - 4.(-24) =196 >o=› JẨ =14 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ti = 12; t2 = -2

Suyrax=l2,-y=-2 ²x=l2,y=2

hoặcx=-2,-y=lZ ² x=-2,y=-12

Vậy hệ phượng trình có hai nghiệm (12; 2); (-2; -12)

° Vớix+y=2,tklcó hệ: xy 4 =«x,ylà nghiệm của phương trình:

t²—2t-4=O=>tl=l+JỉtZII-JỄ

=>x=l+J5,y=1-J5hoặcx=l-Jỉy=l+Jẵ

° Vớix+y=-2, có hệ: xy 4 ='x,ylàngh1ệmcủaphươngtrình:

t²+2t-4=o = t3 =-1+J5,t4 =-1- Jẫ.

=> x=-l+JỂ,y=-l- J5 hoặcx=-l- J5,y=-I+Jẵ

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm:

(l+Jẫảl’Jẫ);11'Jẫịl’fJẫ);i’l+Jẫặ’l-Jẫ);1’l’Jẫệ’l+Jẫ)

Nhân xét: Trong các ví dụ trện ta đã chuyển đội việc giải hệ phương trình sang giải phượng trình bậc hai một ấn; bến cạnh đó ta cần sử dụng thệm phép biến đổi tương đương cho hệ phương trình và kết hợp sử dụng hẳng đẳng thửc

A2 +B2 =(A + B)2 - 2AB Ngoài ra trong nhiều trường hợp chúng ta còn cần

sử dụng tới ấn phụ như ví dụ 3 phần a) hay ví dụ sau đây sẽ minh họa cho điều

này

* Lưu ý: không phải lúc nào ta cũng tìm được hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài